Verze z 4. 10. 2016, 17:36

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Testovací funkce}
 
\begin{define}
{\bf Nosičem funkce $\phi$} rozumíme množinu $\overline{\{ x \in \R^n \ | \ \phi(x) \neq 0 \} }$. Označujeme jej $\nf \phi$. 
\end{define}
 
\begin{define}
Množinu $\D (\R^n) = \{ \phi \in \Ci (\R^n) \ | \ \nf \phi \mbox{ je omezený} \}$ nazvěme {\bf množinu testovacích funkcí}. Tzn. {\bf testovací funkce} jsou funkce třídy $\Ci (\R^n)$ s kompaktním nosičem. 
Buď nyní $G = G^o$ otevřená podmnožina $\R^n$. Pak definujeme $\D (G) = \{ \phi \in \D (\R^n) \ | \ \nf \phi \subset G \}$ 
\end{define}
 
\begin{remark}
Je zřejmé, že pokud $\phi \in \D (\R^n)$, pak $\alpha \phi \in \D (\R^n)$ pro $\alpha \in \R$.
Buď nyní $f$ hladká funkce. Pak rovněž $f\phi \in \D (\R^n)$ 
\end{remark}
 
Abychom získali jistou intuici a vhled do dané problematiky, předběžně definujme zobecněné funkce $\D' (\R^1)$. Tuhle definici později zpřesníme a zobecníme. 
\begin{define}
Nechť $f$ je reálná, resp. komplexní funkce reálné proměnné. Nechť dále 
$$\exists \displaystyle \int_{\left[a,b \right]}f(x)\phi(x)\dd x < +\infty , \: \forall \left[a,b \right] , \: \forall \phi \in \D(\R^1).$$
Pak nazvěme $f$ {\bf zobecněnou funkcí}. 
 
\noident {\bf Akcí testovací funkce $\phi$ na $f$} rozumíme 
$$\left(f,\phi\right) := \displaystyle \int_\R f(x)\phi(x)\dd x , \: \forall \phi \in \D(\R^1)$$. 
 
\end{define}