Verze z 3. 10. 2016, 21:32

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Motivace}
\section{Problém s Diracovou $\delta$-funkcí}
V~průběhu předešlého studia například teoretické fyziky (TEF2) vyvstal mj. problém s~popisem bodových zdrojů záření. 
Bylo potřeba definovat nějakou \uv{funkci}, která by dokázala popsat chování nějakého bodového zdroje a zároveň by nějakým 
způsobem popisovala \uv{mohutnost} tohoto zdroje. Proto se definovala tzv. {\it Diracova $\delta$-funkce}. Připomeňme její 
definici: 
 
$$\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &\mbox{pro } x\neq 0, \\[.2em] +\infty, &\mbox{pro } x=0. \end{array}\right.$$
a zároveň požadujeme
$$\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 1.$$
 
Vidíme, že minimálně druhý požadavek na naši funkci je v~rozporu s~našimi dosavadními znalostmi z~matematické analýzy. Tam totiž 
při použití Lebesgueovy integrace dostáváme 
 
$$ \mathcal{L}\displaystly \int _\R \delta(x) \dd x = 0,$$
protože naše funkce je nulová až na množině nulové míry. Tento rozkol se tedy budeme snažit v průběhu tohoto skripta odstranit. 
 
Zároveň bychom rádi na námi nově zavedené tzv. \uv{zobecněné funkce} pohlíželi alespoň částečně optikou již známé analýzy. 
Dostaneme pak totiž zajímavé vlastnosti těchto funkcí, jako například tu, že každá zobecněná funkce má všechny derivace. 
 
Abychom se ale k~těmto vlastnostem a~k~celé teorii zobecněných funkcí propracovali, je nutné se nejprve oprostit od zažitého 
pohledu na funkce. To znamená, že na funkci nebudeme pohlížet \uv{bodově}. 
 
\section{Koncept testování funkcí}
Testovat funkce můžeme různými způsoby. Pokud bychom chtěli zjišťovat nějakou danou vlastnost jisté látky na teplotě $T$, hledáme funkci popisující tuhle závislost. 
To znamená, že hledáme nějakou $f(T)$. Mohli bychom náš vzorek rozdělat na malé kousky a~ty zahřívat na různé teploty a~následně měřit danou vlastnost. 
Sami cítíte, že tohle by nebyla nejlepší metoda, tzv.  {\it vyčíslování funkce v daném bodě}. To znamená, že konkrétně 
počítám hodnotu $f(T)$ v konkrétních hodnotách T. V~praxi ale nemáme přesně regulovatelnou teplotu, takže se pohybujeme na nějakém teplotním intervalu $\[a,b\]$. 
Mohli bychom tedy měřit celkovou hodnotu veličiny a~tu dělit délkou onoho intervalu, tj. počítat $\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_{\[a,b\]}$ f(T)\dd T. 
Pokud bychom pak zmenšovali náš interval $\[a,b\]$, dostali bychom v limitě hodnotu funkce $f(T)$ v~daném bodě $T$. Tento způsob můžeme nazvat 
{\it průměrováním funkce přes interval}. Vidíme, že již poskytuje zajímavější pohled na hledanou funkci, ale cítíme, že je příliš \uv{hrubý}. 
V~podstatě nezahrnuje informaci o~tom, jak často (s~jakou pravděpodobností) se teplota nachází v daných bodech intervalu. 
Pokud bychom tohle teplotní rozdělení znali, nazvěme jej třeba $\phi (T)$, můžeme náš předešlý postup opakovat jen s~tím rozdílem,
že vážíme každý bod intervalu touto četností. Matematicky řečeno počítáme $\displaystyle\int_{\[a,b\]}$ f(T)\phi(T)\dd T.
Budeme-li mít tuto znalost pro značné množství funkcí $\phi(T)$, můžeme pak zjistit chování $f(T)$. Toto je ve zkratce nastíněný třetí 
a~nejsilnější koncept testování funkcí, tzv. {\it testování pomocí testovacích funkcí}.