Verze z 3. 2. 2014, 17:53

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\section{Zrod \qv é mechaniky}
\ll{ZrodQM}
 
Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a magnetismu, termodynamiky, ...) je popis \emph{množiny stavů a
určení časového vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení měřitelných veličin tzv.~\emph{pozorovatelných}, které jsou 
pro zkoumaný systém relevantní, a předpovězení vývoje jejich hodnot. Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie, elektrická a 
magnetická intenzita, teplota, objem atd.
 
{\small Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny a fyzikální 
zákony určující jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi. Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých 
interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření. Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se zdálo, že 
vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není pravda, a že klasická fyzika 
nedokáže bezesporně popsat některé jevy, ke kterým dochází v~důsledku interakcí na atomární úrovni.}
 
\bc
  Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice. Napište 
  rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální veličiny jsou určeny?
\ec
 
Základní fyzikální objekty --- \textbf{hmota a záření} --- jsou v~klasické fyzice \textbf{popsány zcela odlišným způsobem}. Hmotné objekty 
jsou lokalizované a řídí se Newtonovými pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se Maxwellovými polními rovnicemi. 
Dochází u~něj k~vlnovým jevům např.~interferenci a ohybu.
 
V~makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob popisu  kvalitativně různých objektů zcela logický. Pokusy prováděné 
počátkem tohoto století však ukázaly, že pro popis objektů v~mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní, ba dokonce vedou k~předpovědím, 
které jsou v~rozporu s~pozorováními.
 
{\small Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu, který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají okolo 
kladně nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce. Podle této představy jsou elektrony klasické, elektricky nabité (na rozdíl od 
planet!) částice. Problém je však v~tom, že z~teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu po zakřivené dráze měly 
produkovat elektromagnetické záření na úkor své vlastní mechanické energie.}
 
Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít konečnou, dokonce velmi 
krátkou (cca.~$10^{-10}$ s) dobu života. Obě tyto předpovědi jsou v~rozporu s pozorováním. Smířit tento rozpor teorie a experimentu se 
podařilo až kvantové mechanice za cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v~tomto případě elektronu jako částice pohybující 
se po nějaké dráze.
 
\bc
  Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v~atomu vodíku, pokud jej považujeme za klasickou částici pohybující se po kruhové dráze 
  o~(Bohrově) poloměru $a \approx 10^{-10} \ \mathrm{m}$ (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52).
\ec
 
K~dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u~zrodu \qv é mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa, fotoefekt 
a Comptonův rozptyl elektronů, které popíšeme v~příštích podkapitolách. Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i 
představy o~čistě vlnové povaze elektromagnetického záření.
 
 
\subsection{Planckův vyzařovací zákon}
 
Jedním z~problémů klasické fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření tzv.~absolutně černého tělesa, přesněji její závislost 
na frekvenci záření a teplotě tělesa.
 
\emph{Absolutně černé těleso}, tzn.~těleso které neodráží žádné vnější záření, lze realizovat otvorem v~dutině, jejíž vnější stěny jsou 
vodivé a jsou ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické záření, jehož experimentálně změřené 
spektrální rozdělení je v~rozporu s klasickým popisem tohoto jevu.
 
Oscilací atomů stěn dutiny zahřáté na teplotu $T$ se v~dutině vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf}, kap.~8), jež je zdrojem 
záření černého tělesa. Jeho složky $\vec E(\vex,t), \vec B(\vex,t)$ musí splňovat Maxwellovy-Lorentzovy rovnice beze zdrojů
\be \div \vec{E}=0,\ \ \ \rot \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\pd \vec{E}}{\pd t}=0, \ll{ml1} \ee
\be \div \vec{B}=0,\ \ \ \rot \vec E + \frac{\pd \vec{B}}{\pd t}=0 \ll{ml2} \ee
a okrajové podmínky, které vyžadují, aby tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole byly na stěnách dutiny nulové (viz 
např.~\cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj.
\be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee
kde $\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto 
pole je ekvivalentní systému neinteragujících harmonických oscilátorů.
 
Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1}-\rf{podnast}. Z~II.~serie Maxwellových-Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické 
pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem 
\be \vec E = -\grad \phi' -\frac{\pd \vec{A'}}{\pd t},\ \ \vec B = \rot \vec{A'}.\ee
Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací dosáhnout toho, že elektromagnetické potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují 
$\phi=0,\div\vec{A}=0$ a okrajové podmínky $\vec N \times \vec A = 0$ na stěnách dutiny.
 
Kalibrační transformace
\be \phi(\vex,t) = \phi'(\vex,t)-\frac{\pd\lambda}{\pd t}(\vex,t) \ee
\be \vec A(\vex,t) = \vec A'(\vex,t) + \grad \lambda(\vex,t), \ee
která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí $\lambda$, která splňuje rovnice
\be \frac{\pd \lambda}{\pd t}=\phi' \ee
\be \lapl \lambda = -\div \vec A' \ee
spolu s~okrajovými podmínkami na stěnách
\be \vec N \times \grad \lambda = -\vec N \times \vec A'. \ee
 
Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí $\div \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a
normálové složky intenzit na stěnách dutiny.
 
Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o~hraně $L$. Rozložíme složky vektorového potenciálu do trojné Fourierovy řady (viz 
např.~\cite{uhl:uvaf})
 
\be A_1(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_1(\vec{m},t) \cos\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right) \sin\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right), \ll{Four1} \ee
\be A_2(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_2(\vec{m},t)\sin\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right)\cos\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right), \ll{Four2}\ee
\be A_3(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_3(\vec{m},t)\sin\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\cos\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right). \ll{Four3}\ee
 
Důvod pro tento speciální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují
\[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \]
takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $\langle -L,L \rangle \times \langle -L,L \rangle \times \langle -L,L \rangle$ jako spojitou 
funkci lichou v~proměnných $x_2,x_3$. O~hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$  žádnou informaci nemáme, můžeme ji nicméně prodloužit sudě v~$x_1$. 
Fourierův rozklad liché spojité funkce na intervalu $\langle -L,L \rangle$ lze provést pomocí funkcí  $\sin\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$, zatímco rozklad sudé 
funkce pomocí funkcí $\cos\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}. Důležité je, že podmínka
\[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \]
už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např.~pomocí funkcí 
$\cos\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$ pro sudá rozšíření $A_1$ v~$x_2,x_3$. Stejnou argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem \rf{Four2}, \rf{Four3}.
 
Z~rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci
\be \frac{1}{c^2}\frac{\pd^2}{\pd t^2}A_i-\lapl A_i=0, \ll{vlnrce} \ee
které dostaneme  z~\rf{ml1}, pak plyne, že koeficienty $\vec Q_{\vec{m}}(t) \equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in \Z_+^3$ (trojice 
celých nezáporných čísel) splňují jednoduché \rc e
\be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0, \ll{rceHO} \ee
kde
\be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee
a $c$ je rychlost světla.
 
Kalibrační podmínka $\div \vec A=0$ přejde na tvar
\be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0, \ll{kalpod} \ee
ze kterého plyne, že pro každé $\vec m \in \Z_+^3$ existují dvě lineárně nezávislé funkce $Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující 
\rf{rceHO}, \rf{kalpod}, což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření.
 
\bc
  Ze vzorců \rf{Four1}-\rf{Four3} odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vex,t)$ a $\vec B(\vex,t)$.
\ec
 
Energie elektromagnetického pole
\[ \mathcal{E} = \half\int(\varepsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)\d V \]
po dosazení \rf{Four1}-\rf{Four3} a integraci přejde na tvar
\be 
  \mathcal{E} = \frac{\varepsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in \Z_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec m}^2). 
  \ll{ergempole}
\ee
 
Z~rovnic \rf{rceHO}, \rf{ergempole} vidíme, že {elektromagnetické pole v~uzavřené dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých harmonických 
oscilátorů} (stojatých vln) číslovaných vektory $\vec m \in \Z_+^3$.
 
Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii 
elektromagnetického pole ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v~sumě \rf{ergempole}. Na druhé straně však víme, že 
elektromagnetické pole je v~termodynamické rovnováze se stěnami dutiny o~teplotě $T$ a lze jej tedy popsat metodami  statistické fyziky.
Z tohoto hlediska je možno na \emph{elektromagnetické pole v~dutině pohlížet jako na soubor oscilátorů, přičemž každý z~nich může interakcí 
s~termostatem nabývat různých energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s~energií ${\epsilon}(s)$ je dána Boltzmannovou 
statistikou s~rozdělovací funkcí
\be P(s,T) = A(T) e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} }, \ll{boltzman} \ee
kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}\mathrm{J/K}$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou
\[ \sum_s P(s,T)=1. \]
 
Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů s~vlastními frekvencemi
$\nu = \frac{\omega_{\vec{m}}}{2\pi} = \frac{c\norm{\vec{m}}}{2L}$
\[\overline{\epsilon(\nu,T)} = \sum_s \epsilon(s)P(s,T), \]
neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$, pak lze spočítat jako součet 
středních energií oscilátorů s~frekvencemi v~témže intervalu.
 
Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$. Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů 
s~pevným $\vec m$ bod v $\Z_+^3$, pak v~důsledku \rf{omgm} množina oscilátorů s~frekvencemi v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ 
leží v~jednom oktantu kulové slupky poloměru $2L\nu/c$ a tloušťky $2L\d\nu/c$ v~prostoru vektorů v~$\Z^3$. Energie oscilátorů s~frekvencemi 
v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ je pak rovna součtu energií \rf{ergempole} avšak pouze přes body v~této slupce, tedy
\be 
  \d\bar{\mathcal{E}} 
    = 2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 \d m 
    = \overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 \d\nu
    = V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 \d\nu, \ll{pocetstavu} \ee
kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla. Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole) s~danou frekvencí tedy je
\be \rho(\nu,T) = \overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2. \ll{spechus1} \ee
 
{\small Předpokládáme-li, že se jedná o~klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných kladných hodnot 
$E(q,p)=\alpha p^2 + \beta q^2$ a rozdělovací funkce souboru stavů oscilátoru daných hybností $p$ a polohou $q$ je
\[ P(q,p) = A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \]
pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$
\be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee
a energie pole v~dutině připadající na interval frekvencí $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ je
\[ \rho(\nu,T)\d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT \d\nu \]
(Rayleigh-Jeansova formule). Tato rozdělovací funkce však neodpovídá experimentálním hodnotám pro velké frekvence $\nu$. Navíc celková 
hustota energie elektromagnetického pole
\be \epsilon = \int_0^\infty \rho(\nu,T)\d\nu \ll{heemp}\ee
diverguje.}
 
\bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}. \ec
 
Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty energie dobře popisuje funkce navržená M.~Planckem ve tvaru
\be \fbox{\LARGE$\rho(\nu,T) = \frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} $} \ ,\ll{planck} \ee
kde experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62 \times 10^{-34}$ Js (viz obr.~\ref{fig:blackbody}).
 
\begin {figure}[hbtp]
  \centering
  \includegraphics[scale=.18]{blackbody.pdf}
  \caption{Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300 K, 1500 K} \ll{fig:blackbody}
\end{figure}
 
\bc 
  Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s~teplotou 
  (Wienův posunovací zákon)?
\ec
 
\bc 
  Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě 
  Rayleighova-Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od veličiny měřené o~5 procent. Jak velký je tento rozdíl v~oblasti 
  maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na teplotě?
\ec
 
\bc 
  Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro 
  danou teplotu.
\ec
 
K~odvození rozdělovací funkce \rf{planck} je třeba učinit následující podivný předpoklad (Max Planck, 1900):
 
Harmonické oscilátory, jejichž soubor je z~energetického hlediska ekvivalentní elektromagnetickému poli v~dutině, \emph{nemohou nabývat 
libovolných hodnot energie, ale pouze takových, které jsou celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn.~$E_n=n\epsilon_0$.
Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.}
\[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \]
 
Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$ a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s~frekvencí $\nu$ a 
energií $E_n$ je
\[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \]
Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z~normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty P_n=1$. Sečtením geometrické řady
\[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{nh\nu}{kT}}=\frac{1}{1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}}. \]
 
Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí $\nu$ je pak
\[ 
  \overline{\epsilon(\nu,T)} 
    = \sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n
    = A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}} 
    = A^{-1}\left[-\frac{\pd A}{\pd(\frac{1}{kt})}\right]
    = \frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}. 
\]
Energii elektromagnetického pole v~dutině připadající na interval frekvencí $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ pak opět spočítáme jako součin 
(\ref{pocetstavu}) střední hodnoty energie oscilátorů s~frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s~frekvencemi uvnitř daného intervalu, z~čehož 
dostaneme Planckovu formuli \rf{planck}.
 
Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp} spočítaná z~takto určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost
odpovídá Stefanovu-Boltzmannovu zákonu.
\[
  \epsilon(T)
    = \frac{8\pi}{c^3}h \int_0^\infty \frac{\nu^3}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}\d\nu
    = \frac{8\pi}{c^3} \frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}\dx
    = \kappa T^4, 
\]
kde
\[ \kappa = \frac{8\pi k^4}{c^3h^3} \frac{\pi^4 }{15}. \]
 
\textbf{Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa lze odvodit pomocí předpokladu, že \emph{energie harmonického oscilátoru 
s~frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskrétních hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta.
 
Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v~rozporu s naší zkušeností, neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou 
nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické oscilátory hluboko pod mezí pozorovacích chyb.
 
Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u~atomů (konkrétně rtuti) v~sérii pokusů Francka a Hertze v~letech 1914-1919 
(viz \cite{uhl:uvaf}).
 
 
 
\subsection{Fotoefekt}
Potvrzením Planckovy hypotézy o~kvantovém charakteru energie elektromagnetického pole bylo i Einsteinovo vysvětlení fotoefektu --- emise 
elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v~roce 1903.
 
Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl Millikan v~roce 1916 (viz obr.~\ref{fig:millikan}). Na fotokatodu zapojenou do 
elektrického obvodu dopadá monochromatické světlo s~frekvencí $\nu$, která se postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj 
stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole, které vrací elektrony emitované světelným zářením zpět.
 
\begin{figure}[hbtp]
 
%TexCad Options
%\grade{\on}
%\emlines{\off}
%\beziermacro{\off}
%\reduce{\on}
%\snapping{\on}
%\quality{2.00}
%\graddiff{0.01}
%\snapasp{1}
%\zoom{1.00}
\unitlength 1mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(105.00,85.00)
%\emline(20.00,70.00)(40.00,70.00)
\put(20.00,70.00){\line(1,0){20.00}}
%\end
\put(55.00,70.00){\oval(30.00,10.00)[]}
%\emline(65.00,70.00)(100.00,70.00)
\put(65.00,70.00){\line(1,0){35.00}}
%\end
%\emline(100.00,70.00)(100.00,55.00)
\put(100.00,70.00){\line(0,-1){15.00}}
%\end
\put(100.00,50.00){\circle{10.00}}
%\vector(95.00,45.00)(105.00,55.00)
\put(105.00,55.00){\vector(1,1){0.2}}
\multiput(95.00,45.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}
%\end
%\emline(100.00,45.00)(100.00,30.00)
\put(100.00,45.00){\line(0,-1){15.00}}
%\end
%\emline(100.00,30.00)(60.00,30.00)
\put(100.00,30.00){\line(-1,0){40.00}}
%\end
%\emline(55.00,30.00)(20.00,30.00)
\put(55.00,30.00){\line(-1,0){35.00}}
%\end
%\emline(20.00,30.00)(20.00,70.00)
\put(20.00,30.00){\line(0,1){40.00}}
%\end
%\emline(40.00,70.00)(45.00,70.00)
\put(40.00,70.00){\line(1,0){5.00}}
%\end
%\emline(45.00,73.00)(45.00,67.00)
\put(45.00,73.00){\line(0,-1){6.00}}
%\end
%\emline(65.00,72.00)(65.00,68.00)
\put(65.00,72.00){\line(0,-1){4.00}}
%\end
%\emline(55.00,35.00)(55.00,25.00)
\put(55.00,35.00){\line(0,-1){10.00}}
%\end
%\emline(57.00,30.00)(60.00,30.00)
\put(57.00,30.00){\line(1,0){3.00}}
%\end
%\emline(57.00,33.00)(57.00,27.00)
\put(57.00,33.00){\line(0,-1){6.00}}
%\end
%\emline(45.00,30.00)(45.00,15.00)
\put(45.00,30.00){\line(0,-1){15.00}}
%\end
%\emline(45.00,15.00)(60.00,15.00)
\put(45.00,15.00){\line(1,0){15.00}}
%\end
\put(65.00,15.00){\circle{10.00}}
%\vector(60.00,10.00)(70.00,20.00)
\put(70.00,20.00){\vector(1,1){0.2}}
\multiput(60.00,10.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}
%\end
%\emline(70.00,15.00)(80.00,15.00)
\put(70.00,15.00){\line(1,0){10.00}}
%\end
%\emline(80.00,15.00)(80.00,30.00)
\put(80.00,15.00){\line(0,1){15.00}}
%\end
%\vector(65.00,85.00)(46.00,72.00)
\put(46.00,72.00){\vector(-3,-2){0.2}}
\multiput(65.00,85.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
%\end
%\vector(65.00,83.00)(46.00,70.00)
\put(46.00,70.00){\vector(-3,-2){0.2}}
\multiput(65.00,83.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
%\end
%\vector(65.00,81.00)(46.00,68.00)
\put(46.00,68.00){\vector(-3,-2){0.2}}
\multiput(65.00,81.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
%\end
\put(70.00,5.00){\makebox(0,0)[lb]{U $(=U_s)$}}
\put(103.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{I (=0)}}
\put(40.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{Fotokatoda}}
\put(67.00,80.00){\makebox(0,0)[lb]{Monochromatické světlo s frekvencí $\nu$ }}
\end{picture}
 
\caption{Millikanovo zapojení pro měření fotoefektu} \ll{fig:millikan}
\end{figure}
 
 
Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného 
záření je lineární.
\[ U_s = \frac{h}{e}(\nu-\nu_0) \]
 
Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v~tom, že 
v~procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum záření --- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou
úměrná frekvenci $E=h\nu$. (\uv{\emph{...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves without 
dividing and can only be absorbed and emitted as a whole.}}) Kinetická energie emitovaného elektronu je
\be E_{\mathrm{kin}} = eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{\mathrm{foton}}-E_{\mathrm{ion}}. \ll{ekine} \ee
 
Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{\mathrm{ion}}/h$, kde $E_{\mathrm{ion}}$ je ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází 
ani při zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$ získávají 
elektrony energii \rf{ekine}. Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu, se shodovala s~konstantou určenou ze záření černého tělesa.
 
\textbf{Závěr:} Existují \emph{kvanta světelného záření --- fotony}, která působí v~elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie 
jednoho fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a $h$ je konstanta určená z~Planckova vyzařovacího zákona.
 
\bc
  Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z~nich se dostane do oka 
  pozorovatele ve vzdálenosti $10 \ \mathrm{km}$? (Poloměr čočky oka je asi $5 \ \mathrm{mm}$.)
\ec
 
 
 
\subsection{Comptonův rozptyl}
 
V~roce 1923 provedl A.~H.~Compton pokus, který měl odhalit, zda se kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn.~zda vedle 
energie mají též definovanou hybnost. V~tomto pokusu byl měřen rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v~jehož 
krystalické mříži jsou elektrony relativně volné.
 
{\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce 
(tj.~všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv.~tlak světla. V~klidové soustavě elektronu pak dojde k~emisi záření se stejnou 
vlnovou délkou a nulovou střední hybností. V~laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_{\mathrm{e}}$ a energii 
$E_{\mathrm{e}}$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu změnu vlnové délky záření
\be (\triangle\lambda)_{\mathrm{klas}}=\lambda_0\frac{cP_{\mathrm{e}}}{E_{\mathrm{e}}-cP_{\mathrm{e}}}(1-\cos\Theta), \ll{compclas} \ee
kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny, $\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření, $E_{\mathrm{e}},P_{\mathrm{e}}$ jsou 
velikost energie a hybnosti elektronu, které s~délkou ozařování rostou.}
 
Podívejme se jak bude tento jev probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni chovají jako částice s~danou energií a hybností (viz 
obr.~\ref{fig:compton}).
 
\begin{figure}
 
%TexCad Options
%\grade{\on}
%\emlines{\off}
%\beziermacro{\off}
%\reduce{\on}
%\snapping{\on}
%\quality{2.00}
%\graddiff{0.01}
%\snapasp{1}
%\zoom{1.00}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.2pt}
\begin{picture}(90.00,50.00)
%\vector(30.00,30.00)(60.00,30.00)
\put(60.00,30.00){\vector(1,0){0.2}}
\put(30.00,30.00){\line(1,0){30.00}}
%\end
%\vector(60.00,30.00)(80.00,50.00)
\put(80.00,50.00){\vector(1,1){0.2}}
\multiput(60.00,30.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}}
%\end
%\vector(60.00,30.00)(90.00,10.00)
\put(90.00,10.00){\vector(3,-2){0.2}}
\multiput(60.00,30.00)(0.18,-0.12){167}{\line(1,0){0.18}}
%\end
\put(30.00,35.00){\makebox(0,0)[lb]{Dopadající foton}}
\put(80.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{Odražený elektron}}
\put(82.00,20.00){\makebox(0,0)[lb]{Rozptýlený foton}}
\end{picture}
 
\caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu} \ll{fig:compton}
\end{figure}
 
V~tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu (\uv{\emph{... when an X-ray quantum 
is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron.}}), při které se celková energie a hybnost zachovává.
\be \epsilon_{\nu_0}+m_{\mathrm{e}} c^2 = \epsilon_{\nu}+ E_{\mathrm{e}} \ll{zachovanienergie} \ee
\be \vec p_{\nu_0}+0=\vec{p}_{\nu}+\vec p_{\mathrm{e}},\ll{zachovani hybnosti} \ee
kde
\[ \vec{p}_{\mathrm{e}}=\frac{m_{\mathrm{e}} \vec{v}_{\mathrm{e}}}{\sqrt{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2}},\ \quad E_{\mathrm{e}}=\frac{m_{\mathrm{e}} c^2}{\sqrt{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2}},\]
\[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \quad |\vec{p}_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \]
a $v_{\mathrm{e}}$ je rychlost odraženého elektronu. Ze zákona zachování hybnosti plyne
\[ (\vec{p}_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2 = \frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)= \]
\[ {\vec{p}_{\mathrm{e}}}{}^2 = \frac{m_{\mathrm{e}}^2 v_{\mathrm{e}}^2}{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2} = E_{\mathrm{e}}^2/c^2-m_{\mathrm{e}}^2c^2. \]
Použijeme-li ještě zákon zachování energie, pak algebraickými úpravami dostaneme
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_{\mathrm{e}} c}(1-\cos \Theta), \ll{compton2} \ee
což je vzorec pro vlnovou délku emitovaného záření v~závislosti na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu.
Veličina $\frac{\hbar}{m_{\mathrm{e}} c}$ se často nazývá \emph{Comptonova vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}$ m.
 
Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření velikosti $P_{\mathrm{e}}$, 
pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{(\lambda_0 P_{\mathrm{e}}+h)c}{\sqrt{m_{\mathrm{e}}^2c^4+P_{\mathrm{e}}^2c^2}-P_{\mathrm{e}}c}(1-\cos\Theta). \ll{compton} \ee
Pro $P_{\mathrm{e}}\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli \rf{compclas}. Comptonovy vzorce \rf{compton} resp.~\rf{compton2} se však 
experimentálně potvrdily i pro krátkovlné rentgenovské záření.
 
\textbf{Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou energii, ale i hybnost, jejíž velikost je 
nepřímo úměrná vlnové délce záření $\norm{\vec{p}} = h/\lambda$.
 
\bc
  Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova záření.
\ec
 
\bc
  Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož zdrojem je elektron --- pozitronová anihilace
  \[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]
  v~klidu?
\ec
 
 
 
 
\subsection{Shrnutí}
 
Z~výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt plyne, že v~mikrosvětě, tj.~při zkoumání atomárních jevů:
\begin{enumerate}
  \item Existují fyzikální objekty --- kvanta, kvantové částice --- mající jak vlnový tak částicový charakter.
  \item Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např.~energie či momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn.~tyto veličiny se mohou měnit 
        pouze o~konečné přírustky.
\end{enumerate}
Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a 
použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických
fyzikálních systémů.
 
Z~pedagogických důvodů začneme její výklad popisem jedné kvantové částice bez vazeb, jejímž typickým reprezentantem je například elektron.
Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u~každé fyzikální teorie \textbf{se nejedná o~odvození ve smyslu, na které jsme 
zvyklí z~matematiky, nýbrž o~sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, jejichž správnost musí prověřit experimenty.} 
Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž postuloval.
 
 
 
\subsection{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e}
Z~vysvětlení experimentálních fakt v~předchozích kapitolách plyne, že při zkoumání atomárních jevů záření přestává mít čistě vlnový charakter 
a chová se v~některých aspektech jako soubor částic. Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem --- kvantové \cc e --- popisující 
fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních.
 
Pod vlivem poznatků o~duálním částicově-vlnovém charakteru světla De Broglie v~roce 1923 usoudil, že tento dualismus je vlastností všech 
mikroskopických objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např.~elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo 
jako částice, podle toho jaké jevy, v~nichž se účastní, zkoumáme. Vyslovil hypotézu, že \emph{pro popis jevů na atomární úrovni je třeba 
přiřadit volným kvantovým částicím s~hybností $\vec p$ a energií $E$ --- nikoliv bod fázového prostoru, nýbrž rovinnou monochromatickou vlnu 
$\psi_{\vec p,E}$, jejíž frekvence je (stejně jako pro foton) úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti částice, 
přesněji funkci}
\be\mbox{\Large $\psi_{\vec p,E}(\vex,t) = A e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vex-Et) } $}, \ll{dbvlna} \ee
kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar := h/2\pi = 1.054 572 \times 10^{-34}$ Js.
 
Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy, je třeba si uvědomit, že v~té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové 
vlastnosti hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o~několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na 
krystalech.
 
\bc
  Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o~hmotnosti $10 \ \mu\mathrm{g}$ 
  pohybující se rychlostí zvuku.
\ec
 
\bc
  Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku $(m = 0.1 \ \mathrm{kg})$ obdélníkovitým otvorem ve zdi o~rozměrech 
  $1\times 1.5 \ \mathrm{m}$.
\ec
 
\bc
  Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s~charakteristickou vzdáleností 
  atomů $0.1 \ \mathrm{nm}$?
\ec
 
Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií stejný jako u~klasické volné částice $E=\frac{\vec{p}^{\,2}}{2m}$ (případně $E=\sqrt{\vec{p}^{\,2}c^2+m^2c^4}$ 
pro kvantum pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna nesplňuje  vlnovou rovnici \rf{vlnrce}, která 
plyne z~teorie elektromagnetického pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje. Tuto \rc i našel v~roce 1925 E.~Schr\"{o}dinger a nese 
jeho jméno.
 
K~odvození \rc e pro \db ovy vlny je nejsnazší vyjít z~výše uvedených klasických vztahů mezi energií a hybností, které vlastně představují 
disperzní relace, a použít identity
\be p_j\psi = -i\hbar\frac{\pd}{\pd x_j} \psi, \quad E \psi=i\hbar\frac{\pd}{\pd t} \psi \ll{imps} \ee
plynoucí z~popisu kvant příslušnou \db ovou vlnou. Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu
\be 
  \frac{\pd\psi}{\pd t} 
    = -\frac{i}{\hbar}\sum_{j=1}^3\frac{p_j^2}{2m}\psi 
    = -\frac{i}{2m\hbar}\sum_{j=1}^3\left(-\hbar^2\frac{\pd^2}{\pd x_j^2}\right) \psi.
  \ll{srvolna}
\ee
 
E.~Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice
\be  \frac{\pd\psi}{\pd t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee
i pro kvantovou částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem $V(\vex)$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci 
takovéto kvantové \cc e se obvykle píše ve tvaru
\be \fbox{\LARGE $i\hbar\frac{\pd\psi}{\pd t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\lapl\psi + V(\vex)\psi$} \ll{sr} \ee
a nazývá se \emph{Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární operátor na pravé straně \sv y \rc e
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\lapl+ \hat V(\vex) \ll{hamiltonian} \ee
se nazývá \emph{hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence učebnic kvantové mechaniky, že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.)
 
Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna} pro \uv{volnou \qv ou částici} (což může být např.~elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není 
pouze \db ova vlna, ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných. Díky linearitě \sv y \rc e je řešením \rf{srvolna} i lineární superpozice 
\db ových vln odpovídajících různým hybnostem
\be \psi(\vex,t)=\int_{\R^3}\tilde\psi(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar}\left( \vec{p}\cdot\vex-\frac{\vec{p}^{\,2}}{2m}t\right)}\d^3p. \ll{vlnbalik} \ee
To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna} má jenom některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou 
a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o~její poloze. Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její vlastnosti, 
např.~lokalizovatelnost v~určité části prostoru, pak musíme použít jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna.
 
\bc
  Nechť $V(\vex)=0$ (volná částice) a  vlnová \fc e částice má v~čase $t_0$ (\uv{lokalizovaný}) tvar
  \be g(\vex)=C\exp \left\{ -A\vex^{\,2}+\vec B\vex \right\} \ll{mvb}\ee
  Pomocí Fourierovy transformace určete řešení \sv y
  \rc e $\psi(\vex,t)$, které v~čase $t_0$ má tvar $g(\vex)$, tj.~splňuje počáteční podmínku $\psi(\vex,t_0)=g(\vex),$
  %(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),
  kde $\Re  A>0,\ \vec B\in\C^3,\ C\in\C$.
  \ll{ex:vlnbal}
\ec
 
\bc 
  Nechť \fc e $\psi(x,y,z,t)$ je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že
  \[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp \left\{ -i\frac{Mg}{\hbar}\left(zt+\frac{gt^3}{6}\right) \right\} \, \psi\left(x,y,z+\frac{gt^2}{2},t\right) \]
  je řešením \sv y \rc e pro \cc i v~homogenním gravitačním poli (Avronova-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit?
\ec
 
 
 
\subsection{Bornova interpretace vlnové funkce}
 
Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich
význam, neboli problém \emph{fyzikální interpretace řešení \sv y \rc e}.
 
Zatímco řešení pohybových rovnic klasické mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální 
význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný. Problém interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je rovnicí v~komplexním 
oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce. Podotázkou tohoto problému pak je, zda všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná.
 
Po mnoha marných pokusech interpretovat řešení \sv y \rc e jako silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho 
statistická interpretace (Max Born, 1926):
 
\textbf{Řešení \sv y \rc e udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení částice v~různých oblastech prostoru: Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y 
\rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$ je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice 
v~okamžiku $t$ v~místě s~kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)}
 
\bc
  Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna} v~oblasti $(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$?
\ec
 
\bc
  \ll{casvmvb}
  Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení
  \be \psi(\vex,t) = Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}} \chi(t)^{-3/2}\exp \left\{ -A\frac{\left(\vex-\frac{\vec B}{2A}\right)^2}{\chi(t)} \right\} \ll{mvbt}\ee
  \[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]
  z~příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$? Jak se mění poloha jejího maxima s~časem? Čemu je rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění 
  s~časem? Za jak dlouho se zdvojnásobí \uv{šířka} vlnového balíku pro elektron lokalizovaný s~přesností $1 \ \mathrm{cm}$ a pro hmotný bod o~hmotě 
  $1 \ \mathrm{g}$, jehož těžiště je lokalizováno s~přesností $10^{-6} \ \mathrm{m}$?
  \ll{ex:pstvb}
\ec
 
Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice? Pravděpodobnost nalezení částice v~oblasti $G\subset\R^3$ je úměrná
\[ \int_G |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz. \]
Koeficient úměrnosti je možno nalézt z~požadavku, aby pravděpodobnost nalezení částice \uv{kdekoliv} se rovnala jedné. Tuto podmínku lze snadno 
splnit, položíme-li hustotu pravděpodobnosti rovnou
\be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1} |\psi(x,y,z,t)|^2, \ll{pst} \ee
kde
\be A(\psi) = \int_{\bf \R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz, \ll{norma} \ee
pokud tento integrál existuje.
 
Fyzikálně snadno interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která splňují
\be \int_{\bf \R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz <\infty. \ll{konecnanorma} \ee
Těmi se budeme v~následujícím textu zabývat především.