02LIAG:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
|||
Řádka 43: | Řádka 43: | ||
$A_{\mrm{F}}$ již splňují $A_{\mrm{F}}^+=A_{\mrm{F}}$. | $A_{\mrm{F}}$ již splňují $A_{\mrm{F}}^+=A_{\mrm{F}}$. | ||
− | + | \subsubsection*{Shurovo lemma} | |
− | + | ||
\Vet{ | \Vet{ | ||
$V$ vektorový prostor nad $\C$, $\dim V < +\infty$, $\Sigma \subset \gl(V)$ ireducibilní. Potom $\forall A \in \gl (V): ([A,\Sigma ]=0 \Rightarrow (\exists \lambda \in \C)(A=\lambda \mathbb{1}))$. | $V$ vektorový prostor nad $\C$, $\dim V < +\infty$, $\Sigma \subset \gl(V)$ ireducibilní. Potom $\forall A \in \gl (V): ([A,\Sigma ]=0 \Rightarrow (\exists \lambda \in \C)(A=\lambda \mathbb{1}))$. |
Verze z 16. 7. 2016, 16:13
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02LIAG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02LIAG | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 21:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Hazalmat | 7. 7. 2016 | 07:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Hazalmat | 10. 7. 2016 | 22:12 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvod | Hazalmat | 3. 8. 2016 | 22:12 | LIAG_Kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Definice Lieovy grupy a Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:02 | LIAG_Kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Vztah mezi Lieovou grupou a její algebrou | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:27 | LIAG_Kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Nástin teorie integrabilních distribucí | Hazalmat | 30. 7. 2016 | 15:10 | LIAG_Kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Akce grupy na varietě | Hazalmat | 17. 7. 2016 | 20:23 | LIAG_Kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 18:21 | LIAG_Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Souvislost Lieových grup a algeber | Hazalmat | 4. 8. 2016 | 19:51 | LIAG_Kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Lieovy algebry | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 02:06 | LIAG_Kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Cartanova kritéria | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:29 | LIAG_Kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Klasifikace pomocí kořenů | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:34 | LIAG_Kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Kořenové diagramy, Cartanova martice | Hazalmat | 31. 7. 2016 | 16:32 | LIAG_Kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Dynkinovy diagramy | Hazalmat | 5. 8. 2016 | 18:39 | LIAG_Kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Reálné formy komplexních poloprostých algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:39 | LIAG_Kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Význam kompaktních Lieových grup | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 00:45 | LIAG_Kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Reprezentace poloprostých Lieových algeber | Hazalmat | 1. 8. 2016 | 13:45 | LIAG_Kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Spinorové reprezentace | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 21:38 | LIAG_Kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Symetrie v QM | Hazalmat | 27. 7. 2016 | 22:21 | LIAG_Kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Cvičení | Hazalmat | 6. 8. 2016 | 04:42 | LIAG_Kapitola17.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:liag-1.pdf | liag-1.pdf |
Image:su3_1.pdf | su3_1.pdf |
Image:su3_2.pdf | su3_2.pdf |
Image:su3_3.pdf | su3_3.pdf |
Image:su3_4.pdf | su3_4.pdf |
Image:su3_5.pdf | su3_5.pdf |
Image:su3_6.pdf | su3_6.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02LIAG} \section{Reprezentace Lieových grup a algeber} \Def{ \textbf{Reprezentace Lieovy grupy $G$} na vekt. prostoru $V$ je (hladký) homomorfismus $\phi : G \to GL(V)$. } \Pzn{ V~případě $\dim G= +\infty$ je vhodné uvažovat $\mathscr{H}$ a $\phi : G \to \mathscr{B}(\mathscr{H})$. } \Def{ \textbf{Reprezentace Lieovy algebry $\g$} na vekt. prostoru $V$ je homomorfismus $\phi : \g \to \gl (V)$. (Tedy $\phi$ je lineární a platí $[\phi (X),\phi (Y)]=\phi([X,Y])$. } \Prl{ \label{Pr_reprezentace_so(3)} Reprezentace $\mathfrak{so}(3)$ na $\mathcal{C}^{\infty}(\R^3)$: $\phi(X_i)=\varepsilon_{ijk}x_k\partial_{j}$ (sumace podle dolních indexů). } \Def{ Reprezentace $G$ (resp. $\g$) je \textbf{věrná}, právě když $\phi$ je prosté zobrazení (monomorfismus). } \Pzn{ Na základě věrné reprezentace jsme schopni zrekonstruovat $G$ (resp. $\g$), proto nazýváme věrné reprezentace \textbf{realizací} dané $G$ (resp. $\g$), např. $\mathfrak{so}(3)$ jako matice nebo vektorová pole z~př. \ref{Pr_reprezentace_so(3)}. } \Def{ Buď $\Sigma \subset \gl (V)$. $\Sigma$ je \begin{itemize} \item \textbf{reducibilní} $\Leftrightarrow$ $(\exists W \subset\subset V, W \notin \{ V,\{0\} \})(\Sigma W \subset W)$, \item \textbf{ireducibilní} $\Leftrightarrow$ $(\forall W \subset\subset V, W \neq V)((\Sigma W \subset W)\Rightarrow W=\{0\})$, \item \textbf{úplně reducibilní} $\Leftrightarrow$ $(\forall W \subset\subset V, \Sigma W \subset W)(\exists \tilde{W} \subset\subset V, \Sigma \tilde{W}\subset \tilde{W}) (V=W \oplus \tilde{W})$. \end{itemize} Reprezentace $G$ (resp. $\g$) je ireducibilní (reducibilní, úplně reducibilní) právě tehdy když $\phi (G)$ (resp. $\phi (\g)$) je ireducibilní (reducibilní, úplně reducibilní). } \Prl{ Reprezentace $\phi: G \to \mathcal{U}(\mathscr{H})$ (\textbf{unitární reprezentace}) jsou úplně reducibilní, protože z~unitarity platí $\phi(G) W \subset W$ $\Rightarrow$ $\phi(G) W^\perp \subset W^\perp$. Navíc na úrovni algeber platí $\phi_* : \g \to \mathfrak{u}(\mathscr{H})$ a pomocí exponenciely dostaneme pro $X \in \g$: \begin{align*} \phi ( \e^X ) = \e^{\phi_*(X)} \rimpl \left( \phi (\e^X)\right)^+ &= \phi (\e^X)^{-1} = \e^{-\phi_* (X)} \\ &= \left( \e^{\phi_* (x)}\right)^+ = \e^{\left( \phi_*(X)\right)^+} \end{align*} $\Rightarrow \quad (\phi_*(X))^+=-\phi_*(X)$, tj. $\phi_*(X)$ jsou antihermitovské matice, $\mathfrak{u}(\mathscr{H}) = \left\{ B \in \gl(\mathscr{H}) \middle| B + B^+ = 0 \right\}$. } Ve fyzice se obvykle používají unitární matice, proto se definují \textbf{fyzikální veličiny} \begin{align} A \mapsto A_{\mrm{F}}=-\cu A \,. \end{align} $A_{\mrm{F}}$ již splňují $A_{\mrm{F}}^+=A_{\mrm{F}}$. \subsubsection*{Shurovo lemma} \Vet{ $V$ vektorový prostor nad $\C$, $\dim V < +\infty$, $\Sigma \subset \gl(V)$ ireducibilní. Potom $\forall A \in \gl (V): ([A,\Sigma ]=0 \Rightarrow (\exists \lambda \in \C)(A=\lambda \mathbb{1}))$. } \begin{proof} $A \in \gl(V) \rimpl \sigma(A) \neq \emptyset \rimpl \exists \lambda \in \C: W = \mrm{ker}(A-\lambda\mathbb{1}) \neq \{ \vec{0}\} \rimpl (A - \lambda \mathbb{1})\Sigma W = \Sigma (A - \lambda \mathbb{1})W = 0 \rimpl \Sigma W \subset \mrm{ker}(A-\lambda \mathbb{1}) \rimpl W$ je invariantní podprostor$\rimpl W = V$ \end{proof} \Vet{ $V$ nad $\C$, $\Sigma \subset \gl (V)$ úplně reducibilní. Pokud platí $(\forall A \in \gl (V) )([A,\Sigma ]=0 \Rightarrow ( \exists \lambda \in \C ,\ A=\lambda \mathbb{1}))$, potom $\Sigma$ je ireducibilní. } \begin{proof} $W \neq \{ \vec{0} \}$ invariantní podprostor$\rimpl \exists \widetilde{W}$ invariantní podprostor takový, že $V = W \oplus \widetilde{W},\ \forall S\in \Sigma,\ S: W \to W,\ S: \widetilde{W} \to \widetilde{W} \rimpl$definujeme $A:\zuz{A}{W}=\lambda\mathbb{1},\ \zuz{A}{\widetilde{W}} = 0 \rimpl [A,S] = 0,\ \forall S \in \Sigma \rimpl \exists \lambda \in \C,\ A = \lambda\mathbb{1} \rimpl \widetilde{W} = \{ \vec{0} \} \rimpl V =W$ \end{proof}