02KVAN2:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02KVAN2}) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02KVAN2} | %\wikiskriptum{02KVAN2} | ||
+ | \section{Dráhový integrál} | ||
+ | |||
+ | Víme už, že propagátor udává časový vývoj systému. Víme, že bychom ho mohli dostat z řešení Schrödingerovy rovnice. Ovšem, propagátor se dá dostat i z dráhového integrálu, což je objekt, který se pokusíme osvětlit v této kapitole. | ||
+ | |||
+ | %================================================================================ | ||
+ | \subsection{Opravdu všechny možné historie} | ||
+ | %================================================================================ | ||
+ | |||
+ | V kapitolce \ref{sec:propagator} jsme mluvili o propagátoru pomocí obrázku \ref{fig:cesty}, což byl velmi ilustrativní přístup a není důvodu proč stejný postup nezopakovat $N$ krát a potom poslat $N$ do nekonečna a podívat se co člověk dostane. | ||
+ | |||
+ | Ještě se stručně zmíním o tom, že v této kapitole budu používat značení $x_0, t_0$ místo $x_i, t_i$ z předchozí kapitoly o propagátorech, za tuto změnu vděčí čtenář tomu, že $i$ jako \textit{initial} koliduje s $i$ jako komplexní jednotkou. | ||
+ | |||
+ | Podívejme se nyní na maticový element časového vývoje (propagátor) z nového úhlu | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = \bra{\vec{x}_f} \hat{U}(t_f, t_0) \ket{\vec{x}_0, t_0}, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | rozdělíme ho na vývoj přes malé podintervaly $\Delta t$, kde | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | \Delta t &= \frac{t_f-t_0}{N+1}, \: N \in \mathbb{N},\\ | ||
+ | t_k &= t_0 + k \Delta t. | ||
+ | \end{align} | ||
+ | Dále v časech $t_k$ rozepíšeme "mezistav" vždy pomocí rozkladu jedničky | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | I = \int \dif^3 x \ket{\vec{x}} \bra{\vec{x}}, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | a dostaneme tak | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = & \int \dif^3 x_1 \ldots \dif^3 x_N & \brapigket{\vec{x}_f}{\hat{U}(t_f, t_N)}{\vec{x}_N} \brapigket{\vec{x}_N}{\hat{U}(t_N, t_{N-1})}{\vec{x}_{N-1}} \notag \\ | ||
+ | & & \ldots \brapigket{\vec{x}_2}{\hat{U}(t_2, t_{1})}{\vec{x}_{0}}. \label{eq:rozkladvyvoje} | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | Z Taylorova rozvoje exponenciály (časového vývoje) je zřejmé (je to jen trocha psaní), že pro malá $\Delta t$ | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \hat{U}(t_k, t_{k-1}) \approx I - \frac{i}{\hbar} \Delta t \hat{H}(t_k), \label{eq:mala_delta} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | pokud předpokládáme $\hat{H} = \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m} + V(\vec{x}, t)$, dostaneme v \eqref{eq:mala_delta} po obložení vektory | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \brapigket{\vec{x}_k}{\hat{U}(t_k, t_{k-1})}{\vec{x}_{k-1}} & \approx & \delta^{(3)} (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}) - \frac{i}{\hbar} \Delta t \brapigket{\vec{x}_k}{\hat{V}(t_k)}{\vec{x}_{k-1}} \notag \\ | ||
+ | & & - \frac{i}{\hbar} \Delta t \int \braket{\vec{x}_k}{\vec{p}} \frac{\vec{p}^2}{2m} \braket{\vec{p}}{\vec{x}_{k-1}} \dif^3 p, \label{eq:element_prop}\end{eqnarray} | ||
+ | kde si pečlivý čtenář jistě všiml toho, že na pravé straně už $\vec{p}$ přestalo být operátorem. Dále díky tomu, že z kapitoly o reprezentacích známe skalární součiny v \eqref{eq:element_prop}, můžeme poslední člen rozepsat na | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | - \frac{i}{\hbar} \Delta t \int \braket{\vec{x}_k}{\vec{p}} \frac{\vec{p}^2}{2m} \braket{\vec{p}}{\vec{x}_{k-1}} \dif^3 p = - \frac{i}{\hbar} \Delta t \int \frac{\vec{p}^2}{2m} e^{\frac{i (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})\vec{p}}{\hbar}} \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar )^3}. | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | Na tomto místě si vzpomeneme na Metody matematické fyziky a na to jak fyzici drze píšou delta funkci pomocí integrálu jako | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \delta^{(3)} (\vec{x} - \vec{y}) = \int \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar )^3} e^{\frac{i (\vec{x} - \vec{y}) \vec{p}}{\hbar}}, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | pomocí čehož rozepíšeme delta funkci v \eqref{eq:element_prop} a dostaneme | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \brapigket{\vec{x}_k}{\hat{U}(t_k, t_{k-1})}{\vec{x}_{k-1}} = \int \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar )^3} e^{\frac{i (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})\vec{p}}{\hbar}} \left( 1 - \frac{i}{\hbar} \Delta t \left( V(\vec{x}_k, t_k) + \frac{\vec{p}^2}{2m} \right) \right). \label{eq:podelta} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Na poslední závorku v \eqref{eq:podelta} pustíme odhad exponenciály z \eqref{eq:mala_delta} $e^a \approx 1 + a$, ale tentokrát pozpátku | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \brapigket{\vec{x}_k}{\hat{U}(t_k, t_{k-1})}{\vec{x}_{k-1}} = \int \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar )^3} e^{\frac{i (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})\vec{p}}{\hbar}} e^{- \frac{i}{\hbar} \Delta t H(\vec{p}, \vec{x}_k)}, \label{eq:jedenclen} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | a to už je hledaný výsledek, kde znovu upozorňuji na to, že v exponentu Hamiltonián už není operátor, opravdu nemá mít stříšku. | ||
+ | |||
+ | Tohoto výsledku využijeme a dosadíme ho za každý rozklad v \eqref{eq:rozkladvyvoje}, kde ještě potřebujeme odlišit hybnosti přes které integrujeme v \eqref{eq:jedenclen}, tak je označíme $\vec{p}_k$ pro každý rozklad | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} & \approx \int & \frac{\dif^3 p_{N+1}}{(2 \pi \hbar )^3} \dif^3 x_{N} \frac{\dif^3 p_{N}}{(2 \pi \hbar )^3} \ldots \dif^3 x_{1} \frac{\dif^3 p_{1}}{(2 \pi \hbar )^3} \notag \\ | ||
+ | & &\exp \left( \frac{i}{\hbar} \sum_{k=1}^{N+1} (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})\vec{p}_k - \frac{i}{\hbar} \Delta t \sum_{k=1}^{N+1} H(\vec{p}_k, \vec{x}_k) \right), | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | kde $\vec{x}_f \equiv \vec{x}_{N+1}$. Pro $\Delta t \longrightarrow 0$, jinak řečeno $N \longrightarrow \infty$ se naše odhady blíží přesnému výsledku | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = \lim_{N \rightarrow \infty} \int \prod_{k=1}^{N+1} \frac{\dif^3 p_{k}}{(2 \pi \hbar )^3} \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k \exp \left( \frac{i}{\hbar} \sum_{k=1}^{N+1} \left( \frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{\Delta t} \vec{p}_k - H(\vec{p}_k, \vec{x}_k) \right) \Delta t \right), \label{eq:skorodraha} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | kde indexy $k$ v součinech jsou pouze zjednodušení notace dlouhého $\dif \ldots$ a nijak se nevztahují k vnitřku integrálu. | ||
+ | |||
+ | Tento integrál se interpretuje jako integrál přes všechny trajektorie ve fázovém prostoru spojující zadanou počáteční a koncovou konfiguraci, odtud název kapitoly. Tato rovnice je definicí dráhového integrálu, to co přijde je pouze označení, které šetří křídu. Otázka existence limity a její závislosti na tom, že jsme si zvolili ekvidistantní rozdělení v čase $\Delta t$, se ve většině fyzikálních publikacích zanedbává. | ||
+ | |||
+ | Většinou se zavádí označení | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \mathscr{D} \vec{p} \mathscr{D} \vec{x} = \lim_{N \rightarrow \infty} \prod_{k=1}^{N+1} \frac{\dif^3 p_{k}}{(2 \pi \hbar )^3} \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | a v exponentu \eqref{eq:skorodraha} se \textit{přepočítá} suma $\frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{\Delta t}$ na derivaci a suma na integrál, takže náš výsledek se potom zapisuje jako | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = \int \mathscr{D} \vec{p} \mathscr{D} \vec{x} e^{\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t_f} \overset{.}{\vec{x}} \vec{p} - H(\vec{p}, \vec{x}) \dif t}. | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Stejný výsledek jako jsme dostali lze získat obecně pro Hamiltoniány ve tvaru $H = f(\vec{p}) + g(\vec{x})$. Pro Hamiltoniány kvadratické v $\vec{p}$ (dále $H = \frac{\vec{p}^2}{2m} +V(\vec{x})$) lze ještě integrovat přes hybnostní část fázového prostoru pomocí regularizace a Gaussovských integrálů (viz. \ref{ssec:volna}): | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \int \frac{\dif^3 p_{k}}{(2 \pi \hbar )^3} e^{\frac{i}{\hbar} \left( \frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{\Delta t} \vec{p}_k - \left( \frac{1}{2m} -i \epsilon \right) \vec{p}_k^2 \right) \Delta t} \underset{\epsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow} \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3}{2}} e^{\frac{im (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})^2}{2 \hbar \Delta t}}. | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | |||
+ | Když tento výpočet dosadíme do definiční limity dráhového integrálu, | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} & = & \lim_{N \rightarrow \infty} \int \left( \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k \right) \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}} \notag \\ | ||
+ | & & \exp \left( \frac{i}{\hbar} \sum_{k=1}^{N+1} \left( \frac{m}{2} \left( \frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{\Delta t} \right)^2 - V(\vec{x}_k) \right) \Delta t \right), | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | a pokud schováme zlomek do "míry" konfiguračního prostoru, to jest označíme | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \mathscr{D} \vec{x} \equiv \lim_{N \rightarrow \infty} \left( \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k \right) \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}}, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | v exponentu dostaneme dobře známý objekt z teoretické fyziky: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = \int \mathscr{D} \vec{x} e^{\frac{i}{h} \int_{t_0}^{t_f} \mathscr{L}(\vec{x}, \overset{.}{\vec{x}}) \dif t} = \int \mathscr{D} \vec{x} e^{\frac{i}{\hbar} S[\vec{x}]}, \label{eq:drahaSakci} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | akci podél trajektorie $\vec{x}$. Tento integrál se interpretuje jako integrál přes všechny trajektorie v konfiguračním prostoru spojující počáteční a koncový bod v odpovídajících časech. | ||
+ | |||
+ | Občasně se lze setkat s tvrzením, že do integrálu \eqref{eq:drahaSakci} přispívají hlavně trajektorie blízké trajektorii extremální, klasické. To lze částečně vykoukat z toho, že pokud bych měl dvě akce podél různých trajektorií, pro které by platilo | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | S_1 - S_2 = \pi \hbar, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | díky tomu, že $e^{i \pi} = -1$, jejich příspěvky by se v integrálu odečetly. Z makroskopického hlediska lze říct, že trajektorie blízké $\vec{x}_{kl}$ ($\delta S[\vec{x}_{kl}] = 0$) se nemají s čím odečíst a budou přispívat nejvíc a v klasické situaci bude pohyb probíhat po trajektoriích blízkých extremální trajektorii. | ||
+ | |||
+ | %================================================================================ | ||
+ | \subsubsection{Výhody a nevýhody dráhového integrálu} | ||
+ | %================================================================================ | ||
+ | |||
+ | Zápis pomocí dráhového integrálu umožňuje snadno zkonstruovat poruchový rozvoj propagátoru (ano, to nás čeká a nemine) a přes matematickou nekorektnost, kterou jsme si dovolili, výsledky dobře souhlasí s těmi, které jdou získat z tradičnějšího, operátorového, přístupu. | ||
+ | |||
+ | Nebylo dokázáno zda $\mathscr{D} \vec{x}$ je mírou v pravém slova smyslu a tak výpočty integrálů jsou matematicky nekorektní. (Výzva pro další generaci fyziků ;).) | ||
+ | |||
+ | Obdobná tvrzení platí i v kvantové teorii pole: Co lze kvantovat kanonickým (operátorovým) přístupem, lze popsat i pomocí dráhového (funkcionálního) integrálu a fyzikálně měřitelné předpovědi jsou stejné. Ve většině případů je ale postup s dráhovým integrálem mnohem snazší (např. kalibrační teorie ve standardním modelu) a řadu systémů fyzikové jinak než pomocí dráhového integrálu popsat vůbec neumí. Proto se funkcionální integrál všeobecně v QFT (Quantum Field Theory) používá navzdory matematické nekorektnosti. | ||
+ | |||
+ | %================================================================================ | ||
+ | \subsection{Volná částice} | ||
+ | %================================================================================ | ||
+ | |||
+ | Náš nově nabitý kanón necháme pochopitelně poprvé vystřelit na volnou částici a spočítáme její propagátor přímo z definiční limity dráhového integrálu. | ||
+ | |||
+ | Již při prvním pohledu na výpočet, který nás čeká, vyskočí, že bychom si měli připravit následující vzoreček (zobecnění Gaussovských integrálů) | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \int_{\mathbb{R}^N} e^{-\lambda \sum_{n=1}^{N+1} (x_n - x_{n-1})^2} \dif x_1 \ldots \dif x_N = \sqrt{\frac{\pi^N}{(N+1) \lambda^N}} e^{-\frac{\lambda}{N+1} (x_{N+1} - x_0)^2}, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | platného pro $\mathrm{Re} \lambda > 0$. Dokážeme ho indukcí. | ||
+ | |||
+ | Prní krok $N=1$ dokážeme pomocí Gaussovských integrálů (konvergetních díky stejné podmínce na $\lambda$): | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \int_{\mathbb{R}} e^{-\lambda [(x_1 - x_0)^2 + (x_2 - x_1)^2]} = e^{-\lambda (x_1^2 + x_2^2)} \sqrt{\frac{\pi}{2 \lambda}} e^{\frac{4 \lambda^2 (x_0 + x_2)^2}{4 \cdot 2\lambda}} = \sqrt{\frac{\pi}{2 \lambda}} e^{-\frac{\lambda}{2}(x_0 - x_2)^2}, | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | |||
+ | Indukční krok provedeme od $N-1$ k $N$: | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | \int_{\mathbb{R}^N} e^{-\lambda \sum_{n=1}^{N+1} (x_n - x_{n-1})^2} \dif x_1 \ldots \dif x_N & \overset{\mathrm{IP}}{=} \int_{\mathbb{R}} \sqrt{\frac{\pi^{N-1}}{N \lambda^{N-1}}} e^{- \frac{\lambda}{N} (x_N - x_0)^2 - \lambda (x_{N+1} - x_N)^2} \dif x_N = \notag \\ | ||
+ | &= \sqrt{\frac{\pi^{N-1}}{N \lambda^{N-1}}} e^{-\frac{\lambda}{N} x_0^2 -\lambda x_{N+1}^2} \sqrt{\frac{\pi N}{\lambda (N+1)}} e^{\frac{4 \lambda^2 (x_0 + N x_{N+1})^2 N}{4 \lambda N^2 (N+1)}} \notag \\ | ||
+ | &= \sqrt{\frac{\pi^N}{(N+1) \lambda^N}} e^{-\frac{\lambda}{N+1} (x_{N+1} - x_0)^2}. | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | Zpět k příkladu. | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \propU{0}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} = \lim_{N \rightarrow \infty} \int \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}} e^{\frac{i}{\hbar} \sum_{k=1}^{N+1} \frac{m}{2 \Delta t} (\vec{x}_k - \vec{x_{k-1}})^2}, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | každý z těchto integrálů je divergentní, opět provedeme regularizaci | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \lambda = - \frac{i m}{2 \hbar \Delta t} \longrightarrow - \frac{i (m + i \epsilon)}{2 \hbar \Delta t}, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | a provedeme výpočet pomocí připraveného vzorečku a pošleme $\epsilon$ do nuly: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \lim_{N \rightarrow \infty} \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}} \left( \frac{2 \pi \hbar \Delta t}{-i m} \right)^{\frac{3N}{2}} \frac{1}{(N+1)^\frac{3}{2}} \exp \left( \frac{im}{2 \hbar \Delta t (N+1)} (\vec{x}_{N+1} - \vec{x}_0)^2 \right). | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Všimneme si, že $\Delta t (N+1) = t_f - t_0$ a po zkrácení konstant, dostáváme | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar (t_f-t_0)} \right)^{\frac{3}{2}} e^{\frac{im(\vec{x} - \vec{x}_0)^2}{2 \hbar (t_f - t_0)}}, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | kde jsme využili toho, že $\vec{x}_{N+1} = \vec{x}$. To je stejný výsledek jako jsme dostali dřív. Značení propagátoru volné částice jako $K_0(\ldots)$ zde zavedené už budeme dodržovat až do konce poznámek. | ||
+ | |||
+ | %================================================================================ | ||
+ | \subsection{Harmonický oscilátor} | ||
+ | %================================================================================ | ||
+ | Ukážeme si nyní na příkladu harmonického oscilátoru, které trajektorie přispívají do dráhového integrálu nejvíc. Nechť Lagrangián našeho systému je | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | L = \frac{m \overset{.}{x}^2}{2} - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Langrangián 1D harmonického oscilátoru. | ||
+ | |||
+ | Budeme nějak potřebovat formalizovat \textit{všechny trajektorie} v konfiguračním prostoru, to uděláme rozdělením obecné trajektorie $x(t)$ následovně: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | x(t) = x_{kl}(t) + y(t), | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | kde $x_{kl}(t)$ je klasická trajektorie, kterou lze získat např. z variace akce a $y(t)$ je nějaká funkce, která nám právě umožní proběhnout všechny možné trajektorie. Obě funkce musejí zároveň odpovídat určitým okrajovým podmínkám, zvolíme je takto: | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | x(t_0) &= x_0 = x_{kl}(t_0) + 0, \label{eq:okrajovePodminky} \\ | ||
+ | x(t_f) &= x_f = x_{kl}(t_f) + 0. \notag | ||
+ | \end{align} | ||
+ | Rádi bychom nyní využili zápisu \eqref{eq:drahaSakci} k výpočtu propagátoru. Tušíme, že se nám bude hodit si připomenout, že pro klasickou trajektorii platí | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \delta S = 0 = \delta \left( \int_{x_{kl}} L \dif t \right). \label{eq:variacAakce} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Podívejme se na akci v exponentu \eqref{eq:drahaSakci} | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | S[x] = S[x_{kl}] = \int_{t_0}^{t_f} \frac{m (\overset{.}{x_{kl}} + \overset{.}{y})^2}{2} - \frac{m \omega^2}{2} (x_{kl} + y)^2 \dif t, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | vnitřek integrálu lze rozepsat a dostat tak akci podél klasické trajektorie, akci podél $y(t)$ a smíšené členy | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | S[x] = S[x_{kl}] + S[y] + \int \ldots. | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | Poslední člen se dá rozepsat pomocí Taylorova rozvoje funkce dvou proměnných. Pro harmonický oscilátor a obecně pro tzv. \textit{separovatelné} Lagrangiány (Lagrangiány kvadratické v $x$ a $\overset{.}{x}$) platí, že díky Euler-Lagrangiovým rovnicím pro klasickou trajektorii a okrajovým podmínkám \eqref{eq:okrajovePodminky}, je poslední integrál roven $0$. Pro ostatní Lagrangiány platí pouze, že díky E.-L. rovnicím je první člen Taylorova rozvoje roven $0$. | ||
+ | |||
+ | Rozepišme nyní vztah \eqref{eq:drahaSakci} s využitím nově nabitých znalostí | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \int \mathscr{D} x e^{\frac{i}{\hbar} S[x]} = e^{\frac{i}{\hbar} S[x_{kl}]} \int_{\begin{array}{c} | ||
+ | y(t_{0})=0\\ | ||
+ | y(t_{f})=0 | ||
+ | \end{array}} \mathscr{D} x e^{\frac{i}{\hbar} S[y]}, \label{eq:drahaOscilatoru} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | a všimneme si, že integrál už nezávisí na $x_{kl}(t_0)$ ani $x_{kl}(t_f)$ a je to pouze funkce $(t_f - t_0)$. | ||
+ | |||
+ | Vyčíslíme nyní akci podél klasické trajektorie, studenti třetího ročníku již vědí, že E.-L. rovnice pro 1D LHO mají obecné řešení ve tvaru | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | x_{kl} = a \sin \omega t + b \cos \omega t, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | kde konstanty $a$ a $b$ určíme z podmínek \eqref{eq:okrajovePodminky} | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | x_0 &= a \sin \omega t_0 + b \cos \omega t_0,\\ | ||
+ | x_f &= a \sin \omega t_f + b \cos \omega t_f. | ||
+ | \end{align} | ||
+ | Každý by tuto soustavu vyřešil svojí oblíbenou metodou a našel by | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | a &= \frac{x_f \cos \omega t_0 - x_0 \cos \omega t_f}{\sin \omega (t_f - t_0)},\\ | ||
+ | b &= \frac{x_f \sin \omega t_0 - x_0 \sin \omega t_f}{\sin \omega (t_f - t_0)}. | ||
+ | \end{align} | ||
+ | Po poměrně rozsáhlém výpočtu integrálu $S[x_{kl}]$, kam dosadíme klasickou trajektorii včetně konstant $a$ a $b$, obdržíme | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | S[x_{kl}] = \frac{m \omega}{2} \frac{(x_f^2 + x_0^2) \cos \omega (t_f - t_0) - 2 x_0 x_f}{\sin \omega (t_f - t_0)}. | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | Zbývající část v \eqref{eq:drahaOscilatoru} určíme pomocí dvou triků. Zaprvé využijeme unitárnosti časového vývoje, který si vhodně zapíšeme pomocí propagátoru | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | \psi(x, t_f) &= \int \dif y \prop{\alpha}{t_f}{y}{t_0} \psi(y, t_0),\\ | ||
+ | \overline{\psi(x, t_f)} &= \int \dif z \overline{\prop{\alpha}{t_f}{z}{t_0}} \overline{\psi(z, t_0)}. | ||
+ | \end{align} | ||
+ | Unitárnost vývoje dává | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \int \overline{\psi(x, t_f)} \psi(x, t_f) \dif x = \int \overline{\psi(x, t_0)} \psi(x, t_0) \dif x, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | kam když vlevo dosadíme pomocí propagátoru, dostaneme | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \int \dif x \dif y \dif z \prop{x}{t_f}{y}{t_0} \overline{\prop{x}{t_f}{z}{t_0}} \psi(y, t_0) \overline{\psi(z, t_0)}, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | což dohromady dává podmínku na propagátor | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \int \dif x \overline{\prop{x}{t_f}{z}{t_0}} \prop{x}{t_f}{y}{t_0} = \delta(z-y). \label{eq:podminkaLHO} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | Jak už jsem dříve komentoval, hledaný propagátor LHO má tvar | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \prop{x}{t_f}{y}{t_0} = e^{\frac{i}{\hbar} S[x_{kl}]} F(t_f - t_0), | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | což když dosadíme do podmínky \eqref{eq:podminkaLHO}, po několika úpravách obdžíme podmínku na absolutní hodnotu $F$, která dá řešení | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \abs{F}^2 = \frac{m \omega}{2 \pi \hbar \sin \omega (t_f - t_0)}, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | neboli | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \abs{F} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{\frac{m \omega}{\pi \hbar \sin \omega (t_f - t_0)}}. | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | Fázi $F$ téměř určíme z druhého triku, budeme požadovat, aby pro $\omega \rightarrow 0$ propagátor přešel v propagátor volné částice. Je konvence výsledek zapisovat takto | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | F(t_f - t_0) = \frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{\frac{-i m \omega}{\pi \hbar \sin \omega (t_f - t_0)}}, | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | což celkově dá hledaný výsledek ve tvaru | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \prop{x_f}{t_f}{x_0}{t_0} = \frac{1}{2} \exp \left( \frac{i m \omega}{2 \hbar} \frac{(x_f^2 + x_0^2) \cos \omega (t_f - t_0) - 2 x_0 x_f}{\sin \omega (t_f - t_0)} \right) \sqrt{\frac{-2 i m \omega}{\pi \hbar \sin \omega (t_f - t_0)}}. | ||
+ | \end{equation} |
Verze z 6. 5. 2014, 11:52
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN2
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN2 | Hoskoant | 6. 5. 2014 | 12:44 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Potocvac | 12. 6. 2017 | 12:17 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Potocvac | 12. 6. 2017 | 19:07 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Hoskoant | 6. 5. 2014 | 11:48 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Algebraická teorie momentu hybnosti | Potocvac | 8. 6. 2018 | 14:31 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Tenzorové operátory, Wigner-Eckartův teorém | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 13:22 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Další ekvivalentní způsoby zápisu kvantové mechaniky | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 14:00 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Matice hustoty a smíšené kvantové stavy | Kubuondr | 12. 6. 2018 | 10:59 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Přibližné metody v kvantové mechanice | Kubuondr | 9. 6. 2018 | 22:23 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Propagátor | Potocvac | 3. 5. 2018 | 17:34 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Dráhový integrál | Kubuondr | 5. 4. 2020 | 18:09 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Teorie rozptylu | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 08:54 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Partiční suma | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 09:14 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Reprezentace vícečásticových systémů | Kubuondr | 11. 6. 2018 | 10:34 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Kvantování klasických polí | Kubuondr | 13. 6. 2018 | 11:45 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Literatura | Hoskoant | 6. 5. 2014 | 11:53 | kapitolaA.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:wkb-1.pdf | wkb-1.pdf |
Image:wkb-2.pdf | wkb-2.pdf |
Image:wkb-3.pdf | wkb-3.pdf |
Image:wkb-4.pdf | wkb-4.pdf |
Image:wkb-5.pdf | wkb-5.pdf |
Image:wkb-ho.pdf | wkb-ho.pdf |
Image:itw-1.pdf | itw-1.pdf |
Image:drahy-1.pdf | drahy-1.pdf |
Image:drahy-2.pdf | drahy-2.pdf |
Image:feynman-1.pdf | feynman-1.pdf |
Image:feynman-2.pdf | feynman-2.pdf |
Image:feynman-3.pdf | feynman-3.pdf |
Image:feynman-4.pdf | feynman-4.pdf |
Image:rozptyl-1.pdf | rozptyl-1.pdf |
Image:rozptyl-2.pdf | rozptyl-2.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN2} \section{Dráhový integrál} Víme už, že propagátor udává časový vývoj systému. Víme, že bychom ho mohli dostat z řešení Schrödingerovy rovnice. Ovšem, propagátor se dá dostat i z dráhového integrálu, což je objekt, který se pokusíme osvětlit v této kapitole. %================================================================================ \subsection{Opravdu všechny možné historie} %================================================================================ V kapitolce \ref{sec:propagator} jsme mluvili o propagátoru pomocí obrázku \ref{fig:cesty}, což byl velmi ilustrativní přístup a není důvodu proč stejný postup nezopakovat $N$ krát a potom poslat $N$ do nekonečna a podívat se co člověk dostane. Ještě se stručně zmíním o tom, že v této kapitole budu používat značení $x_0, t_0$ místo $x_i, t_i$ z předchozí kapitoly o propagátorech, za tuto změnu vděčí čtenář tomu, že $i$ jako \textit{initial} koliduje s $i$ jako komplexní jednotkou. Podívejme se nyní na maticový element časového vývoje (propagátor) z nového úhlu \begin{equation} \braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = \bra{\vec{x}_f} \hat{U}(t_f, t_0) \ket{\vec{x}_0, t_0}, \end{equation} rozdělíme ho na vývoj přes malé podintervaly $\Delta t$, kde \begin{align} \Delta t &= \frac{t_f-t_0}{N+1}, \: N \in \mathbb{N},\\ t_k &= t_0 + k \Delta t. \end{align} Dále v časech $t_k$ rozepíšeme "mezistav" vždy pomocí rozkladu jedničky \begin{equation} I = \int \dif^3 x \ket{\vec{x}} \bra{\vec{x}}, \end{equation} a dostaneme tak \begin{eqnarray} \braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = & \int \dif^3 x_1 \ldots \dif^3 x_N & \brapigket{\vec{x}_f}{\hat{U}(t_f, t_N)}{\vec{x}_N} \brapigket{\vec{x}_N}{\hat{U}(t_N, t_{N-1})}{\vec{x}_{N-1}} \notag \\ & & \ldots \brapigket{\vec{x}_2}{\hat{U}(t_2, t_{1})}{\vec{x}_{0}}. \label{eq:rozkladvyvoje} \end{eqnarray} Z Taylorova rozvoje exponenciály (časového vývoje) je zřejmé (je to jen trocha psaní), že pro malá $\Delta t$ \begin{equation} \hat{U}(t_k, t_{k-1}) \approx I - \frac{i}{\hbar} \Delta t \hat{H}(t_k), \label{eq:mala_delta} \end{equation} pokud předpokládáme $\hat{H} = \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m} + V(\vec{x}, t)$, dostaneme v \eqref{eq:mala_delta} po obložení vektory \begin{eqnarray} \brapigket{\vec{x}_k}{\hat{U}(t_k, t_{k-1})}{\vec{x}_{k-1}} & \approx & \delta^{(3)} (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}) - \frac{i}{\hbar} \Delta t \brapigket{\vec{x}_k}{\hat{V}(t_k)}{\vec{x}_{k-1}} \notag \\ & & - \frac{i}{\hbar} \Delta t \int \braket{\vec{x}_k}{\vec{p}} \frac{\vec{p}^2}{2m} \braket{\vec{p}}{\vec{x}_{k-1}} \dif^3 p, \label{eq:element_prop}\end{eqnarray} kde si pečlivý čtenář jistě všiml toho, že na pravé straně už $\vec{p}$ přestalo být operátorem. Dále díky tomu, že z kapitoly o reprezentacích známe skalární součiny v \eqref{eq:element_prop}, můžeme poslední člen rozepsat na \begin{equation} - \frac{i}{\hbar} \Delta t \int \braket{\vec{x}_k}{\vec{p}} \frac{\vec{p}^2}{2m} \braket{\vec{p}}{\vec{x}_{k-1}} \dif^3 p = - \frac{i}{\hbar} \Delta t \int \frac{\vec{p}^2}{2m} e^{\frac{i (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})\vec{p}}{\hbar}} \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar )^3}. \end{equation} Na tomto místě si vzpomeneme na Metody matematické fyziky a na to jak fyzici drze píšou delta funkci pomocí integrálu jako \begin{equation} \delta^{(3)} (\vec{x} - \vec{y}) = \int \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar )^3} e^{\frac{i (\vec{x} - \vec{y}) \vec{p}}{\hbar}}, \end{equation} pomocí čehož rozepíšeme delta funkci v \eqref{eq:element_prop} a dostaneme \begin{equation} \brapigket{\vec{x}_k}{\hat{U}(t_k, t_{k-1})}{\vec{x}_{k-1}} = \int \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar )^3} e^{\frac{i (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})\vec{p}}{\hbar}} \left( 1 - \frac{i}{\hbar} \Delta t \left( V(\vec{x}_k, t_k) + \frac{\vec{p}^2}{2m} \right) \right). \label{eq:podelta} \end{equation} Na poslední závorku v \eqref{eq:podelta} pustíme odhad exponenciály z \eqref{eq:mala_delta} $e^a \approx 1 + a$, ale tentokrát pozpátku \begin{equation} \brapigket{\vec{x}_k}{\hat{U}(t_k, t_{k-1})}{\vec{x}_{k-1}} = \int \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar )^3} e^{\frac{i (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})\vec{p}}{\hbar}} e^{- \frac{i}{\hbar} \Delta t H(\vec{p}, \vec{x}_k)}, \label{eq:jedenclen} \end{equation} a to už je hledaný výsledek, kde znovu upozorňuji na to, že v exponentu Hamiltonián už není operátor, opravdu nemá mít stříšku. Tohoto výsledku využijeme a dosadíme ho za každý rozklad v \eqref{eq:rozkladvyvoje}, kde ještě potřebujeme odlišit hybnosti přes které integrujeme v \eqref{eq:jedenclen}, tak je označíme $\vec{p}_k$ pro každý rozklad \begin{eqnarray} \braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} & \approx \int & \frac{\dif^3 p_{N+1}}{(2 \pi \hbar )^3} \dif^3 x_{N} \frac{\dif^3 p_{N}}{(2 \pi \hbar )^3} \ldots \dif^3 x_{1} \frac{\dif^3 p_{1}}{(2 \pi \hbar )^3} \notag \\ & &\exp \left( \frac{i}{\hbar} \sum_{k=1}^{N+1} (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})\vec{p}_k - \frac{i}{\hbar} \Delta t \sum_{k=1}^{N+1} H(\vec{p}_k, \vec{x}_k) \right), \end{eqnarray} kde $\vec{x}_f \equiv \vec{x}_{N+1}$. Pro $\Delta t \longrightarrow 0$, jinak řečeno $N \longrightarrow \infty$ se naše odhady blíží přesnému výsledku \begin{equation} \braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = \lim_{N \rightarrow \infty} \int \prod_{k=1}^{N+1} \frac{\dif^3 p_{k}}{(2 \pi \hbar )^3} \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k \exp \left( \frac{i}{\hbar} \sum_{k=1}^{N+1} \left( \frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{\Delta t} \vec{p}_k - H(\vec{p}_k, \vec{x}_k) \right) \Delta t \right), \label{eq:skorodraha} \end{equation} kde indexy $k$ v součinech jsou pouze zjednodušení notace dlouhého $\dif \ldots$ a nijak se nevztahují k vnitřku integrálu. Tento integrál se interpretuje jako integrál přes všechny trajektorie ve fázovém prostoru spojující zadanou počáteční a koncovou konfiguraci, odtud název kapitoly. Tato rovnice je definicí dráhového integrálu, to co přijde je pouze označení, které šetří křídu. Otázka existence limity a její závislosti na tom, že jsme si zvolili ekvidistantní rozdělení v čase $\Delta t$, se ve většině fyzikálních publikacích zanedbává. Většinou se zavádí označení \begin{equation} \mathscr{D} \vec{p} \mathscr{D} \vec{x} = \lim_{N \rightarrow \infty} \prod_{k=1}^{N+1} \frac{\dif^3 p_{k}}{(2 \pi \hbar )^3} \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k, \end{equation} a v exponentu \eqref{eq:skorodraha} se \textit{přepočítá} suma $\frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{\Delta t}$ na derivaci a suma na integrál, takže náš výsledek se potom zapisuje jako \begin{equation} \braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = \int \mathscr{D} \vec{p} \mathscr{D} \vec{x} e^{\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^{t_f} \overset{.}{\vec{x}} \vec{p} - H(\vec{p}, \vec{x}) \dif t}. \end{equation} Stejný výsledek jako jsme dostali lze získat obecně pro Hamiltoniány ve tvaru $H = f(\vec{p}) + g(\vec{x})$. Pro Hamiltoniány kvadratické v $\vec{p}$ (dále $H = \frac{\vec{p}^2}{2m} +V(\vec{x})$) lze ještě integrovat přes hybnostní část fázového prostoru pomocí regularizace a Gaussovských integrálů (viz. \ref{ssec:volna}): \begin{eqnarray} \int \frac{\dif^3 p_{k}}{(2 \pi \hbar )^3} e^{\frac{i}{\hbar} \left( \frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{\Delta t} \vec{p}_k - \left( \frac{1}{2m} -i \epsilon \right) \vec{p}_k^2 \right) \Delta t} \underset{\epsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow} \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3}{2}} e^{\frac{im (\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1})^2}{2 \hbar \Delta t}}. \end{eqnarray} Když tento výpočet dosadíme do definiční limity dráhového integrálu, \begin{eqnarray} \braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} & = & \lim_{N \rightarrow \infty} \int \left( \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k \right) \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}} \notag \\ & & \exp \left( \frac{i}{\hbar} \sum_{k=1}^{N+1} \left( \frac{m}{2} \left( \frac{\vec{x}_k - \vec{x}_{k-1}}{\Delta t} \right)^2 - V(\vec{x}_k) \right) \Delta t \right), \end{eqnarray} a pokud schováme zlomek do "míry" konfiguračního prostoru, to jest označíme \begin{equation} \mathscr{D} \vec{x} \equiv \lim_{N \rightarrow \infty} \left( \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k \right) \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}}, \end{equation} v exponentu dostaneme dobře známý objekt z teoretické fyziky: \begin{equation} \braket{\vec{x}_f, t_f}{\vec{x}_0, t_0} = \int \mathscr{D} \vec{x} e^{\frac{i}{h} \int_{t_0}^{t_f} \mathscr{L}(\vec{x}, \overset{.}{\vec{x}}) \dif t} = \int \mathscr{D} \vec{x} e^{\frac{i}{\hbar} S[\vec{x}]}, \label{eq:drahaSakci} \end{equation} akci podél trajektorie $\vec{x}$. Tento integrál se interpretuje jako integrál přes všechny trajektorie v konfiguračním prostoru spojující počáteční a koncový bod v odpovídajících časech. Občasně se lze setkat s tvrzením, že do integrálu \eqref{eq:drahaSakci} přispívají hlavně trajektorie blízké trajektorii extremální, klasické. To lze částečně vykoukat z toho, že pokud bych měl dvě akce podél různých trajektorií, pro které by platilo \begin{equation} S_1 - S_2 = \pi \hbar, \end{equation} díky tomu, že $e^{i \pi} = -1$, jejich příspěvky by se v integrálu odečetly. Z makroskopického hlediska lze říct, že trajektorie blízké $\vec{x}_{kl}$ ($\delta S[\vec{x}_{kl}] = 0$) se nemají s čím odečíst a budou přispívat nejvíc a v klasické situaci bude pohyb probíhat po trajektoriích blízkých extremální trajektorii. %================================================================================ \subsubsection{Výhody a nevýhody dráhového integrálu} %================================================================================ Zápis pomocí dráhového integrálu umožňuje snadno zkonstruovat poruchový rozvoj propagátoru (ano, to nás čeká a nemine) a přes matematickou nekorektnost, kterou jsme si dovolili, výsledky dobře souhlasí s těmi, které jdou získat z tradičnějšího, operátorového, přístupu. Nebylo dokázáno zda $\mathscr{D} \vec{x}$ je mírou v pravém slova smyslu a tak výpočty integrálů jsou matematicky nekorektní. (Výzva pro další generaci fyziků ;).) Obdobná tvrzení platí i v kvantové teorii pole: Co lze kvantovat kanonickým (operátorovým) přístupem, lze popsat i pomocí dráhového (funkcionálního) integrálu a fyzikálně měřitelné předpovědi jsou stejné. Ve většině případů je ale postup s dráhovým integrálem mnohem snazší (např. kalibrační teorie ve standardním modelu) a řadu systémů fyzikové jinak než pomocí dráhového integrálu popsat vůbec neumí. Proto se funkcionální integrál všeobecně v QFT (Quantum Field Theory) používá navzdory matematické nekorektnosti. %================================================================================ \subsection{Volná částice} %================================================================================ Náš nově nabitý kanón necháme pochopitelně poprvé vystřelit na volnou částici a spočítáme její propagátor přímo z definiční limity dráhového integrálu. Již při prvním pohledu na výpočet, který nás čeká, vyskočí, že bychom si měli připravit následující vzoreček (zobecnění Gaussovských integrálů) \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^N} e^{-\lambda \sum_{n=1}^{N+1} (x_n - x_{n-1})^2} \dif x_1 \ldots \dif x_N = \sqrt{\frac{\pi^N}{(N+1) \lambda^N}} e^{-\frac{\lambda}{N+1} (x_{N+1} - x_0)^2}, \end{equation} platného pro $\mathrm{Re} \lambda > 0$. Dokážeme ho indukcí. Prní krok $N=1$ dokážeme pomocí Gaussovských integrálů (konvergetních díky stejné podmínce na $\lambda$): \begin{eqnarray} \int_{\mathbb{R}} e^{-\lambda [(x_1 - x_0)^2 + (x_2 - x_1)^2]} = e^{-\lambda (x_1^2 + x_2^2)} \sqrt{\frac{\pi}{2 \lambda}} e^{\frac{4 \lambda^2 (x_0 + x_2)^2}{4 \cdot 2\lambda}} = \sqrt{\frac{\pi}{2 \lambda}} e^{-\frac{\lambda}{2}(x_0 - x_2)^2}, \end{eqnarray} Indukční krok provedeme od $N-1$ k $N$: \begin{align} \int_{\mathbb{R}^N} e^{-\lambda \sum_{n=1}^{N+1} (x_n - x_{n-1})^2} \dif x_1 \ldots \dif x_N & \overset{\mathrm{IP}}{=} \int_{\mathbb{R}} \sqrt{\frac{\pi^{N-1}}{N \lambda^{N-1}}} e^{- \frac{\lambda}{N} (x_N - x_0)^2 - \lambda (x_{N+1} - x_N)^2} \dif x_N = \notag \\ &= \sqrt{\frac{\pi^{N-1}}{N \lambda^{N-1}}} e^{-\frac{\lambda}{N} x_0^2 -\lambda x_{N+1}^2} \sqrt{\frac{\pi N}{\lambda (N+1)}} e^{\frac{4 \lambda^2 (x_0 + N x_{N+1})^2 N}{4 \lambda N^2 (N+1)}} \notag \\ &= \sqrt{\frac{\pi^N}{(N+1) \lambda^N}} e^{-\frac{\lambda}{N+1} (x_{N+1} - x_0)^2}. \end{align} Zpět k příkladu. \begin{equation} \propU{0}{}{\vec{x}}{t_f}{\vec{x}_0}{t_0} = \lim_{N \rightarrow \infty} \int \prod_{k=1}^{N+1} \dif^3 x_k \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}} e^{\frac{i}{\hbar} \sum_{k=1}^{N+1} \frac{m}{2 \Delta t} (\vec{x}_k - \vec{x_{k-1}})^2}, \end{equation} každý z těchto integrálů je divergentní, opět provedeme regularizaci \begin{equation} \lambda = - \frac{i m}{2 \hbar \Delta t} \longrightarrow - \frac{i (m + i \epsilon)}{2 \hbar \Delta t}, \end{equation} a provedeme výpočet pomocí připraveného vzorečku a pošleme $\epsilon$ do nuly: \begin{equation} \lim_{N \rightarrow \infty} \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar \Delta t} \right)^{\frac{3(N+1)}{2}} \left( \frac{2 \pi \hbar \Delta t}{-i m} \right)^{\frac{3N}{2}} \frac{1}{(N+1)^\frac{3}{2}} \exp \left( \frac{im}{2 \hbar \Delta t (N+1)} (\vec{x}_{N+1} - \vec{x}_0)^2 \right). \end{equation} Všimneme si, že $\Delta t (N+1) = t_f - t_0$ a po zkrácení konstant, dostáváme \begin{equation} \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar (t_f-t_0)} \right)^{\frac{3}{2}} e^{\frac{im(\vec{x} - \vec{x}_0)^2}{2 \hbar (t_f - t_0)}}, \end{equation} kde jsme využili toho, že $\vec{x}_{N+1} = \vec{x}$. To je stejný výsledek jako jsme dostali dřív. Značení propagátoru volné částice jako $K_0(\ldots)$ zde zavedené už budeme dodržovat až do konce poznámek. %================================================================================ \subsection{Harmonický oscilátor} %================================================================================ Ukážeme si nyní na příkladu harmonického oscilátoru, které trajektorie přispívají do dráhového integrálu nejvíc. Nechť Lagrangián našeho systému je \begin{equation} L = \frac{m \overset{.}{x}^2}{2} - \frac{1}{2} m \omega^2 x^2, \end{equation} Langrangián 1D harmonického oscilátoru. Budeme nějak potřebovat formalizovat \textit{všechny trajektorie} v konfiguračním prostoru, to uděláme rozdělením obecné trajektorie $x(t)$ následovně: \begin{equation} x(t) = x_{kl}(t) + y(t), \end{equation} kde $x_{kl}(t)$ je klasická trajektorie, kterou lze získat např. z variace akce a $y(t)$ je nějaká funkce, která nám právě umožní proběhnout všechny možné trajektorie. Obě funkce musejí zároveň odpovídat určitým okrajovým podmínkám, zvolíme je takto: \begin{align} x(t_0) &= x_0 = x_{kl}(t_0) + 0, \label{eq:okrajovePodminky} \\ x(t_f) &= x_f = x_{kl}(t_f) + 0. \notag \end{align} Rádi bychom nyní využili zápisu \eqref{eq:drahaSakci} k výpočtu propagátoru. Tušíme, že se nám bude hodit si připomenout, že pro klasickou trajektorii platí \begin{equation} \delta S = 0 = \delta \left( \int_{x_{kl}} L \dif t \right). \label{eq:variacAakce} \end{equation} Podívejme se na akci v exponentu \eqref{eq:drahaSakci} \begin{equation} S[x] = S[x_{kl}] = \int_{t_0}^{t_f} \frac{m (\overset{.}{x_{kl}} + \overset{.}{y})^2}{2} - \frac{m \omega^2}{2} (x_{kl} + y)^2 \dif t, \end{equation} vnitřek integrálu lze rozepsat a dostat tak akci podél klasické trajektorie, akci podél $y(t)$ a smíšené členy \begin{equation} S[x] = S[x_{kl}] + S[y] + \int \ldots. \end{equation} Poslední člen se dá rozepsat pomocí Taylorova rozvoje funkce dvou proměnných. Pro harmonický oscilátor a obecně pro tzv. \textit{separovatelné} Lagrangiány (Lagrangiány kvadratické v $x$ a $\overset{.}{x}$) platí, že díky Euler-Lagrangiovým rovnicím pro klasickou trajektorii a okrajovým podmínkám \eqref{eq:okrajovePodminky}, je poslední integrál roven $0$. Pro ostatní Lagrangiány platí pouze, že díky E.-L. rovnicím je první člen Taylorova rozvoje roven $0$. Rozepišme nyní vztah \eqref{eq:drahaSakci} s využitím nově nabitých znalostí \begin{equation} \int \mathscr{D} x e^{\frac{i}{\hbar} S[x]} = e^{\frac{i}{\hbar} S[x_{kl}]} \int_{\begin{array}{c} y(t_{0})=0\\ y(t_{f})=0 \end{array}} \mathscr{D} x e^{\frac{i}{\hbar} S[y]}, \label{eq:drahaOscilatoru} \end{equation} a všimneme si, že integrál už nezávisí na $x_{kl}(t_0)$ ani $x_{kl}(t_f)$ a je to pouze funkce $(t_f - t_0)$. Vyčíslíme nyní akci podél klasické trajektorie, studenti třetího ročníku již vědí, že E.-L. rovnice pro 1D LHO mají obecné řešení ve tvaru \begin{equation} x_{kl} = a \sin \omega t + b \cos \omega t, \end{equation} kde konstanty $a$ a $b$ určíme z podmínek \eqref{eq:okrajovePodminky} \begin{align} x_0 &= a \sin \omega t_0 + b \cos \omega t_0,\\ x_f &= a \sin \omega t_f + b \cos \omega t_f. \end{align} Každý by tuto soustavu vyřešil svojí oblíbenou metodou a našel by \begin{align} a &= \frac{x_f \cos \omega t_0 - x_0 \cos \omega t_f}{\sin \omega (t_f - t_0)},\\ b &= \frac{x_f \sin \omega t_0 - x_0 \sin \omega t_f}{\sin \omega (t_f - t_0)}. \end{align} Po poměrně rozsáhlém výpočtu integrálu $S[x_{kl}]$, kam dosadíme klasickou trajektorii včetně konstant $a$ a $b$, obdržíme \begin{equation} S[x_{kl}] = \frac{m \omega}{2} \frac{(x_f^2 + x_0^2) \cos \omega (t_f - t_0) - 2 x_0 x_f}{\sin \omega (t_f - t_0)}. \end{equation} Zbývající část v \eqref{eq:drahaOscilatoru} určíme pomocí dvou triků. Zaprvé využijeme unitárnosti časového vývoje, který si vhodně zapíšeme pomocí propagátoru \begin{align} \psi(x, t_f) &= \int \dif y \prop{\alpha}{t_f}{y}{t_0} \psi(y, t_0),\\ \overline{\psi(x, t_f)} &= \int \dif z \overline{\prop{\alpha}{t_f}{z}{t_0}} \overline{\psi(z, t_0)}. \end{align} Unitárnost vývoje dává \begin{equation} \int \overline{\psi(x, t_f)} \psi(x, t_f) \dif x = \int \overline{\psi(x, t_0)} \psi(x, t_0) \dif x, \end{equation} kam když vlevo dosadíme pomocí propagátoru, dostaneme \begin{equation} \int \dif x \dif y \dif z \prop{x}{t_f}{y}{t_0} \overline{\prop{x}{t_f}{z}{t_0}} \psi(y, t_0) \overline{\psi(z, t_0)}, \end{equation} což dohromady dává podmínku na propagátor \begin{equation} \int \dif x \overline{\prop{x}{t_f}{z}{t_0}} \prop{x}{t_f}{y}{t_0} = \delta(z-y). \label{eq:podminkaLHO} \end{equation} Jak už jsem dříve komentoval, hledaný propagátor LHO má tvar \begin{equation} \prop{x}{t_f}{y}{t_0} = e^{\frac{i}{\hbar} S[x_{kl}]} F(t_f - t_0), \end{equation} což když dosadíme do podmínky \eqref{eq:podminkaLHO}, po několika úpravách obdžíme podmínku na absolutní hodnotu $F$, která dá řešení \begin{equation} \abs{F}^2 = \frac{m \omega}{2 \pi \hbar \sin \omega (t_f - t_0)}, \end{equation} neboli \begin{equation} \abs{F} = \frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{\frac{m \omega}{\pi \hbar \sin \omega (t_f - t_0)}}. \end{equation} Fázi $F$ téměř určíme z druhého triku, budeme požadovat, aby pro $\omega \rightarrow 0$ propagátor přešel v propagátor volné částice. Je konvence výsledek zapisovat takto \begin{equation} F(t_f - t_0) = \frac{1}{2} \sqrt{2} \sqrt{\frac{-i m \omega}{\pi \hbar \sin \omega (t_f - t_0)}}, \end{equation} což celkově dá hledaný výsledek ve tvaru \begin{equation} \prop{x_f}{t_f}{x_0}{t_0} = \frac{1}{2} \exp \left( \frac{i m \omega}{2 \hbar} \frac{(x_f^2 + x_0^2) \cos \omega (t_f - t_0) - 2 x_0 x_f}{\sin \omega (t_f - t_0)} \right) \sqrt{\frac{-2 i m \omega}{\pi \hbar \sin \omega (t_f - t_0)}}. \end{equation}