Verze z 21. 3. 2013, 21:18

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02GMF1}
 
\chapter{Lieova derivace}
 
Uvažujme tok $\Psi_X$ daného vektorového pole $X\in \cX$. Z definice $\Psi_X$ vyplývá, že $(\forall p \in M)(\forall s, t \in \R)$ taková, že levá strana následujícího výrazu má smysl, platí (viz poznámky \ref{tokZnaceni} a \ref{tokVztah}):
\[ \Psi_X (t, \Psi_X (s, p)) = \Psi_X (t + s, p).
\]
 
\begin{pozn}
Na jistém okolí každého $p \in M$ je pro jisté $\varepsilon$, kde $|t| < \varepsilon$, zobrazení $\Psi_X^t$ difeomorfizmus a tedy na tomto okolí $\exists (\Psi_X^t)^{-1}: (\Psi_X^t)^{-1} = \Psi_X^{-t}$. Pro následující úvahy, kde nás bude zajímat limita $\lim_{t \rightarrow 0}$ v nějakém $p \in M$, lze chápat $\Psi_X^t$ jako difeomorfizmus.
\end{pozn}
 
\begin{defi}
Buď $X \in \cX$, $\omega \in \Om{\bullet}$. Definujeme \textbf{Lieovu derivaci} diferenciální formy $\omega$ ve směru vektorového pole $X$ předpisem
\[ \Lie \omega = \lim_{t \rightarrow 0}  \frac{1}{t} \, (\Psi_X^{t \star} \omega - \omega).
\]
\end{defi}
 
\begin{pozn} %%s tim p v argumentu kotecne zobrazeny omegy to je divny
Tedy $(\forall p \in M)(\Lie \omega (p) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \, ((\Psi_X^{t \star} \omega) (p) - \omega (p)))$.
\end{pozn}
 
\begin{pozn}
$\Lie: \Om{k} \rightarrow \Om{k}$
\end{pozn}
 
\begin{pozn}
Platí $(\forall f \in \Cnek)(\Lie f = X f)$, neboť $(\forall p \in M)(\lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} (f (\Psi_X^t (p)) - f (p)) = X f(p))$.
\end{pozn}
 
\begin{defi}
Buď $X, Y \in \cX$. Definujeme \textbf{Lieovu derivaci} vektorového pole $Y$ ve směru vektorového pole $X$ předpisem
\[ \Lie Y = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \, (\Psi_X^{t \star} (Y) - Y).
\]
\end{defi}
 
\begin{pozn}
$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \,  ( \Psi_{X \star}^{-t} (Y) - Y) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \, \Psi_{X \star}^{-t} (Y - \Psi_{X \star}^t (Y)) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \,  (Y - \Psi_{X \star}^t (Y))$, neboť $\lim_{t \rightarrow 0} \Psi_{X \star}^t (Z) = Z$. Takže $\Lie Y = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \,  (Y - \Psi_{X \star}^t (Y))$.
\end{pozn}
 
\begin{defi}
\textbf{Kovariantní tenzor {\boldmath $T$ $k$}-tého řádu} na varietě $M$ je $k$-lineární (hladké) zobrazení \mbox{$T: (\cX)^k \rightarrow \Cnek$} takové, že $T(X_1, \ldots, X_k)(p)$ závisí pouze na hodnotách $X_1, \ldots, X_k$ v bodě $p$.
\end{defi}
 
\begin{defi}
\textbf{Kontravariantní tenzor {\boldmath $S$ $k$}-tého řádu} na varietě $M$ je $k$-lineární zobrazení takové, že \mbox{$S: (\Om{1})^k \rightarrow \Cnek$} a $S(\omega^1, \ldots, \omega^k)(p)$ závisí pouze na $\omega^1(p), \ldots, \omega^k(p)$.
\end{defi}
 
\begin{pozn}
Pro $\phi: M \rightarrow N$ a kovariatní tenzor $T$ na $N$ definujeme
\[ \phi^\star T (X_1, \ldots, X_k)(p) = T(\phi_\star X_1, \ldots, \phi_\star X_k)(p),
\]
pro difeomorfizmus $\phi: M \rightarrow N$ a kontravariantní tenzor $S$ na $M$ definujeme
\[ \phi_\star S (\omega^1, \ldots, \omega^k) = S (\phi^\star \omega^1, \ldots, \phi^\star \omega^k).
\]
\end{pozn}
 
S pomocí předchozí poznámky definujeme Lieovu derivaci libovolného kovariantního tenzoru na varietě $M$ analogicky k definici Lieovy derivace pro formy. Pro kontravariantní tenzory užijeme definice Lieovy derivace pro vektorová pole.
 
\subsubsection*{Vlastnosti Lieovy derivace}
\begin{enumerate}
\item \fbox{$\de{} \circ \Lie = \Lie \circ \de{}$}, tj. $(\forall \omega \in \Om{\bullet})(\de{\Lie \omega} = \Lie \de{\omega})$ \label{LieVnej}
\item \fbox{$\Lie \circ i_Y = i_Y \circ \Lie + i_{\Lie (Y)}$} \label{LieovaDer}
\item $(\forall \omega, \tau \in \Om{\bullet})(\Lie (\omega \wedge \tau) = \Lie \omega \wedge \tau + \omega \wedge \Lie \tau)$
\item $(\forall Y, Z \in \cX)(\Lie [Y, Z] = [\Lie Y, Z] + [Y, \Lie Z])$ \label{LieKomu}
\end{enumerate}
 
~\\[-0.5cm]%%
 
\begin{pozn} Důkaz vlastnosti \eqref{LieovaDer}:
\begin{align*}
\Lie i_Y \omega & = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \, (\Psi_X^{t \star} i_Y \omega - i_Y \omega) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \, (i_{\Psi_X^{t \star} Y} (\Psi_X^{t \star} \omega) - i_Y \omega)\\
& = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \, (i_{\Psi_X^{t \star} Y} (\Psi_X^{t \star} \omega) - i_{\Psi_X^{t \star} Y}(\omega) + i_{\Psi_X^{t \star} Y} (\omega) - i_Y \omega)\\
& = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t} \, (i_{\Psi_X^{t \star} Y} (\Psi_X^{t \star} \omega - \omega) + i_{\lim_{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}\, (\Psi_X^{t \star} (Y) - Y)} \omega = i_Y (\Lie \omega) + i_{\Lie (Y)} \omega \quad \blacksquare
\end{align*}
\end{pozn}
 
Z bodu \eqref{LieovaDer} dostáváme důsledek $(f \in \Cnek, \Lie \de{f} = \de{(X f)})$: $\Lie (i_Y \de{f}) = i_Y \Lie \de{f} + i_{\Lie (Y)} \de{f}$, tj. $\Lie (Y f) = i_Y (\de{(X f)}) + \Lie (Y) f$, z čehož plyne $X(Y f) = Y (X f) + (\Lie (Y)) f$ neboli
\[\fbox{$\Lie (Y) = [X, Y]$}
\]
Z tohoto vztahu a vlastnosti komutátorů pak plyne vlastnost \eqref{LieKomu}. Vlastnost \eqref{LieVnej} plyne z poznámky \ref{kotecVnej}.
 
\begin{pozn}
Dále je užitečné si uvědomit, že jakékoliv zobrazení $A: \Om{\bullet} \rightarrow \Om{\bullet}$ vyhovující $(\forall \omega, \tau \in \Om{\bullet})(A(\omega \wedge \tau) = (A \omega) \wedge \tau + \omega \wedge (A \tau))$, $\de{} \circ A = A \circ \de{}$, $(\forall f \in \Cnek)(A f = X f)$, už nutně musí být totožné s $\Lie$.
\end{pozn}
 
\begin{dukaz}
$A(\dx^k) = \de{(A x^k)} = \de{(X x^k)} = \Lie (\dx^k)$.
\end{dukaz}
 
\begin{lemma}
Platí \fbox{$i_X (\omega \wedge \tau) = i_X \omega \wedge \tau + (-1)^k \omega \wedge i_X \tau$}, kde $\omega \in \LambP{k}$, $\tau \in \LambP{l}$, $X \in \tecn$.
\end{lemma}
 
\begin{dukaz}
\begin{align*}
i_{X_0}& (\omega \wedge \tau) (X_1,, \dots, X_{k + l -1}) = \sum_{\substack{\overrightharpoon{I} \overrightharpoon{J} \\ |I| = k, |J| = l}} \delta_{(0,1,\ldots,k+l-1)}^{\overrightharpoon{I} \overrightharpoon{J}} \omega (X_{\overrightharpoon{I}}) \tau (X_{\overrightharpoon{J}}) 
= \sum_{0 \in \overrightharpoon{I}} (\dots) + \sum_{0 \in \overrightharpoon{J}} (\dots) \\
& = \sum_{\substack{\overrightharpoon{H} \overrightharpoon{J} \\ |H| = k -1, |J| = l}} \delta_{(1, \ldots, k+l-1)}^{\overrightharpoon{H} \overrightharpoon{J}} \omega (X_0, X_{\overrightharpoon{H}}) \tau (X_{\overrightharpoon{J}}) 
+ \sum_{\substack{\overrightharpoon{I} \overrightharpoon{G} \\ |I| = k, |G| = l-1}} \delta_{(1, \ldots, k+l-1)}^{\overrightharpoon{I} \overrightharpoon{G}} \omega (X_{\overrightharpoon{I}}) \tau (X_0, X_{\overrightharpoon{G}}) (-1)^k \\
& = (i_{X_0} \omega \wedge \tau) (X_1, \ldots, X_{k+l-1}) + (-1)^k (\omega \wedge \ i_{X_0} \tau) (X_1, \ldots, X_{k+l-1})
\end{align*}
\end{dukaz}
 
\begin{veta}
Na $\Om{\bullet}$ platí \fbox{$\Lie = \de{} \circ i_X + i_X \circ \de{}$}
\end{veta}
 
\begin{dukaz}
Využitím předchozí poznámky a lemmatu. Na funkcích $i_X f = 0, \ i_X \de{f} = X f = \Lie f$. Dále
\[\de{} (\de{} \circ \ i_X + i_X \circ \de{}) = \de{}^2 \circ i_X + \de{} \circ i_X \circ \de{} = \de{} \circ i_X \circ \de{} = (\de{} \circ i_X + i_X \circ \de{}) \circ \de{}.
\]
Pro ověření všech vlastností ještě zbývá dokázat asociativitu:
\begin{align*}
(\de{} \circ i_X + i_X \circ \de{}) \, \omega \wedge \tau & = \de{i_X} \omega \wedge \tau + (-1)^k \de{\omega} \wedge i_X \tau + (-1)^{k-1} i_X \omega \wedge \de{\tau} + \omega \wedge \de{i_X}\tau \\
& \quad + i_X \de{\omega} \wedge \tau + (-1)^k i_X \omega \wedge \de{\tau} + (-1)^{k+1} \de{\omega} \wedge i_X \tau + \omega \wedge i_X \de{\tau}\\
& = ((\de{i_X} + i_X \de{}) \omega) \wedge \tau + \omega \wedge ((\de{i_X} + i_X \de{}) \tau)
\end{align*}
\end{dukaz}
 
\begin{dusledek}
Nechť $\omega \in \Om{1}, \ X, Y \in \cX$. Pak platí tzv. \textbf{Cartanův vzorec}
\[ \fbox{$\de{\omega} (X,Y) = X (\omega (Y)) - Y (\omega (X)) - \omega ([X,Y])$}
\]
\end{dusledek}
 
\begin{dukaz} $(i_X \omega \in \Cnek)$
\begin{align*}
\de{\omega} (X,Y) & = i_Y i_X \de{\omega} = i_Y (\Lie \omega - \de{i_X \omega}) = (i_Y \circ \Lie) \omega - Y (\omega (X)) \\ & = (\Lie \circ i_Y) \omega - i_{\Lie (Y)} \omega - Y (\omega (X)) = X (\omega (Y)) - Y (\omega (X)) - \omega ([X,Y])
\end{align*}
\end{dukaz}
 
\begin{veta}
Zobecnění předchozího vzorce ($\omega \in \Om{k}$, stříšky zde znamenají, že se daný prvek jako argument vynechá): 
\begin{align*}
\de{\omega} (X_1, \ldots, X_{k + 1}) = & \sum_{j =1}^{k+1} (-1)^{j-1} X_j (\omega (X_1, \ldots , \hat{X}_j, \dots, X_{k+1}))\\
& + \sum_{\substack{i, j = 1 \\ i < j}}^{k+1} (-1)^{i+j} \omega ([X_i, X_j], X_1, \ldots, \hat{X}_i, \ldots, \hat{X}_j, \ldots, X_{k+1}).
\end{align*}
\end{veta}
 
\begin{dukaz}
Indukcí s využitím: $i_{X_{k+1}} \ldots i_{X_1} \de{\omega} = - i_{X_{k+1}} \ldots i_{X_2} \de{f_{X_1}} \omega \, + \, i_{X_{k+1}} \ldots i_{X_3} (i_{X_2} \mathscr{L}_{X_1} \omega) = \ldots \ $, kde \\ $i_{X_2} \mathscr{L}_{X_1} \omega = \mathscr{L}_{X_1} i_{X_2} \omega - i_{[X_1, X_2]} \omega$, atd.
\end{dukaz}
 
\begin{pozn}
Levá strana předchozího vzorce závisí jen na $\restr{X_i}{p}$, výrazy na pravé straně závisí i na $X_i$ v okolí $p \in M$. Z odvození ovšem vyplývá, že celá pravá strana závisí jen na $\restr{X_i}{p}$.
\end{pozn}
 
\begin{veta}
\fbox{$[\Lie , \LieA{Y}] = \LieA{[X, Y]}$}
\end{veta}
 
\begin{dukaz}
Pro funkce a vektorová pole zřejmé, pro formy:
\begin{align*}
\Lie \LieA{Y} - \LieA{Y} \Lie & = \de{i_X} \de{i_Y} + \de{i_X} i_Y \de{} + i_X \de{}^2 i_Y + i_X \de{i_Y} \de{} - \de{i_Y} \de{i_X} - \de{i_Y} i_X \de{} - i_Y \de{}^2 i_X - i_Y \de{i_X} \de{}\\
& = \de{} \circ \Lie \circ i_Y - \de{i_Y} \circ \Lie + \Lie \circ i_Y \circ \de{} - i_Y \circ \Lie \circ \de{}\\
& = \de{i_{[X,Y]}} + i_{[X,Y]} \de{} = \LieA{[X,Y]}
\end{align*}
Lze též jinak: $[i_X \de{} + \de{i_X} \LieA{Y}] = \ldots = - i_{\LieA{Y}(X)} \de{} - \de{i_{\LieA{Y}(X)}}$
\end{dukaz}