Aktuální verze z 22. 2. 2017, 16:57

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFsbirka}
 
\chapter{Základy teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky}
 
\section{Základní pojmy}
 
\subsection{Náhodný jev, náhodná veličina}
 
{\bf Elementární náhodný jev} $\omega$ je výsledek nějakého náhodného pokusu. Množinu všech možných elementárních náhodných jevů označíme $\Omega$. Obecný náhodný jev $A$ je nějaká podmnožina $\Omega$.
 
Jev $A$ je {\bf částí} jevu $B$, pokud jev $B$ nastane pokaždé, nastane-li jev $A$. Značíme
$$A\subset B.$$
 
Jev $C$ je {\bf sjednocení} jevů $A$ a $B$, pokud jev $C$ nastane tehdy, nastane-li jev $A$ nebo $B$:
$$C = A \cup B.$$
 
Jev $C$ je {\bf průnik} jevů $A$ a $B$, pokud jev $C$ nastane jen tehdy, nastanou-li jevy $A$ a $B$ současně:
$$C = A \cap B.$$
 
Jev {\bf opačný} k jevu $A$ značíme $\overline{A}$. Nastane vždy, když nenastane jev $A$. Opačný jev k~opačnému jevu je jev původní:
$$\overline{\overline{A}} = A .$$
 
Samotná množina $\Omega$ nastane při každém opakování náhodného pokusu, je to tedy jev {\bf jistý}. Opačný jev k $\Omega$ je jev {\bf vyloučený} $\emptyset$. Pro každý jev $A$ platí
$$ A\cup\overline{A} = \Omega,\qquad A\cap\overline{A} = \emptyset. $$
 
Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf neslučitelné} (vzájemně se vylučující) právě tehdy když, jejich průnik je jev vyloučený,
$$A\cap B =\emptyset.$$
 
Jev $A$ je tedy elementární, pokud ho nelze zapsat jako sjednocení dvou jiných jevů. Jev $B$ je složený, pokud ho lze zapsat jako sjednocení několika elementárních jevů $\omega_i$,
$$ B = \bigcup\limits_i \omega_i. $$
Složený jev $B$ nastane pokud nastane některý z elementárních jevů $\omega_i$ v něm obsažených. $\Omega$~obsahuje všechny elementární jevy, $\emptyset$ neobsahuje žádný.\\
 
\pr Šestistěnná kostka\\
Náhodný pokus je hod kostkou, elementární jevy $\omega_i$ jsou hodnoty možných výsledků $i = 1,\ldots,6$. Označme $B$ jev, kdy padne sudé číslo. Je to jev složený,
$$ B = \omega_2 \cup \omega_4 \cup \omega_6.$$ Platí že $\omega_2 \subset B$, čili dvojka může padnout jenom když padne sudé číslo. Jev opačný k jevu $B$ je jev, kdy padne liché číslo
$$\overline{B} = \omega_1 \cup \omega_3 \cup \omega_5.$$
Jevy $B$ a $\omega_1$ se vzájemně vylučují, protože jednička není sudé číslo.\\
 
\subsection{Pravděpodobnostní rozdělení, hustota pravděpodobnosti}
 
Nechť $\Omega$ je množina všech jevů náhodného pokusu, $A$ libovolný jev a $B_i,\ i\in I$ jsou vzájemně se vylučující jevy.
{\bf Pravděpodobnostní rozdělení} náhodných jevů $P$ je zobrazení splňující vlastnosti
\begin{enumerate}
\item $P(A)\geq 0$ -- pravděpodobnost každého jevu je nezáporná,
\item $P(\Omega) = 1$ -- jev jistý nastane s pravděpodobností jedna,
\item $P\left(\bigcup\limits_{i\in I} B_i\right) = \sum\limits_{i\in I} P(B_i)$ -- pravděpodobnost sjednocení vzájemně se vylučujících jevů je rovna součtu jejich pravděpodobností.
\end{enumerate}
Z těchto axiomů plynou následující vlastnosti:
\begin{itemize}
\item $\forall A\subset\Omega,\qquad 0\leq P(A) \leq 1, \qquad P(\emptyset) = 0$,
\item $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$,
\item $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$,
\item $A\subset B \Longrightarrow P(A)\leq P(B)$.
\end{itemize}
Mějme jevy $A$ a $B$, $P(B)>0$. {\bf Podmíněná pravděpodobnost} jevu $A$ za předpokladu, že nastal jev $B$, je dána vztahem
$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$
Jevy $A$ a $B$ jsou {\bf nezávislé}, pokud
$$P(A|B) = P(A),\qquad P(B|A) = P(B).$$
Pro nezávislé jevy $A_i, i\in I$, je pravděpodobnost toho, že nastanou současně, dána součinem jejich pravděpodobností
$$P\left(\bigcap\limits_{i\in I} A_i\right) = \prod_{i\in I}P(A_i).$$
 
\pr Vyvážená šestistěnná kostka\\
Pravděpodobnosti všech hodů jsou stejné, $P(\omega_i) = \frac{1}{6},\ i=1,\ldots,6$. Pravděpodobnost toho, že padne sudé číslo, je
$$P(B) = P(\omega_2 \cup \omega_4 \cup \omega_6) = P(\omega_2) + P(\omega_4) + P(\omega_6) = \frac{1}{2},$$
protože jevy $\omega_i$ se vzájemně vylučují. Podmíněná pravděpodobnost toho, že padne šestka, za předpokladu, že padlo sudé číslo, je rovna
$$P(\omega_6|B) = \frac{P(\omega_6\cap B)}{P(B)} = \frac{P(\omega_6)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}.$$\\
 
{\bf Náhodná veličina} je libovolná reálná funkce definovaná na množině elementárních jevů. Obor hodnot může být jak spočetný ({\bf diskrétní náhodná veličina}), tak nespočetný ({\bf spojitá náhodná veličina}). Náhodný jev můžeme chápat jako náhodnou veličinu, která může nabývat pouze dvou hodnot -- 1 (jev nastal) nebo 0 (jev nenastal).
 
Pravděpodobnostní rozdělení diskrétní náhodné veličiny $A$, která může nabývat hodnot $A = a_i, i\in I$, je funkce $P$, která splňuje vlastnosti
\begin{enumerate}
\item $0 \leq P(A = a_i) = p_i \leq 1$,
\item $\sum\limits_{i\in I} p_i = 1$.
\end{enumerate}
 
{\bf Hustota pravděpodobnosti} spojité náhodné veličiny $X$, která může nabývat hodnot $X = x\in\mathcal{X}$, je nezáporná funkce $w(x)$, splňující vlastnost
$$\forall A\subset\mathcal{X},\quad P(X\in A) = \int\limits_A w(x)dx.$$
 
Uvažujme nyní vektor náhodných veličin $\vec{x} = \left(x_1,\ldots,x_n\right)$, $x_i\in\mathcal{X}_i$, s pravděpodobnostním rozdělením $w(\vec{x})$. {\bf Marginální rozdělení} složky vektoru $x_i$ je dáno vyintegrováním rozdělení $w(\vec{x})$ přes složky $x_j,\ j\neq i$
$$
w_m(x_i) = \int\limits_{\mathcal{X}_1}dx_1\ldots \int\limits_{\mathcal{X}_{i-1}}dx_{i-1} \int\limits_{\mathcal{X}_{i+1}}dx_{i+1}\ldots \int\limits_{\mathcal{X}_n}dx_n w(\vec{x}).
$$
 
\subsection{Střední hodnoty, fluktuace, kovariance}
 
{\bf Střední hodnota} diskrétní náhodné veličiny $A$, která může nabývat hodnot $A = a_i,\ i\in I$ s pravděpodobností $P(A = a_i) = p_i$, je dána vztahem
$$\langle A\rangle =  \sum_{i\in I} a_i p_i.$$
Podobně, pro spojitou náhodnou veličinu $X$, která může nabývat hodnot $x\in \mathcal{X} \subseteq \mathds{R}$ a má hustotu pravděpodobnosti $w(x)$, je střední hodnota $X$ rovna
$$\langle X\rangle = \int\limits_\mathcal{X} x w(x)dx.$$
Střední hodnota náhodné veličiny je její průměrná hodnota po mnoha nezávislých opakováních pokusu. Nechť $F$ je funkce náhodné veličiny $X$, její střední hodnota je pak dána vztahem
$$\langle F\rangle = \sum_{i\in I}F(a_i)p_i \quad\left( = \int\limits_\mathcal{X} F(x)w(x)dx \right).$$
Speciálně, pro $F(x) = x^k$ se označuje $\langle x^k\rangle$ jako {\bf $k$-tý moment rozdělení}. Střední hodnota je lineární v následujícím smyslu:
$$
\langle a F + b G + c\rangle = a\langle F\rangle + b\langle G\rangle + c,
$$
kde $F,G$ jsou dvě funkce náhodné veličiny a $a,b,c$ jsou reálná čísla.
 
 
{\bf Střední kvadratická odchylka} $\Delta X$ náhodné veličiny $X$ je definována vztahem
$$\left(\Delta X\right) = \sqrt{\langle \left(X - \langle X\rangle\right)^2\rangle}.$$
{\bf Variance} se definuje jako kvadrát střední kvadratické odchylky. Snadno zjistíme, že platí
\begin{eqnarray}
\nonumber \left(\Delta X\right)^2 & = & \langle \left(X - \langle X\rangle\right)^2\rangle = \langle X^2 -2X\langle X\rangle + \langle X\rangle^2\rangle\\
\nonumber & = & \langle X^2\rangle -2\langle X\rangle \langle X\rangle + \langle X\rangle^2 \\
\nonumber & = & \langle X^2\rangle-\langle X\rangle^2.
\end{eqnarray}
{\bf Relativní fluktuací} náhodné veličiny $X$ se myslí střední kvadratická odchylka vztažená ke střední hodnotě, čili zlomek $\frac{\Delta X}{\langle X\rangle}$.
 
{\bf Kovariance} dvou náhodných veličin $X_1, X_2$ je definována vztahem
$$\left(\Delta X_1\Delta X_2\right) = \langle X_1 X_2\rangle - \langle X_1\rangle\langle X_2\rangle.$$
Kovariance indikuje závislost náhodných veličin. Jsou-li $X_1$ a $X_2$ nezávislé, je jejich rozdělení rovno $w(x_1,x_2) = w_1(x_1)\cdot w_2(x_2)$, takže platí $ \langle X_1 X_2\rangle = \langle X_1\rangle \cdot \langle X_2\rangle$ a jejich kovariance je rovna nule.
 
Nechť jsou $X_i,i=1,\ldots, n$ nezávislé náhodné veličiny, každá s oborem hodnot $\mathcal{X}_i$ a hustotou pravděpodobnosti $w_i(x_i)$. Vektor
$$\vec X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$$
je potom náhodná veličina s oborem hodnot
$$\mathcal{X} = \mathcal{X}_1\times\mathcal{X}_2\times\ldots\times\mathcal{X}_n$$
a hustotu pravděpodobnosti
$$w(\vec x) = w_1(x_1)\cdot w_2(x_2)\cdot\ldots\cdot w_n(x_n).$$
Pro střední hodnotu {\bf součtu} nezávislých náhodných veličin
$$S = \sum_{i=1}^n X_i$$
pak platí
\begin{eqnarray}
\label{ind:mean}
\nonumber \langle S\rangle & = & \int\limits_\mathcal{X} \sum_{i=1}^n x_i w(\vec x) dx = \int\limits_\mathcal{X} (x_1+\ldots + x_n)w_1(x_1)\ldots w_n(x_n) dx_1\ldots dx_n\\
 & = & \sum_{i=1}^n \left( \underbrace{\int\limits_{\mathcal{X}_i} x_i w_i(x_i)dx_i}_{\langle X_i\rangle} \prod_{j\neq i} \ \underbrace{\int\limits_{\mathcal{X}_j} w_j(x_j)dx_j}_1\right) = \sum_{i=1}^n \langle X_i\rangle.
\end{eqnarray}
Pro vyšší momenty podobné tvrzení neplatí. Nicméně, vztah analogický (\ref{ind:mean}) platí pro varianci
\begin{eqnarray}
\label{ind:var}
\nonumber \left(\Delta S\right)^2 & = & \langle S^2\rangle - \langle S\rangle^2 = \sum_{i=1}^n \langle X_i^2\rangle + \sum_{i\neq j} \langle X_i\rangle\langle X_j\rangle - \left(\sum_{i=1}^n \langle X_i\rangle\right)\left(\sum_{j=1}^n \langle X_j\rangle\right)\\
 & = & \sum_{i=1}^n \left(\langle X_i^2\rangle - \langle X_i\rangle^2\right) = \sum_{i=1}^n \left(\Delta X_i\right)^2.
\end{eqnarray}
 
\section{Binomické rozdělení}
 
Uvažujme náhodný pokus, který má dva možné výsledky -- ano/ne experiment. Kladný výsledek nastane s pravděpodobností $p$, záporný s pravděpodobností $1-p$. Pokus $N$-krát opakujeme, jednotlivá opakování jsou na sobě nezávislá. Pravděpodobnost, že z celkového počtu $N$ opakování bude $n$ pokusů úspěšných, je dána {\bf binomickým rozdělením}:
\begin{equation}
\label{binom}
p_n = {N\choose n}p^n(1-p)^{N-n},\qquad {N\choose n} = \frac{N!}{n!(N-n)!}.
\end{equation}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\begin{figure}[h]
\includegraphics{binomial.pdf}
\caption{Binomické rozdělení pro $N=10$ a $p=0.3$.}
\end{figure}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
Normalizace rozdělení (\ref{binom}) je zřejmá z binomické věty
$$\sum_{n=0}^N p_n = \sum_{n=0}^N {N\choose n}p^n(1-p)^{N-n} = (p+1-p)^N = 1.$$
Střední hodnotu a varianci počtu kladných výsledků lze pro binomické rozdělení rozdělení snadno spočítat z definice
\begin{equation}
\label{binom:mean:var}
\langle n\rangle = N p,\qquad \left(\Delta n\right)^2 = Np(1-p).
\end{equation}
Alternativně lze využít nezávislosti opakování pokusu. $j$-tému pokusu přiřadíme náhodnou veličinu $x_j$, která má dvě hodnoty: 1 pro kladný výsledek s pravděpodobností $p$, 0 pro záporný výsledek s pravděpodobností $1-p$. Střední hodnota a variance každé z náhodných veličin $x_i, i=1,\ldots, N$ jsou rovny
$$\langle x_i\rangle = p,\qquad \left(\Delta x_i\right)^2 = p(1-p).$$
Protože počet kladných výsledků $n$ můžeme napsat jako
$$ n = x_1 + x_2 + \ldots + x_N,$$
dostaneme s použitím tvrzení (\ref{ind:mean}) a (\ref{ind:var}) pro střední hodnotu a varianci součtu nezávislých veličin výsledek (\ref{binom:mean:var}).
 
 
\section{Poissonovo rozdělení, Stirlingova formule}
 
{\bf Poissonovo rozdělení} je limitní případ binomického rozdělení, kdy $p\rightarrow 0$, $N\rightarrow +\infty$, ale $p N =\lambda = \mathrm{konst}$. Vyjádříme-li $p = \frac{\lambda}{N}$, dostaneme binomické rozdělení ve tvaru
\begin{equation}
\label{binom:poisson}
p_n = {N\choose n}\left(\frac{\lambda}{N}\right)^n \left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-n}.
\end{equation}
Provedením limity $N\rightarrow +\infty$ získáme Poissonovo rozdělení
\begin{eqnarray}
\label{Poisson}
\nonumber p_n & = & \lim\limits_{N\rightarrow +\infty} \frac{N!}{n!(N-n)!} \left(\frac{\lambda}{N}\right)^n \left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-n}\\
\nonumber & = & \frac{\lambda^n}{n!}\lim\limits_{N\rightarrow +\infty} \left(\frac{N}{N}\right)\left(\frac{N-1}{N}\right)\ldots\left(\frac{N-n+1}{N}\right)\left(1-\frac{\lambda}{N}\right)^{N-n}\\
& = & \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}.
\end{eqnarray}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[h]
\includegraphics{poisson.pdf}
\caption{Poissonovo rozdělení s parametrem $\lambda = 5$.}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
Normalizace rozdělení (\ref{Poisson}) je zřejmá z Taylorova rozvoje exponenciely
$$\sum_{n=0}^{+\infty} p_n = e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\lambda^n}{n!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1.$$
Jiné odvození Poissonova rozdělení získáme odhadem faktoriálu v binomickém rozdělení pomocí {\bf Stirlingovy formule}. Pro $N\rightarrow +\infty$ můžeme aproximovat
$$\ln N! = \sum_{k=1}^N \ln k \simeq \int\limits_1^N \ln kdk = N(\ln N-1) + 1 \simeq N\ln\frac{N}{e},$$
takže $N!$ se chová přibližně jako
$$N! \simeq \left(\frac{N}{e}\right)^N.$$
Dosazením do binomického rozdělení (\ref{binom:poisson}) a provedením limity $N\rightarrow +\infty$ dostaneme stejný výsledek jako (\ref{Poisson}).
 
Parametr $\lambda$ určuje střední hodnotu i varianci (viz Příklad~\ref{pr:Poisson}):
$$\langle n\rangle = \left(\Delta n\right)^2 = \lambda.$$
 
 
\section{Gaussovo rozdělení, Gaussovy integrály}
 
\subsection{Gaussovo normální rozdělení}
 
{\bf Gaussovo normální rozdělení} spojité náhodné veličiny $X\in\mathds{R}$ má tvar
\begin{equation}
\label{Gauss}
w(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right),\quad \mu\in\mathds{R},\quad \sigma>0.
\end{equation}
Parametry rozdělení $\mu,\sigma$ mají jednoduchý význam -- bod $x = \mu$ je maximum rozdělení, body $x = \mu\pm\sigma$ jsou jeho inflexní body. Navíc platí, že $\mu$ je střední hodnota náhodné veličiny $X$, $\sigma$ je její střední kvadratická odchylka (viz Příklad~\ref{pr:Gauss})
\begin{equation}
\label{Gauss:mu:sigma}
\langle X\rangle = \mu,\qquad \Delta X = \sigma.
\end{equation}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{gauss2.pdf}
\caption{Gaussovo normální rozdělení. Plocha pod grafem funkce v $\sigma$-okolí střední hodnoty je zhruba $0.68$. Pro $2\sigma$-okolí je plocha přibližně 0.95, pro $3\sigma$-okolí je větší než 0.99. }
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\subsection{Gaussovy integrály}
 
Odvodíme vzorec pro integrál
$$I_n(a) = \int\limits_\mathds{R} x^n e^{-a x^2} dx, \quad a>0,\quad n = 0,1,2,\ldots$$
 
\begin{enumerate}
\item Integrál $I_0(1)$ spočítáme přechodem do polárních souřadnic
\begin{eqnarray}
\nonumber I^2_0(1) & = & \int\limits_{\mathds{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}dxdy =\left\{\begin{array}{c}
                                                                                x = r\cos\varphi,\ y = r\sin\varphi \\
                                                                                dxdy = r drd\varphi
                                                                              \end{array}\right\} = \int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{+\infty} r dr e^{-r^2}\\
\nonumber & = & \left\{\begin{array}{c}
                  r^2 = t \\
                  2r dr = dt
                \end{array}\right\} = 2\pi\frac{1}{2}\int\limits_0^{+\infty} e^{-t} dt = \pi,\\
I_0(1) & = & \int\limits_\mathds{R} e^{-x^2}dx = \sqrt{\pi}.
\end{eqnarray}
\item Integrál $I_0(a)$ se převede substitucí $\sqrt{a}x = y$ na $I_0(1)$:
$$I_0(a) = \int\limits_\mathds{R} e^{-ax^2}dx = \frac{I_0(1)}{\sqrt{a}}  = \sqrt{\frac{\pi}{a}}.$$
\item Integrál $I_{2k}(a)$ se vyjádří derivací $I_0(a)$ podle parametru $a$
\begin{eqnarray}
\nonumber \frac{d^k}{da^k} \int\limits_\mathds{R} e^{-ax^2}dx & = & \int\limits_\mathds{R} \frac{\partial^k}{\partial a^k} e^{-ax^2}dx = (-1)^k \int\limits_\mathds{R} x^{2k} e^{-ax^2}dx\\
I_{2k}(a) & = & (-1)^n \frac{d^k}{da^k} I_0(a) = \sqrt{\frac{\pi}{a}}(2k-1)!! \left(\frac{1}{2a}\right)^k,
\end{eqnarray}
speciálně pro $k= 1,2$ dostaneme
$$I_2(a) = \int\limits_\mathds{R} x^{2} e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \frac{1}{2a},\qquad I_4(a) = \int\limits_\mathds{R} x^{4} e^{-ax^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\frac{3}{4a^2}.$$
Integrál $I_{2k+1}(a)$ je roven nule, protože integrand je lichá funkce.
\end{enumerate}
 
\subsection{Eulerova gama funkce}
 
{\bf Eulerova  $\Gamma$-funkce} je definována vztahem
$$\Gamma(p) = \int\limits_0^{+\infty} x^{p-1} e^{-x}dx, \qquad p>0.$$
 $\Gamma$-funkce je \uv{zespojitěním} \ faktoriálu, platí totiž
\begin{equation}
\label{sec1:gamma}
\Gamma(p+1) = p\Gamma(p).
\end{equation}
Speciálně pro $p=n\in\mathds{N}$ snadno dostaneme
$$\Gamma(n) = (n-1) \Gamma(n-1) = \ldots (n-1)! \Gamma(1) = (n-1)!.$$
Eulerovu $\Gamma$-funkci můžeme využít pro vyjádření Gaussových integrálů v mezích $(0,+\infty)$
\begin{equation}
\label{sec1:gauss:0}
\int\limits_0^{+\infty} x^n e^{-ax^2}dx = \left\{
                                             \begin{array}{c}
                                               ax^2 = y, x = \sqrt{\frac{y}{a}}\\
                                               dx = \frac{dy}{2\sqrt{ay}}\\
                                             \end{array}
                                           \right\} = \frac{1}{2a^\frac{n+1}{2}}\int\limits_0^{+\infty} y^\frac{n-1}{2}e^{-y}dy = \frac{1}{2a^\frac{n+1}{2}}\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right).
\end{equation}
Pro liché $n$ je argument $\Gamma$-funkce přirozené číslo a výsledek je dán faktoriálem. Speciálně pro $n=1,3,5$ dostaneme
\begin{eqnarray}
\nonumber \int\limits_0^{+\infty} x e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a}\Gamma(1) = \frac{1}{2a},\qquad \int\limits_0^{+\infty} x^3 e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a^2}\Gamma(2) = \frac{1}{2a^2} ,\\
\nonumber \int\limits_0^{+\infty} x^5 e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a^3}\Gamma(3) = \frac{1}{2a^3} 2!= \frac{1}{a^3}.
\end{eqnarray}
Pro sudé $n$ je argument polocelé číslo. Hodnotu $\Gamma$-funkce ale snadno vyjádříme, navíc díky vztahu (\ref{sec1:gamma}) stačí určit $\Gamma(\frac{1}{2})$. Ze vzorce (\ref{sec1:gauss:0}) pro $n=0$ a $a=1$ dostaneme
$$
\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \int\limits_0^{+\infty} e^{-x^2}dx = \frac{1}{2} \int\limits_\mathds{R} e^{-x^2}dx = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}.
$$
Platí tedy $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$. Vztah  (\ref{sec1:gauss:0}) pak můžeme přepsat pro $n=0,2,4$ do tvaru
\begin{eqnarray}
\nonumber \int\limits_0^{+\infty} e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a^\frac{1}{2}}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{a}},\qquad \int\limits_0^{+\infty} x^2 e^{-ax^2}dx = \frac{1}{2a^\frac{3}{2}}\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) =  \frac{1}{4a}\sqrt{\frac{\pi}{a}}\\
\nonumber \int\limits_0^{+\infty} x^4 e^{-ax^2}dx & = & \frac{1}{2a^\frac{5}{2}}\Gamma\left(\frac{5}{2}\right) = \frac{1}{2a^\frac{5}{2}}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)  = \frac{3}{8a^2}\sqrt{\frac{\pi}{a}}.
\end{eqnarray}
 
\section{Příklady}
 
\bc
\label{pr:binom}
Mějme ideální plyn $N$ částic v nádobě o objemu $V$. Určete střední počet a relativní fluktuaci počtu částic plynu v nějaké malé části nádoby o objemu $V_0$.
\ec
\navod
Ideální plyn je homogenní. Pravděpodobnost $p$, že jedna molekula plynu je v objemu $V_0$ je rovna poměru $V_0/V$. Pravděpodobnost nalezení $n$ molekul plynu v objemu $V_0$ je pak dána binomickým rozdělením
$$
p_n = {N\choose n}\left(\frac{V_0}{V}\right)^n\left(1-\frac{V_0}{V}\right)^{N-n}.
$$
Střední počet a variance počtu částic v objemu $V_0$ jsou
$$
\langle n \rangle = N\frac{V_0}{V},\quad \left(\Delta n\right)^2 = N\frac{V_0}{V}\left(1-\frac{V_0}{V}\right).
$$
Pro relativní fluktuaci počtu částic v objemu $V_0$ dostaneme
$$
\frac{\Delta n}{\langle n \rangle} = \frac{1}{\sqrt{N}}\sqrt{\frac{V-V_0}{V_0}}.
$$
 
\bc
\label{pr:Poisson}
\textbf{Makroskopický a mikroskopický model radioaktivního rozpadu:} Mějme $N_0$ atomů radioaktivní látky s rozpadovou konstantou $\alpha$. Určete, kolik atomů se rozpadne za čas $\tau$. Jaká je směrodatná odchylka od této hodnoty?
\ec
\navod 
Makroskopický (deterministický) model radioaktivního rozpadu se řídí jednoduchou rovnicí
$$
\frac{d N}{dt} = -\alpha N.
$$
Počet rozpadů za čas $\tau$ je pak dán vztahem
\begin{equation}
\label{decay}
N^*(\tau) = N_0 - N(\tau) = N_0 \left(1 - e^{-\alpha \tau}\right).
\end{equation}
Mikroskopický model bere radioaktivní rozpad jako náhodný proces. Pravděpodobnost rozpadu jednoho konkrétního atomu za čas $\tau$ je rovna
$$
p = 1 - e^{-\alpha\tau}.
$$
Pravděpodobnost rozpadu $n$ atomů z celkového počtu $N_0$ atomů je určena binomickým rozdělením
$$
p_n = {N_0\choose n}\left(1 -  e^{-\alpha\tau}\right)^{n} e^{-\alpha\tau(N_0-n)}.
$$
Vztah (\ref{decay}) odpovídá střední hodnotě počtu rozpadů za čas $\tau$
$$
\langle n\rangle = N_0 p = N_0\left(1 - e^{-\alpha \tau}\right).
$$
Pokud je $\alpha$ malé, je rozpad řídkým jevem a binomické rozdělení můžeme nahradit Poissonovým
$$
p_n = \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}.
$$
Parametr $\lambda$ je určen vztahem
$$
\lambda = \langle n \rangle = N_0\left(1 - e^{-\alpha \tau}\right).
$$
Z vlastností Poissonova rozdělení snadno zjistíme, že směrodatná odchylka a relativní chyba v určení počtu rozpadů jsou rovny
$$
\Delta n = \sqrt{\lambda}\sim\sqrt{N_0},\quad \frac{\Delta n}{\langle n\rangle} = \frac{1}{\sqrt{\lambda}} \sim \frac{1}{\sqrt{N_0}}.
$$
Deterministický model je tedy tím přesnější, čím větší je počet částic $N_0$.
 
 
\bc
\label{pr:Gauss}
Explicitním výpočtem ověřte normalizaci Gaussova rozdělení (\ref{Gauss}) a platnost vztahů (\ref{Gauss:mu:sigma}).
\ec
 
 
 
\bc
Maxwellovo rozdělení rychlostí atomů plynu při teplotě $T$ má tvar
$$
w(\vec{v}) = \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right),\quad \vec{v}\in\mathds{R}^3.
$$
Jaká je střední hodnota vektoru rychlosti? Určete rozdělení velikosti rychlosti $v$. Čemu je rovna střední hodnota velikosti rychlosti a kvadrátu velikosti rychlosti?
\ec
\navod
Střední hodnota vektoru je nulová. K určení marginálního rozdělení velikosti rychlosti $v$ musíme nejprve hustotu pravděpodobnosti $w(\vec{v})$ převést do sférických souřadnic a pak vyintegrovat přes úhly $\theta,\varphi$. Nesmíme zapomenout na jakobián transformace do sférických souřadnic. Rozdělení velikosti rychlosti je pak rovno
$$
w(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} v^2 \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right).
$$
Pro určení středních hodnot $v$ a $v^2$ využijeme Eulerovu $\Gamma$-funkci
\begin{eqnarray}
\nonumber \langle v\rangle & = & 4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2}\int\limits_0^{+\infty}  v^3 \exp\left(-\frac{m v^2}{2kT}\right) = \left\{
  \begin{array}{c}
    \frac{m v^2}{2kT} = x  \\
    \ \\
    dv = \sqrt{\frac{kT}{2m}} x^{-\frac{1}{2}} dx\\
  \end{array}
\right\} \\
\nonumber & = & \sqrt{\frac{8kT}{m\pi}}\int\limits_0^{+\infty}x e^{-x}dx  =\sqrt{\frac{8kT}{m\pi}}\Gamma(2) = \sqrt{\frac{8kT}{m\pi}}, \\
\nonumber \langle v^2\rangle & = & \frac{4}{\sqrt{\pi}}\frac{kT}{m} \int\limits_0^{+\infty}x^\frac{3}{2} e^{-x}dx = \frac{4}{\sqrt{\pi}}\frac{kT}{m}\Gamma\left(\frac{5}{2} \right) = \frac{4}{\sqrt{\pi}}\frac{kT}{m} \frac{3}{2}\frac{1}{2}\sqrt{\pi} = \frac{3kT}{m}
\end{eqnarray}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[h]
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{maxwell.pdf}
\caption{Maxwellovo rozdělení velikostí rychlostí pro různé teploty plynu. S rostoucí teplotou se posouvá poloha maxima a střední hodnota jako $\sim\sqrt{T}$. Stejně se zvětšuje i šířka rozdělení.}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
%\bc
%Určete povrch $S_n$ a objem $V_n$ jednotkové n-rozměrné koule $B_n$.
%\ec
%\navod 
%Povrch jednotkové koule je roven integrálu z jedničky přes celý prostorový úhel
%$$
%S_n = \int\limits_{\Omega_n} 1 d\Omega_n.
%$$
%Ten můžeme vyjádřit např. převedením integrálu z nějaké sféricky symetrické %funkce do sférických souřadnic
%$$
%\int\limits_{\mathds{R}^n} f(\|\vec{x}\|)d^n x = \int\limits_0^{+\infty} f(r) %r^{n-1} dr \int\limits_{\Omega_n} d\Omega_n,
%$$
%pokud umíme původní integrál a integrál přes $r$ vyčíslit. Zvolíme-li za funkci %$ f(\|\vec{x}\|) = \exp\left(-\|\vec{x}\|^2\right)$, pak snadno zjistíme
%\begin{eqnarray}
%\nonumber \int\limits_{\mathds{R}^n} e^{-\|\vec{x}\|^2}d^n x & = & %\int\limits_{\mathds{R}} e^{-x_1^2}d x_1\ldots \int\limits_{\mathds{R}} e^{-%x_n^2}d x_n = \pi^{\frac{n}{2}},\\
%\nonumber \int\limits_0^{+\infty} r^{n-1} e^{-r^2} dr & = & \frac{1}%{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right).
%\end{eqnarray}
%Povrch jednotkové koule v ${\mathds{R}^n}$ je tedy roven
%$$
%S_n = \frac{\int\limits_{\mathds{R}^n} e^{-\|\vec{x}\|^2}d^n x}%{\int\limits_0^{+\infty} r^{n-1} e^{-r^2} dr} = \frac{2\pi^\frac{n}{2}}%{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}.
%$$
%Objem $V_n$ se spočítá analogicky převodem integrálu $\int\limits_{B_n} 1d^nx$ %do sférických souřadnic,
%$$V_n = \int\limits_{B_n} 1d^nx =  S_n \int\limits_0^1 r^{n-1}dr = \frac{S_n}%{n} = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}.$$%
 
%\bc
%Určete fázový objem $V_{N,E}$ souboru $N$ jednorozměrných harmonických %oscilátorů s hmotností $m$ a vlastní frekvencí $\omega$, je-li celková energie %souboru shora omezená hodnotou $E$.
%\ec
%\navod Fázový objem souboru oscilátorů je dán integrálem
%$$V_{N,E} = \int\limits_{H\leq E} d\Gamma,\qquad  H = \sum_i \frac{p_i^2}{2m} + %\frac{1}{2} m\omega^2 q_i^2,\qquad d\Gamma = d^Nqd^Np.$$
%Přeškálováním obecných souřadnic a hybností
%$$q_i' = q_i \sqrt{\frac{m\omega^2}{2}},\qquad p_i' = \frac{p_i}{\sqrt{2m}},$$
%převedeme integrál na objem $2N$-rozměrné koule o poloměru $\sqrt{E}$. Výsledek %je
%$$V_{N,E} = \frac{(2\pi)^N E^N}{N!\ \omega^N}.$$
 
\bc
Uvažujte náhodnou procházku na p\v{r}ímce s konstantní délkou kroku
a vyváženou mincí. Jaká je pravd\v{e}podobnost, že se chodec vyskytne
po $n$ krocích v po\v{c}átku? Ur\v{c}ete st\v{r}ední hodnotu polohy
chodce $x$. \v{C}emu se rovná $\left(\Delta x\right)^{2}$?
\ec