Verze z 31. 10. 2013, 11:15

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02GMF1}
 
\chapter{Zobrazení indukovaná zobrazením variet, podvariety}
 
\section*{Tečné a kotečné zobrazení}
 
Uvažujme dvě variety $M$ a $N$ a hladké zobrazení $\phi : M \rightarrow N$.
\begin{defi}	
\textbf{Tečné zobrazení} $\phi_\star$ v bodě $p \in M$ indukované zobrazením $\phi$ je takové zobrazení $\phi_\star: \tecn \rightarrow T_{\phi(p)} N$, pro něž platí 
\[ (\forall X \in \tecn)(\forall f \in \CnekA{N})((\phi_\star (X)) f = X (f \circ \phi)).
\]
\end{defi}
 
V souřadnicích $(x^i)$ na $U = U^\circ$, kde $p \in U$, $(y^a)$ na $V = V^\circ$, kde $\phi (p) \in V$, máme $\phi_\star$ vyjádřené předpisem $\phi_\star (X) = (\phi_\star (X))^a  \restr{\pder{y^a}}{\phi (p)}$ a tedy
\[ \fbox{$\phi_\star (X) = X^i \restr{\pderA{\varphi^a}{x^i}}{p} \restr{\pder{y^a}}{\phi (p)}$}
\]
jak vyplývá ze vztahu $(\phi_\star (X))^a = (\phi_\star (X)) y^a = X (\varphi^a (x^i))$, kde $\varphi^a = y^a \circ \phi$, $X = X^i \restr{\pder{x^i}}{p}$.
 
\begin{pozn}
Zobrazení $\phi_\star$ je lineární.
\end{pozn}
 
\begin{defi}
\textbf{Kotečné zobrazení} $\phi^\star$ v bodě $\phi(p) \in N$ indukované zobrazením $\phi$ je takové zobrazení $\phi^\star: T_{\phi (p)}^\ast N \rightarrow \kotecn$, pro něž platí
\[ (\forall X \in \tecn)(\forall \, \omega \in T_{\phi (p)}^\ast N)((\phi^\star (\omega)) X = \omega (\phi_\star (X))).
\]
\end{defi}
 
V souřadnicích $(x^i)$ na $U = U^\circ$, kde $p \in U$, $(y^a)$ na $V = V^\circ$, kde $\phi (p) \in V$, máme pro $\phi^\star$ výrazy $\phi^\star (\omega) = (\phi^\star (\omega))_i \, \restr{\dx^i}{p}$, $\omega = \omega_a \restr{\de{y}^a}{\phi(p)}$, \mbox{$\phi_\star \left( \restr{\pder{x^i}}{p} \right) = \pderA{\varphi^a}{x^i} \restr{\pder{y^a}}{\phi (p)}$} (viz výše), z čehož plyne vztah $(\phi^\star (\omega))_i = \omega \left( \phi_\star \left( \restr{\pder{x^i}}{p} \right) \right) = \omega_a \restr{\pderA{\varphi^a}{x^i}}{p}$ a tedy
\[ \fbox{$\phi^\star (\omega) = \omega_a \restr{\pderA{\varphi^a}{x^i}}{p} \restr{\dx^i}{p}$}
\]
 
Kotečné zobrazení $\phi^\star$ můžeme dále přirozeně rozšířit na $\phi^\star: \Lambda_{\phi (p)}^k N \rightarrow \LambP{k}$ následujícím způsobem:
\[ (\forall X_1, \ldots, X_k \in \tecn)(\forall \, \omega \in \Lambda_{\phi (p)}^k N)((\phi^\star (\omega)) (X_1, \ldots, X_k) = \omega (\phi_\star (X_1), \ldots, \phi_\star (X_k))).
\]
Máme definována zobrazení $\phi_\star$ v bodě $p$, $\phi^\star$ v bodě $\phi(p)$. Lze je rozšířit na zobrazení celého $\cX$, resp. $\Om{\bullet}$? V případě kotečného zobrazení ano. Pro libovolnou $k$-formu $\omega \in \Omega^k (N)$ definujeme $\phi^\star (\omega) \in \Om{k}$ předpisem
\[ (\forall X_1, \ldots, X_k \in \cX)((\phi^\star (\omega))(p) (X_1, \ldots, X_k) = \omega(\phi (p)) (\phi_\star (\restr{X_1}{p}), \ldots, \phi_\star (\restr{X_k}{p}))),
\]
(linearita, antisymetrie, závislost pouze na $X_i (p)$ je zřejmá, hladkost je vidět v lokálních souřadnicích).
 
\begin{pozn}
Dále budeme obvykle místo $\phi_\star (X)$, resp. $\phi^\star (\omega)$, psát $\phi_\star X$, resp. $\phi^\star \omega$.
\end{pozn}
 
\begin{pozn}
%Mějme $\phi: \OmA{\circ}{N} \rightarrow \Om{\circ}$, tj. $\phi: \CnekA{N} \rightarrow \Cnek$. 
Pro $f \in \CnekA{N}$ definujeme $\phi^\star f = f \circ \phi$, z čehož plyne vztah $(\phi_\star X) f = X (\phi^\star f)$.
\end{pozn}
 
\begin{priklad}
Pro $\gamma: \R [t] \rightarrow M$ máme $\gamma_\star \restr{\left( \pder{t} \right)}{t=0} = [\gamma]$. Obecněji: $\gamma_\star \restr{\left( \pder{t} \right)}{t} = \dot{\gamma} (t)$.
\end{priklad}
 
\begin{defi}
Výše zavedené zobrazení $\phi^\star: \Omega^\bullet (N) \rightarrow \Om{\bullet}$ nazýváme \textbf{pullback} při zobrazení $\phi$. 
\end{defi}
 
Naopak $\phi_\star: \cX \rightarrow \cXA{N}$ obecně definovat nelze. Důvody:
\begin{itemize}
\item $(\phi_\star X)(p) \equiv \phi_\star (\restr{X}{p})$ není definován na celém $N$, ale jen na $\phi(M)$,
\item nemusí být korektní: pokud $(\exists p, \tilde{p} \in M)(\phi (p) = \phi (\tilde{p})$ a současně $\phi_\star (X_p) \neq \phi_\star (X_{\tilde{p}}) \in T_{\phi (p)} N)$.
\end{itemize}
 
Pokud je $\phi$ difeomorfizmus, pak $\phi_\star: \cX \rightarrow \cXA{N}$ existuje a je definováno předpisem
\[ (\phi_\star X)(p) = \phi_\star (\restr{X}{p}).
\]
 
Pokud je $\phi$ prosté, je $\phi_\star (X)$ definováno jako prvek $\cXA{\phi (M)}$, kde $\phi (M)$ není nutně otevřená množina. Podobně, pokud pro dané $\phi$ a $X$ nevzniká problém s nejednoznačností, můžeme použít pro výsledek konstrukce bod po bodu označení $\phi_\star (X)$.
 
\begin{pozn}
Máme-li difeomorfizmus $\phi: M \rightarrow N$, můžeme definovat též $\phi^\star : \cXA{N} \rightarrow \cX$ jako
\[ (\phi^\star X) f = X (f \circ \phi^{-1}), \text{ kde } f \in \Cnek, \text{ tj. } \phi^\star X = (\phi^{-1})_\star X, \text{ neboli }  \phi^\star \circ \phi_\star = \restr{id}{\cX}. \label{difeoKotecn}
\]
\end{pozn}
 
\begin{pozn}
Změna souřadnic na $U = U^\circ$ je speciálním případem difeomorfizmu $\varphi (U) \subset \R^n$ na $\tilde{U} \subset \R^n$ a dříve zavedené změny složek vektoru, resp. formy, při změně souřadnic je možné odvodit z obecných vztahů pro tečné, resp. kotečné, zobrazení.
\end{pozn}
 
Při skládání zobrazení $\phi: M \rightarrow N, \ \psi: N \rightarrow O$ dostáváme pro tečné a kotečné zobrazení identity
\[ (\psi \circ \phi)_\star = \psi_\star \circ \phi_\star, \quad (\psi \circ \phi)^\star = \phi^\star \circ \psi^\star.
\]
 
Dosazením do definice vnějšího součinu a z definice $\phi^\star$ dále obdržíme vztah
\[ \fbox{$\phi^\star (\omega_1 \wedge \omega_2) = \phi^\star \omega_1 \wedge \phi^\star \omega_2$}
\]
 
\begin{pozn}
Platí $(\forall \omega \in \OmA{\bullet}{N})(\de{\phi^\star \omega} = \phi^\star \de{\omega})$, tj. (odvození je stejné jako při důkazu nezávislosti $\de{\omega}$ na výběru souřadnic):
\[ \fbox{$\de{}_M \circ \phi^\star = \phi^\star \circ \de{}_N$}
\] \label{kotecVnej}
\end{pozn}
 
\begin{veta}
Buď $\phi: M \rightarrow N$, $p \in M, \ X \in \tecn, \ \omega \in \Lambda_{\phi (p)}^k N$. Pak platí
\[ \phi^\star (i_{\phi_\star (X)} \omega) = i_X (\phi^\star \omega).
\]
\end{veta}
 
\begin{dukaz}
Dosazením.
\end{dukaz}
 
\begin{pozn}
Na $X \in \cX, \ \omega \in \OmA{\bullet}{N}$ lze tvrzení věty aplikovat, pokud je $\phi$ difeomorfizmus. 
\end{pozn}
 
\begin{veta}
Pro difeomorfizmus $\phi: M \rightarrow N$ platí $(X, Y \in \cX)$:
\[ \phi_\star [X,Y] = [\phi_\star (X), \phi_\star (Y)].
\]
\end{veta}
 
\begin{dukaz}
$\forall p \in M, \ \forall f \in \CnekA{N}, \ \phi$ difeomorfizmus, tj. $\phi(M) = N$ a
\begin{align*}
(\phi_\star [X,Y])(\phi (p)) f & = X(Y(f \circ \phi))(p) - Y(X(f \circ \phi))(p)
\\& = X(\phi_\star Y (f) \circ \phi)(p) - Y(\phi_\star X (f) \circ \phi)(p)
\\& = (\phi_\star X (\phi_\star Y (f)) \circ \phi)(p) - (\phi_\star Y (\phi_\star X (f)) \circ \phi)(p)
\\&  = ([\phi_\star X, \phi_\star Y] f)(\phi (p))
\end{align*}
\end{dukaz}
 
\section*{Podvariety}
 
\begin{defi}
Mějme $\phi: M \rightarrow N$ hladké zobrazení. $\phi$ nazýváme \textbf{vnoření} (angl. immersion) $M$ do $N$, pokud $\phi_ \star$ je prosté v každém bodě $p \in M$. $M$ pak nazýváme \textbf{vnořená podvarieta} variety $N$.
\end{defi}
 
\begin{defi}
Pokud $\phi$ je prosté vnoření takové, že $\forall p \in M$ existuje okolí $U = U^\circ \subset N$ bodu $\phi(p)$ a souřadnice $(y^a)_{a=1}^{\dim N}$ na $U$ takové, že $\phi (M) \cap U = \{ q \in U | \, y^a (q) = 0, \, a = 1, \ldots, \dim N - \dim M\}$, nazýváme zobrazení $\phi$ \textbf{vložení} (angl. embedding) a $M$ nazýváme \textbf{(vložená) podvarieta} variety $N$ kodimenze $k$.
\end{defi}
 
\begin{veta}
\textbf{Whitneyho věta o vnoření}: Každá diferencovatelná varieta dimenze $n$ je difeomorfní nějaké vložené $C^\omega$-podvarietě Euklidovského prostoru $\R^{2n}.$ (\textit{Bez důkazu}.)
\end{veta}