Verze z 7. 9. 2010, 12:26

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
 
\section{Kanonický soubor}
\index{soubor, kanonický}
\label{kansoub}
 
V reálném případě nelze pozorovat absolutně uzavřený systém. Obvykle zkoumáme systémy, které nějakým způsobem
interagují se svým okolím. Nás budou nyní zajímat takové, které jsou s okolím v rovnováze. Takové 
okolí je například lázeň (termostat), ve které se nachází náš systém.
 
Vezměme si třeba plyn v nádobě. Jeho částice narážejí do stěn a předávají svou energii molekulám nádoby. Probíhá 
samozřejmě i opačný proces --- nádoba předává energii molekulám plynu. Následkem toho není energie v systému
konstantní, ale fluktuuje kolem nějaké střední hodnoty. Vezměme tedy vnitřní energii jako veličinu 
popisující systém. Potom
 
$$  U  \equiv \<H\>= \suma{\gamma}{}w_\gamma E_\gamma$$
 
Hodnoty $E_\gamma$ jsou hodnotami hamiltoniánu systému ve stavu $\gamma$. Lagrangeův multiplikátor příslušný k energii označme $\beta$ (konvence). 
 
\emph{Kanonický soubor} proto definujeme jako soubor systémů o stejné \uv{teplotě} $\beta$  a konstantních počtech částic jednotlivých komponent.
 
 
Pak:
 
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[t]{|ll|}
 
\hline
 
Veličiny kanonického souboru & \\ \hline
 
$Z_C = \suma{\gamma}{}\exp( -\beta H_\gamma) = \suma{\gamma}{}\exp(-\beta E_\gamma)$ & Kanonická partiční funkce \tabularnewline[12pt]
$w_\gamma = \frac{1}{Z_C}\exp( -\beta H_\gamma) = \frac{1}{Z_C}\exp(-\beta E_\gamma)$ & Nejpravděpodobnější rozdělení \tabularnewline[12pt]
 
$U = - \pderivx{(\ln Z_C)}{\beta}$ &  Vnitřní energie \tabularnewline[12pt]
$S(U) = k_B \ln Z_C + k_B\beta U$ &  Entropie\tabularnewline[12pt]
$\left<(U - H_\gamma)^2\right>  = \left<H_\gamma^2\right>  - \left<H_\gamma\right> ^2 = \pderivxx{(\ln Z_c)}{\beta}$ & Fluktuace stř. h. energie\tabularnewline[12pt]
 
\hline
 
\end{tabular}
\end{center}
 
 
\begin{remark}
 
Některé energetické stavy mohou být degenerované, tj. několika mikrostavům může náležet stejná hodnota energie. Pak se zavádí
tzv. \index{koeficient, degenerace}\emph{koeficient degenerace} $g_n$, který udává počet stavů pro $n$-tou hladinu energie, a partiční fce je pak suma přes 
všechny hodnoty energie:
 
$$Z_C = \suma{E_n}{}g_n \exp(-\beta E_n)$$
 
\end{remark}