Verze z 6. 5. 2014, 11:34

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN2}
 
\section{Další ekvivalentní způsoby zápisu kvantové mechaniky}
 
%==============================================
\subsection{Jiný výběr báze Hilbertova prostoru}
%==============================================
Pro jednoduchost budeme v celé kapitole předpokládat bezspinovou částici v $\real^3$ resp. $\real$. Případná zobecnění na částici se spinem, popř. systémy více částic budou zřejmá.
 
Vlnovou funkci $\psi(\vec{x})$ lze psát
\begin{equation} \label{ZQM:VBHpsix}
	\psi(\vec{x}) = \int \delta^{(3)}(\vec{y} - \vec{x}) \psi(\vec{y}) d^3y = \braket{\vec{x}}{\psi}
\end{equation} 
a chápat ji jako skalární součin abstraktního vektoru $\ket{\psi}$ a zobecněného vlastního vektoru polohy $\ket{\vec{x}}$:
$\hat{\vec{X}} \ket{\vec{x}} = \vec{x} \ket{\vec{x}}$ splňujícího
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketx}
	\int \ket{\vec{x}} \bra{\vec{x}} d^3x = \opone, \quad 
	\ket{\vec{x}} = \psi_{\vec{x}} (\vec{y}) = \delta^{(3)}(\vec{y} - \vec{x}).
\end{equation} 
 
Ket $\ket{\vec{x}}$ lze chápat jako zápis funkce $\psi_{\vec{x}} (\vec{y})$, prostřednictvím její vlastní hodnoty.
 
Doposavad jsme budovali kvantovou mechaniku zapsanou v bázi $\hilbert$ tvořené zobecněnými vlastními vektory operátoru polohy $\hat{\vec{X}}$ (tzv. polohová neboli x-reprezentace kvantové mechaniky). Lze si představit, že je možno pracovat i v jiných bázích. Lze se setkat s
\begin{enumerate}[$(1)$]
	\item bází tvořenou vlastními vektory hybnosti $\ket{\vec{p}}$:
				$\hat{\vec{P}} \ket{\vec{p}} = \vec{p} \ket{\vec{p}}$
				(hybnostní neboli p-reprezentace),
	\item bází tvořenou ÚMP obsahující hamiltonián $\hat{H}$ (energetická reprezentace).
\end{enumerate}
 
Rozebereme si nejprve důvěrně známou x-reprezentaci. Vezměme si libovolný operátor $\hat{A}$, dva stavy $\ket{\varphi}$, $\ket{\psi} \in \hilbert$ a zkoumejme výraz $\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi}$. Pro zobecněné vektory polohy $\ket{\vec{x}}$, $\ket{\vec{y}}$ můžeme na základě \eqref{ZQM:VBHpsix}, \eqref{ZQM:VBHketx} psát
\begin{align} \label{ZQM:VBHmatreprA1}
	\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi} &=
	\bra{\varphi} \left( \int d^3x \: \ket{\vec{x}} \bra{\vec{x}}  \right) \hat{A}
	\left( \int d^3y \: \ket{\vec{y}} \bra{\vec{y}}  \right) \ket{\psi} = \nonumber \\
	&= \int d^3x \int d^3y \: \braket{\varphi}{\vec{x}} \brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}} \braket{\vec{y}}{\psi} =
	\int d^3x \int d^3y \: \overline{\varphi(\vec{x})} \brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}} \psi(\vec{y}),
\end{align}
kde výraz $\brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}}$ představuje maticový element operátoru $\hat{A}$ v bázi $(\ket{\vec{x}})$. Zkusme určit tento element pro operátory $\hat{X}_i$, $\hat{P}_i$, jejichž explicitní vyjádření známe. Užitím \eqref{ZQM:VBHketx} je možno hledaný součin psát jako
\begin{align*}
	\brapigket{\vec{x}}{\hat{X}_i}{\vec{y}} &= \int d^3z \: \delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{x}) z_i \delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{y})
			= x_i \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}), \\
	\brapigket{\vec{x}}{\hat{P}_i}{\vec{y}} &= \int d^3z \: \delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{x}) \left( -i \hbar \parcder{}{z_i} \right) 
			\delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{y}) = -i \hbar \parcder{}{x_i} \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}).		
\end{align*}
V maticových elementech operátorů v x-reprezentaci se objevují distribuce. Ty nabývají konkrétního fyzikálního významu až ve skalárním součinu \eqref{ZQM:VBHmatreprA1}. Například pro skalární součin s operátorem $\hat{X}_i$ platí na základě předposlední rovnosti
\[
	\brapigket{\varphi}{\hat{X}_i}{\psi} = \int d^3x \int d^3y \: \overline{\varphi(\vec{x})} 
		x_i \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}) \psi(\vec{y}) = 
	\int d^3x \: \overline{\varphi(\vec{x})} x_i \psi(\vec{x}),
\]
což je nám důvěrně známý skalární součin.
 
 
%============================
\subsubsection{Hybnostní reprezentace}
%============================
Vlastní funkcí operátoru hybnosti $\hat{\vec{P}}$ v x-reprezentaci je funkce $\ket{\vec{p}}$ splňující
\[
	\hat{\vec{P}} \ket{\vec{p}} = -i \hbar \nabla \ket{\vec{p}}.
\]
Této rovnici vyhovují funkce, jež jsou číselným násobkem funkce $e^{\frac{i \vec{p} \cdot \vec{x}}{\hbar}}$, přičemž z důvodu normalizace k $\delta$-funkci se volí (zapsáno v x-reprezentaci)
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp1}
	\ket{\vec{p}} = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \exp\left\{\frac{i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} = \braket{\vec{x}}{\vec{p}}.
\end{equation}
Vlastní vektory $\ket{\vec{p}}$, $\ket{\vec{q}}$ operátoru hybnosti $\hat{\vec{P}}$ tak splňují
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp2}
	\int d^3p \ket{\vec{p}} \bra{\vec{p}} = \opone, \quad \braket{\vec{p}}{\vec{q}} = \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{q}).
\end{equation}
 
Vlnovou funkci $\psi^P(\vec{p})$ v hybnostní reprezentaci budeme zapisovat způsobem (podle vzoru zavedeného v x-reprezentaci)
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp3}
	\psi^P(\vec{p}) = \braket{\vec{p}}{\psi}.
\end{equation} 
Nyní se budeme věnovat otázce, jaký je vztah mezi $\psi^P(\vec{p})$ a $\psi(\vec{x})$. Zřejmě na základě \eqref{ZQM:VBHketx},  \eqref{ZQM:VBHketp1} a \eqref{ZQM:VBHketp2} platí
\begin{align*}
	\psi^P(\vec{p}) &= \braket{\vec{p}}{\psi} = \int d^3x \: \braket{\vec{p}}{\vec{x}} \braket{\vec{x}}{\psi} =
		\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int \exp\left\{\frac{-i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} \psi(\vec{x}) d^3x, \\
	\psi(\vec{x}) &= \braket{\vec{x}}{\psi} = \int d^3p \: \braket{\vec{x}}{\vec{p}} \braket{\vec{p}}{\psi} =
		\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int \exp\left\{\frac{i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} \psi^P(\vec{p}) d^3p.	
\end{align*}
Jedná se tedy o přímou a zpětnou Fourierovu transformaci. Do nové báze $(\ket{\vec{p}})$ je však třeba převézt i operátory. Buď $\hat{A}$ libovolný operátor na $\hilbert$, $\ket{\varphi}$, $\ket{\psi}$ dva stavy na $\hilbert$ (v x-reprezentaci), $\ket{\vec{p}}$, $\ket{\vec{q}}$ vlastní funkce operátoru $\hat{\vec{P}}$. Potom na základě \eqref{ZQM:VBHketp2}, \eqref{ZQM:VBHketp3} 
\begin{align} \label{ZQM:VBHmatreprA2}
	\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi} &= \bra{\varphi}
	\left( \int d^3p \: \ket{\vec{p}} \bra{\vec{p}}  \right) \hat{A}
	\left( \int d^3q \: \ket{\vec{q}} \bra{\vec{q}}  \right) \ket{\psi} = \nonumber \\
	&= \int d^3p \int d^3q \: \overline{\varphi^P(\vec{p})} \brapigket{\vec{p}}{\hat{A}}{\vec{q}} \psi^P(\vec{q}).
\end{align}
Opět zvolíme za $\hat{A}$ operátor $\hat{X}_i$ resp. $\hat{P}_i$, jejichž působení v x-reprezentaci známe. Nejprve využijeme explicitního vyjádření $\ket{\vec{p}}$ z \eqref{ZQM:VBHketp1} k určení maticového elementu operátoru $\hat{X}_i$ v bázi $(\ket{\vec{p}})$
\[
	\brapigket{\vec{p}}{\hat{X}_i}{\vec{q}} =
	\int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \exp\left\{\frac{-i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} x_i 
		\exp\left\{\frac{i \vec{q}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\}.
\]
Jelikož se přes $x_i$ integruje, vyjádříme ho prostřednictvím derivace.
\begin{align*}
	\brapigket{\vec{p}}{\hat{X}_i}{\vec{q}} &= 
	\int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \exp\left\{\frac{-i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} \left( -i\hbar\parcder{}{q_i}\right) 
		\exp\left\{\frac{i \vec{q}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} = \\
	&= -i\hbar\parcder{}{q_i} \int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3}
		\exp\left\{\frac{-i}{\hbar} (\vec{p} - \vec{q})\vec{x}\right\}.
\end{align*}
Poslední integrál je na základě \eqref{ZQM:VBHketp1}, \eqref{ZQM:VBHketp2} možno vyjádřit jako $\braket{\vec{p}}{\vec{q}} = \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q})$, čímž převádíme hledaný maticový element do podoby
\begin{equation} \label{ZQM:VBHhybnx}
	\brapigket{\vec{p}}{\hat{X}_i}{\vec{q}} = -i\hbar\parcder{}{q_i} \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}) =
		i\hbar\parcder{}{p_i} \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}).
\end{equation} 
 
Stejným způsobem nalezneme maticový element operátoru $\hat{P}_i$ v bázi vlastních funkcí operátoru hybnosti. 
\begin{align} \label{ZQM:VBHhybnp}
	\brapigket{\vec{p}}{\hat{P}_i}{\vec{q}} &= 
		\int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \exp\left\{\frac{-i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\}
		\left( - i \hbar \parcder{}{x_i}  \right)
		\exp\left\{\frac{i \vec{q}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} = \nonumber \\
		&= q_i \int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \exp\left\{\frac{-i}{\hbar} (\vec{p} - \vec{q})\vec{x}\right\} =
		q_i \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}).
\end{align}
 
Dosazením \eqref{ZQM:VBHhybnx}, \eqref{ZQM:VBHhybnp} do \eqref{ZQM:VBHmatreprA2} získáváme podobu operátorů $\hat{X}_i^P$, $\hat{P}_i^P$ v hybnostní reprezentaci.
\begin{align*}
	\brapigket{\varphi}{\hat{X}_i^P}{\psi} &= \int d^3p \int d^3q \:
	   \overline{\varphi^P(\vec{p})} \left[i\hbar\parcder{}{p_i} \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q})\right] \psi^P(\vec{q}) = \\
	   &= \int d^3p \: \overline{\varphi^P(\vec{p})} \left[i\hbar\parcder{}{p_i}\right] \psi^P(\vec{p}), \\
	\brapigket{\varphi}{\hat{P}_i^P}{\psi} &= \int d^3p \int d^3q \:
		\overline{\varphi^P(\vec{p})} \left[ q_i \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}) \right] \psi^P(\vec{q}) = \\
		&= \int d^3p \: \overline{\varphi^P(\vec{p})} \left[p_i\right] \psi^P(\vec{p})
\end{align*}
a tedy operátor polohy resp. hybnosti nabývá v hybnostní reprezentaci podoby
\[
	\hat{X}_i^P = i \hbar \parcder{}{p_i}, \quad \text{resp.} \quad \hat{P}_i^P=p_i \cdot.
\]
 
Hybnostní reprezentace umožňuje díky triviálnímu tvaru operátoru $\hat{P}_i^P$ v jistých fyzikálních situacích přechod k jednoduššímu hamiltoniánu a tím k jednoduššímu řešení Schrödingerovy rovnice. Hamiltonián je v hybnostní reprezentaci možno zapsat
\[
	\hat{H}^P = \frac{\sum_i p_i^2 \cdot}{2M} + V\left( i \hbar \nabla_p \right).
\]
V případě $V(\hat{\vec{x}}) \equiv 0$ je hamiltonián v p-reprezentaci triviální. Přechod k p-reprezentaci je výhodný i v případě $V(\hat{\vec{x}}) \sim \hat{\vec{x}}$. V ostatních případech se však uchylujeme k x-reprezentaci (stačí si představit hamiltonián v případě $V(\hat{\vec{x}}) \sim \frac{1}{\hat{\vec{x}}}$).
 
\begin{remark}
	S p-reprezentací jsme se setkali v zimě při řešení Schrödingerovy rovnice volné částice.
\end{remark}
 
 
%============================
\subsubsection{Energetická reprezentace}
%============================
Mějme dánu ÚMP obsahující $\hat{H}$. Nechť vlastní vektory ÚMP $(\ket{n})$ tvoří ortonormální bázi v $\hilbert$. 
\footnote{Pokud je $\hat{H}$ operátor s čistě bodovým spektrem, je $ (\ket{n})$ bází $\hilbert$ v korektním matematickém smyslu.}
Za předpokladu, že definiční obor všech fyzikálně zajímavých operátorů obsahuje $(\ket{n})$, lze místo operátoru $\hat{A}$ počítat s příslušnou $\infty$-rozměrnou maticí operátoru $\hat{A}$ v bázi $( \ket{n} )$ 
\[
	\hat{A}_{nm} = \brapigket{n}{\hat{A}}{m}.
\]
Operátor $\hat{A}$ je tedy možno zapsat
\[
	\hat{A} = \sum_{n,m} \ket{n} \brapigket{n}{\hat{A}}{m} \bra{m} = \sum_{n,m} \ket{n} \hat{A}_{nm} \bra{m}
\]
a stejně pro operátor $\hat{A}\hat{B}$, pokud $\hat{A}\hat{B}$, $\hat{B}$ splňují stejné předpoklady jako operátor $\hat{A}$ výše
\begin{align*}
	\hat{A}\hat{B} &= \sum_{n,m} \ket{n} \brapigket{n}{\hat{A}\hat{B}}{m} \bra{m} = 
		\sum_{n,m} \ket{n} \sum_k \left( \brapigket{n}{\hat{A}}{k} \brapigket{k}{\hat{B}}{m} \right) \bra{m} = \\
	&= \sum_{n,m} \ket{n} \sum_k \left( \hat{A}_{nk} \hat{B}_{km} \right) \bra{m} =
		\sum_{n,m} \ket{n} (\hat{A} \cdot \hat{B})_{nm} \bra{m}
\end{align*}
Skládání operátorů je v energetické reprezentaci představováno násobením matic.
\begin{remark}
	Snadno nahlédneme, že pokud $\hat{H}$ má nedegenerované spektrum, bude v energetické reprezentaci představován diagonální maticí.
\end{remark}
 
Časový vývoj bazických vektorů je triviální, jak vidno ze Schrödingerovy rovnice, kde klademe $\psi = \ket{n}$
\[
	i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi = E_n \psi.
\]	
a tedy
\[
	\ket{n(t)} = \exp \left( - \frac{i}{\hbar} E_n (t-t_0) \right) \ket{n(t_0)} .
\]
 
Výhodou energetické reprezentace je snadný popis časového vývoje, neboť každý vektor $\ket{\varphi} \in \hilbert$ je možno rozložit do báze vektorů $( \ket{n} )$, jejichž časový vývoj známe. Netriviální tvar operátorů $\hat{X}$, $\hat{P}$ bohužel vede ke složitější konstrukci fyzikálně interpretovatelných pozorovatelných.
 
\begin{example}
$1$-rozměrný harmonický oscilátor v energetické reprezentaci.
 
Ze zimy víme, že $\hat{H}$ tvoří ÚMP jednorozměrného harmonického oscilátoru. Označme $\ket{n}$ příslušné vlastní funkce splňující 
\[
	\hat{H} \ket{n} = \hbar \omega (n + \frac{1}{2}) \ket{n}.
\] 
Víme, že $( \ket{n} )_{n \in \priroz_0}$ tvoří úplnou ortonormální bázi $\hilbert$.
Při popis HO se s výhodou užije kreační $\hat{a}^+$ a anihilační $\hat{a}$ operátor
\begin{equation} \label{ZQM:KreakAnihilak}
	\hat{a}^+ = \sqrt{\frac{M \omega}{2 \hbar}} \left( \hat{X} - \frac{i}{M \omega} \hat{P} \right), \quad
	\hat{a} = \sqrt{\frac{M \omega}{2 \hbar}} \left( \hat{X} + \frac{i}{M \omega} \hat{P} \right).
\end{equation}
Hamiltonián je potom možno zapsat
\[
	\hat{H} = \hbar \omega \left( \hat{a}^+ \hat{a} + \frac{1}{2} \right).
\]
Ze zimy rovněž víme
\[
	\ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} \left( \hat{a}^+ \right) ^n \ket{0},
\]
odkud je možno odvodit
\[
	\hat{a} \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n-1}, \quad
	\hat{a}^+ \ket{n} = \sqrt{n+1} \ket{n+1}, \quad
	\hat{a}^+ \hat{a} \ket{n} = n \ket{n},
\]
kde $\hat{a}^+ \hat{a}$ se nazývá operátor počtu energetických kvant. Maticové elementy kreačního operátoru $\hat{a}^+$
\[
	\hat{a}^+_{nm} = \brapigket{n}{\hat{a}^+}{m} = \sqrt{m+1} \braket{n}{m+1} = \sqrt{m+1} \delta_{n,m+1},
\]
jež je možno zapsat maticově
\footnote{Řádky a sloupce indexujeme od nuly.}
\[
\hat{a}^+ = \left( \begin{array}{cccc}
			0  &   &   &    \\
			\sqrt{1} & 0 &  &  \\
			 & \sqrt{2} & 0 &  \\
			 &  & \ddots & \ddots \\
						\end{array} \right).
\]
Podobně můžeme zapsat maticově operátor $\hat{a}$. Jelikož operátory $\hat{x}$ a $\hat{p}$ je možno na základě \eqref{ZQM:KreakAnihilak} zapsat jako lineární kombinaci $\hat{a}^+$, $\hat{a}$, můžeme snadno obdržet jejich maticové elementy
\begin{align*}
	\hat{P}_{nm} &= -i \sqrt{\frac{M \omega \hbar}{2}} 
		\left( \sqrt{m} \delta_{n,m-1} - \sqrt{m+1} \delta_{n,m+1}   \right),   \\
	\hat{X}_{nm} &= -i \sqrt{\frac{\hbar}{2 M \omega}} 
		\left( \sqrt{m} \delta_{n,m-1} + \sqrt{m+1} \delta_{n,m+1}   \right).	
\end{align*}
Ověřme v maticové reprezentaci platnost komutační relace $\komut{\hat{P}}{\hat{X}} = -i \hbar \opone$. $\komut{\hat{P}}{\hat{X}}$ v maticové reprezentaci představuje matici. Najdeme její $i,j$-tý prvek
\begin{align*}
	\komut{\hat{P}}{\hat{X}}_{ij} &= 
				\sum_{k=0}^{\infty} \left( \hat{P}_{ik} \hat{X}_{kj} - \hat{X}_{ik}\hat{P}_{kj}  \right) = \\
			&= - \frac{i \hbar}{2} \sum_{k=0}^{+ \infty} 
			  \biggl\{ \left( \sqrt{k} \delta_{i,k-1} - \sqrt{k+1} \delta_{i,k+1} \right)
					 \left( \sqrt{j} \delta_{k,j-1} + \sqrt{j+1} \delta_{k,j+1} \right)  \\ &  \qquad -
					 \left( \sqrt{k} \delta_{i,k-1} + \sqrt{k+1} \delta_{i,k+1} \right)
					 \left( \sqrt{j} \delta_{k,j-1} - \sqrt{j+1} \delta_{k,j+1} \right)  \biggr\} = \\
			&= - i \hbar \sum_{k=0}^{\infty}  \left( \sqrt{k} \sqrt{j+1} \delta_{i,k-1} \delta_{k,j+1} - 
					\sqrt{k+1} \sqrt{j} \delta_{i,k+1} \delta_{k,j-1} \right).
\end{align*}
Výraz v poslední závorce je nenulový jedině pro $i=j$, a to pro hodnoty $k=i\pm1$. Snadno nahlédneme, že pro všechna $i,j \in \priroz_0$ 
\[
	\komut{\hat{P}}{\hat{X}}_{ij} = - i \hbar \delta_{ij}.
\]
Tím je však komutační relace dokázána. Doporučuji však ověřit výpočet přes maticový rozpis. Rovněž můžete zkusit zapsat maticově hamiltonián $\hat{H}$ a operátor počtu energetických kvant $\hat{a}^+\hat{a}$.
\end{example}
 
 
%==============================================
\subsection{Jiný popis časového vývoje}
%==============================================
Předpovědi kvantové mechaniky jsou dány skalárními součiny, v nichž vystupují pozorovatelné veličiny (operátory na $\hilbert$) a stavy (prvky $\hilbert$). Například střední hodnota pozorovatelné $\hat{A}$ ve stavu $\ket{\psi}$ je určena
\[
	\stredni{\hat{A}}_{\ket{\psi}} = \frac{\brapigket{\psi}{\hat{A}}{\psi}}{\braket{\psi}{\psi}}.
\]  
Definujme nyní unitární operátor $\hat{U}$ ($\hat{U}^+ = \hat{U}^{-1}$) a zkusme určit střední hodnotu operátoru $\hat{A}$ v novém stavu $\ket{\tilde{\psi}}=\hat{U}\ket{\psi}$. Zřejmě platí
\[
	\stredni{\hat{A}}_{\ket{\tilde{\psi}}} = \frac{\brapigket{\hat{U}\psi}{\hat{A}}{\hat{U}\psi}}{\braket{\hat{U}\psi}{\hat{U}\psi}}
		= \frac{\brapigket{\psi}{\hat{U}^+\hat{A}\hat{U}}{\psi}}{\brapigket{\psi}{\hat{U}^+\hat{U}}{\psi}}
		= \frac{\brapigket{\psi}{\hat{U}^+\hat{A}\hat{U}}{\psi}}{\braket{\psi}{\psi}}.
\]
 
Protože chceme zachovat rovnost s původní střední hodnotou, musíme rovněž přejít k novému operátoru $\hat{\tilde{A}}$, který bude splňovat rovnost
\begin{equation} \label{ZQM:TransfOp}
	\hat{A}=\hat{U}^+ \hat{\tilde{A}} \hat{U}.
\end{equation} 
Potom
\[
	\stredni{\hat{\tilde{A}}}_{\ket{\tilde{\psi}}} = \stredni{\hat{A}}_{\ket{\psi}}
\]
a předpovědi kvantové mechaniky zůstávají nezměněny.
\begin{remark}
	Víme, že podobnostní transformace \eqref{ZQM:TransfOp} spektrum operátoru nemění.
\end{remark}
 
Získané poznatky brzy využijeme. Než však postoupíme dále, připomeňme si, jak kvantová mechanika přistupuje k popisu časového vývoje částice. Při popisu kvantového systému jsme vycházeli z hamiltoniánu klasické částice. Poté, užitím principu korespondence, jsme přešli k operátoru $\hat{H}$ 
\footnote{povšimněme si, že pokud hamiltonián klasické částice nezávisel na čase, je na čase nezávislý i operátor $\hat{H}$.}.
Časový vývoj kvantové částice je určen Schrödingerovou rovnicí
 
\begin{equation} \label{ZQM:SchrEq}
	i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H} \psi,
\end{equation}
která společně s počáteční podmínkou $\ket{\psi_0} = \ket{\psi(t_0)}$ jednoznačně určuje stav částice v libovolném čase $t$.  
Z provedených úvah je zřejmé, že musí existovat tzv. \textit{Evoluční operátor} $\hat{U}(t,t_0)$, který ze stavu 
$\ket{\psi(\vec{x},t_0)}$ vytvoří $\ket{\psi(\vec{x},t)}$, tedy
\footnote{na časový vývoj stavu $\ket{\psi(\vec{x},t)}$ je možno pohlížet jako na parametrickou křivku $\ket{\psi(t)}$ v $\hilbert$.}
 
\begin{equation} \label{ZQM:EvolOp}
	\ket{\psi(t)} =  \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)}.
\end{equation}
 
Podíváme se na vlastnosti tohoto operátoru. Zvolme libovolně $\ket{\varphi(t)}$, $\ket{\psi(t)}$ $\in L_2$ $(\real^3)$ a zkusme určit časovou derivaci jejich skalárního součinu
\[
	\frac{d}{dt} \braket{\varphi(t)}{\psi(t)} =
	\braket{\frac{d \varphi(t)}{dt}}{\psi(t)} + \braket{\varphi(t)}{\frac{d \psi(t)}{dt}}.
\]
\noindent Dosazením za časové derivace ze Schrödingerovy rovnice \eqref{ZQM:SchrEq}
\[
	\braket{\frac{1}{i \hbar} \hat{H} \varphi (t)}{\psi(t)} + \braket{\varphi (t)}{\frac{1}{i \hbar} \hat{H} \psi(t)} =
	\frac{i}{\hbar} \Bigl(  \braket{\hat{H} \varphi (t)}{\psi(t)} - \braket{\varphi (t)}{\hat{H} \psi(t)}  \Bigr)
\]
\noindent a díky samosdruženosti $\hat{H}$ dostáváme
\begin{equation} \label{ZQM:EvolOpDer1}
	\frac{d}{dt} \braket{\varphi(t)}{\psi(t)} = 0.
\end{equation}
 
Stejně tak, užitím evolučního operátoru \eqref{ZQM:EvolOp}, můžeme psát
\begin{align} \label{ZQM:EvolOpDer2}
	\frac{d}{dt} \braket{\varphi(t)}{\psi(t)} &= 
	\frac{d}{dt} \braket{\hat{U}(t,t_0) \varphi(t_0)}{\hat{U}(t,t_0) \psi(t_0)} =
	\frac{d}{dt} \brapigket{\varphi(t_0)} {\hat{U}^+(t,t_0) \hat{U}(t,t_0)} {\psi(t_0)} = \nonumber \\
	&= \brapigket{\varphi(t_0)} {\frac{d}{dt} \left[ \hat{U}^+(t,t_0) \hat{U}(t,t_0) \right]} {\psi(t_0)}.
\end{align}
\noindent Tento braket však musí být na základě \eqref{ZQM:EvolOpDer1} roven nule pro všechna $\ket{\varphi(t)}$, $\ket{\psi(t)}$ $\in L_2 (\real^3)$. Operátor $\hat{U}^+(t,t_0) \hat{U}(t,t_0)$ tedy musí být konstantní v čase. Na základě definice evolučního operátoru \eqref{ZQM:EvolOp} musí platit
\[
	\ket{\psi(t_0)} = \hat{U}(t_0,t_0) \ket{\psi(t_0)} = \opone \ket{\psi(t_0)},
\]
a tedy
\[
	\hat{U}^+(t,t_0) \hat{U}(t,t_0) = \hat{U}^+(t_0,t_0) \hat{U}(t_0,t_0) = \opone,
\]
což je relace unitárnosti operátoru $\hat{U}(t,t_0)$. Zvolme 3 libovolné časy $t_1$, $t_2$, $t_3$. Potom jistě pro stav $\ket{\psi}$ platí
\begin{subequations}
	\begin{align}
		\ket{\psi (t_1)} &= \hat{U}(t_1,t_2) \ket{\psi (t_2)}    \label{ZQM:EvolOpRel1} \\
		\ket{\psi (t_2)} &= \hat{U}(t_2,t_1) \ket{\psi (t_1)}		\label{ZQM:EvolOpRel2} \\
		\ket{\psi (t_3)} &= \hat{U}(t_3,t_2) \ket{\psi (t_2)} = \hat{U}(t_3,t_2) \hat{U}(t_2,t_1) \ket{\psi (t_1)}  
				= \hat{U}(t_3,t_1) \ket{\psi (t_1)},					\label{ZQM:EvolOpRel3}	
	\end{align}
\end{subequations}
kde vynásobením \eqref{ZQM:EvolOpRel2} zleva operátorem $\hat{U}^{-1}(t_2,t_1)$ a porovnáním s \eqref{ZQM:EvolOpRel1} snadno nahlédneme, že
\[
	\hat{U}(t_1,t_2) = \hat{U}^{-1}(t_2,t_1)
\]
a triviálně z \eqref{ZQM:EvolOpRel3}
\[
	\hat{U}(t_3,t_1) = \hat{U}(t_3,t_2) \hat{U}(t_2,t_1).
\]
Pokud navíc hamiltonián nezávisí na čase,
\begin{equation} \label{ZQM:EvolOpRel4}
	\hat{U}(t_1+T,t_0+T) = \hat{U}(t_1,t_0) = \hat{U}(t_1-t_0,0) \equiv \hat{U}(t_1-t_0),
\end{equation} 
můžeme zbavit evoluční operátor jedné proměnné.
 
Předpokládejme Hamiltonián nezávisející na čase $\hat{H} \neq \hat{H}(t)$ a přepišme Schrödingerovu rovnici \eqref{ZQM:SchrEq} užitím zavedeného unitárního evolučního operátoru $\hat{U}(t,t_0)$
\[
	i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Bigl( \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)} \Bigr) = 
	\hat{H} \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)},
\]
kde můžeme beztrestně zkrátit $\ket{\psi(t_0)}$ a získat tak operátorovou diferenciální rovnici
 
\begin{equation} \label{ZQM:SchrEqOp}
	i \hbar \frac{\partial \hat{U}(t,t_0)}{\partial t} = \hat{H} \hat{U}(t,t_0),
\end{equation}
která díky nezávislosti hamiltoniánu na čase a rovnosti \eqref{ZQM:EvolOpRel4} má řešení
\[
	\hat{U}(t,t_0) = \hat{U}(t-t_0) = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0) \right),
\]
kde s operátorem v exponentu je možno se vypořádat buď užitím Taylorova rozvoje, nebo pomocí spektrálního rozkladu operátoru (viz. Modrá smrt :))
\[
	e^{i \hat{A}} = \int e^{i \lambda} \hat{dE_{\lambda}}.
\]
 
Pokud navíc $\hat{H}$ má úplný systém vlastních vektorů $(\ket{n})$: $\hat{H} \ket{n} = E_n \ket{n}$, potom
\[
	\exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0) \right) \ket{n} = 
			\exp \left( -\frac{i}{\hbar} E_n (t-t_0) \right) \ket{n},
\]
a pro libovolný vektor $\ket{\psi} \in \hilbert$
\[			
	\exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0) \right) \ket{\psi} = 
			\sum_n \psi_n \exp \left( -\frac{i}{\hbar} E_n (t-t_0) \right) \ket{n},
\] 
kde $\psi_n$ představuje příslušný Fourierův koeficient $\psi_n = \braket{n}{\psi}$.
 
Doposud jsme budovali kvantovou teorii v tzv. Schrödingerově reprezentaci, která se v literatuře nejčastěji užívá. V této reprezentaci jsou operátory obvykle neměnné v čase, zatímco vlnové funkce se v čase mění podle Schrödingerovy rovnice. Využijeme získaných poznatků k zavedení dalších, v literatuře užívaných, reprezentací kvantové mechaniky ekvivalentních k reprezentaci Schrödingerově: Heissenbergovu a Diracovu reprezentaci.
 
 
%============================
\subsubsection{Heissenbergova reprezentace}
%============================
Mějme $\hat{U}(t,t_0)$ evoluční operátor definovaný v \eqref{ZQM:EvolOp}. Předpokládejme, že uvažovaná kvantová částice je popsána vlnovou funkcí ve Schrödingerově reprezentaci $\ket{\psi^S(t)}$. Definujme Heisenbergovu vlnovou funkci $\ket{\psi^H(t)}$ způsobem
\begin{equation} \label{ZQM:HeissVF}
	\ket{\psi^H(t)} = \hat{U}^{-1}(t,t_0) \ket{\psi^S(t)} = \hat{U}^{-1}(t,t_0) \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi^S(t_0)}
		= \ket{\psi^S(t_0)}.
\end{equation}
Musí se ovšem změnit i operátor, aby předpovědi kvantové mechaniky zůstali zachovány. Buď $\hat{A}^S$ operátor ve Schrödingerově reprezentaci. Potom dle \eqref{ZQM:TransfOp} musí odpovídající operátor v Heissenbergově reprezentaci $\hat{A}^H(t)$ mít tvar
\begin{equation} \label{ZQM:HeissOp}
	\hat{A}^H(t) = \hat{U}^{-1}(t,t_0) \hat{A}^S (\hat{U}^+)^{-1}(t,t_0) =
			\hat{U}^+(t,t_0) \hat{A}^S \hat{U}(t,t_0).
\end{equation}
 
Je zřejmé, že v Heissenbergově reprezentaci se vlnové funkce s časem nemění. Na čase jsou závislé operátory. Je to tedy opačné, než u reprezentace Schrödingerovy, kde byl popis stavů popsán Schrödingerovou rovnicí, zatímco operátory zůstávaly neměnné. Pokusme se najít obdobu Schrödingerovy rovnice, která bude popisovat časový vývoj operátorů. V dalším předpokládáme nezávislost hamiltoniánu ve Schrödingerově reprezentaci na čase, tedy $\hat{H}^S \neq \hat{H}^S(t)$. Zderivujme podle času rovnost 
\eqref{ZQM:HeissOp}
\footnote{kvůli přehlednosti nebudu uvádět závislost operátorů na čase. Operátory $\hat{U}$, $\hat{A}^S$, $\hat{A}^H$, $\hat{H}^H$ předpokládáme všechny na čase závislé, zatímco operátor $\hat{H}^S$ je dle předpokladu na čase nezávislý.}
\[
	\frac{d}{dt}\hat{A}^H = \frac{d}{dt} ( \hat{U}^+ \hat{A}^S \hat{U} ) = 
		\frac{d}{dt} ( \hat{U}^+ ) \hat{A}^S \hat{U} + \hat{U}^+ \frac{d}{dt} ( \hat{A}^S ) \hat{U} + 
		\hat{U}^+ \hat{A}^S \frac{d}{dt} ( \hat{U} ).
\]
Dosazením časových derivací operátorů z \eqref{ZQM:SchrEqOp} 
\[
	-\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^+ \hat{H}^S \hat{A}^S \hat{U} + \hat{U}^+ \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U} + 
		\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^+ \hat{A}^S \hat{H}^S \hat{U}
\]
a díky unitaritě $\hat{U}$ a rovnosti operátorů \eqref{ZQM:HeissOp} můžeme beztrestně psát
\begin{align} \label{ZQM:HeissOpEqTime}
	\frac{d}{dt}\hat{A}^H &= - \frac{1}{i \hbar} \hat{U}^+ \hat{H}^S (\hat{U} \hat{U}^+) \hat{A}^S \hat{U} + 
		\hat{U}^+ \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U} + 
		\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^+ \hat{A}^S (\hat{U} \hat{U}^+) \hat{H}^S \hat{U} = \nonumber \\
	&= -\frac{1}{i \hbar} \left( \hat{H}^H \hat{A}^H - \hat{A}^H \hat{H}^H \right) + \hat{U}^+ \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U}
\end{align}
Pokud $\hat{A}^S \neq \hat{A}^S (t)$, můžeme hledanou rovnici zapsat ve tvaru
 
\begin{equation} \label{ZQM:HeissOpEq}
	\frac{d}{dt} \hat{A}^H (t) = \frac{1}{i \hbar} \komut{\hat{A}^H}{\hat{H}^H} 
\end{equation}
Pokud by operátor $\hat{A}^S$ na čase záviselo, je pozornému čtenáři na základě \eqref{ZQM:HeissOpEqTime} zřejmé, jaký tvar by měl výsledek. Komutátor na pravé straně rovnosti je možné zapsat ještě dvěma ekvivalentními způsoby, které plynou jednak z unitárnosti $\hat{U}$ a jednak z komutace operátorů $\komut{\hat{H}}{\hat{U}}=0$.
\[
	\komut{\hat{A}^H}{\hat{H}^H} = \komut{\hat{A}^H}{\hat{H}^S} = \komut{\hat{A}^S}{\hat{H}^S}^H,
\]
kde například $\komut{\hat{A}}{\hat{H}}^H$ je možno dle \eqref{ZQM:HeissOp} zapsat
\[
	\komut{\hat{A}^S}{\hat{H}^S}^H = \hat{U}^+ \komut{\hat{A}^S}{\hat{H}^S}^S \hat{U}
\]
 
Rovnice \eqref{ZQM:HeissOpEq} je přímou obdobou časového vývoje pozorovatelných v klasické mechanice
\begin{equation} \label{ZQM:klasvyvpoz1} 
	\dot{a} = \{ a, H \}, 
\end{equation}
pokud chápeme $\frac{1}{i\hbar} \komut{\cdot}{\cdot}$ jako kvantový analog klasické Poissonovy závorky $\{ \cdot , \cdot \}$.
 
Výhodou Heissenbergovy reprezentace je přímá analogie s klasickou mechanikou. Někdy je možné ji s výhodou využít k popisu rozptylu. Její nevýhodou oproti Schrödingerově reprezentaci však zůstává složitější řešení časového vývoje, neboť místo parciálních diferenciálních rovnic pro vektory z $\hilbert$ máme podobné rovnice pro operátory.
 
\begin{remark}
	Snadno nahlédneme z rovnosti \eqref{ZQM:HeissOp}, že hamiltonián systému, který není pod vlivem časově proměnných vnějších polí, je v Heisenbergově i Schrödingerově reprezentaci představován tímtéž časově nezávislým operátorem
\[
	\hat{H}^H(t)=\hat{H}^S
\]
\end{remark}
 
%============================
\subsubsection{Diracova reprezentace} \label{KapitolaDiracovaReprezentace}
%============================
Poruchový obraz, jak je někdy Diracova reprezentace nazývána, kombinuje vlastnosti Schrödingerovy a Heissenbergovy reprezentace a s výhodou se užívá u některých výpočtů s časově závislou poruchou. Předpokládejme hamiltonián ve tvaru
\[
	\hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{V}(t),
\]
kde umíme řešit Schrödingerovu rovnici s $\hat{H}_0 \neq \hat{H}_0(t)$ a člen $\hat{V} (t)$ představuje (malou) časově závislou poruchu. Definujme nyní operátor $\hat{U}_0$ způsobem
\begin{equation} \label{ZQM:DirEvOp}
	\hat{U}_0 (t,t_1) = \exp \left( - \frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 (t-t_1) \right).
\end{equation}
Tento operátor je jistě unitární a bezpochyby je na základě našich předpokladů splněna operátorová rovnost \eqref{ZQM:SchrEqOp} ve tvaru
\begin{equation} \label{ZQM:DirOpEq}
	i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat{U}_0 (t,t_1) = \hat{H}_0 \hat{U}_0 (t,t_1).
\end{equation}
 
Podobně jako u Heissenbergovy reprezentace definujeme vlnovou funkci v Diracově reprezentaci $\ket{\psi^D(t)}$ a operátor $\hat{A}^D$ pomocí nového unitárního operátoru $\hat{U}_0$ způsobem 
\begin{subequations}
	\begin{align}
		\ket{\psi^D(t)} &= \hat{U}_0^+(t,t_0) \ket{\psi^S(t)}, 				\label{ZQM:DirVec} \\
		\hat{A}^D(t) &= \hat{U}_0^+(t,t_0) \hat{A}^S(t) \hat{U}_0(t,t_0). \label{ZQM:DirOp}
	\end{align}
\end{subequations}
 
Zbývá nalézt rovnice, jimiž se řídí časový vývoj $\ket{\psi^D(t)}$ a $\hat{A}^D(t)$. Budeme postupovat obdobně jako v předchozím odstavci. Aplikujme časovou derivaci nejprve na rovnost \eqref{ZQM:DirVec} (opět si dovolím v postupu neuvádět časové závislosti)
\[
	i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} = 
		i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \left( \hat{U}_0^+ \right) \ket{\psi^S} + 
		i\hbar \hat{U}_0^+ \frac{\partial}{\partial t} \left( \ket{\psi^S} \right),
\]
kde užijeme rovnosti \eqref{ZQM:DirOpEq} pro časovou derivaci operátoru $\hat{U}_0^+$ a Schrödingerovu rovnici \eqref{ZQM:SchrEq} pro časovou derivaci $\ket{\psi^S}$
\[
	i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} = 
		i\hbar \left(-\frac{1}{i\hbar}\hat{U}_0^+ \hat{H}_0 \right) \ket{\psi^S} + 
		i\hbar \hat{U}_0^+ \left(\frac{1}{i\hbar} \hat{H} \ket{\psi^S} \right).
\]
Dále přechodem k Diracově reprezentaci pomocí vztahů \eqref{ZQM:DirVec} \eqref{ZQM:DirOp} dostáváme kýžený výsledek
\begin{align} \label{ZQM:DirVF}
	i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} &= 
	- \hat{U}_0^+ \hat{H}_0 \hat{U}_0 \ket{\psi^D} + \hat{U}_0^+ \hat{H} \hat{U}_0 \ket{\psi^D} =
	- \hat{H}_0^D \ket{\psi^D} + \hat{H}^D \ket{\psi^D} =    \nonumber \\
	&= \hat{V}^D(t) \ket{\psi^D(t)}.
\end{align}
 
Stejným postupem jako u Heissenbergovy reprezentace bychom odvodili z rovnosti \eqref{ZQM:DirOp} vztah pro časovou derivaci operátoru
\begin{equation} \label{ZQM:DirOpTime}
	i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat{A}^D(t) = \komut{\hat{A}^D(t)}{\hat{H}_0^D(t)}.
\end{equation}
 
V Diracově reprezentaci se část dynamiky systému odráží v časové závislosti stavových vektorů \eqref{ZQM:DirVF} a část v závislosti operátorů odpovídajících dynamickým proměnným \eqref{ZQM:DirOpTime}.
 
Tato reprezentace je výhodná, pokud umíme najít evoluční operátor příslušející $\hat{H}_0$ (výraz \eqref{ZQM:DirEvOp}) a chceme poruchovým výpočtem zjistit, jaký je časový vývoj systému v případě započtení časově závislého potenciálu $\hat{V}(t)$.
 
\begin{example}
Zapište operátor polohy a hybnosti částice v homogenním gravitačním poli v Heissenbergově reprezentaci.
 
Budeme uvažovat jednorozměrný případ. Hamiltonián částice ve Schrödingerově reprezentaci známe
\footnote{V dalším operátory bez indexu budou představovat operátory ve Schrödingerově reprezentaci.}
\[
	\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + mg \hat{x}.
\]
\noindent Operátory $\hat{p}^H$, resp. $\hat{x}^H$ je možno určit buď definičně pomocí evolučního operátoru \eqref{ZQM:HeissOp}, nebo pomocí odvozené diferenciální operátorové rovnice \eqref{ZQM:HeissOpEq}, která je v tomto případě jednodušší cestou k cíli. Snadno určíme potřebné komutátory ve Schrödingerově reprezentaci
\[
	\komut{\hat{x}}{\hat{H}} = \frac{1}{m} i \hbar \hat{p}; \quad
	\komut{\hat{p}}{\hat{H}} = - i \hbar mg
\]
a použitím \eqref{ZQM:HeissOpEq} získáváme sadu operátorových diferenciálních rovnic
\[
	\frac{d \hat{x}^H(t)}{dt} = \frac{\hat{p}^H(t)}{m}; \quad
	\frac{d \hat{p}^H(t)}{dt} = - mg.
\]
Tuto soustavu můžeme z důvodu vzájemné komutace operátorů řešit stejně jako rovnice pro $c-$číselné funkce. Dospíváme tak k řešení
\footnote{Místo číselných integračních konstant získáváme však koeficienty operátorové}
\[
	\hat{p}^H (t) = - mgt + \hat{C}_1; \quad
	\hat{x}^H (t) = \frac{-gt^2}{2} + \frac{\hat{C}_1 t}{m} + \hat{C}_2.
\]
Pokud k úloze dodáme požadavek, aby v čase $t=0$ byli operátory polohy a hybnosti v obou reprezentacích totožné, tedy $\hat{p}^H(0) = \hat{p}_0$, $\hat{x}^H(0) = \hat{x}_0$, získáváme neurčené operátory $\hat{C}_1$, $\hat{C}_2$
\[
	\hat{p}^H (t) = - mgt + \hat{p}_0; \quad
	\hat{x}^H (t) = \frac{-gt^2}{2} + \frac{\hat{p}_0 t}{m} + \hat{x}_0.
\]
Podíváme se ještě na vývoj středních hodnot. Jestliže počáteční střední hodnoty operátorů ve Schrödingerově reprezentaci měli hodnoty $\stredni{\hat{p}}_{\psi_0} = p_0$, $\stredni{\hat{x}}_{\psi_0} = x_0$, dostáváme povědomý časový vývoj operátorů v Heissenbergově reprezentaci
\[
	\stredni{\hat{p}^H(t)}_{\psi} = p_0 - mgt, \quad
	\stredni{\hat{x}^H(t)}_{\psi} = x_0 + \frac{p_0 t}{m} - \frac{1}{2} g t^2.
\] 
\end{example}
 
 
\begin{example}
Určete časový vývoj operátoru komponenty spinu elektronu v homogenním magnetickém poli $\vec{B}=(0,0,B)$. Gravitaci neuvažujte. Užijte Heissenbergovu reprezentaci.
 
Hamiltonián nabité částice v magnetickém poli má tvar
\[
	\hat{H} = - \hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B},
\]
\noindent kde $\hat{\vec{\mu}}$ představuje operátor vlastního magnetického momentu (spinu), jež je definován pomocí operátoru komponent spinu $\hat{\vec{s}}$
\[
	\hat{\vec{\mu}} = \frac{\mu \hat{\vec{s}}}{s}; \quad
	\hat{\vec{s}} = \frac{1}{2} (\hat{\sigma}_1, \hat{\sigma}_2, \hat{\sigma}_3).
\]
Magnetický moment $\mu$ nabývá pro elektron hodnoty $\mu = \frac{e \hbar}{2 m_e c}$ a spin $s=1/2$. $\hat{\sigma}_i$ představuje \textit{Pauliho matice}
 
\begin{equation}  \label{ZQM:PaulihoMatice}
	\hat{\sigma}_1 = \left( \begin{array}{cc}
    			0 & 1 \\
    			1 & 0 \\	 \end{array} \right), \quad
   \hat{\sigma}_2 = \left( \begin{array}{cc}
    			0 & -i \\
    			i & 0 \\	 \end{array} \right), \quad
   \hat{\sigma}_3 = \left( \begin{array}{cc}
    			1 & 0 \\
    			0 & -1 \\	 \end{array} \right),
\end{equation}
jež vyhovují komutačním relacím
\[
	\komut{\hat{\sigma}_i}{\hat{\sigma}_j} = 2 i \epsilon_{ijk} \hat{\sigma}_k.
\]
Hamiltonián našeho systému je možno zapsat 
\[
	\hat{H} = - \frac{\mu_0 \hbar B}{2} \hat{\sigma}_3.
\]
 
Zajímají nás operátory $\hat{\sigma}_i^H$, k jejichž určení užijeme \eqref{ZQM:HeissOpEq}. Využitím komutačních relací Pauliho matic získáváme rovnice
\[
	\frac{d \hat{\sigma}_1^H (t)}{dt} = \mu_0 B \hat{\sigma}_2^H (t), \quad
	\frac{d \hat{\sigma}_2^H (t)}{dt} = - \mu_0 B \hat{\sigma}_1^H (t), \quad
	\frac{d \hat{\sigma}_3^H (t)}{dt} = 0,
\]
jež doplněním počátečních podmínek $\hat{\sigma}_i^H (0) = \hat{\sigma}_i$ (podmínka stejného tvaru operátorů v Heissenbergově a Schrödingerově reprezentaci v počátečním čase) vede na řešení
\begin{align*}
	\hat{\sigma}_1^H (t) &= \hat{\sigma}_1 \cos(\mu_0 Bt) + \hat{\sigma}_2 \sin(\mu_0 Bt), \quad
			\hat{\sigma}_3^H (t) = \hat{\sigma}_3,  \\
	\hat{\sigma}_2^H (t) &= - \hat{\sigma}_1 \sin(\mu_0 Bt) + \hat{\sigma}_2 \cos(\mu_0 Bt).
\end{align*}
Pokud vektor projekce spinu $\vec{p}$ 
\footnote{Tento vektor udává např. směr polarizace}
měl v počátečním čase tvar 
\[
	\vec{p} = (p_1, p_2, p_3) = (\stredni{\hat{\sigma}_1}_{\ket{\psi_0}}, \stredni{\hat{\sigma}_2}_{\ket{\psi_0}}, 
					\stredni{\hat{\sigma}_3}_{\ket{\psi_0}}), \quad \norm{\vec{p}} = 1,
\] 
je vývoj středních hodnoty $\stredni{\hat{\sigma}_i^H(t)}_{\psi}$ (a tedy i vývoj projekce spinu $\vec{p}(t)$) určen rovnicemi
\begin{align*}
	\stredni{\hat{\sigma}_1^H (t)}_{\psi} &= p_1 \cos(\mu_0 Bt) + p_2 \sin(\mu_0 Bt), \\
	\stredni{\hat{\sigma}_2^H (t)}_{\psi} &= -p_1 \sin(\mu_0 Bt) + p_2 \cos(\mu_0 Bt), \\
	\stredni{\hat{\sigma}_3^H (t)}_{\psi} &= p_3.
\end{align*}
 
Vlivem magnetického pole tedy dochází k otáčení roviny polarizace.
\end{example}
 
\begin{example}
Mějme elektron v rotujícím magnetickém poli $\vec{B}=(B_1cos(\omega t),B_1sin(\omega t),B_0)$. Určete jeho stav v libovolném čase. Magnetické pole je dostatečně silné, aby bylo možné gravitaci zanedbat.
 
Hamiltonián má tvar (viz předchozí příklad)
\[
	\hat{H} = - \hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B} =
	- \frac{\mu_0 \hbar B_0}{2} \hat{\sigma}_3 
	- \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \left[ \cos(\omega t) \hat{\sigma}_1 + \sin(\omega t) \hat{\sigma}_2 \right].
\]
S výhodou zde užijeme Diracovy reprezentace, kde označíme
\begin{equation}  \label{ZQM:DirPriklad}
	\hat{H}_0 = - \frac{\mu_0 \hbar B}{2} \hat{\sigma_3}; \quad
	\hat{V}(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \left[ \cos(\omega t) \hat{\sigma}_1 + \sin(\omega t) \hat{\sigma}_2 \right].
\end{equation}
Časový vývoj stavu v Diracově reprezentaci je určen rovnicí \eqref{ZQM:DirVF}. Potřebujeme tedy určit operátor $\hat{V}^D(t)$, k čemuž máme dvě možnosti. Použít rovnost \eqref{ZQM:DirOpTime} a získat tak časovou derivaci $\frac{d}{dt}(\hat{V}^D(t))$. Takto jsme však postupovali v předchozích dvou příkladech. Užijeme proto nyní přímo definice transformace \eqref{ZQM:DirVec} k nalezení $\hat{V}^D(t)$. Musíme tedy určit unitární operátoru $\hat{U}_0(t)$. Zjednodušme jeho definici \eqref{ZQM:DirEvOp} volbou $t_1=0$
\[
	\hat{U}_0(t) = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 t  \right) = 
				\exp \left( i \frac{\mu_0 B_0}{2} \hat{\sigma}_3 t  \right).
\]
Využijeme vztahu dokazovaného v zimním semestru
\[
	\exp \left( i \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}} \right) =
		\cos(\alpha) \mathbb{I} \cdot + i \sin(\alpha) \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}},
\]
kde $\alpha \in \komplex$, $\norm{\vec{n}}=1$, $\hat{\vec{\sigma}}=(\hat{\sigma}_1,\hat{\sigma}_2,\hat{\sigma}_3)$ a $\hat{\sigma_i}$ představuje Pauliho matice \eqref{ZQM:PaulihoMatice}. Jeho použitím dostáváme
\[
	\hat{U}_0 (t) =  \left( \begin{array}{cc}
    			\exp \left( i \frac{\mu_0 B_0}{2} t \right) & 0 					\\
    			0 														 & \exp \left( - i \frac{\mu_0 B_0}{2} t \right) \\
   \end{array} \right).
\]
Interakční hamiltonián $\hat{V}(t)$ (viz \eqref{ZQM:DirPriklad}) je možno rovněž zapsat maticově
\[
	\hat{V}(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \left( \begin{array}{cc}
    			0 & \exp \left( - i \omega t \right) 		 \\
    			\exp \left( i \omega t \right) & 0    	 \\
   \end{array} \right).
\] 
Tím však máme vše připraveno pro určení $\hat{V}^D(t)$. Na základě \eqref{ZQM:DirOp} můžeme psát
\begin{align*}
	\hat{V}^D(t) &= \hat{U}_0^+(t) \hat{V}(t) \hat{U}_0(t) = \\
		&= - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2}
			\left( \begin{array}{cc}
    			e^{- i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} & 0 									\\
    			0 										& e^{i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} \\
   		\end{array} \right)  
   		\left( \begin{array}{cc}
    			0 					& e^{- i \omega t} 		 \\
    			e^{i \omega t} & 0    	 					\\
   		\end{array} \right)	
			\left( \begin{array}{cc}
    			e^{i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} & 0 										\\
    			0 									 & e^{- i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} \\
  			\end{array} \right)
\end{align*}
a po roznásobení matic
\[
	\hat{V}^D(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} 
			\left( \begin{array}{cc}
    			0 											& \exp \left[-i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] 		 \\
    			\exp \left[i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] & 0    	 	\\
   		\end{array} \right).
\]
Stav částice se spinem je popsán vektorem 
$\ket{\psi^D(t)} =
		\left(\begin{array}{c}
    		\ket{\psi_1(t)} \\
    		\ket{\psi_2(t)} \\
   	\end{array} \right)$.
Rovnice \eqref{ZQM:DirVF} přechází po dosazení na soustavu
\begin{align*}
	i \hbar \frac{\partial \ket{\psi_1}}{\partial t} &= - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2}	
			\exp \left[-i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] \ket{\psi_2},  \\
	i \hbar \frac{\partial \ket{\psi_2}}{\partial t} &= - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2}	
			\exp \left[i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] \ket{\psi_1}.
\end{align*}
Tím tento příklad uzavřeme.
\end{example}