01MAA4:Kapitola24: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m (doplnění poznámek k větě 23.6 a oprava důkazu 23.7.) |
||
Řádka 113: | Řádka 113: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | \begin{enumarate} | ||
+ | \item Položím–li za členy posloupnosti $h_n=\abs{h},\forall n \in \N$, dostanu, že z $h$ je skoro všude 0 plyne $\II h=0$. | ||
+ | \item Nechť $h=k$ skoro všude, pak $\II h=\II k$. Dostanu to aplikací předchozího bodu na rozdíl $h-k$ a z linearity. | ||
+ | \end{enumarate} | ||
+ | \end{rewmark} | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
Řádka 125: | Řádka 133: | ||
Zvolím $k_1=h_1^+$, $k_n=\min(h_n^+,k_{n-1})$. Posloupnost | Zvolím $k_1=h_1^+$, $k_n=\min(h_n^+,k_{n-1})$. Posloupnost | ||
$\posl{k_n}$ neroste, platí $k_n(x)=h_n(x)$ s.v. na $X$ a podle | $\posl{k_n}$ neroste, platí $k_n(x)=h_n(x)$ s.v. na $X$ a podle | ||
− | + | předchozí poznámky | |
\[\lim_{n\to\infty}\II(k_n-h_n)=0\implies | \[\lim_{n\to\infty}\II(k_n-h_n)=0\implies | ||
− | \lim_{n\to\infty}\II | + | \lim_{n\to\infty}\II h_n=\lim_{n\to\infty}\II k_n=0.\] |
+ | Poslední rovnítko platí, protože $k_n$ má díky monotonii limitu. | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} |
Verze z 1. 6. 2017, 10:05
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 21:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 08:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 08:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 10:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 21:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 10:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 15:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 10:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 08:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 09:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 20:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 10:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 08:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 12:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 00:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 20:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 08:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 08:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 12:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 10:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Základní integrál} \begin{define} Buď $X$ libovolná množina. Množinu $\HH(X)$ reálných omezených funkcí $X\to\R$ nazveme {\bf třídou} $\HH$ {\bf (souborem základních funkcí)}, platí-li \begin{enumerate}[(I)] \item Je-li $h,k\in \HH(X)$, pak $h+k\in \HH(X)$; \item je-li $\alpha\in\R$, $h\in \HH(X)$, pak $\alpha h\in \HH(X)$; \item je-li $h\in \HH(X)$, pak $\abs{h}\in \HH(X)$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Požadujeme tedy, aby $\HH(X)$ byl vektorový prostor, který navíc s každou funkcí obsahuje i její absolutní hodnotu. \item Protože obecně platí $\max(h,k)-\min(h,k)=\abs{h-k}$ a také $\max(h,k)+\min(h,k)=h+k$, pak pro $h, k \in \HH$ patří i $\max(h,k)$ a $\min(h,k)$ do $\HH$. \item Definujeme-li kladnou a zápornou část funkce pomocí vztahů $h^+=\max(h,0)$ a $h^-=\max(-h,0)$, pak pro $h\in\HH$ patří do $\HH$ i $h^+, h^-$. Nulová funkce totiž v~$\HH$ leží díky (II). \item Lze psát $h=h^+-h^-$; $\abs{h}=h^++h^-$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} Buď $\II$ funkcionál definovaný na $\HH(X)$ a nechť platí: \begin{enumerate}[(I)] \item $(\forall h,k\in\HH(X),\forall\alpha\in\R) (\II(\alpha h+k)=\alpha\II h+\II k)$, \item $(\forall h\in\HH(X))(h\ge 0\implies\II h\ge 0)$, \item \[(\forall\posl{h_n}\in\HH(X),h_n\ge 0\wedge h_n\ge h_{n+1}) \left( \lim_{n\to\infty}h_n=0\implies\lim_{n\to\infty}\II h_n=0 \right),\] \end{enumerate} pak $\II$ nazýváme {\bf základní integrál}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item První vlastnost se nazývá linearita a neříká nic jiného, než že se opravdu jedná o lineární funkcionál na vektorovém prostoru $\HH$. Druhé vlastnosti říkáme nezápornost a třetí spojitost. \item Je-li $h\le k$, pak $\II h\le\II k$. To snadno plyne z axiomů I a II. \item Platí, že $h\le h^+\le\abs{h}$, $-h\le h^-\le\abs{h}$. Tedy $\II h\le\II\abs{h}$, $\II h\ge-\II\abs{h}$. \item Zvolím-li interval $\I\subset\R^n$, $\HH(\I)$ stupňovité funkce, $\II h$ jako v~předchozím odstavci, je $\II$ základní integrál. \item Buď $\I\subset\R^n$ kompaktní interval, $\HH(\I)=\c{0}(\I)$, pak $\II h=\mathfrak R\!\int_\I h$ je základní integrál. Linearita a pozitivnost je jasná, (III) plyne z~Diniovy věty. \item Nevlastní integrál: Buď $\J\subset\R^n$ jakýkoli interval, třeba neomezený. Pak řekneme, že $h\in\HH(\J)$ je stupňovitá na $\J$, jestliže existuje $\I\subset\J$ kompakt tak, že $h|_\I\in\HH(\I)\wedge h(x)=0$ pro $x\in\J\sm\I$. Zavedu $\II$ vztahem $\II h=\II(h|_\I)$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} Buď $Z\subset X$. Pak množina $Z$ je nulové míry ($\mu(Z)=0$), právě když pro každé $\epsilon>0$ existuje rostoucí posloupnost nezáporných základních funkcí $\posl{h_n}\in\HH(X)$ tak, že platí: \begin{enumerate} \item $(\forall x\in Z)(\sup_{n\in\N}h_n(x)\ge 1)$, \item $(\forall n\in\N)(\II h_n<\epsilon)$. \end{enumerate} \end{define} \begin{define} Řekneme, že výrok $V$ platí {\bf $\boldsymbol\mu$-skoro všude} na množině $X$, právě když existuje $Z\subset X$ taková, že $\mu(Z)=0$ a výrok $V$ platí pro každé $x\in X\sm Z$. \end{define} \begin{theorem} Sjednocení nejvýše spočetného systému množin míry nula je opět množina míry nula. \end{theorem} \begin{remark}Termín skoro všude je závislý na volbě míry i na volbě základního integrálu! \begin{enumerate} \item Volíme-li $\II$ stejně jako v předchozím odstavci, pak lze tvrdit např.: \begin{enumerate} \item Skoro každé číslo je iracionální. \item Omezená monotonní funkce je spojitá skoro v~každém bodě. \end{enumerate} \item Volíme-li $\HH(\R)$ a definujeme $\II h=h(0),$ pak je množina $\R \setminus \{0\}$ míry nula. Funkcionálu $\II$ pak říkáme {\bf Diracova $\boldsymbol\delta$-funkce}, ačkoliv se nejedná o funkci v klasickém pojetí, nýbrž o tzv. distribuci (více v MMF). \end{enumerate} Nemůže-li dojít k záměně s jinou mírou, namísto \emph{$\mu$-skoro všude} budeme psát pouze \emph{skoro všude}, resp. \emph{s.v.} \end{remark} \begin{theorem} Buď $\posl{h_n}$ posloupnost funkcí z~$\HH$; $h_n\ge h_{n+1}\ge 0$. Nechť $\lim_{n\to\infty}h_n(x)=0$ s.v. na $X$. Pak \[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0.\] \begin{proof} Buď \[ Z=\left\{x\in X \mid \lim_{n\to\infty}h_n(x)>0\right\}, \] pak $\quad\mu(Z)=0$. Označme $M=\sup_{x\in X}h_1(x)$. Pro každé $\epsilon>0$ existuje posloupnost $\posl{k_m}\in\HH$, $0\le k_n\le k_{n+1}$ taková, že $\II k_n<\frac{\epsilon}{M}$ a pro každé $x\in Z$ je $(\sup_{n\in\N}k_n(x)\ge 1)$. Posloupnost $h_n-{Mk_n}$ klesá, má tedy limitu pro každé $x$. Současně pro každé $x$ platí \[\lim_{n\to\infty}(h_n-Mk_n)(x)\le 0,\] tedy \[\lim (h_n-Mk_n)^+(x)=0.\] Podle axiomu (III) je $\lim\II(h_n-Mk_n)^+=0$. Protože $h_n-Mk_n\le (h_n-Mk_n)^+$, je i $\II(h_n-Mk_n)\le\II(h_n-Mk_n)^+$, takže $\exists n_0$, že pro $n>n_0$ platí \[0\le\II h_n\le M\II k_n\le\epsilon,\] tedy \[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0.\] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumarate} \item Položím–li za členy posloupnosti $h_n=\abs{h},\forall n \in \N$, dostanu, že z $h$ je skoro všude 0 plyne $\II h=0$. \item Nechť $h=k$ skoro všude, pak $\II h=\II k$. Dostanu to aplikací předchozího bodu na rozdíl $h-k$ a z linearity. \end{enumarate} \end{rewmark} \begin{theorem} Buď $\posl{h_n}\in\HH$. Nechť platí: \begin{enumerate}[(I)] \item $h_n(x)\ge h_{n+1}(x)\ge 0$ s.v. na $X$ pro každé $n\in\N$, \item $\lim_{n\to\infty} h_n(x)=0$ s.v. na $X$. Pak \[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0.\] \end{enumerate} \begin{proof} Zvolím $k_1=h_1^+$, $k_n=\min(h_n^+,k_{n-1})$. Posloupnost $\posl{k_n}$ neroste, platí $k_n(x)=h_n(x)$ s.v. na $X$ a podle předchozí poznámky \[\lim_{n\to\infty}\II(k_n-h_n)=0\implies \lim_{n\to\infty}\II h_n=\lim_{n\to\infty}\II k_n=0.\] Poslední rovnítko platí, protože $k_n$ má díky monotonii limitu. \end{proof} \end{theorem} \begin{define} \begin{enumerate} \item Dvě funkce jsou ekvivalentní, značíme $f\sim g$, právě když $f(x)=g(x)$ s.v. na $X$. \item $f\lesssim g$, právě když $f(x)\le g(x)$ s.v. na $X$. \item $h_n\nearrow$, právě když $h_n\lesssim h_{n+1}$ pro každé $n\in\N$. \item $h_n\nearrow f$, právě když $h_n\lesssim h_{n+1}$ pro každé $n\in\N$ a navíc $\lim_{n\to\infty} h_n(x) = f(x)$ s.v. na $X$. \item $h_n\searrow$, právě když $h_{n+1}\lesssim h_n$ pro každé $n\in\N$. \item $h_n\searrow f$, právě když $h_{n+1}\lesssim h_n$ pro každé $n\in\N$ a navíc $\lim_{n\to\infty} h_n(x) = f(x)$ s.v. na $X$. \item $h_n\rightarrow$, právě když $\exists\lim_{n\to\infty}h_n(x)$ s.v. na $X$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} Předchozí věta: $h_n\searrow 0\implies\lim_{n\to\infty}\II h_n=0$. \end{remark} \begin{theorem} Buďte $h_n,k_n\in\HH$. Nechť $h_n\nearrow f$, $k_n\nearrow g$ a $f\lesssim g$. Pak \[\lim_{n\to\infty}\II h_n\le\lim_{n\to\infty}\II k_n.\] \begin{proof} Platí, že \[(h_n-k_m)\searrow (h_n-g)\lesssim (f-g)\lesssim 0,\quad \text{kde $n$ je pevné}\] tedy \[(h_n-k_m)^+\searrow(h_n-g)^+\sim 0.\] Podle axiomů \[\lim_{m\to\infty}\II(h_n-k_m)\le\lim_{m\to\infty}\II(h_n-k_m)^+=0,\] tedy \[\lim_{n\to\infty}\II h_n\le\lim_{m\to\infty}\II k_m.\] \end{proof} \end{theorem}