02KVAN:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02KVAN} | %\wikiskriptum{02KVAN} | ||
− | \section{Časový vývoj kvantové částice}\ll{Casovyvyvoj} | + | \section{Časový vývoj kvantové částice} |
+ | \ll{Casovyvyvoj} | ||
− | Veškeré úvahy v kapitolách \ref{Popisstavu} a | + | Veškeré úvahy v~kapitolách \ref{Popisstavu} a \ref{Vysledkymereni} se týkaly stavu v~daném časovém okamžiku. Nyní se vrátíme k~důsledkům plynoucím |
− | \ref{Vysledkymereni} se týkaly stavu v daném časovém okamžiku. | + | z~časového vývoje, který je v~\qv é \mi ce dán \sv ou \rc í |
− | Nyní se vrátíme k důsledkům plynoucím z časového vývoje, | + | \be i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi. \ll{SRH} \ee |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | který | + | |
− | dán \sv ou \rc í | + | |
− | \be i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi. \ll{SRH | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | \subsection{Rovnice kontinuity} | |
− | + | Definujeme-li vedle hustoty \pst i $\rho(\vex,t):=\psi^*(\vex,t) \psi(\vex,t)$ také \emph{hustotu toku \pst i} | |
− | + | \begin{equation} | |
− | \ | + | \vec{j}(\vex,t):=\frac{i\hbar}{2M}[\psi(\vex,t) \vec{\nabla}\psi^*(\vex,t) -\psi^*(\vex,t) \vec{\nabla}\psi(\vex,t)], |
− | pak | + | \ll{tokpsti} |
− | + | \end{equation} | |
− | + | pak je snadné ukázat, že pro tyto veličiny platí \emph{rovnice kontinuity} | |
− | + | \begin{equation} | |
− | + | \frac{\partial\rho}{\partial t}(\vex,t) + \div \vec{j}(\vex,t)=0. | |
− | + | \ll{rcekont} | |
− | + | \end{equation} | |
− | \ | + | Důsledkem rovnice kontinuity je, že \textbf{normalizace vlnové funkce nezávisí na čase}. Přesnější vyjádření tohoto faktu je dáno rovností |
+ | \begin{equation} \frac{d}{dt}(\psi,\psi)=0 \ll{neznat} \end{equation} | ||
+ | plynoucí z~rovnice kontinuity pro funkce $\psi$, které spolu se svými derivacemi jdou v~nekonečnu dostatečně rychle k~nule. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | \subsection{Stacionární stavy} | |
− | + | Důležitou třídou stavů klasické mechaniky jsou rovnovážné stavy, neboli statická řešení pohybových rovnic $x(t)=x(t_0)$. Jejich obdobou | |
− | + | v~\qv é \mi ce jsou tzv.~\emph{stacionární stavy}. Tyto stavy jsou popsány vlnovými funkcemi $\psi(\vex,t)$, pro které střední hodnota | |
− | + | libovolné pozorovatelné nezávisí na čase. Jinými slovy pro ně musí platit | |
+ | \be \frac{d}{dt}\langle\hat{A}\rangle_{\psi}=0 \ee | ||
+ | pro libovolný samosdružený operátor, který explicitně nezávisí na čase. | ||
− | \ | + | Je snadné ukázat, že pokud \qv á \cc e je popsána vlnovou \fc í, která se v~různých časech liší pouze faktorem nezávislým na $\vex$ |
+ | \begin{equation} | ||
+ | \psi (\vex,t)=C(t)\psi (\vex,t_0), | ||
+ | \ll{stacstav} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | pak faktor $C(t)$ je fyzikálně nepodstatný, neboť neovlivní žádné fyzikálně interpretovatelné výsledky jako je pravděpodobnost nalezení | ||
+ | v~místě $\vex$, pravděpodobnost přechodu do jiného stavu v~důsledku měření, ani střední hodnotu operátoru ve stavu $\psi$. Znamená to tedy, | ||
+ | že stavy popsané vlnovými funkcemi \rf{stacstav} jsou stacionární. | ||
− | + | Na pravé straně \sv y \rc e \rf{SRH} stojí operátor energie --- hamiltonián. Není tedy překvapivé, že vlastní stavy operátoru energie budou | |
− | + | hrát v~časovém vývoji \qv ě \mi ckých stavů důležitou roli. Pro vlnové \fc e \rf{stacstav} lze snadno ukázat, že pokud vyhovují \sv ě \rc i, | |
− | + | pak jsou vlastními stavy energie a $C(t)=C(t_0)e^{-iE(t-t_0)/\hbar}$. Ze \sv y \rc e totiž plyne | |
− | + | \begin{equation} | |
− | + | C(t)\hat{H} \psi(\vex,t_0)= i\hbar \dot C(t) \psi(\vex,t_0). | |
− | + | \end{equation} | |
− | \ | + | Odtud dostáváme, že $\psi(\vex,t_0)$ je vlastní \fc í hamiltoniánu s~vlastní hodnotou $E=i\hbar\dot C(t)/C(t)$ a výše uvedený tvar \fc e $C(t)$. |
− | + | ||
− | \ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | Na druhé straně, víme-li, že \cc e v~čase $t_0$ je ve stavu $\psi_E $ |
+ | \begin{equation} | ||
+ | \hat{H}\psi_E=E\psi_E, | ||
+ | \ll{vlstham} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | pak v~tomto stavu zůstane do té doby, dokud není ovlivněna nějakým vnějším zásahem (například měřením veličiny nekompatibilní s~energií), neboť | ||
+ | řešením \sv y \rc e \rf{SRH} s~počáteční podmínkou \rf{vlstham} je | ||
+ | \be | ||
+ | \fbox{$\psi_E(\vex,t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\psi_E(\vec x)$}\ . | ||
+ | \ee | ||
+ | Z~právě uvedených důvodu se vlastní stavy operátoru energie nazývají {stacionární stavy} a rovnice pro vlastní hodnoty \rf{vlstham} se často | ||
+ | nazývá \emph{bezčasová \sv a \rc e.} | ||
− | + | Za jistých velmi obecných předpokladů (unitarita časového vývoje, viz \cite{for:ukt}) lze ukázat i opak, totiž že všechny \textbf{stacionární | |
− | byl jeden z důvodů, proč jsme v předchozích kapitolách | + | stavy jsou vlastními stavy hamiltoniánu.} |
− | hledali vlastní stavy operátorů | + | |
− | energie, | + | Jednoduchý časový vývoj stacionárních stavů je možno využít i pro popis časového vývoje nestacionárních stavů, tj.~řešení \sv y \rc e |
− | harmonický oscilátor | + | s~počáteční podmínkou zadanou \fc í, která není vlastní funkcí hamiltoniánu. Stačí k~tomu, aby existovala ortonormální baze $\{e_n\}$, jejíž |
+ | prvky jsou vlastními stavy hamiltoniánu. Pak je možno zapsat počáteční vlnovou \fc i způsobem | ||
+ | \be \psi(\vex)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vex) \ll{rozklg0}\ee | ||
+ | a odpovídající řešení \sv y \rc e je | ||
+ | \be \psi(\vex,t)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vex)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}(t-t_0)}. \ll{rozklgt}\ee | ||
+ | Neznamená to však, že stav rozložený podle stacionárních stavů je stacionárním, neboť koeficient u~každé komponenty má jinou časovou závislost. | ||
+ | |||
+ | Vyjímečnost stacionárních stavů byl jeden z~důvodů, proč jsme v~předchozích kapitolách hledali vlastní stavy operátorů energie, pro některé | ||
+ | fyzikálně zajímavé případy jako byl harmonický oscilátor či částice v~Coulombově poli. | ||
\bc | \bc | ||
− | Nechť Hamiltonián kvantového systému má čistě bodové spektrum. Na systému byla naměřena hodnota $a$ pozorovatelné $A$, která má | + | Nechť Hamiltonián kvantového systému má čistě bodové spektrum. Na systému byla naměřena hodnota $a$ pozorovatelné $A$, která má čistě bodové |
+ | spektrum, přičemž $a$ je nedegenerovaná vlastní hodnota. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme stejnou hodnotu, budeme-li měření opakovat po | ||
+ | čase $t$? | ||
\ec | \ec | ||
− | \bc Nechť částice hmoty $M$ v jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky $2a$ je v čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í | + | \bc |
− | \[ \psi(x,0)=0,\ | + | Nechť částice hmoty $M$ v~jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky $2a$ je v~čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í (která je |
− | Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v čase $t=0$ a $t=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar}$ bude nacházet v intervalu (-a,0)? | + | superpozicí stacionárních stavů) |
+ | \[ | ||
+ | \psi(x,0)=0,\ \mathrm{pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin[\frac{\pi}{2a}(x-a)]+\sin[\frac{\pi}{a}(x-a)],\ \mathrm{pro} \ |x|<a. | ||
+ | \] | ||
+ | Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v~čase $t=0$ a $t=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar}$ bude nacházet v~intervalu $(-a,0)$? | ||
\ec | \ec | ||
− | + | ||
+ | |||
+ | |||
\subsection{Integrály pohybu, časová derivace operátoru, Ehrenfestovy teorémy} | \subsection{Integrály pohybu, časová derivace operátoru, Ehrenfestovy teorémy} | ||
− | V klasické mechanice známe | + | V~klasické mechanice známe zachovávající se veličiny --- integrály pohybu, jejichž hodnota se během časového vývoje systému nemění, přestože |
− | integrály pohybu, jejichž hodnota se během časového | + | jsou funkcemi jiných, časově proměnných veličin jako je například poloha či hybnost \cc e. |
− | vývoje systému nemění, přestože jsou funkcemi jiných, časově proměnných | + | |
− | veličin jako je například poloha či hybnost \cc e. | + | |
− | |||
− | I v \qv é \mi ce lze definovat integrály pohybu. | + | I v~\qv é \mi ce lze definovat integrály pohybu. Jejich definici však nelze převzít z~klasické \mi ky, neboť zatím všechny operátory |
− | Jejich definici však nelze převzít z klasické \mi ky, neboť | + | odpovídající fyzikálním veličinám jsou nezávislé na čase. |
− | zatím všechny operátory odpovídající fyzikálním veličinám jsou | + | |
− | nezávislé na čase. | + | |
\special{src: 141 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | \special{src: 141 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel | ||
− | Zavedeme | + | Zavedeme proto nejdříve užitečný pojem časové derivace operátoru: Nechť $\hat{A}$ je samosdružený operátor. \emph{Časovou derivací operátoru} |
− | operátoru: Nechť $\hat A$ je samosdružený operátor. | + | $\hat{A}$ nazveme operátor označený $\hat{\frac{dA}{dt}}$, definovaný jako |
− | $\hat {\frac{dA}{dt}}$, definovaný jako | + | \be |
− | \be {\LARGE \fbox{$ \hat {\frac{dA}{dt}}:=\frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A] + | + | {\LARGE \fbox{$ \hat{\frac{dA}{dt}} := \frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A] + \frac{\partial\hat A}{\partial t} $ }}\ . |
− | \frac{\partial\hat A}{\partial t} $ }}\ . \ll{casderoper}\ee | + | \ll{casderoper} |
− | Poslední člen na pravé straně je nenulový pouze tehdy závisí-li akce operátoru na čase, s čímž se setkáváme jen zřídka. Důvodem pro tuto definici je, že | + | \ee |
− | pro všechna $\psi$, která leží v nějakém uzavřeném podprostoru hustém v | + | Poslední člen na pravé straně je nenulový pouze tehdy závisí-li akce operátoru na čase, s~čímž se setkáváme jen zřídka. Důvodem pro tuto definici |
− | $\hil$ platí | + | je, že pro všechna $\psi$, která leží v~nějakém uzavřeném podprostoru hustém v~$\hil$ platí |
− | \be \frac{d}{dt} | + | \be |
− | Provedeme-li totiž (poněkud formálně) časovou | + | \frac{d}{dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi}=\left\langle \hat{\frac{dA}{dt}} \right\rangle_\psi. |
− | derivaci na levé straně \rf{casderop} | + | \ll{casderop} |
− | \ | + | \ee |
− | (\frac{\partial\psi}{\partial t},\hat A\psi) | + | Provedeme-li totiž (poněkud formálně) časovou derivaci na levé straně \rf{casderop} dostaneme |
− | +(\psi,\frac{\partial\hat A}{\partial t}\psi) | + | \begin{equation} |
− | +(\psi,\hat A\frac{\partial\psi}{\partial t})\right].\ | + | \frac{d}{dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi} |
− | a ze \sv y \rc e pak plyne vztah | + | = (\psi,\psi)^{-1}\left[ (\frac{\partial\psi}{\partial t},\hat A\psi) |
− | \bc Nalezněte operátor rychlosti pro \cc i v poli konzervativních | + | + (\psi,\frac{\partial\hat A}{\partial t}\psi) |
− | sil. | + | + (\psi,\hat A\frac{\partial\psi}{\partial t})\right]. |
+ | \end{equation} | ||
+ | a ze \sv y \rc e pak plyne vztah \rf{casderop}. | ||
+ | |||
+ | \bc | ||
+ | Nalezněte operátor rychlosti pro \cc i v poli konzervativních sil. | ||
\ec | \ec | ||
− | \bc Ukažte jak závisí na čase střední kvadratická odchylka souřadnice jednorozměrného harmonického oscilátoru. | + | \bc |
+ | Ukažte jak závisí na čase střední kvadratická odchylka souřadnice jednorozměrného harmonického oscilátoru. | ||
\ec | \ec | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | \emph{Integrálem pohybu v \qv é \mi ce} nazveme operátor $\hat A$, pro který $\hat {\frac{dA}{dt}}=0$. Pro \textbf{operátory, které nejsou | |
− | + | explicitně závislé na čase} to znamená, že \textbf{jsou integrály pohybu, pokud komutují s~$\hat H$.} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | \ | + | Speciálním případem vztahů \rf{casderop} a \rf{casderoper} jsou tzv.~Ehrenfestovy teorémy. Zvolíme-li za operátor $\hat A$ operátor souřadnice |
+ | či hybnosti dostaneme | ||
+ | \be | ||
+ | \frac{d}{dt} \langle \hat Q_j \rangle_{\psi} = \left\langle \hat{\frac{P_j}{M}} \right\rangle_\psi, | ||
+ | \ll{ehrx} | ||
+ | \ee | ||
+ | \be | ||
+ | \frac{d}{dt} \langle \hat P_j \rangle_{\psi} = \left\langle {\widehat{-\frac {\partial V}{\partial x_j}}} \right\rangle_\psi. | ||
+ | \ll{ehrp} | ||
+ | \ee | ||
+ | Tyto vztahy připomínají do jisté míry Hamiltonovy rovnice klasické mechaniky. První z~nich říká, že časová derivace střední hodnoty souřadnice | ||
+ | ve stavu $\psi$ je rovna střední hodnotě \uv{operátoru rychlosti} $\hat P_j/M$. Analogie je úplná pokud pravá strana \rf{ehrp} je rovna hodnotě | ||
+ | síly v~bodě $\langle \hat Q_j \rangle_{\psi}$, neboli pokud | ||
+ | \[ | ||
+ | \left\langle {\widehat{-\frac {\partial V}{\partial x_j}}} \right\rangle_\psi = -\frac {\partial V}{\partial x_j}(\langle \vec X \rangle_\psi). | ||
+ | \] | ||
+ | To je splněno pouze pro potenciály, které jsou maximálně kvadratickou funkcí souřadnic. Pro obecnější typy potenciálů je souvislost Ehrenfestových | ||
+ | teorémů s~pohybovými rovnicemi klasické mechaniky mnohem složitější (viz \cite[kap.~1.7]{kv:qm} a \cite[kap.~3.5]{for:ukt}) a očekávaná shoda | ||
+ | s~klasickou teorií nastává až pro stavy s~dostatečně velkou energií. |
Verze z 31. 8. 2011, 08:29
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:38 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:39 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Poznámka | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:40 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Charakteristické rysy kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:41 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zrod kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:48 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Jednoduché kvantové systémy | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:49 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Příprava stavu kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:09 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Kvantová částice v centrálně symetrickém potenciálu | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:57 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobecněné vlastní funkce | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:58 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Bra-ketový formalismus a posunovací operátory | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Předpovědi výsledků měření | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Časový vývoj kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:01 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Částice v elektromagnetickém poli. Spin | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:02 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Systémy více částic | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:03 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:36 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Potenciálový rozptyl, tunelový jev | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:05 | kapitola14.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:06 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:blackbody.pdf | blackbody.pdf |
Image:s1s2.png | s1s2.png |
Image:s1full.png | s1full.png |
Image:s2full.png | s2full.png |
Image:wavefull.png | wavefull.png |
Image:ballfull.png | ballfull.png |
Image:roz1.pdf | roz1.pdf |
Image:roz2.pdf | roz2.pdf |
Image:fine_structure.pdf | fine_structure.pdf |
Image:zeeman_FS.pdf | zeeman_FS.pdf |
Image:tunel_prob.pdf | tunel_prob.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN} \section{Časový vývoj kvantové částice} \ll{Casovyvyvoj} Veškeré úvahy v~kapitolách \ref{Popisstavu} a \ref{Vysledkymereni} se týkaly stavu v~daném časovém okamžiku. Nyní se vrátíme k~důsledkům plynoucím z~časového vývoje, který je v~\qv é \mi ce dán \sv ou \rc í \be i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi. \ll{SRH} \ee \subsection{Rovnice kontinuity} Definujeme-li vedle hustoty \pst i $\rho(\vex,t):=\psi^*(\vex,t) \psi(\vex,t)$ také \emph{hustotu toku \pst i} \begin{equation} \vec{j}(\vex,t):=\frac{i\hbar}{2M}[\psi(\vex,t) \vec{\nabla}\psi^*(\vex,t) -\psi^*(\vex,t) \vec{\nabla}\psi(\vex,t)], \ll{tokpsti} \end{equation} pak je snadné ukázat, že pro tyto veličiny platí \emph{rovnice kontinuity} \begin{equation} \frac{\partial\rho}{\partial t}(\vex,t) + \div \vec{j}(\vex,t)=0. \ll{rcekont} \end{equation} Důsledkem rovnice kontinuity je, že \textbf{normalizace vlnové funkce nezávisí na čase}. Přesnější vyjádření tohoto faktu je dáno rovností \begin{equation} \frac{d}{dt}(\psi,\psi)=0 \ll{neznat} \end{equation} plynoucí z~rovnice kontinuity pro funkce $\psi$, které spolu se svými derivacemi jdou v~nekonečnu dostatečně rychle k~nule. \subsection{Stacionární stavy} Důležitou třídou stavů klasické mechaniky jsou rovnovážné stavy, neboli statická řešení pohybových rovnic $x(t)=x(t_0)$. Jejich obdobou v~\qv é \mi ce jsou tzv.~\emph{stacionární stavy}. Tyto stavy jsou popsány vlnovými funkcemi $\psi(\vex,t)$, pro které střední hodnota libovolné pozorovatelné nezávisí na čase. Jinými slovy pro ně musí platit \be \frac{d}{dt}\langle\hat{A}\rangle_{\psi}=0 \ee pro libovolný samosdružený operátor, který explicitně nezávisí na čase. Je snadné ukázat, že pokud \qv á \cc e je popsána vlnovou \fc í, která se v~různých časech liší pouze faktorem nezávislým na $\vex$ \begin{equation} \psi (\vex,t)=C(t)\psi (\vex,t_0), \ll{stacstav} \end{equation} pak faktor $C(t)$ je fyzikálně nepodstatný, neboť neovlivní žádné fyzikálně interpretovatelné výsledky jako je pravděpodobnost nalezení v~místě $\vex$, pravděpodobnost přechodu do jiného stavu v~důsledku měření, ani střední hodnotu operátoru ve stavu $\psi$. Znamená to tedy, že stavy popsané vlnovými funkcemi \rf{stacstav} jsou stacionární. Na pravé straně \sv y \rc e \rf{SRH} stojí operátor energie --- hamiltonián. Není tedy překvapivé, že vlastní stavy operátoru energie budou hrát v~časovém vývoji \qv ě \mi ckých stavů důležitou roli. Pro vlnové \fc e \rf{stacstav} lze snadno ukázat, že pokud vyhovují \sv ě \rc i, pak jsou vlastními stavy energie a $C(t)=C(t_0)e^{-iE(t-t_0)/\hbar}$. Ze \sv y \rc e totiž plyne \begin{equation} C(t)\hat{H} \psi(\vex,t_0)= i\hbar \dot C(t) \psi(\vex,t_0). \end{equation} Odtud dostáváme, že $\psi(\vex,t_0)$ je vlastní \fc í hamiltoniánu s~vlastní hodnotou $E=i\hbar\dot C(t)/C(t)$ a výše uvedený tvar \fc e $C(t)$. Na druhé straně, víme-li, že \cc e v~čase $t_0$ je ve stavu $\psi_E $ \begin{equation} \hat{H}\psi_E=E\psi_E, \ll{vlstham} \end{equation} pak v~tomto stavu zůstane do té doby, dokud není ovlivněna nějakým vnějším zásahem (například měřením veličiny nekompatibilní s~energií), neboť řešením \sv y \rc e \rf{SRH} s~počáteční podmínkou \rf{vlstham} je \be \fbox{$\psi_E(\vex,t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\psi_E(\vec x)$}\ . \ee Z~právě uvedených důvodu se vlastní stavy operátoru energie nazývají {stacionární stavy} a rovnice pro vlastní hodnoty \rf{vlstham} se často nazývá \emph{bezčasová \sv a \rc e.} Za jistých velmi obecných předpokladů (unitarita časového vývoje, viz \cite{for:ukt}) lze ukázat i opak, totiž že všechny \textbf{stacionární stavy jsou vlastními stavy hamiltoniánu.} Jednoduchý časový vývoj stacionárních stavů je možno využít i pro popis časového vývoje nestacionárních stavů, tj.~řešení \sv y \rc e s~počáteční podmínkou zadanou \fc í, která není vlastní funkcí hamiltoniánu. Stačí k~tomu, aby existovala ortonormální baze $\{e_n\}$, jejíž prvky jsou vlastními stavy hamiltoniánu. Pak je možno zapsat počáteční vlnovou \fc i způsobem \be \psi(\vex)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vex) \ll{rozklg0}\ee a odpovídající řešení \sv y \rc e je \be \psi(\vex,t)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vex)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}(t-t_0)}. \ll{rozklgt}\ee Neznamená to však, že stav rozložený podle stacionárních stavů je stacionárním, neboť koeficient u~každé komponenty má jinou časovou závislost. Vyjímečnost stacionárních stavů byl jeden z~důvodů, proč jsme v~předchozích kapitolách hledali vlastní stavy operátorů energie, pro některé fyzikálně zajímavé případy jako byl harmonický oscilátor či částice v~Coulombově poli. \bc Nechť Hamiltonián kvantového systému má čistě bodové spektrum. Na systému byla naměřena hodnota $a$ pozorovatelné $A$, která má čistě bodové spektrum, přičemž $a$ je nedegenerovaná vlastní hodnota. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme stejnou hodnotu, budeme-li měření opakovat po čase $t$? \ec \bc Nechť částice hmoty $M$ v~jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky $2a$ je v~čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í (která je superpozicí stacionárních stavů) \[ \psi(x,0)=0,\ \mathrm{pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin[\frac{\pi}{2a}(x-a)]+\sin[\frac{\pi}{a}(x-a)],\ \mathrm{pro} \ |x|<a. \] Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v~čase $t=0$ a $t=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar}$ bude nacházet v~intervalu $(-a,0)$? \ec \subsection{Integrály pohybu, časová derivace operátoru, Ehrenfestovy teorémy} V~klasické mechanice známe zachovávající se veličiny --- integrály pohybu, jejichž hodnota se během časového vývoje systému nemění, přestože jsou funkcemi jiných, časově proměnných veličin jako je například poloha či hybnost \cc e. I v~\qv é \mi ce lze definovat integrály pohybu. Jejich definici však nelze převzít z~klasické \mi ky, neboť zatím všechny operátory odpovídající fyzikálním veličinám jsou nezávislé na čase. \special{src: 141 CASVYVOJ.SEC} %Inserted by TeXtelmExtel Zavedeme proto nejdříve užitečný pojem časové derivace operátoru: Nechť $\hat{A}$ je samosdružený operátor. \emph{Časovou derivací operátoru} $\hat{A}$ nazveme operátor označený $\hat{\frac{dA}{dt}}$, definovaný jako \be {\LARGE \fbox{$ \hat{\frac{dA}{dt}} := \frac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A] + \frac{\partial\hat A}{\partial t} $ }}\ . \ll{casderoper} \ee Poslední člen na pravé straně je nenulový pouze tehdy závisí-li akce operátoru na čase, s~čímž se setkáváme jen zřídka. Důvodem pro tuto definici je, že pro všechna $\psi$, která leží v~nějakém uzavřeném podprostoru hustém v~$\hil$ platí \be \frac{d}{dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi}=\left\langle \hat{\frac{dA}{dt}} \right\rangle_\psi. \ll{casderop} \ee Provedeme-li totiž (poněkud formálně) časovou derivaci na levé straně \rf{casderop} dostaneme \begin{equation} \frac{d}{dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi} = (\psi,\psi)^{-1}\left[ (\frac{\partial\psi}{\partial t},\hat A\psi) + (\psi,\frac{\partial\hat A}{\partial t}\psi) + (\psi,\hat A\frac{\partial\psi}{\partial t})\right]. \end{equation} a ze \sv y \rc e pak plyne vztah \rf{casderop}. \bc Nalezněte operátor rychlosti pro \cc i v poli konzervativních sil. \ec \bc Ukažte jak závisí na čase střední kvadratická odchylka souřadnice jednorozměrného harmonického oscilátoru. \ec \emph{Integrálem pohybu v \qv é \mi ce} nazveme operátor $\hat A$, pro který $\hat {\frac{dA}{dt}}=0$. Pro \textbf{operátory, které nejsou explicitně závislé na čase} to znamená, že \textbf{jsou integrály pohybu, pokud komutují s~$\hat H$.} Speciálním případem vztahů \rf{casderop} a \rf{casderoper} jsou tzv.~Ehrenfestovy teorémy. Zvolíme-li za operátor $\hat A$ operátor souřadnice či hybnosti dostaneme \be \frac{d}{dt} \langle \hat Q_j \rangle_{\psi} = \left\langle \hat{\frac{P_j}{M}} \right\rangle_\psi, \ll{ehrx} \ee \be \frac{d}{dt} \langle \hat P_j \rangle_{\psi} = \left\langle {\widehat{-\frac {\partial V}{\partial x_j}}} \right\rangle_\psi. \ll{ehrp} \ee Tyto vztahy připomínají do jisté míry Hamiltonovy rovnice klasické mechaniky. První z~nich říká, že časová derivace střední hodnoty souřadnice ve stavu $\psi$ je rovna střední hodnotě \uv{operátoru rychlosti} $\hat P_j/M$. Analogie je úplná pokud pravá strana \rf{ehrp} je rovna hodnotě síly v~bodě $\langle \hat Q_j \rangle_{\psi}$, neboli pokud \[ \left\langle {\widehat{-\frac {\partial V}{\partial x_j}}} \right\rangle_\psi = -\frac {\partial V}{\partial x_j}(\langle \vec X \rangle_\psi). \] To je splněno pouze pro potenciály, které jsou maximálně kvadratickou funkcí souřadnic. Pro obecnější typy potenciálů je souvislost Ehrenfestových teorémů s~pohybovými rovnicemi klasické mechaniky mnohem složitější (viz \cite[kap.~1.7]{kv:qm} a \cite[kap.~3.5]{for:ukt}) a očekávaná shoda s~klasickou teorií nastává až pro stavy s~dostatečně velkou energií.