Matematika1Priklady:Kapitola1: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{Matematika1Priklady} | %\wikiskriptum{Matematika1Priklady} | ||
\section{Limity} | \section{Limity} | ||
+ | |||
+ | \subsection*{\fbox{Rozcvička}} | ||
+ | V této krátké části jsou příklady, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce a tudíž nejsou číslovány. | ||
+ | |||
+ | \begin{itemize} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{1} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to \pi} \frac{\sin{x}}{x-\pi} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{-1} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 0} x \cot{3x} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{1}{3}$} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 1} \frac{\ln{x}}{x^2-1} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{1}{2}$} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 0} \frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-1} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{2} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 5}{ 4x^2 + 3x -7} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{3}{4}$} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^4-16} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{3}{8}$} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x^2+2x-15} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{3}{4}$} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{1} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 0} x \cot{x} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{1} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 0} \frac{\sin{5x}}{x} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{5} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 5} \frac{x^2-4x-5}{x^2-7x+10} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{2} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to +\infty} \frac{5x^3 - x^2 +3}{x^3+6x^2-4} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{5} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-2}{4x-4} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{3}{4}$} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2{x} - 1}{x^2} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{-1} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 3} \frac{x^2+x-12}{9-3x} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$ - \frac{7}{3}$} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 0} \frac{\cos{x} - 1}{x^2} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$- \frac{1}{2}$} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-1}{5x^3} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\frac{1}{5}$} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x}{8-x^3} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$- \frac{1}{6}$} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to 2} \frac{3x^3-10x-4}{4-x^2} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$- \frac{13}{2}$} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to -1} \frac{2x^2-6x-8}{2x^3+2} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$- \frac{5}{3}$} | ||
+ | |||
+ | \item \begin{priklad} | ||
+ | \lim_{x \to a} \frac{\sin{x} - \sin{a}}{x - a} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | \res{$\cos{a}$} | ||
+ | |||
+ | \end{itemize} | ||
+ | |||
+ | \subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}} | ||
+ | |||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\odstavec{L'Hospitalovo pravidlo zakázáno} | \odstavec{L'Hospitalovo pravidlo zakázáno} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 11: | Řádka 131: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{1} | \res{1} | ||
− | + | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 18: | Řádka 138: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{2} | \res{2} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 24: | Řádka 144: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac34$} | \res{$\frac34$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 30: | Řádka 150: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac56$} | \res{$\frac56$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 36: | Řádka 156: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac14$} | \res{$\frac14$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 42: | Řádka 162: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{1} | \res{1} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 48: | Řádka 168: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac13$} | \res{$\frac13$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 54: | Řádka 174: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{neex} | \res{neex} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 60: | Řádka 180: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{-5} | \res{-5} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 66: | Řádka 186: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac14$} | \res{$\frac14$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 72: | Řádka 192: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$-\frac{1}{16}$} | \res{$-\frac{1}{16}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 78: | Řádka 198: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{1} | \res{1} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 84: | Řádka 204: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac43$} | \res{$\frac43$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 90: | Řádka 210: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{8}{33}$} | \res{$\frac{8}{33}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 96: | Řádka 216: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac18$} | \res{$\frac18$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 102: | Řádka 222: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac12$} | \res{$\frac12$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 108: | Řádka 228: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$-\infty$} | \res{$-\infty$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 114: | Řádka 234: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac14$} | \res{$\frac14$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 120: | Řádka 240: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac12$} | \res{$\frac12$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 126: | Řádka 246: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{4}{3}$} | \res{$\frac{4}{3}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 132: | Řádka 252: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{-1} | \res{-1} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 138: | Řádka 258: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{4}{3}$} | \res{$\frac{4}{3}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 144: | Řádka 264: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{1}{2}$} | \res{$\frac{1}{2}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 150: | Řádka 270: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$ -\frac{1}{16}$} | \res{$ -\frac{1}{16}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 156: | Řádka 276: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{-3} | \res{-3} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 162: | Řádka 282: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{2}{\pi}$} | \res{$\frac{2}{\pi}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 168: | Řádka 288: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{\sqrt{3}}{3}$} | \res{$\frac{\sqrt{3}}{3}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 174: | Řádka 294: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{1} | \res{1} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 180: | Řádka 300: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{0} | \res{0} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 186: | Řádka 306: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{3} | \res{3} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 192: | Řádka 312: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{3} | \res{3} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 198: | Řádka 318: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{2} | \res{2} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 204: | Řádka 324: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{3}{4}$} | \res{$\frac{3}{4}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 210: | Řádka 330: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{1}{4}$} | \res{$\frac{1}{4}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 216: | Řádka 336: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{1}{4}$} | \res{$\frac{1}{4}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 222: | Řádka 342: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{10} | \res{10} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 228: | Řádka 348: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{0} | \res{0} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 234: | Řádka 354: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{4} | \res{4} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 240: | Řádka 360: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{\sqrt{2}}{2}$} | \res{$\frac{\sqrt{2}}{2}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 246: | Řádka 366: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{-5} | \res{-5} | ||
− | + | ||
\item \begin{priklad} | \item \begin{priklad} | ||
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2}}{\sin{x}} | \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2}}{\sin{x}} | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{\sqrt{2}}{4}$} | \res{$\frac{\sqrt{2}}{4}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 257: | Řádka 377: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$-\frac{1}{2}$} | \res{$-\frac{1}{2}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 263: | Řádka 383: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{12}{5}$} | \res{$\frac{12}{5}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 269: | Řádka 389: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{10}{3}$} | \res{$\frac{10}{3}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 275: | Řádka 395: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{4} | \res{4} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 281: | Řádka 401: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{0} | \res{0} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 287: | Řádka 407: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{6} | \res{6} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 293: | Řádka 413: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{0} | \res{0} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 299: | Řádka 419: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{-5} | \res{-5} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 305: | Řádka 425: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{8}{33}$} | \res{$\frac{8}{33}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 311: | Řádka 431: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{1}{2}$} | \res{$\frac{1}{2}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 317: | Řádka 437: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{1}{4}$} | \res{$\frac{1}{4}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 323: | Řádka 443: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{8} | \res{8} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 329: | Řádka 449: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{0} | \res{0} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 335: | Řádka 455: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{-12} | \res{-12} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 341: | Řádka 461: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$-\frac{\sqrt{2}}{2}$} | \res{$-\frac{\sqrt{2}}{2}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 347: | Řádka 467: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$- \frac{1}{2}$} | \res{$- \frac{1}{2}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 353: | Řádka 473: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{\cos{a}}{2a}$} | \res{$\frac{\cos{a}}{2a}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 359: | Řádka 479: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{0} | \res{0} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 365: | Řádka 485: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{1}{2}$} | \res{$\frac{1}{2}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 371: | Řádka 491: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{2}{3}$} | \res{$\frac{2}{3}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 377: | Řádka 497: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{2}{3}$} | \res{$\frac{2}{3}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 383: | Řádka 503: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{4} | \res{4} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 389: | Řádka 509: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{3} | \res{3} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 395: | Řádka 515: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$-\frac{1}{2}$} | \res{$-\frac{1}{2}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 401: | Řádka 521: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{1}{2}$} | \res{$\frac{1}{2}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 407: | Řádka 527: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{-2} | \res{-2} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 413: | Řádka 533: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{3}{2}$} | \res{$\frac{3}{2}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 419: | Řádka 539: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{1} | \res{1} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 425: | Řádka 545: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{1}{4}$} | \res{$\frac{1}{4}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 431: | Řádka 551: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$6$} | \res{$6$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 437: | Řádka 557: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\sqrt{2}$} | \res{$\sqrt{2}$} | ||
− | + | ||
− | + | ||
\odstavec{L'Hostpitalovo pravidlo povoleno} | \odstavec{L'Hostpitalovo pravidlo povoleno} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 446: | Řádka 566: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{1}{\pi^2}$} | \res{$\frac{1}{\pi^2}$} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 452: | Řádka 572: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$-1$} | \res{$-1$} | ||
− | + | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 459: | Řádka 579: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$1$} | \res{$1$} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 465: | Řádka 585: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$+\infty$} | \res{$+\infty$} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 471: | Řádka 591: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{2}{\pi}$} | \res{$\frac{2}{\pi}$} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 477: | Řádka 597: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{-1} | \res{-1} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 483: | Řádka 603: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{1} | \res{1} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 489: | Řádka 609: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{-1} | \res{-1} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 495: | Řádka 615: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{1}{2}$} | \res{$\frac{1}{2}$} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 501: | Řádka 621: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$+\infty$} | \res{$+\infty$} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 507: | Řádka 627: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{neex} | \res{neex} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 513: | Řádka 633: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$-\sqrt{2}$} | \res{$-\sqrt{2}$} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 519: | Řádka 639: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{3}{\sqrt{2}}$} | \res{$\frac{3}{\sqrt{2}}$} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 525: | Řádka 645: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$-1$} | \res{$-1$} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 531: | Řádka 651: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{1}{4}$} | \res{$\frac{1}{4}$} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 537: | Řádka 657: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{-1} | \res{-1} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 543: | Řádka 663: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{3}{2}$} | \res{$\frac{3}{2}$} | ||
− | + | ||
\item \bezlh | \item \bezlh | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 549: | Řádka 669: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{0} | \res{0} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 555: | Řádka 675: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{neex} | \res{neex} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 561: | Řádka 681: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{-1} | \res{-1} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 567: | Řádka 687: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$-5!$} | \res{$-5!$} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
− | \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2x^2-1}{2x^2+1} \right)^{\frac{x}{x+1}} | + | \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2x^2-1}{2x^2+1} \right)^{\frac{x+2}{x+1}} |
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$1$} | \res{$1$} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
− | \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{3x^2-1}{2x^2+1} \right)^{\frac{2x}{x+1}} | + | \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{3x^2-1}{2x^2+1} \right)^{\frac{1+2x}{x+1}} |
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
− | \res{$\ | + | \res{$\frac94$} |
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 585: | Řádka 705: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$1$} | \res{$1$} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 591: | Řádka 711: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{\pi}{4}$} | \res{$\frac{\pi}{4}$} | ||
− | + | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 598: | Řádka 718: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$-\frac{\pi}{4}$} | \res{$-\frac{\pi}{4}$} | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 604: | Řádka 724: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{\pi}{2}$} | \res{$\frac{\pi}{2}$} | ||
− | + | ||
− | + | ||
\item | \item | ||
\begin{priklad} | \begin{priklad} | ||
Řádka 611: | Řádka 731: | ||
\end{priklad} | \end{priklad} | ||
\res{$\frac{\pi}{2}$} | \res{$\frac{\pi}{2}$} | ||
− | + | ||
− | + | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} |
Verze z 1. 7. 2011, 15:51
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika1Priklady
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika1Priklady | Fucikrad | 18. 9. 2011 | 08:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:44 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 27. 4. 2022 | 09:11 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Limity a spojitost | Pitrazby | 25. 10. 2016 | 09:25 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Derivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptoty | Dvoraro3 | 4. 11. 2022 | 22:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vyšetřování funkcí | Admin | 29. 1. 2023 | 20:44 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Extremální úlohy, konvexnost, konkávnost, inflexe | Admin | 3. 4. 2024 | 11:17 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Neurčité integrály a primitivní funkce | Dvoraro3 | 28. 11. 2022 | 23:16 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Určité integrály | Pitrazby | 28. 4. 2016 | 12:29 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Aplikace integrálů | Fucikrad | 12. 4. 2022 | 10:53 | kapitola7.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1Priklady} \section{Limity} \subsection*{\fbox{Rozcvička}} V této krátké části jsou příklady, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce a tudíž nejsou číslovány. \begin{itemize} \item \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1} \end{priklad} \res{1} \item \begin{priklad} \lim_{x \to \pi} \frac{\sin{x}}{x-\pi} \end{priklad} \res{-1} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0} x \cot{3x} \end{priklad} \res{$\frac{1}{3}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 1} \frac{\ln{x}}{x^2-1} \end{priklad} \res{$\frac{1}{2}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-1} \end{priklad} \res{2} \item \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 5}{ 4x^2 + 3x -7} \end{priklad} \res{$\frac{3}{4}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^4-16} \end{priklad} \res{$\frac{3}{8}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x^2+2x-15} \end{priklad} \res{$\frac{3}{4}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x} \end{priklad} \res{1} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0} x \cot{x} \end{priklad} \res{1} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sin{5x}}{x} \end{priklad} \res{5} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 5} \frac{x^2-4x-5}{x^2-7x+10} \end{priklad} \res{2} \item \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \frac{5x^3 - x^2 +3}{x^3+6x^2-4} \end{priklad} \res{5} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-2}{4x-4} \end{priklad} \res{$\frac{3}{4}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2{x} - 1}{x^2} \end{priklad} \res{-1} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 3} \frac{x^2+x-12}{9-3x} \end{priklad} \res{$ - \frac{7}{3}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\cos{x} - 1}{x^2} \end{priklad} \res{$- \frac{1}{2}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-1}{5x^3} \end{priklad} \res{$\frac{1}{5}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x}{8-x^3} \end{priklad} \res{$- \frac{1}{6}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 2} \frac{3x^3-10x-4}{4-x^2} \end{priklad} \res{$- \frac{13}{2}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to -1} \frac{2x^2-6x-8}{2x^3+2} \end{priklad} \res{$- \frac{5}{3}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to a} \frac{\sin{x} - \sin{a}}{x - a} \end{priklad} \res{$\cos{a}$} \end{itemize} \subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}} \begin{enumerate} \odstavec{L'Hospitalovo pravidlo zakázáno} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin^8 x - \sin^3 x}{\sin^5 x + 1 - \cos^2 x + \sin^7 x} \end{priklad} \res{1} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\sin^2 x}+\sqrt{1-\cos^2 x}}{|x|} \end{priklad} \res{2} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 3x^2+3x+2}{x^3+3x^2+4x+4} \end{priklad} \res{$\frac34$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{x^3+2x^2+5x}{(x^2+6)\sin x} \end{priklad} \res{$\frac56$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tg x} - \sqrt{1+\sin x}}{x^3} \end{priklad} \res{$\frac14$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x} \end{priklad} \res{1} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 5} \frac{x^2 + 2x-35}{x^3-3x^2-9x-5} \end{priklad} \res{$\frac13$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2x}{x\sqrt{1-\cos^2x}} \end{priklad} \res{neex} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to -2} \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2+3x+2} \end{priklad} \res{-5} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{2x^2-1} - \frac{x^2}{2x+1} \end{priklad} \res{$\frac14$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+13} - 2 \sqrt{x+1}}{x^2-9} \end{priklad} \res{$-\frac{1}{16}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} x~\hbox{tg}{\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )} \end{priklad} \res{1} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{1+x \sin x} - \sqrt{\cos x}} \end{priklad} \res{$\frac43$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 2} \frac{x^3-4x}{x^4+x-18} \end{priklad} \res{$\frac{8}{33}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 2} \frac{1-\cos(x-2)}{x^3-2x^2-4x+8} \end{priklad} \res{$\frac18$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \frac{\sinh x}{\cosh x + \sinh x} \end{priklad} \res{$\frac12$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to -\infty} \frac{\sinh x}{\cosh x + \sinh x} \end{priklad} \res{$-\infty$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^2} \end{priklad} \res{$\frac14$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x + \sin^8 x - \cos^3 x}{\sin^5 x + 1 - \cos^2 x + \sin^7 x} \end{priklad} \res{$\frac12$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x} - 2} \end{priklad} \res{$\frac{4}{3}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1} \end{priklad} \res{-1} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{1+x \sin{x}} - \sqrt{\cos{x}}} \end{priklad} \res{$\frac{4}{3}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\tg{x} - \sin{x}}{\sin^3{x}} \end{priklad} \res{$\frac{1}{2}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 4} \big( \frac{1}{x} - \frac{1}{4} \big) \big(\frac{1}{x-4} \big) \end{priklad} \res{$ -\frac{1}{16}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{x^2-3x}{\tg{x}} \end{priklad} \res{-3} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 1} (1-x) \tg{(x \frac{\pi}{2})} \end{priklad} \res{$\frac{2}{\pi}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin{(x-\frac{\pi}{3})}}{1-2\cos{x}} \end{priklad} \res{$\frac{\sqrt{3}}{3}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}_-} \frac{\frac{\pi}{2} - x}{\sin{x} \cos{x}} \end{priklad} \res{1} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to \pi} \frac{\tg{x} - \sin{x}}{\cos ^3{x}} \end{priklad} \res{0} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 1} \frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-1} \end{priklad} \res{3} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{1- \cos{2x} + \tg^2{x}}{x \sin{x}} \end{priklad} \res{3} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x}{\sqrt{x} - 1} \end{priklad} \res{2} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \frac{5-2x+ 3x^2}{3x-7+ 4x^2 } \end{priklad} \res{$\frac{3}{4}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \Big( \frac{x^3}{2x^2-1} - \frac{x^2}{2x+1}\Big) \end{priklad} \res{$\frac{1}{4}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{6+x} - 2}{x+2} \end{priklad} \res{$\frac{1}{4}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^5 - (1+5x)}{x^2+x^5} \end{priklad} \res{10} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x} - x}{\sin{x} + x} \end{priklad} \res{0} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{\sqrt{x+2} - 2} \end{priklad} \res{4} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos{x} - \sin{x}}{1-\tg{x}} \end{priklad} \res{$\frac{\sqrt{2}}{2}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + 5x^4 - x^2 +3}{4-x^3+6x^2-x^4} \end{priklad} \res{-5} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2}}{\sin{x}} \end{priklad} \res{$\frac{\sqrt{2}}{4}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\cos{x} - 1}{1-\cos{x}^2} \end{priklad} \res{$-\frac{1}{2}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9+2x} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2} \end{priklad} \res{$\frac{12}{5}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \Big( \frac{\sin{3x}}{x} + \frac{\sin{x}}{3x}\Big) \end{priklad} \res{$\frac{10}{3}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to -1} \frac{x^2-2x-3}{x^2+x^3-2x-2} \end{priklad} \res{4} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 5} \frac{25 + x^2 -10x}{x^3 -9x- 3x^2-5} \end{priklad} \res{0} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to -1} \frac{x+1}{\sqrt{10+x} - 3} \end{priklad} \res{6} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{1- \cos{x}}{\tg{x}} \end{priklad} \res{0} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to -2} \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2+3x+2} \end{priklad} \res{-5} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 2} \frac{x^3-4x}{x^4+x-18} \end{priklad} \res{$\frac{8}{33}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{\sin{x}} \end{priklad} \res{$\frac{1}{2}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1} \end{priklad} \res{$\frac{1}{4}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sin{4x}}{\sqrt{x+1}-1} \end{priklad} \res{8} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos^2{x}}{x(1+\cos{x})} \end{priklad} \res{0} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{\sqrt{3x} - 3} \end{priklad} \res{-12} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x} - \cos{x}}{\cos{2x}} \end{priklad} \res{$-\frac{\sqrt{2}}{2}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to \pi} \frac{\sqrt{1-\tg{x}} - \sqrt{1+\tg{x}}}{\sin{2x}} \end{priklad} \res{$- \frac{1}{2}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to a} \frac{\sin{x} - \sin{a}}{x^2 - a^2} \end{priklad} \res{$\frac{\cos{a}}{2a}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \Big( \frac{1}{\sin{x}} - \frac{1}{\tg{x}}\Big) \end{priklad} \res{0} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \Big( \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} - \tg^2{x} \Big) \end{priklad} \res{$\frac{1}{2}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} \end{priklad} \res{$\frac{2}{3}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x}}{x} \end{priklad} \res{$\frac{2}{3}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+1} -1}{\sqrt{x^2+16} -4} \end{priklad} \res{4} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \end{priklad} \res{3} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x} - \tg{x}}{\sin^3{x}} \end{priklad} \res{$-\frac{1}{2}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt[3]{1+2x} + 1}{ \sqrt[3]{2+x} + x} \end{priklad} \res{$\frac{1}{2}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to -8} \frac{\sqrt{1-x} - 3}{2+\sqrt[3]{x}} \end{priklad} \res{-2} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x}} \end{priklad} \res{$\frac{3}{2}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt[3]{x^3-2x^2}}{x+1} \end{priklad} \res{1} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\tg{x}} - \sqrt{1+\sin{x}}}{x^3} \end{priklad} \res{$\frac{1}{4}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x} \end{priklad} \res{$6$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-\cos(x^2)}}{1-\cos{x}} \end{priklad} \res{$\sqrt{2}$} \odstavec{L'Hostpitalovo pravidlo povoleno} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\ln\cos x}{\ln\cos(\pi x)} \end{priklad} \res{$\frac{1}{\pi^2}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\cosh{x}-1}{\cos{x}-1} \end{priklad} \res{$-1$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sinh(x)}{\sin{x}} \end{priklad} \res{$1$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x - e^{-x}}{x+\frac{1}{x}} \end{priklad} \res{$+\infty$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 1} ~(1-x)\tg\left(x\frac{\pi}{2}\right) \end{priklad} \res{$\frac{2}{\pi}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(4e^{-x})}{x} \end{priklad} \res{-1} \item \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2} \end{priklad} \res{1} \item \begin{priklad} \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2-x+1} \end{priklad} \res{-1} \item \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x} - x \end{priklad} \res{$\frac{1}{2}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2+x} - x \end{priklad} \res{$+\infty$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 2} \big( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{|x-2|} \big) \end{priklad} \res{neex} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0_-} \frac{\cos{x}\sqrt{1-\cos{2x}}}{x} \end{priklad} \res{$-\sqrt{2}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-\cos{3x}}}{\sqrt{1-\cos^2{x}}} \end{priklad} \res{$\frac{3}{\sqrt{2}}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \tg{(2x)} \ln{(\tg{x})} \end{priklad} \res{$-1$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{\ln{\cos{x}}}{\ln{\cos{(2x)}}} \end{priklad} \res{$\frac{1}{4}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-e^{2x}}{x} \end{priklad} \res{-1} \item \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+3x-1} - x \end{priklad} \res{$\frac{3}{2}$} \item \bezlh \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+1} - \sqrt{x} \end{priklad} \res{0} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{4x^2-5x-x^3+2}}{x^2-1} \end{priklad} \res{neex} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 1} \Big( \frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3}\Big) \end{priklad} \res{-1} \item \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \frac{(1-x)(1-2x)(1-3x)(1-4x)(1-5x)}{(x-1)^5} \end{priklad} \res{$-5!$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2x^2-1}{2x^2+1} \right)^{\frac{x+2}{x+1}} \end{priklad} \res{$1$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{3x^2-1}{2x^2+1} \right)^{\frac{1+2x}{x+1}} \end{priklad} \res{$\frac94$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} x \left(\ln(x+1)-\ln x \right) \end{priklad} \res{$1$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \arctg \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \end{priklad} \res{$\frac{\pi}{4}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to -\infty} \arctg \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \end{priklad} \res{$-\frac{\pi}{4}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to 1_-} \arctg \frac{1}{1-x} \end{priklad} \res{$\frac{\pi}{2}$} \item \begin{priklad} \lim_{x \to +\infty} \arcsin\frac{x}{x+1} \end{priklad} \res{$\frac{\pi}{2}$} \end{enumerate}