Aktuální verze z 1. 8. 2010, 11:47
Součásti dokumentu 02TSFA
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Měření Poissonovy konstanty}
\index{konstanta, Poissonova, měření}
Uveďme dvě zajímavé možnosti jak změřit Poissonovu konstantu.
\emph{Dynamická metoda}
Vezměme nádobu s plynem opatřenou pístem. Parametry nádoby nechť jsou
známy: objem $V$, plocha dna (a tedy i pístu) $S$ a hmotnost pístu $m$. Pro tlak v nádobě $p$ platí
$$ p_a S + mg = p_0 S$$
\bigskip
kde $p_a$ je atmosférický tlak a $g$ gravitační zrychlení. Nechme píst vykonávat malé kmity.
Musí být dost rychlé, aby celý proces byl adiabatický a nedocházelo při jednotlivých oscilacích
k termalizaci s okolím.
$$ p_0 = p_a + \frac{mg}{S}$$
je rovnovážný tlak, který je v nádobě, pokud se píst nepohybuje. Mezi rovnovážným tlakem
a okamžitým tlakem platí vztah
$$p V ^\varkappa = p_0 V_0 ^\varkappa$$
neboť kmitání je (jak jsme již řekli) adiabatický proces. Po dosazení za $p_0$
$$p V ^ \varkappa = \left(p_a + \frac{mg}{S}\right) V_0 ^\varkappa \quad \Leftrightarrow \quad
p = \left( p_a + \frac{mg}{S}\right) \left(\frac{V_0}{V} \right) ^ \varkappa$$
Označme výchylku jako $z = \frac{V - V_0}{S}$, kde $V_0$ značí objem válce, je-li píst
v klidu (rovnovážný objem). Protože $V = V_0 + zS$, pohybová rovnice pístu je
$$m \ddot{z} = F = (p - p_0) \: . \: S = ( S p_a + mg) \left(\frac{V_0}{V_0 + zS}\right)^\varkappa-
(S p_a + mg)$$
\bigskip
Pro malé výchylky lze aproximovat
$$ \left(\frac{V_0}{V_0 + zS}\right)^\varkappa \approx 1 - \frac{\varkappa zS}{V_0}$$
a dostáváme rovnici
$$m \ddot{z} - \frac{\varkappa S}{ V_0 } (S p_a + mg)z = 0$$
\bigskip
Což je ale rovnice harmonického oscilátoru s frekvencí
$$f = \frac{1}{2 \pi } \sqrt{ \left(p_a + \frac{mg}{S}\right) \frac{S^2 \varkappa}{V_0 m} }$$
Z čehož vyjádříme vztah pro $\varkappa$:
$$\varkappa = \frac{4 \pi^2 f^2 m V_0}{p_a S^2 + mgS}$$
\bigskip
Změříme-li tedy frekvenci kmitání pístu, dostaneme Poissonovu konstantu.
\emph{Z rychlosti zvuku}
Zvuk se ve vzduchu šíří rychlostí
$$v_z = \sqrt{\frac{1}{\varrho \varepsilon _S}}$$
kde $\varepsilon _S = - \frac{1}{V}\termderiv{V}{p}{S}$ je adiabatická stlačitelnost.
K tomuto vzorci se dostaneme pomocí metod mechaniky kontinua následujícím způsobem:
\bigskip
Vezměme Eulerovu rovnici a rovnici kontinuity
$$\pderivx{\vec{v}}{t} + (\vec{v} \nabla)\vec{v} = \vec{g} - \frac{1}{\varrho} \mathop{\rm grad}(p)$$
$$\pderivx{\varrho}{t} + \nabla(\varrho \vec{v}) = 0$$
kde $\vec{g}$ je vnější pole (např. gravitační). Předpokládejme nyní, že vnější pole je
nulové a změny rychlosti velmi malé, tj. zanedbáme člen $(\vec{v} \nabla)\vec{v}$. Dále
předpokládejme, že tlak a hustou lze rozepsat jako malé poruchy středních hodnot (Taylorův
rozvoj do prvních řádů):
$$\varrho = \varrho _0 + \varrho ' (x_i,t) = \varrho_0 + \pderivx{\varrho}{x_i}x_i$$
$$p = p _0 + p' (x_i,t) = p_0 + \pderivx{p}{x_i}x_i$$
\bigskip
Tyto výrazy upravíme následovně:
$$\varrho - \varrho _0 = \varrho ' = \pderivx{\varrho}{x_i}x_i$$
$$x_i = \frac{p - p_0}{\pderivx{p}{x_i}} = \frac{p'}{\pderivx{p}{x_i}} $$
\bigskip
a dosadíme druhý do prvního:
$$\varrho ' = \pderivx{\varrho}{x_i}\frac{p'}{\pderivx{p}{x_i}} = p' \pderivx{\varrho}{x_i}
\pderivx{x_i}{p} = p' \left(\pderivx{\varrho}{p}\right)_S$$
\bigskip
Vztah $p ' = \varrho' \left( \pderivx{p}{\varrho} \right)_S$ dosadíme do osekané
Eulerovy rovnice a rovnice kontinuity
$$\pderivx{v_i}{t} + \frac{1}{\varrho}\pderivx{p}{x_i} = 0$$
$$\pderivx{\varrho}{t} + \pderivx{\varrho v_i}{x_i} = 0$$
\bigskip
Nyní si jednak uvědomme, že $\varrho = \varrho_0 + \varrho '$ a tedy $d \varrho = d \varrho'$
a také si řekněme, že hustotu již znovu nebudeme derivovat, protože bychom dostali
poruchy druhého řádu. Předpokládejme proto, že
$$d \varrho = d \varrho'\:, \quad d p = d p'\:, \quad \varrho = \varrho _0$$
\bigskip
Také nezapomeňme, že $\left(\pderivx{p}{\varrho}\right)_S$ je konstanta. Tedy dosaďme:
$$ \pderivx{v_i}{t} + \frac{1}{\varrho_0}\pderivx{p'}{x_i} =
\pderivx{v_i}{t} + \frac{1}{\varrho_0}\left(\pderivx{p}{\varrho}\right)_S\pderivx{\varrho'}{x_i} = 0 $$
$$\pderivx{\varrho '}{t} + \pderivx{\varrho _0 v_i}{x_i} =
\pderivx{\varrho '}{t} + \varrho _0\pderivx{v_i}{x_i} = 0$$
\bigskip
Zajímají nás pouze změny hustoty (což je zvuk), a proto si je vyjádříme. Zderivujme první
rovnici podle $x_i$ a druhou podle $t$:
$$\pderivxy{v_i}{x_i}{t} + \frac{1}{\varrho _0}\left( \pderivx{p}{\varrho} \right)_S
\pderivxx{\varrho '}{x_i} = 0$$
$$\pderivxx{\varrho '}{t} + \varrho _0\pderivxy{v_i}{t}{x_i} = 0$$
\bigskip
Zaměňme druhé derivace $v_i$, vyjádřeme $\pderivxy{v_i}{x_i}{t}$ z jedné rovnice, dosaďme
do druhé a získáme
$$ \pderivxx{\varrho '}{t} - \termderiv{p}{\varrho}{S}\pderivxx{\varrho}{x_i^2} = 0$$
\bigskip
což je ale vlnová rovnice, kde člen $\termderiv{p}{\varrho}{S}$ vyjadřuje čtverec rychlosti
šíření vlny. Tedy
$$v_z = \sqrt{\termderiv{p}{\varrho}{S}}$$
Dále platí, že
$$\left(\pderivx{p}{\varrho}\right)_S = \termderiv{p}{V}{S}\termderiv{V}{\varrho}{S}$$
\bigskip
a jelikož $\varrho = \frac{m}{V}$ a tudíž $\left(\pderivx{V}{\varrho}\right)_S = \derivx{V}{\rho} = - \frac{m}{\varrho ^2}$,
je
$$\left( \derivx{p}{\varrho} \right) = - \frac{V^2}{m}\termderiv{p}{V}{} =
-\frac{V}{\varrho}\termderiv{p}{V}{} = \frac{1}{\varrho \varepsilon _S}$$
\bigskip
kde $\varepsilon _S$ je adiabatická stlačitelnost. Potom
$$v_z = \sqrt{\frac{1}{\varrho \varepsilon _s}} $$
Máme tedy pěkný vzorec, ale nevyskytuje se v něm $\varkappa$. S tím si ale snadno
poradíme, neboť platí
$$\frac{1}{\varepsilon _S} = \frac{\varkappa}{\varepsilon _T}$$
To dokážeme z definic a pomocí jakobiánů:
$$\varkappa =\frac{c_p}{c_v} = \frac{T\termderiv{S}{T}{p}}{T\termderiv{S}{T}{V}} =
\djac{S}{p}{T}{p} \djac{T}{V}{S}{V} = $$
$$ = \djac{T}{V}{T}{p} \djac{p}{S}{V}{S} =
\djac{V}{T}{p}{T}\djac{p}{S}{V}{S} = \termderiv{V}{p}{T} \termderiv{p}{V}{S}
= \frac{\varepsilon _T}{\varepsilon _S}$$
\bigskip
Potom tedy
$$v_z = \sqrt{ \frac{\varkappa}{\varrho \varepsilon _T} } \qquad \Rightarrow \qquad
\varkappa = v_z^2 \varrho '\varepsilon _T$$
\bigskip
Změříme-li tedy rychlost zvuku v prostředí s danou hustotou a známe-li izotermickou
stlačitelnost, snadno vypočítáme $\varkappa$ tohoto prostředí.