Verze z 7. 9. 2010, 12:36

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section {Další termodynamické veličiny}
 
\subsection{Tepelná kapacita}
 \label{chap:TepKap}
Dodáváme-li během nějakého procesu $(L)$ do systému teplo, mění se obecně 
jeho teplota. Množství tepla, které je třeba při daném procesu dodat, aby
se teplota změnila o jeden stupeň, nazýváme \index{kapacita, tepelná}\emph{tepelná kapacita} a značíme
 
$$C_{(L)} = \termderiv{Q}{T}{(L)}$$
 
Připomeňme, že se zabýváme pouze kvazistatickými procesy. Jelikož teplo není
úplným diferenciálem, záleží na tom, o jaký proces se jedná. Bez určení
procesu $(L)$ nemá pojem tepelné kapacity vůbec smysl. 
 
Libovolnou tepelnou kapacitu můžeme snadno vypočítat, známe-li entropii. \\
Vezmeme-li totiž nějakou zatím blíže neurčenou proměnnou $L$, pak platí, že
 
$$dS = \frac{\eth Q}{T} \qquad \Rightarrow \qquad \eth Q = T \termderiv{S}{T}{L}dT + 
T\termderiv{S}{L}{T}dL$$
\bigskip
 
a zároveň
 
$$\eth Q = \termderiv{Q}{T}{L}dT + \termderiv{Q}{L}{T}dL$$
\bigskip
 
Jelikož ale $L$ je konstantní a tudíž $dL = 0$, platí, že
 
$$C_{(L)} = \termderiv{Q}{T}{L} = T\termderiv{S}{T}{L}$$
\bigskip
 
Vezměme nejprve izochorickou tepelnou kapacitu ($dV = 0$). Protože
 
$$\eth Q = dU + \eth W = \termderiv{U}{T}{V}dT \+ 
   \left[ p \+ \termderiv{U}{V}{T} \right] \overbrace{dV}^0$$
 
platí, že
 
$$C_V = \termderiv{Q}{T}{V} = \termderiv{U}{T}{V}$$
 
\bigskip
 
Nyní zapišme izobarickou tepelnou kapacitu ($dp = 0$). Využijme faktu, že 
ze stavové rovnice je možné napsat objem jako funkce tlaku a teploty
a aplikujme pravidlo řetězení. Potom máme:
 
$$dV = \termderiv{V}{T}{p}dT \+ \termderiv{V}{p}{T} \overbrace{dp}^0 =
     \termderiv{V}{T}{p}dT$$
 
 
$$\eth Q = dU + \eth W = \termderiv{U}{T}{V}dT \+ 
   \left[ p + \termderiv{U}{V}{T} \right]dV = $$
$$ = \left( \termderiv{U}{T}{V} \+ \left[ p \+ \termderiv{U}{V}{T} \right].
\termderiv{V}{T}{p}\right) dT$$
 
Z čehož plyne, že
 
$$C_p = \termderiv{U}{T}{V} \+ \left[ p \+ \termderiv{U}{V}{T} \right] .
  \termderiv{V}{T}{p}$$
\bigskip
 
Potom dostáváme \index{vztah, Mayerův, zobecněný}\emph{zobecněný Mayerův vztah}
 
$$C_p - C_V = \left[ p + \termderiv{U}{V}{T} \right].\termderiv{V}{T}{p} 
\overbrace{=}^{\bigstar\bigstar\bigstar\bigstar\text{ vztah}} T\termderiv{p}{T}{V}\termderiv{V}{T}{p}$$
\bigskip
 
Pro derivace tepelných kapacit platí následující vztahy:
 
 
$$\termderiv{C_V}{V}{T} = -\pderivx{}{V}\left[T\left(\pderivxx{F}{T}\right)_{V}\right]_T = -T\left[\pderivxx{}{T}\termderiv{F}{V}{T}\right]_V = T\left(\pderivxx{p}{T}\right)_V$$
 \bigskip
Při odvození jsme použili  Maxwellových vztahů a za $C_V$ jsem dosadili
 
$$C_V = T\termderiv{S}{T}{V}$$
 
 
 Zcela analogickým postupem dostaneme
 
$$\termderiv{C_p}{p}{T} =  -\pderivx{}{p}\left[T\left(\pderivxx{G}{T}\right)_{p}\right]_T = -T\left(\pderivxx{V}{T}\right)_p$$
\bigskip  
 
Tyto dva vztahy nám říkají že závislost $C_V, C_p$ na vnějších parametrech se dá určit ze stavové rovnice. Závislost na $T$ se ze stavové rovnice určit nedá.  
 
 
Definujme ještě další termodynamické veličiny:
 
\index{roztažnost, izobarická}\subsection {Izobarická roztažnost}
$$\beta _p=\frac{1}{V}\termderiv{V}{T}{p}$$
 Takže při konstantním tlaku přibližně platí
 
$$V \approx  V_0(1+\beta_p \Delta T)$$
 Podobně i pro další veličiny. 
 
\index{roztažnost, izoentropická}\subsection{Izoentropická (adiabatická) roztažnost}
$$\beta _S=\frac{1}{V}\termderiv{V}{T}{S}$$
 
 
\index{stlačitelnost, izotermická}\subsection{Izotermická stlačitelnost}
$$\varepsilon _T=-\frac{1}{V}\termderiv{V}{p}{T}$$
 
\index{stlačitelnost, izoentropická}\subsection{Izoentropická (adiabatická) stlačitelnost}
$$\varepsilon _S=-\frac{1}{V}\termderiv{V}{p}{S}$$
 
\index{rozpínavost, izochorická}\subsection{Izochorická rozpínavost}
$$\gamma _V= \frac{1}{p}\termderiv{p}{T}{V}$$