Matematika1Priklady:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (oprava překlepu) |
m (oprava preklepu) |
||
Řádka 216: | Řádka 216: | ||
\item | \item | ||
Spočtěte délku grafu | Spočtěte délku grafu | ||
− | $x = \frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2} \ln y$, kde $ | + | $x = \frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2} \ln y$, kde $y \in [1,e]$. |
\res{$\frac{e^2+1}{4}$} | \res{$\frac{e^2+1}{4}$} | ||
Verze z 25. 4. 2016, 08:34
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika1Priklady
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika1Priklady | Fucikrad | 18. 9. 2011 | 08:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:44 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 27. 4. 2022 | 09:11 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Limity a spojitost | Pitrazby | 25. 10. 2016 | 09:25 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Derivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptoty | Dvoraro3 | 4. 11. 2022 | 22:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vyšetřování funkcí | Admin | 29. 1. 2023 | 20:44 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Extremální úlohy, konvexnost, konkávnost, inflexe | Admin | 3. 4. 2024 | 11:17 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Neurčité integrály a primitivní funkce | Dvoraro3 | 28. 11. 2022 | 23:16 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Určité integrály | Pitrazby | 28. 4. 2016 | 12:29 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Aplikace integrálů | Fucikrad | 12. 4. 2022 | 10:53 | kapitola7.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1Priklady} \section{Aplikace integrálů} \subsection*{\fbox{Rozcvička}} V této krátké části jsou příklady, které pro svou vyšší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány. \begin{itemize} \item Spočtěte povrch toru (duše) $\displaystyle x^2 + (y-b)^2 = a^2; b \ge a$ \res{$4\pi^2ab$} \end{itemize} \subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}} \begin{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \odstavec{Výpočet plochy} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \sin(x)\cos\left( \frac{x}{2} \right)$ na intervalu $[-\pi,\pi]$. Jaká je plocha pod touto funkcí na intervalu $[0,\pi]$ ? \res{$\frac43$} \item Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce \begin{priklad} f(x) = 2 + x^3; x \in [0, 1]. \end{priklad} \res{$\frac94$} \item Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce \begin{priklad} f(x) = (2x^2+1)^2; x \in [0, 1]. \end{priklad} \res{$\frac{47}{15}$} \item Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce \begin{priklad} f(x) = \sin x; x \in \Big[ \frac{1}{3}\pi, \frac{1}{2}\pi \Big]. \end{priklad} \res{$\frac{1}{2}$} \item Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce \begin{priklad} f(x) = x \sqrt{2x^2+1}; x \in [0, 2]. \end{priklad} \res{$\frac{13}{3}$} \item Spočtěte plochu mezi osou $x$ a grafem funkce \begin{priklad} f(x) = x^{-3}(1+x^{-2})^{-3}; x \in [1, 2]. \end{priklad} \res{$\frac{39}{400}$} \item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy \begin{priklad} y = \sqrt x \end{priklad} a \begin{priklad} y = x^2. \end{priklad} \res{$\frac{1}{3}$} \item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy \begin{priklad} y = x^2 \end{priklad} a \begin{priklad} y = 4x-3. \end{priklad} \res{$\frac{4}{3}$} \item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy \begin{priklad} y = x \end{priklad} a \begin{priklad} x^3-10y^2=0. \end{priklad} \res{10} \item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy \begin{priklad} y = x, \end{priklad} \begin{priklad} y = 2x \end{priklad} a \begin{priklad} y =4. \end{priklad} \res{4} \item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy \begin{priklad} y = \cos x \end{priklad} a \begin{priklad} y = 4x^2 - \pi^2. \end{priklad} \res{$2 + \frac{2}{3}\pi^3$} \item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy \begin{priklad} y = \cos^2(\pi x) \end{priklad} a \begin{priklad} y = \sin^2(\pi x) \end{priklad} pro $x\in[0,\frac14]$. \res{$\frac{1}{2\pi}$} \item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy \begin{priklad} y = 2^x, \end{priklad} \begin{priklad} y = 2 \end{priklad} a \begin{priklad} x = 0. \end{priklad} \res{$2-\frac{1}{\ln 2}$} \item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy \begin{priklad} y = (x+1)^2 \end{priklad} a \begin{priklad} x = \sin(\pi y) \end{priklad} pro $y\in[0,1]$. \res{$\frac{1}{3}+\frac{2}{\pi}$} \item Spočtěte plochu sevřenou mezi grafy \begin{priklad} y = x \end{priklad} a \begin{priklad} y = x + \sin^2 x \end{priklad} pro $x\in[0,\pi]$. \res{$\frac{\pi}{2}$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \odstavec{Výpočet těžiště} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy $y = \sqrt{x^2(1-x^2)}$ a $y=0$. \res{$\bar{x}=\frac{3}{16}\pi, \bar{y}=\frac{1}{5}$} \item Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy $y = \frac{4}{x^2}$ a $y=0$ pro $x\in[1,3]$. \res{$\bar{x}=\frac32\ln3, \bar{y}=\frac{26}{27}$} \item Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy $y = 1+x^4$ a $y=0$ pro $x\in[0,1]$. \res{$\bar{x}=\frac59, \bar{y}=\frac{17}{27}$} \item Určete souřadnice těžiště oblasti vymezené grafy $y = \sqrt{1-x^2}$ a $y=0$ pro $x\in[-1,0]$. \res{$\bar{x}=-\frac{4}{3\pi}, \bar{y}=\frac{4}{3\pi}$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \odstavec{Výpočet délky grafu funkce} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Jaká je délka grafu funkce $f(x)=\sqrt{x(1-x)}$ ? \res{$\pi/2$} \item Pomocí funkce $\displaystyle f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ a integrálního počtu spočítejte obvod kruhu o poloměru $R$. \item Spočtěte délku křivky $\displaystyle f(x) = x \sqrt x$, $x \in [ 0, 4 ]$. \res{${\frac {80}{27}}\,\sqrt {10}-{\frac {8}{27}}$} \item Spočtěte délku grafu $y = \ln x$, kde $x \in [\sqrt 3, \sqrt 8]$. \res{$1 + \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$} \item Spočtěte délku grafu $y = a \cosh \Big(\frac{x}{a} \Big)$, kde $x \in [0, b]$. \res{$a \sinh \frac{b}{a}$} \item Spočtěte délku grafu $x = \frac{1}{4}y^2 - \frac{1}{2} \ln y$, kde $y \in [1,e]$. \res{$\frac{e^2+1}{4}$} \item Spočtěte délku grafu $y = a \ln \frac{a^2}{a^2-x^2}$, kde $x\in[0,b]$ a $b < a$. \res{$a \ln \frac{a+b}{a-b} -b$} \item Spočtěte délku grafu $y = \ln \cos x$, kde $x\in[0,a]$ a $a < \frac{\pi}{2}$. \res{$\ln | \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{a}{2})|$} \item Spočtěte délku grafu $y = 2a \ln \frac{\sqrt a + \sqrt x}{\sqrt a - \sqrt x} - 4\sqrt{ax}$, kde $x\in[0, b]$ a $b>0$. \res{$2a \ln \frac{a}{a-b} -b$} \item Spočtěte délku grafu $x = a \ln \frac{a+\sqrt{a^2 - y^2}}{y} - \sqrt{a^2 - y^2}$, kde $y\in[b,a]$ a $0<b < a$. \res{$a \ln \frac{a}{b}$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \odstavec{Výpočet objemu rotačního tělesa} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Spočítejte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené $y=2x-x^2$ a $y=0$ kolem osy $x$. \res{$\pi$16/15} \item Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy $y = x^2$ a $y = 9$ okolo osy $x$. \res{$\frac{1944}{5} \pi$} \item Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy $y = x^3$, $xy=10$ a $y=1$ okolo osy $x$. \res{$\left( \frac{80}{7}10^{\frac34} - \frac{134}{7} \right) \pi$} \item Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy $y = \sqrt{4-x^2}$ a $y = 0$ okolo osy $x$. \res{$\frac{32}{3} \pi $} \item Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy $y = x$ a $y =2x - x^3$ okolo osy $x$. \res{$\frac{12}{35} \pi$} \item Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy $y = \frac{1}{1+x^2}$, $y = 0$ a $x\in[-1,1]$ okolo osy $x$. \res{$\frac{\pi}{4}(\pi+2)$} \item Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy $y = \cos x$, $y=2 \cos x$, $x\in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ okolo osy $x$. \res{$\frac{3}{2}\pi^2$} \item Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy $y = e^x -1$, $y =2$ a $x =0$ okolo osy $x$. \res{$\pi(3 \ln^2 3 - 6 \ln 3 + 4)$} \item Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy $x = y^3$, $x = 8$, $y = 0$ okolo osy $y$. \res{$\frac{128}{7} \pi$} \item Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy $y = \sqrt x$ a $y = x^3$ okolo osy $y$. \res{$\frac{2}{5}\pi$} \item Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy $x = y^2$ a $x = 2-y^2$ okolo osy $y$. \res{$\frac{10}{3} \pi$} \item Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy $y = x$ a $y = 2x-x^3$ okolo osy $y$. \res{$\frac{4}{15} \pi$} \item Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy $y^3-y = x$ a $x =0$ okolo osy $y$. \res{$\frac{16}{105}\pi$} \item Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy $y = \cos x$, $y = 2 \cos x$, $x\in[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ okolo osy $x$. \res{$\frac32\pi^2$} \item Spočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy sevřené grafy $y = \cos x$, $y = 2 \cos x$, $x\in[0, \frac{\pi}{2}]$ okolo osy $y$. \res{$\pi^2-2\pi$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \odstavec{Výpočet povrchu rotačního tělesa} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Pomocí funkce $\displaystyle f(x)=\sqrt{R^2-x^2}$ a integrálního počtu spočítejte objem a povrch koule o poloměru $R$. \res{$V = \pi R^3 4/3$, $P = 4\pi R^2$.} \item Pomocí integrálního počtu a vhodně zvolené funkce spočítejte objem a povrch pláště kužele o výšce $a$ a poloměru podstavy $r$. \res{$V = (\pi r^2 v )/ 3$, $P = \pi r \sqrt{v^2+r^2}$} \item Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $y = \sin x$ a $x \in [0, \pi]$ okolo osy x. \res{$2\pi(\sqrt 2 + \ln(1+\sqrt2))$} \item Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $y = \frac{1}{x}$, $x\in[\frac{1}{2}, 2]$ okolo osy x. \res{$\sqrt{5}\pi + 2\pi\ln{(2 + \frac{2}{1+\sqrt 5})}$} %\item %Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu %$y = \frac{1}{x}$, $x\in[a, b]$ okolo osy x, $a>0$, $b>a$. %\res{$3\pi/16 (9- 8 \ln 2)$} % divne reseni, tezky priklad \item Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $y = e^x$ a $x \in [-\ln 2, \ln 2]$ okolo osy x. \res{$\pi(\frac{7}{4}\sqrt 5 + \ln \frac{4+2\sqrt 5}{1+\sqrt 5})$} \item Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $y^2 +4x = 2 \ln y$, $y\in[1, 2]$ okolo osy y. \res{$\frac{\pi}{16}(4 \ln^2 2 + 16 \ln 2 - 27$} % nepatri nasledujici reseni jinam? % \res{$2\pi \ln \frac{b^2+\sqrt{1+b^2}}{a^2+\sqrt{1+a^2}} + 2 \pi (\sqrt{1+1/a^2} - \sqrt{1+1/b^2})$} \item Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $y = a \cos \frac{\pi x}{2b}$, $x\in[-b, b]$ okolo osy x. \res{$2a \sqrt{\pi^2a^2+4b^2} + 8b^2/\pi \ln \frac{\pi a + \sqrt{\pi^2a^2+4b^2}}{2b}$} \item Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $y^2 = 2px$, $x\in[0, b]$ okolo osy x. \res{$2\pi/3((2b+p)\sqrt{2bp + p^2}-p^2)$} \item Spočtěte povrch rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $y^2 = 2px$, $x\in[0, b]$ okolo osy y. \res{$\frac{\pi}{4} \big((p + 4b) \sqrt{2b(p + 2b)} - p^2 \ln{\frac{\sqrt{2b} + \sqrt{p + 2b}}{\sqrt{p}}} \big)$} \end{enumerate}