01RMF:Kapitola6: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 165: | Řádka 165: | ||
p'(C_0v_0') - p(C_0 v_0)' - p'(C_1' v_1) - p(C_1' v_1)'= $$ | p'(C_0v_0') - p(C_0 v_0)' - p'(C_1' v_1) - p(C_1' v_1)'= $$ | ||
$$ = -\left[ p\left(C_0' v_0 + C_1' v_1 \right) \right]' - p \left( C_0' v_0' + C_1' v_1'\right) \stackrel{! }{=} f $$ | $$ = -\left[ p\left(C_0' v_0 + C_1' v_1 \right) \right]' - p \left( C_0' v_0' + C_1' v_1'\right) \stackrel{! }{=} f $$ | ||
+ | Aby tohle platilo, je třeba nalézt funkce $C_0, C_1$ takové, že | ||
+ | $$ C_0' v_0 + C_1' v_1 = 0 $$ | ||
+ | $$ C_0' v_0' + C_1' v_1' = -\frac{f}{p} $$ | ||
+ | Tuto soustavu lze maticově formulovat jako: | ||
+ | $$ \left(\begin{array}{cc} | ||
+ | v_0 & v_1 \\ | ||
+ | v_0' & v_1' | ||
+ | \end{array} \right) \left( | ||
+ | \begin{array}{c} | ||
+ | C_0' \\ | ||
+ | C_1' | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) = \left( | ||
+ | \begin{array}{c} | ||
+ | 0 \\ | ||
+ | -\frac{f}{p} | ||
+ | \end{array} | ||
+ | \right) $$ | ||
+ | Matice soustavy je {\it Wronského matice} funkcí $v_0, v_1$, ozn. $\mathcal{W}(v_0,v_1)$. Jestliže ukážeme, že {\it wronskián $\mathscr{W}$} je nenulový, | ||
+ | tj. $\mathrm{det}\ \mathcal{W}(v_0,v_1) \neq 0 $ pro všechna $x \in [0,l]$, pak je možné tuto soustavu vyřešit a najít funkce $C_0$ a $C_1$. | ||
+ | \item | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} |
Verze z 28. 12. 2016, 12:48
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01RMF
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01RMF | Mazacja2 | 16. 12. 2016 | 19:29 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 28. 12. 2016 | 14:12 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 18. 12. 2016 | 22:10 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 9. 11. 2016 | 21:51 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:34 | motivace.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněné funkce | Lomicond | 7. 12. 2019 | 17:51 | zobecnene_funkce.tex | |
Kapitola3 | editovat | Integrální transformace | Lomicond | 25. 12. 2019 | 16:58 | integralni_transformace.tex | |
Kapitola4 | editovat | Řešení dif. rovnic | Johndavi | 9. 4. 2019 | 16:15 | reseni.tex | |
Kapitola5 | editovat | Integrální rovnice | Johndavi | 8. 4. 2019 | 17:25 | Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Sturm-Liouvilleova teorie | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:35 | Kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF} \chapter{Eliptické diferenciální rovnice a operátory, Sturm-Liouvilleova teorie} \begin{define} Buď $G\subset \R^n$ omezená, otevřená množina. Nechť je dále $\partial G$ po částech z $\C^{1}$. Buďte dále $p\in \C^1(\bar{G})$, $q\in \C(\bar{G})$ takové funkce, že $p(x) >0$ a $q(x) \geq 0$ pro všechna $x\in G$. Pak $$ Lf(x) = -\div(p(x)\grad f(x)) + q(x) f(x) = g(x)$$ nazýváme {\bf Sturm-Liovilleovou úlohou} s okrajovými podmínkami (Robinovými): Existují funkce $\alpha(x),\beta(x)$ takové, že $\alpha \geq 0$, $\beta \geq 0$ a $\alpha+\beta >0$ takové, že $$ \alpha(x)f(x) + \beta(x)\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G,$$ kde $\vec{n}$ značí jednotkový vektor směřující ve směru vnější normály. \end{define} \begin{remark} Robinovy okrajové podmínky jsou jen kombinací dvou klasických podmínek, které je z nich možné snadno obdržet. Volíme-li \begin{enumerate} \item[$\alpha = 0$], pak má podmínka tvar $\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it homogenní von Neumannovou okrajovou podmínkou}. \item[$\beta =0$], pak má podmínka tvar $f(x) = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it Dirichletovou okrajovou podmínkou}. \end{enumerate} \end{remark} \begin{remark} Podmínky na funkce $p,q$ zajišťují eliptičnost operátoru, resp. rovnice. Provedeme-li totiž aplikaci divergence, obdržíme složky Laplaceova operátoru pronásobené funkcí $p(x)$, která je nenulová. \end{remark} V následující kapitole budeme zkoumat obecné vlastnosti operátoru $L$. Ty se budou odvíjet i od jeho definičního oboru, podobně jako tomu je u funkcí. Pro naše účely budeme brát za definiční obor operátoru $L$ množinu $$\mathrm{Dom}(L) = \left\{f \in \C^2(G) \cap \C^1 (\bar{G}): Lf \in L^2(G) \ \mbox{a splňují okrajové podmínky}} \right\}$$ \section{Vlastnosti $L$} Než si ukážeme několik vlastností operátoru $L$, rozepíšeme z praktických důvodů, následující integrál: $$\displaystyle \int_{G}v(x)Lu(x) \dd x = \displaystyle \int_{G}\left(-\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x = - \displaystyle \int_{G}\left(\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x$$ Nyní využijeme jednu identitu vektorové analýzy, která říká, že $$\div (v(x)p(x)\grad u(x)) = p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x) \div( p(x)\grad u(x)).$$ Aplikací této identity na integrand obdržíme $$- \displaystyle \int_G \div v(x)p(x)\grad u(x)) \dd x + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x)) \dd x =$$ $$ = - \displaystyle \int_{\partial G} v(x)p(x)\underbrace{\grad u(x) \cdot \vec{n}}_{\pd{u(x)}{\vec{n}}} \dd S + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x) )\dd x $$ Nyní již přikročme k větě, která nám ozřejmí vlastnosti Sturm-Liouvilleova operátoru \begin{theorem} Buď $L$ operátor z definice výše s Robinovými okrajovými podmínkami. Buďte dále $u,v \in \mathrm{Dom}(L)$. Pak platí: \begin{enumerate} \item L je symetrický operátor, tj. $\forall u,v \in \mathrm{Dom}(L) $ platí $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle $; \item L je positivní operátor, tj. $\forall u \in \mathrm{Dom}(L) $ platí $\langle u,Lu \rangle \geq 0$ ; \item dimenze jádra operátoru $L$ je buď 0, nebo 1; \item všechny vlastní hodnoty operátoru $L$ jsou nezáporné, tj. $\sigma(L) \subset \R^+$; \item vlastní funkce příslušné různým vlastním hodnotám jsou na sebe kolmé; \item vlastní funkce lze volit reálné. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Jelikož $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle \Leftrightarrow \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle =0 $, budeme zkoumat tento výraz a využijeme přitom faktu, že operátor $L$ má reálné koeficienty a rozepsání integrálu, které jsme provedli výše: $$ \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle = \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - \overline{Lu} v \ \dd x = \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - L\bar{u} v \ \dd x =$$ $$ = -\displaystyle \int_{\partial G}p\left(\bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \right)\dd S + \displaystyle \int_G \left[ p\grad \bar{u} \grad v + \bar{u}vq -\left(p\grad v \grad \bar{u} + v\bar{u}q\right) \right]\dd x = $$ $$ = - \displaystyle \int_{\partial G}p\left(\bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \right)\dd S$$ Abychom ukázali, že tento výraz je rovný nule, využijeme počáteční podmínky: Ty jsou pro funkce $\bar{u}$ a $v$ následující: $\left\{\begin{array}{ll} \alpha \bar{u} + \beta \pd{\bar{u}}{\vec{n}}, &\mbox{na } \partial G, \\ \alpha v + \beta\pd{v}{\vec{n}}, &\mbox{na } \partial G. \end{array}\right.$ Toto lze ale ekvivalentně přepsat na tvar rovnice pro $\alpha$, $\beta$: $$ \left(\begin{array}{cc} \bar{u} & \displaystyle \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \\ v & \displaystyle \pd{v}{\vec{n}} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right) $$ Tohle ale je ekvivalentní s tvrzením, že $$ \left| \begin{array}{cc} \bar{u} & \displaystyle \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \\ v & \displaystyle \pd{v}{\vec{n}} \end{array} \right| = \bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} = 0$$ Tímto jsme ukázali, že integrand je nulový a tedy celý integrál je nulový, čímž jsme ukázali, že operátor je symetrický. \item Nyní máme ukázat, že $\langle u,Lu \rangle \geq 0$. Rozepíšeme opět tento skalární součin a využijeme rozepsání integrálu $$ \langle \bar{u},Lu \rangle = \displaystyle \int_{G} \bar{u},Lu \ \dd x = - \displaystyle \int_{\partial G} \bar{u}p \pd{u}{\vec{n}} \dd S + \displaystyle \int_G p \grad \bar{u} \grad u + \bar{u}uq \ \dd x$$ Prozkoumáme integrandy u jednotlivých integrálů: \subitem Pro druhý integrand dostáváme odhad $$p \grad \bar{u} \grad u = p \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\pd{\bar{u}}{x_j}\pd{u}{x_j} = p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 >0,$$ přičemž využíváme kladnosti funkce $p$. \subitem Pro třetí integrand dostáváme tento odhad (a tentokrát využíváme nezápornosti funkce $q$): $$ \bar{u}uq = \Vert u \Vert q \geq 0$$ \subitem Pro první integrand bude diskuse nezápornosti obsáhlejší. Využijeme pro ni počáteční podmínky: Jestliže existuje $x_0$ takové, že $\alpha(x_0) = 0$, pak $\beta(x_0)>0$. Pak podmínka přechází na tvar $\beta(x_0)\pd{u}{\vec{n}}(x_0) = 0$. odtud pak již plyne, že $\pd{u}{\vec{n}}(x_0) = 0$. Pak ale pro všechna $x$ taková, že $\alpha(x)= 0$ plyne, že integrand $p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}}$ je nulový. Jestliže existuje $x_0$ takové, že $\beta(x_0) = 0$, pak $\alpha(x_0)>0$. Pak podmínka přechází na tvar $\alpha(x_0)u(x_0) = 0$. odtud pak již plyne, že $u(x_0) = 0$. Pak ale pro všechna $x$ taková, že $\beta(x)= 0$ plyne, že integrand $p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}}$ je nulový. Označme $\Gamma = \left\{ x \in \partial G : \alpha(x) \neq 0 \land \beta(x) \neq 0 \right\}$. Pak $\forall x \in \Gamma$ platí $$ \alpha u + \beta\pd{u}{\vec{n}} = 0 \Leftrightarrow u = - \frac {\beta}{\alpha}\pd{u}{\vec{n}}$$ Dosazením do prvního integrandu získáváme: $$ - p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}} = p \frac {\beta}{\alpha} \overline{\pd{u}{\vec{n}}}\pd{u}{\vec{n}} = p \frac {\beta}{\alpha}\pd{\bar{u}}{\vec{n}}\pd{u}{\vec{n}} = p \frac {\beta}{\alpha} \left\Vert \pd{u}{\vec{n}} \right\Vert ^2 \geq 0$$ Tímto jsme tedy dokázali, že je Sturm-Liouvilleův operátor positivní. \item Odhady, které jsme získali v předešlé části, použijeme i při dokazování dimense jádra. Ukážeme, že $\mathrm{dim}ker L= 1 \Rightarrow ker L$ obsahuje konstantní funkce a $\mathrm{dim}ker L= 0 \Rightarrow ker L $ obsahuje nulovou funkci. Berme tedy $u \in \mathrm{Dom} (L)$ takové, že $ u\in ker L$. Pak tedy z linearity plyne $$ 0 = \langle u,Lu \rangle = displaystyle \int_{\Gamma} p \frac{\beta}{\alpha} \left\Vert \pd{u}{\vec{n}} \right\Vert ^2 \dd S + \displaystyle \int_{G} p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 + q \Vert u \Vert^2 \dd x$$ Jelikož jsou všechny členy dle předešlé části důkazu nezáporné, musí být rovny nule, chceme-li dostat v jejich součtu nulu. \subitem Pro druhý integrand máme $$ p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 = 0 \Leftrightarrow \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert^2 = 0 \ \forall j\in \hat{n}.$$ Toto plyne z faktu, že $p>0$. Znamená to tedy, že $\pd{u}{x_j} = 0$ a tedy funkce $u $ je konstantní na $\bar{G}.$ Aby byla dimenze rovna jedné, musí být funkce $q \equiv 0$ na $G$. \subitem První integraand je při těěchto podmínkách již automaticky roven nule. Je-li ovšem dimense jádra 1, pak okrajová podmínka má tvar $$\alpha u =0 \Rightarrow \alpha \equiv 0 \ \mbox{na } \partial G$$ Tedy shrňme výsledek tohoto důkazu: $\mathrm{dim} \ ker L =0$, nebo $\mathrm{dim}\ker L =1 \Leftrightarrow q \equiv 0 \ \mbox{na }G \land \alpha \equiv 0 \ \mbox{na } \partial G$. \item Buď $\lambda $ vlastní hodnota operátoru $L$, tj. $Lu = \lambda u$ pro jisté $u\in \mathrm{Dom}(L)$. Pak $$ \langle u, Lu \rangle \geq 0 \Rightarrow \langle u, \lambda u \rangle \geq 0 \Leftrightarrow \lambda \langle u, u \rangle \geq 0 \Leftrightarrow \lambda \geq 0$$ Poslední nerovnost plyne z positivity skalárního součinu. \item Buďte $\lambda, \mu$ různé vlastní hodnoty operátoru $L$ a $u,v$ k nim příslušné vlastní vektory. Potom $$ \langle u, Lv \rangle = \langle u, \mu v \rangle \land \langle Lu, v \rangle = \langle \lambda u, v \rangle $$ Jelikož je ale operátor $L$ symetrický, platí $\langle u, Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle$. To ale říká, že $$ \langle u, \mu v \rangle = \rangle = \langle \lambda u \Rightarrow \mu \langle u, v \rangle = \lambda \langle u, v \rangle \Leftrightarrow (\mu - \lambda)\langle u, v \rangle = 0 \Leftrightarrow \langle u, v \rangle = 0 $$ Poslední ekvivalence plyne z faktu, že $\mu$ a $\lambda$ jsou různé vlastní hodnoty. Tedy vlastní funkce $u,v$ jsou ortogonální. \item Poslední tvrzení dokážeme snadno. Předpokládejme, že $Lu = \lambda u$. Pak pomocí komplexního sdružení získáme $$ \overline{Lu} = \overline{\lambda u} = \lambda \bar{u}$$ Jelikož má $L$ reálné koeficienty, platí, že $\overline{Lu} = L\bar{u}$. Pak ale $$ \lambda \bar{u} = L\bar{u} \land Lu = \lambda u $$ Tedy vektory $u$ a $\bar{u}$ jsou vlastní vektory stejné vlastní hodnoty, tedy i jejich součet je vlastním vektorem. Pak ale stačí volit jako reálnou funkci $u +\bar{u}$. Tímto jsme tedy explicitně našli konkrétní reálnou vlastní funkci příslušnou vlastní hodnotě $\lambda$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \section{Sturm-Liouvilleova úloha pro 1 dimensi} V této kapitole budeme řešit S-L úlohu pro 1 dimensi, což je případ, se kterým se člověk (ve zkouškových písemkách) setkává nejčastěji. Na konci této kapitoly budou rovněž zavedeny Greenovy funkce. Pro 1D má tedy úloha tvar: \textit{Buď $G = (0,l)$, $l>0$ s hranicí $\partial G = \left\{0,l \right\}$. Buď dále $p>0$, $p\in \C^{(1)}\left(\left[0,l\right]\right)$ a $q\geq 0$, $q\in \C\left(\left[0,l\right]\right)$. Sturm-Liouvilleova úloha má pak tvar $$ L f(x) = -\frac{\dd }{\dd x}\left(p(x) \frac{\dd}{\dd x}f(x) \right) + q(x)f(x) $$ s okrajovou podmínkou pro dva body na hranici: Buďte $\alpha_0, \alpha_1, \beta_0, \beta_1 \geq 0$ tak, že $\alpha_0 + \beta_0 >0$ a $\alpha_1 + \beta_1 >0$, pak $$\alpha_0 f(0) - \beta_0 f'(0) = 0\footnote{Před druhým členem je skutečně mínus, neboť se jedná o derivaci ve směru vnější normály.}$$ $$\alpha_1 f(l) + \beta_1 f'(l) = 0$$ } Budeme navíc předpokládat, že dimense jádra je 0. Tedy neplatí podmínka odvozená v předešlé kapitole, tj. není pravda, že $q(x) =0 \ \forall x \in G \land \alpha_0 = \alpha_1 = 0$. Spočítáme řešení této úlohy a získáme vlastnosti $L$. Při řešení této úlohy budeme postupovat v několika krocích: \begin{enumerate} \item Najdeme dvojici řešení $v_0$, $v_1$, která řeší úlohu $Lv_0 = 0 = Lv_1$ a splňují právě jednu z okrajových podmínek. Nechť tedy $v_0$ splňuje levou hraniční podmínku, tj. $$ \alpha_0 v_0 (0) - \beta_0 v'_0 (0) = 0,$$ a $v_1$ splňuje pravou hraniční podmínku, tj. $$ \alpha_1 v_1 (l) - \beta_1 v'_1 (l) = 0.$$ Že taková řešení existují, vyplývá z teorie diferenciálních rovnic. \item Hledejme obecné řešení tvaru: $$ u(x) = C_0(x)v_0(x) + C_1(x)v_1(x)$$ Pak po dosazení do S-L operátoru získáváme $$ Lu = -\left(p(x)u'(x)\right)' + q(x)u(x) = -\left[ p(C_0'v_0 + C_0 v_0' + C_1' v_1 + C_1 v_1') \right]' + q (C_0 v_0 + C_1 v_1) = $$ $$ = -p'(C_0'v_0) - p (C_0'v_0)' - p(C_0 v_0')' - p'(C_0 v_0') - p'(C_1 'v_1) - p (C_1' v_1)' - p(C_1 v_1')' - p'(C_1 v_1') + q C_0 v_0 + q C_1 v_1 = $$ $$ = C_0 \underbrace{\left[ -(pv_0')' + qv_0 \right]}_{Lv_0 = 0} - p C_0' v_0' + C_1 \underbrace{\left[ -(pv_1')' + qv_1 \right]}_{Lv_1 =0} - pC_1' v_1' - p'(C_0v_0') - p(C_0 v_0)' - p'(C_1' v_1) - p(C_1' v_1)'= $$ $$ = -\left[ p\left(C_0' v_0 + C_1' v_1 \right) \right]' - p \left( C_0' v_0' + C_1' v_1'\right) \stackrel{! }{=} f $$ Aby tohle platilo, je třeba nalézt funkce $C_0, C_1$ takové, že $$ C_0' v_0 + C_1' v_1 = 0 $$ $$ C_0' v_0' + C_1' v_1' = -\frac{f}{p} $$ Tuto soustavu lze maticově formulovat jako: $$ \left(\begin{array}{cc} v_0 & v_1 \\ v_0' & v_1' \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} C_0' \\ C_1' \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -\frac{f}{p} \end{array} \right) $$ Matice soustavy je {\it Wronského matice} funkcí $v_0, v_1$, ozn. $\mathcal{W}(v_0,v_1)$. Jestliže ukážeme, že {\it wronskián $\mathscr{W}$} je nenulový, tj. $\mathrm{det}\ \mathcal{W}(v_0,v_1) \neq 0 $ pro všechna $x \in [0,l]$, pak je možné tuto soustavu vyřešit a najít funkce $C_0$ a $C_1$. \item \end{enumerate}