Matematika1:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 66: | Řádka 66: | ||
Nechť existuje konečná nenulová derivace funkce $f$ v bodě $a$. Potom rovnice normály $n_f(a)$ ke grafu funkce $f$ v bodě $a$ má rovnici | Nechť existuje konečná nenulová derivace funkce $f$ v bodě $a$. Potom rovnice normály $n_f(a)$ ke grafu funkce $f$ v bodě $a$ má rovnici | ||
$$ | $$ | ||
− | n_f(a): y - f(a) = \frac{1}{f^\prime(a)}(x-a). | + | n_f(a): y - f(a) = -\frac{1}{f^\prime(a)}(x-a). |
$$ | $$ | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 74: | Řádka 74: | ||
t_f(a): f^\prime(a)x-y+f(a)-af^\prime(a) =0, | t_f(a): f^\prime(a)x-y+f(a)-af^\prime(a) =0, | ||
$$ | $$ | ||
− | kde koeficienty u $x$ a $y$ tvoří normálový vektor $(f^\prime(a),1)$. | + | kde koeficienty u $x$ a $y$ tvoří normálový vektor $(f^\prime(a),-1)$. |
− | K němu kolmý vektor $( | + | K němu kolmý vektor $(1, f^\prime(a))$ je pak normálovým vektorem normály $n_f(a)$ s rovnicí v normálním tvaru |
$$ | $$ | ||
− | n_f(a): | + | n_f(a): x+f^\prime(a)y+C=0. |
$$ | $$ | ||
Konstanta $C$ se určí z podmíky protnutí $n_f(a)$ a grafu $f$ v bodě $a$ jako | Konstanta $C$ se určí z podmíky protnutí $n_f(a)$ a grafu $f$ v bodě $a$ jako | ||
$ | $ | ||
− | C = a | + | C = a + f^\prime(a)f(a). |
$ | $ | ||
Odtud již snadno plyne tvrzení věty. | Odtud již snadno plyne tvrzení věty. | ||
Řádka 221: | Řádka 221: | ||
$$ (\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\hbox{na}\quad(-1, 1)$$ | $$ (\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\hbox{na}\quad(-1, 1)$$ | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | Podle Věty~\ref{thm: | + | Podle Věty~\ref{thm:dinverze}: $(\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{(\sin{y})^\prime}$, kde $x = \sin{y}$. Položíme-li $y = \arcsin{x}$, máme vztah |
$$ | $$ | ||
(\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{\cos(\arcsin{x})}. | (\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{\cos(\arcsin{x})}. |
Verze z 12. 11. 2012, 11:46
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika1 | Fucikrad | 4. 9. 2015 | 10:23 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:43 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 27. 8. 2011 | 07:16 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod, jazyk, značení | Fucikrad | 25. 9. 2023 | 10:48 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkce | Admin | 6. 8. 2014 | 09:45 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Limita funkce | Fucikrad | 7. 10. 2021 | 15:41 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Spojitost funkce | Pitrazby | 5. 11. 2016 | 18:18 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Derivace funkce | Dvoraro3 | 6. 1. 2023 | 22:50 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Aplikace derivace | Fucikrad | 24. 10. 2020 | 12:32 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Integrální počet | Fucikrad | 21. 4. 2022 | 05:45 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Transcendentní funkce | Fucikrad | 20. 2. 2021 | 11:29 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Aplikace integrálu | Fucikrad | 11. 1. 2021 | 09:39 | kapitola9.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:matematika1_cosh.pdf | cosh.pdf |
Image:matematika1_sinh.pdf | sinh.pdf |
Image:matematika1_sinxx.pdf | sinxx.pdf |
Image:matematika1_tgh.pdf | tgh.pdf |
Image:matematika1_cotgh.pdf | cotgh.pdf |
Image:matematika1_riemann.pdf | riemann.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1} \section[Derivace funkce]{\fbox{Derivace funkce}} \subsection{Definice} \begin{define}[Derivace funkce $f$ v bodě $a$] Pokud existuje limita $$ \lim\limits_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, $$ nazýváme tuto limitu derivací funkce $f$ v bodě $a$ a značíme $f^\prime(a)$, $\frac{\ud f}{\ud x}(a)$ nebo $f^{(1)}(a)$. \end{define} \begin{define}[Jednostranné derivace] Pokud existuje limita $$ \lim\limits_{x\to a-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\lim\limits_{h \to 0-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, $$ resp. $$ \lim\limits_{x\to a+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\lim\limits_{h \to 0+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, $$ nazýváme tuto limitu derivací funkce $f$ v bodě $a$ zleva, resp. zprava a značíme $f^\prime_-(a)$, resp. $f^\prime_+(a)$. \end{define} \begin{theorem}[O limitě derivace] Nechť pro funkci $f$ a bod $a \in D_f$ platí, že \begin{enumerate} \item $\exists\delta>0$ tak, že $f$ je diferencovatelná na $(a-\delta,a)$, resp. $(a,a+\delta)$, \item funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva, resp. zprava, \item $\exists\lim\limits_{x\to a-} f^\prime(x)$, resp.~ $\exists\lim\limits_{x\to a+} f^\prime(x)$. \end{enumerate} Potom existuje $f^\prime_+(a)$, resp. $f^\prime_-(a)$ tak, že platí $$ f^\prime_-(a) = \lim\limits_{x\to a-} f^\prime(x), \quad \hbox{resp.} \quad f^\prime_+(a) = \lim\limits_{x\to a+} f^\prime(x). $$ \end{theorem} \begin{remark} Derivace vyšších řádů $f^{(n)} = \frac{\ud^n}{\ud x^n} f(x)$ $n$. derivace. Definujeme pomocí indukce $f^{(n)}(x) = \frac{\ud}{\ud x} f^{(n-1)}(x)$, $n\in\N$. \end{remark} \subsection{Tečna a normála} \begin{theorem}[Rovnice tečny]\label{thm:tecna} Nechť existuje konečná derivace funkce $f$ v bodě $a$. Potom rovnice tečny $t_f(a)$ ke grafu funkce $f$ v bodě $a$ má rovnici $$ t_f(a): y - f(a) = f^\prime(a)(x-a). $$ \begin{proof} Nechť pro malé $h$ je $s_h$ sečna procházející body $[a,f(a)]$ a $[a+h, f(a+h]$. Tato sečna má rovnici $s_h: y = k(h) x + q(h)$, kde $$ k(h) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \quad q(h) = f(a)-k(h)a. $$ Po limitním přechodu $h\to0$ se sečna $s_h$ stane tečnou $t_f(a)$ s rovnicí $t_f(a): y = kx+q$, kde $$ k = \lim\limits_{h \to 0} k(h) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f^\prime(a), \quad q = f(a) - f^\prime(a)a. $$ Odtud plyne tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Rovnice normály] Nechť existuje konečná nenulová derivace funkce $f$ v bodě $a$. Potom rovnice normály $n_f(a)$ ke grafu funkce $f$ v bodě $a$ má rovnici $$ n_f(a): y - f(a) = -\frac{1}{f^\prime(a)}(x-a). $$ \begin{proof} Normála $n_f(a)$ ke grafu $f$ v bodě $a$ je přímka kolmá na tečnu $t_f(a)$ procházející bodem $[a, f(a)]$. Podle Věty \ref{thm:tecna} má tečna $t_f(a)$ rovnici v normálním tvaru $$ t_f(a): f^\prime(a)x-y+f(a)-af^\prime(a) =0, $$ kde koeficienty u $x$ a $y$ tvoří normálový vektor $(f^\prime(a),-1)$. K němu kolmý vektor $(1, f^\prime(a))$ je pak normálovým vektorem normály $n_f(a)$ s rovnicí v normálním tvaru $$ n_f(a): x+f^\prime(a)y+C=0. $$ Konstanta $C$ se určí z podmíky protnutí $n_f(a)$ a grafu $f$ v bodě $a$ jako $ C = a + f^\prime(a)f(a). $ Odtud již snadno plyne tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Pravidla pro derivování} \begin{theorem}[Derivace funkce $x^n$] $$ f(x)=x^n, \quad n \in \R \quad \Rightarrow \quad f^\prime(x) = nx^{n-1}. $$ \end{theorem} \begin{theorem}[Pravidla pro derivování]\label{thm:derivovani} Nechť $\alpha \in \R$, $f$ a $g$ mají v bodě $x$ konečnou derivaci. Potom \begin{enumerate} \item $(f+g)^\prime(x) = f^\prime(x)+g^\prime(x), $ \item $ (\alpha f)^\prime(x) = \alpha f^\prime(x) $ \item $ (fg)^\prime(x) = f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x), $ \item $ \left(\frac{f}{g}\right)^\prime(x) = \frac{f^\prime(x) g(x)-f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2}, \quad \hbox{pokud $g(x) \neq 0$} $ \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof} Tvrzení 1. a 2. plynou přímo z definice derivace. \begin{itemize} \item[3.] \begin{align*} &\lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} = \\ &=\lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x+h) \overbrace{-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)}^0-f(x)g(x)}{h} = \\ &=\lim\limits_{h\to0} f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \\ &=f(x)g^\prime(x)+f^\prime(x)g(x) \end{align*} \item[4.] \begin{align*} &\lim\limits_{h\to0} \frac{\left(\frac{f}{g}\right)(x+h)-\left(\frac{f}{g}\right)(x)}{h} = \\ &=\lim\limits_{h\to0} \frac{1}{h} \left( \frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)} \right) = \\ &=\lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x) - f(x)g(x+h)}{h~g(x)g(x+h)} = \\ &=\lim\limits_{h\to0} \frac{f(x+h)g(x) \overbrace{- f(x)g(x) + f(x)g(x)}^0 - f(x)g(x+h)}{h~g(x)g(x+h)} = \\ &= \frac{f^\prime(x)g(x) - f(x)g^\prime(x)}{g(x)^2} \end{align*} \end{itemize} \end{proof} \begin{theorem}[Vztah derivace a spojitosti] Nechť funkce $f$ má v bodě $a$ konečnou derivaci. Pak je v bodě $a$ spojitá. \begin{proof} $$ \lim\limits_{h\to0} f(a+h) - f(a) = \lim\limits_{h\to0} \frac{h}{h} (f(a+h)-f(a)) = \lim\limits_{h\to0} h\underbrace{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}_{\overset{\downarrow}{f^\prime(a)\in\R}} = 0, $$ odkud $\lim\limits_{h\to0} f(a+h) = f(a)$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Leibnizovo pravidlo] Nechť funkce $f$ a $g$ mají konečnou derivaci $n$. řádu. Pak $$ \left(f\cdot g \right)^{(n)} = \sum\limits_{k=0}^{n} \comb{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}. $$ \end{theorem} \begin{remark} Kombinační číslo $\comb{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k!}$ pro $n, k \in\N$. \end{remark} \begin{remark} Pro $n=1$ dává Leibnizovo pravidlo $(f\cdot g)^\prime = f^\prime g + f g^\prime $. \end{remark} \subsection{Derivace složené funkce} \begin{theorem}[Řetězové pravidlo]\label{thm:circ} Nechť funkce $g$ má konečnou derivaci v $a$ a funkce $f$ má konečnou derivaci v bodě $g(a)$. Potom $$ (f \circ g)^\prime(a) = f^\prime(g(a))\cdot g^\prime(a). $$ \begin{proof} $$ \lim\limits_{x\to a} \frac{(f\circ g)(x) - (f\circ g)(a)}{x-a} = \lim\limits_{x\to a} \frac{f(g(x)) - f(g(a))}{g(x)-g(a)} \frac{g(x)-g(a)}{x-a} = f^\prime(g(a))\cdot g^\prime(a). $$ \end{proof} \end{theorem} \begin{corollary}[Řetězové pravidlo pro více funkcí] $$ (f_1 \circ f_2 \circ f_3 \circ \dots \circ f_n)' = f_1^\prime~f_2^\prime~f_3^\prime~\dots~f_n^\prime, $$ kde jsou kvůli přehlednosti vynechány body, ve kterých jsou derivace funkcí vyčísleny. \end{corollary} \subsection{Derivace inverzní funkce} \begin{theorem}[Derivace inverzní funkce]\label{thm:dinverze} Nechť funkce $f$ je prostá a $f^{-1}$ je její inverzní funkce. Nechť funkce $f$ má konečnou derivaci v bodě $x=f^{-1}(y)$. Potom $$ \left( f^{-1} \right)^\prime(y) = \frac{1}{f^\prime(x)}. $$ \end{theorem} \begin{proof} Důkaz vychází z Věty~\ref{thm:inverze} o inverzní funkci: $f \circ f^{-1} = \id$ a Věty~\ref{thm:circ} o derivaci složené funkce takto: $$ \frac{\ud}{\ud y} \Big( f(f^{-1}(y)) \Big) = \frac{\ud}{\ud y}\Big( y \Big ), $$ $$ \frac{\ud f}{\ud x} \Big( \underbrace{f^{-1}(y)}_{x} \Big)\cdot\frac{\ud f^{-1}}{\ud y}\Big(y\Big) =1 , $$ odkud vydělením \end{proof} \subsection{Derivace cyklometrických funkcí} \subsubsection{Funkce arcsin} Funkce $\sin$ je prostá na intervalu $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ a má inverzní funkci, kterou značíme $\arcsin$.\\ \begin{tabular}{ll} \begin{tabular}{ll} $D_{\arcsin} = H_{\sin} = [-1,1]$ \\ $H_{\arcsin} = D_{\sin} = [-\frac\pi2,\frac\pi2]$ \end{tabular} & \begin{tabular}{|c|c|ccccc|} \hline $x$ [rad] & $\arcsin{y}$ & 0 & $\frac\pi6$ & $\frac\pi4$ & $\frac\pi3$ & $\frac\pi2$ \\ \hline $\sin{x}$ & $y$ & $\frac{\sqrt{0}}{2}$ & $\frac{\sqrt{1}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{4}}{2}$\\ \hline \end{tabular} \end{tabular} \begin{theorem}[Derivace funkce arcsin] $$ (\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\hbox{na}\quad(-1, 1)$$ \begin{proof} Podle Věty~\ref{thm:dinverze}: $(\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{(\sin{y})^\prime}$, kde $x = \sin{y}$. Položíme-li $y = \arcsin{x}$, máme vztah $$ (\arcsin{x})^\prime = \frac{1}{\cos(\arcsin{x})}. $$ Už stačí jen upravit pravou stranu. Použijeme vztah mezi $\sin$ a $\cos$: $\cos{z} = \sqrt{1-\sin^2{z}}$, který platí pro $\forall z\in [-\frac\pi2,\frac\pi2]$, kde dosadíme $z = \arcsin{x}$: $$ \cos(\arcsin{x}) = \sqrt{1-\sin^2(\arcsin{x})} = \sqrt{1-x^2}. $$ \end{proof} \end{theorem} \subsubsection{Funkce arccos} Funkce $\cos$ je prostá na intervalu $[0,\pi]$ a má inverzní funkci, kterou značíme $\arccos$.\\ \begin{tabular}{ll} \begin{tabular}{ll} $D_{\arccos} = H_{\cos} = [-1,1]$ \\ $H_{\arccos} = D_{\cos} = [0,\pi]$ \end{tabular} & \begin{tabular}{|c|c|ccccc|} \hline $x$ [rad] & $\arccos{y}$ & 0 & $\frac\pi6$ & $\frac\pi4$ & $\frac\pi3$ & $\frac\pi2$ \\ \hline $\cos{x}$ & $y$ & $\frac{\sqrt{4}}{2}$ & $\frac{\sqrt{3}}{2}$ & $\frac{\sqrt{2}}{2}$ & $\frac{\sqrt{1}}{2}$ & $\frac{\sqrt{0}}{2}$\\ \hline \end{tabular} \end{tabular} \begin{lemma}\label{lemma:arc} $$ \arcsin{x} + \arccos{x} = \frac\pi2. $$ \begin{proof} Rovnost $$ \arcsin{x} = \frac\pi2 - \arccos{x} $$ je ekvivalentní rovnosti $$ x = \sin(\arcsin{x}) = \sin\left(\frac\pi2 - \arccos{x}\right). $$ Použijeme-li součtový vzorec pro funkci $\sin$ na pravé straně této rovnosti, dostaneme $$ \sin\left(\frac\pi2 - \arccos{x}\right) = \underbrace{\sin\frac\pi2}_1\cos(\arccos{x}) - \underbrace{\cos\frac\pi2}_0 \sin(\arccos{x}) = x. $$ \end{proof} \end{lemma} \begin{theorem}[Derivace funkce arccos] $$ (\arccos{x})^\prime = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\quad\hbox{na}\quad(-1, 1)$$ \begin{proof} Plyne z Lemma~\ref{lemma:arc}. \end{proof} \end{theorem} \subsubsection{Funkce arctg} Funkce $\tg$ je prostá na intervalu $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ a má inverzní funkci, kterou značíme $\arctg$.\\ \begin{tabular}{ll} \begin{tabular}{ll} $D_{\arctg} = H_{\tg} = \R$ \\ $H_{\arctg} = D_{\tg} = [-\frac\pi2,\frac\pi2]$ \\ $\lim\limits_{x\to+\infty}\arctg{x} = \frac\pi2 $ \\ $\lim\limits_{x\to-\infty}\arctg{x} = -\frac\pi2 $ \end{tabular} & \begin{tabular}{|c|c|ccccc|} \hline $x$ [rad] & $\arctg{y}$ & 0 & $\frac\pi6$ & $\frac\pi4$ & $\frac\pi3$ & $\frac\pi2$ \\ \hline $\tg{x}$ & $y$ & $0$ & $\frac{1}{\sqrt{3}}$ & $1$ & $\sqrt{3}$ & nedef.\\ \hline \end{tabular} \end{tabular} \begin{theorem}[Derivace funkce arctg] $$ (\arctg{x})^\prime = \frac{1}{1+x^2}\quad\hbox{na}\quad\R$$ \begin{proof} Podle Věty~\ref{thm:inverze}: $(\arctg{x})^\prime = \frac{1}{(\tg{y})^\prime}$, kde $x = \tg{y}$. Položíme-li $y = \arctg{x}$, máme vztah $$ (\arctg{x})^\prime = \cos^2(\arctg{x}). $$ Už stačí jen upravit pravou stranu. Použijeme následující převod mezi $\cos$ a $\tg$: $$ \frac{1}{\cos^2z} = \frac{\cos^2z + \sin^2z}{\cos^2z} = 1 + \tg^2{z}, $$ odkud $$ \cos^2z = \frac{1}{1+\tg^2z}, $$ kde dosadíme $z = \arctg{x}$. \end{proof} \end{theorem} \subsubsection{Funkce arccotg} Funkce $\tg$ je prostá na intervalu $[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ a má inverzní funkci, kterou značíme $\arctg$.\\ \begin{tabular}{ll} \begin{tabular}{ll} $D_{\arcctg} = H_{\cotg} = \R$ \\ $H_{\arcctg} = D_{\cotg} = [0,\pi]$ \\ $\lim\limits_{x\to+\infty}\arcctg{x} = 0$ \\ $\lim\limits_{x\to-\infty}\arcctg{x} = \pi $ \end{tabular} & \begin{tabular}{|c|c|ccccc|} \hline $x$ [rad] & $\arcctg{y}$ & 0 & $\frac\pi6$ & $\frac\pi4$ & $\frac\pi3$ & $\frac\pi2$ \\ \hline $\cotg{x}$ & $y$ & nedef. & $\sqrt{3}$ & $1$ & $\frac{1}{\sqrt{3}}$ & $0$ \\ \hline \end{tabular} \end{tabular} \begin{lemma}\label{lemma:arctg} $$ \arctg{x} + \arcctg{x} = \frac\pi2. $$ \begin{proof} Rovnost $$ \arctg{x} = \frac\pi2 - \arcctg{x} $$ je ekvivalentní rovnosti $$ x = \tg(\arctg{x}) = \tg\left(\frac\pi2 - \arctg{x}\right) = \frac{\sin\left(\frac\pi2 - \arctg{x}\right)}{\cos{\left(\frac\pi2 - \arctg{x}\right)}}. $$ Použijeme-li součtový vzorec pro funkci $\sin$ a $\cos$ na pravé straně této rovnosti, dostaneme $$ \frac{\sin\left(\frac\pi2 - \arctg{x}\right)}{\cos{\left(\frac\pi2 - \arctg{x}\right)}} = \frac{ \overbrace{\sin\frac\pi2}^1\cos(\arcctg{x}) - \overbrace{\cos\frac\pi2}^0 \sin(\arcctg{x}) }{ \underbrace{\cos\frac\pi2}_0\cos(\arcctg{x}) + \underbrace{\sin\frac\pi2}_1 \sin(\arcctg{x}) } = \cotg(\arcctg{x}) = x. $$ \end{proof} \end{lemma} \begin{theorem}[Derivace funkce arccotg] $$ (\arcctg{x})^\prime = -\frac{1}{{1+x^2}}\quad\hbox{na}\quad\R$$ \begin{proof} Plyne z Lemma~\ref{lemma:arctg}. \end{proof} \end{theorem}