02KVAN:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m |
||
Řádka 71: | Řádka 71: | ||
lze definovat vícečásticové operátory. | lze definovat vícečásticové operátory. | ||
− | Pro \cc e se spinem $1/2$, jejichž vlnové \fc e mají dvě komponenty nebo alternativně závisejí na dodatečné proměnné $\xi\in\{+,-\}$, je | + | Pro \cc e se spinem $1/2$, jejichž vlnové \fc e mají dvě komponenty nebo alternativně závisejí na dodatečné proměnné $\xi\in\{+,-\}$, je |
− | výše uvedený formalismus modifikovat. Vlnové \fc e systému $N$ \cc{} se spinem $1/2$ mají $2^N$ složek nebo alternativně závisejí | + | třeba výše uvedený formalismus modifikovat. Vlnové \fc e systému $N$ \cc{} se spinem $1/2$ mají $2^N$ složek nebo alternativně závisejí |
− | $\vex_1,\ldots,\vex_N$ též na $\xi_1,\ldots,\xi_N$, přičemž $\xi_j\in\{+,-\}$. Hilbertův stavový prostor je pak tensorovým součinem | + | vedle $\vex_1,\ldots,\vex_N$ též na $\xi_1,\ldots,\xi_N$, přičemž $\xi_j\in\{+,-\}$. Hilbertův stavový prostor je pak tensorovým součinem |
jednočásticových prostorů $L_2(\R^{3},d^{3}x) \otimes \C^{2}$. | jednočásticových prostorů $L_2(\R^{3},d^{3}x) \otimes \C^{2}$. | ||
\[ | \[ | ||
Řádka 99: | Řádka 99: | ||
\subsubsection{Problém dvou těles v~\qv é \mi ce} | \subsubsection{Problém dvou těles v~\qv é \mi ce} | ||
Problém dvou těles je v~kvantové, stejně jako v~klasické, mechanice snadno řešitelný, pokud síly jsou dány potenciálem závisejícím pouze na | Problém dvou těles je v~kvantové, stejně jako v~klasické, mechanice snadno řešitelný, pokud síly jsou dány potenciálem závisejícím pouze na | ||
− | rozdílu poloh jednotlivých \cc {} $V(\vex_1,\vex_2)=V(\vex_1-\vex_2)$. Abychom mohli provést dynamický popis systému dvou \qv ých \cc, | + | rozdílu poloh jednotlivých \cc {} $V(\vex_1,\vex_2)=V(\vex_1-\vex_2)$. Abychom mohli provést dynamický popis systému dvou \qv ých \cc, |
− | napřed klasický systém hamiltonovským formalismem. | + | popíšeme napřed klasický systém hamiltonovským formalismem. |
Zavedením nových proměnných | Zavedením nových proměnných | ||
Řádka 123: | Řádka 123: | ||
$\vec{X}(t),\vec{P}(t)$ a relativní pohyb \cc {} daný $\vex(t), \vec{p}(t)$. | $\vec{X}(t),\vec{P}(t)$ a relativní pohyb \cc {} daný $\vex(t), \vec{p}(t)$. | ||
− | \textbf{Transformace souřadnic \rf{nsour} vede i na zjednodušení kvantově mechanického popisu dvou částic.} Zapíšeme-li vlnovou \fc i systému jako | + | \textbf{Transformace souřadnic \rf{nsour} vede i na zjednodušení kvantově mechanického popisu dvou částic.} Zapíšeme-li vlnovou \fc i |
− | \fc i nových souřadnic | + | systému jako \fc i nových souřadnic |
\be | \be | ||
\Psi(\vec{X}\vex):=\psi(\vex_1(\vec{X},\vex), \vex_2(\vec{X},\vex)), | \Psi(\vec{X}\vex):=\psi(\vex_1(\vec{X},\vex), \vex_2(\vec{X},\vex)), | ||
Řádka 143: | Řádka 143: | ||
\hat{H} = \hat{H}_t + \hat{H}_{\mathrm{rel}} = -\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\triangle_X -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_x + \hat V(\vex), | \hat{H} = \hat{H}_t + \hat{H}_{\mathrm{rel}} = -\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\triangle_X -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_x + \hat V(\vex), | ||
\ee | \ee | ||
− | který je ekvivalentní hamiltoniánu dvou neinteragujících \cc.} Jedna z~nich je volná kvantová \cc e s~hmotou $m_1+m_2$ (těžiště) a | + | který je ekvivalentní hamiltoniánu dvou neinteragujících \cc.} Jedna z~nich je volná kvantová \cc e s~hmotou $m_1+m_2$ (těžiště) a |
− | je \cc í s~hmotou $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ v~poli potenciálu $V$. | + | druhá je \cc í s~hmotou $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ v~poli potenciálu $V$. |
− | Právě uvedená fakta ospravedlňují interpretaci hladin \cc e v~coulombickém poli jako hladin vodíkového atomu, pokud do výrazu pro | + | Právě uvedená fakta ospravedlňují interpretaci hladin \cc e v~coulombickém poli jako hladin vodíkového atomu, pokud do výrazu pro |
− | energii dosadíme hmotu $M=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}\approx{m_e}(1-\frac{m_e}{m_p})$, kde ${m_e},{m_p}$ jsou hmoty elektronu a protonu. Pokud se | + | Rydbergovu energii dosadíme hmotu $M=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}\approx{m_e}(1-\frac{m_e}{m_p})$, kde ${m_e},{m_p}$ jsou hmoty elektronu |
− | zajímáme o~spektrum hladin deuteria, je třeba místo $m_p$ použít hmotu deuteronu, která se přibližně rovná $2m_p$. | + | a protonu. Pokud se zajímáme o~spektrum hladin deuteria, je třeba místo $m_p$ použít hmotu deuteronu, která se přibližně rovná $2m_p$. |
Řádka 159: | Řádka 159: | ||
\def\l2{{\hat L^{(2)}}} | \def\l2{{\hat L^{(2)}}} | ||
\def\hj{{\hat J}} | \def\hj{{\hat J}} | ||
− | V klasické \mi ce je | + | V~klasické \mi ce je moment hybnosti složených systémů dán prostým sčítání vektorů, tj.~vektorovým součtem momentů hybnosti jednotlivých |
− | moment hybnosti složených systémů dán prostým sčítání vektorů, | + | složek. Pro kvantově \mi cké stavy tomu tak být nemůže, neboť víme, že projekce momentu hybnosti do libovolného směru může nabývat pouze |
− | vektorovým součtem momentů hybnosti jednotlivých složek. Pro | + | celočíselných násobků $\hbar$. Je proto užitečné zjistit jaké stavy složeného systému odpovídají těmto celočíselným hodnotám. Složitost |
− | kvantově \mi cké stavy tomu tak být nemůže, neboť víme, že projekce | + | problému skládání momentů hybnosti narůstá s~počtem složek, a proto se v~dalším omezíme na systém dvou \cc{}, kde každá z nich je ve |
− | momentu hybnosti do libovolného směru může nabývat pouze | + | vlastních stavu momentu hybnosti, tj.~společném vlastním stavu $\hat L^2$ a $\hat L_z$. |
− | celočíselných násobků $\hbar$. Je proto užitečné zjistit jaké stavy | + | |
− | složeného systému odpovídají těmto celočíselným hodnotám. Složitost | + | |
− | problému skládání momentů hybnosti narůstá s počtem složek a proto | + | |
− | se v dalším omezíme na systém dvou \cc{}, kde každá z nich je ve | + | |
− | vlastních stavu momentu hybnosti, | + | |
− | $\hat L^2$ a $\hat L_z$. | + | |
− | Nechť tedy máme systém složený ze dvou rozlišitelných částic pro | + | Nechť tedy máme systém složený ze dvou rozlišitelných částic, pro které byly naměřeny hodnoty momentů hybnosti $l_1(l_1+1)\hbar^2$, |
− | které byly naměřeny hodnoty momentů hybnosti | + | $m_1\hbar$ a $l_2(l_2+1)\hbar^2$, $m_2\hbar$. Znamená to tedy, že první z~\cc{} lze přiřadit \fc i |
− | $l_1(l_1+1)\hbar^2,m_1\hbar$ a $l_2(l_2+1)\hbar^2,m_2\hbar$. Znamená | + | $\psi_{a_1,l_1,m_1} \equiv \ket{a_1,l_1,m_1}$ a druhé $\psi_{a_2,l_2,m_2} \equiv \ket{a_2,l_2,m_2}$, kde hodnoty $a_1$, $a_2$ |
− | to tedy, že první z \cc{} | + | představují hodnoty ostatních pozorovatelných kompatibilních s~$\hat{L}^2$ a $\hat{L}_z$, např.~celkové energie. Stav celého sytému pak |
− | $\psi_{a_1,l_1,m_1}\equiv | + | můžeme popsat vlnovou \fc í |
− | + | \[ | |
− | představují hodnoty ostatních pozorovatelných | + | \psi(\vex_1,\vex_2)=(\psi_{a_1,l_1,m_1}\ox\psi_{a_2,l_2,m_2})(\vex_1,\vex_2)=\psi_{a_1,l_1,m_1}(\vex_1)\psi_{a_2,l_2,m_2}(\vex_2). |
− | $\hat L^2$ a $\hat | + | \] |
− | pak můžeme popsat vlnovou \fc í | + | Zanedbáme-li závislost stavů na vlastních číslech $a_1,a_2$ můžeme této funkci přiřadit ket $\ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}$, pro |
− | + | který platí | |
− | =\psi_{a_1,l_1,m_1}(\vex_1)\psi_{a_2,l_2,m_2}(\vex_2). | + | \begin{align} |
− | Zanedbáme-li závislost stavů na vlastních číslech $a_1,a_2$ můžeme | + | (\lj)^2 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= l_1(l_1+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm1} \\ |
− | této funkci přiřadit ket $ | + | (\l2)^2 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= l_2(l_2+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm2} \\ |
− | platí \begin{ | + | \lj_z \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= m_1\hbar \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm3} \\ |
− | (\lj)^2 | + | \l2_z \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= m_2\hbar \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}. \label{lmlm4} |
− | (\l2)^2 | + | \end{align} |
− | + | Pro dané $l_1$, $l_2$ (a $a_1$, $a_2$) tvoří tyto stavy podprostor dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Otázka je, jaké lze naměřit | |
− | + | \textbf{hodnoty momentu hybnosti celého systému} a s~jakou \pst í? | |
− | \end{ | + | |
− | podprostor dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Otázka je, jaké lze naměřit | + | |
− | + | ||
− | Složkám celkového momentu hybnosti podle principu korespondence | + | Složkám celkového momentu hybnosti podle principu korespondence přiřadíme operátory $\hat{J}_k=\lj_k+\l2_k$, kde $\lj_k$ působí pouze |
− | přiřadíme operátory $\hat | + | na funkce v~proměnné $\vex_1$ a $\l2_k$ působí pouze na funkce v~proměnné $\vex_2$. Znamená to tedy, že operátory $\lj_k$ a $\l2_j$ |
− | na funkce v proměnné $\vex_1$ a $\l2_k$ působí pouze na funkce v | + | komutují. Odtud je pak snadné ukázat, že |
− | proměnné $\vex_2$. Znamená to tedy, že operátory $\lj_k$ a $\l2_j$ | + | \be |
− | komutují. Odtud je pak snadné ukázat, že \be [\hat | + | [\hat{J}_k,\hat{J}_l]=i\hbar\epsilon_{klm}\hat J_m. |
− | + | \ee | |
− | plyne, že vlastní hodnoty operátorů $\hat J^2$ a $\hat | + | Z~podkapitoly \ref{atmh} pak plyne, že vlastní hodnoty operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_z$ mohou mít vlastní hodnoty pouze $j(j+1)\hbar^2$ |
− | mít vlastní hodnoty pouze $j(j+1)\hbar^2$ a $m\hbar$, kde $j$ a $m$ | + | a $m\hbar$, kde $j$ a $m$ jsou (polo)celá čísla, $|m| \leq j$. Zároveň lze snadno ukázat že |
− | jsou (polo)celá čísla, $|m|\leq j$. Zároveň lze snadno ukázat že \be | + | \be |
− | [\hat | + | [\hat{J}_k,(\lj)^2]=0, \quad [\hat{J}_k,(\l2)^2]=0, |
− | $(\lj)^2, | + | \ee |
− | (spolu s dalšími operátory) být součástí úplné | + | takže operátory $(\lj)^2$, $(\l2)^2$, $\hat{J}^2$, $\hat{J}_z$ vzájemně komutují a mohou (spolu s~dalšími operátory) být součástí úplné |
− | pozorovatelných systému dvou \cc. Označme tedy $ | + | množiny pozorovatelných systému dvou \cc. Označme tedy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ ket, který je vlastním stavem těchto pozorovatelných. Znamená to, |
− | který je vlastním stavem těchto pozorovatelných. Znamená to, | + | že splňuje rovnice |
− | splňuje rovnice \begin{ | + | \begin{align} |
− | (\lj)^2 | + | (\lj)^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= l_1(l_1+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm1} \\ |
− | (\l2)^2 | + | (\l2)^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= l_2(l_2+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm2} \\ |
− | + | \hj^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= j(j+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm3} \\ | |
− | + | \hj_z \ket{l_1,l_2,j,m} &= m\hbar \ \ket{l_1,l_2,j,m}.\label{lljm4} | |
− | \end{ | + | \end{align} |
− | sestavit je ze stavů $ | + | Naším úkolem nyní je tyto stavy nalézt, přesněji, sestavit je ze stavů $\ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}$ popisujících momenty hybnosti |
− | momenty hybnosti jednotlivých \cc. | + | jednotlivých \cc. |
− | V prvním kroku se přesvědčíme, že stav $ | + | V~prvním kroku se přesvědčíme, že stav $\ket{l_1,l_1} \otimes \ket{l_2,l_2}$ splňuje rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro $j=m=l_1+l_2$. |
− | + | Rovnice \rf{lljm1}, \rf{lljm2} se shodují s~\rf{lmlm1}, \rf{lmlm2} a rovnice \rf{lljm4} je jednoduchým důsledkem \rf{lmlm1}, \rf{lmlm2}. | |
− | $j=m=l_1+l_2$. Rovnice \rf{lljm1},\rf{lljm2} se shodují s | + | K~odvození \rf{lljm3} se hodí formule |
− | \rf{lmlm1},\rf{lmlm2} a rovnice \rf{lljm4} je jednoduchým | + | \begin{equation} |
− | důsledkem \rf{lmlm1},\rf{lmlm2}. K odvození \rf{lljm3} se | + | \hj^2 = \hj_1^2+\hj_2^2+\hj_3^2 = (\lj)^2+(\l2)^2+2\lj_3\l2_3+\lj_+\l2_-+\lj_-\l2_+, |
− | hodí formule \begin{equation | + | \label{jjll} |
− | + | \end{equation} | |
− | \end{equation}kterou lze snadno odvodit z definice posunovacích | + | kterou lze snadno odvodit z~definice posunovacích operátorů $\hat{L}_\pm$. Znamená to tedy, že |
− | operátorů $ | + | $\ket{l_1,l_1} \otimes \ket{l_2,l_2} = \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2}$. |
− | + | ||
− | Ze stavu $ | + | Ze stavu $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2}$ nyní můžeme snadno vytvořit $2(l_1+l_2)+1$ stavů |
− | $2(l_1+l_2)+1$ stavů | + | \[ |
− | m=-l_1-l_2,\ldots,l_1+l_2 | + | \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,m}, \text{ kde } m=-l_1-l_2,\ldots,l_1+l_2 |
− | $ | + | \] |
− | ireducibilní reprezentaci algebry $su(2)$.) | + | působením posunovacích operátorů $\hat{J}_\pm = \hat{J}_1\pm i \hat{J}_2 = \lj_\pm+\l2_\pm$. (Tyto stavy tvoří |
+ | tzv.~ireducibilní reprezentaci algebry $\mathfrak{su}(2)$.) | ||
− | V dalších krocích (pro $l_1,l_2\neq 0$) je možno vytvořit stavy | + | V~dalších krocích (pro $l_1,l_2\neq 0$) je možno vytvořit stavy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ s~$j<l_1+l_2$. Je zřejmé, že ze stavů |
− | $ | + | $\ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1}$ a $\ket{l_1,l_1-1} \ox \ket{l_2,l_2}$ je možné vytvořit dva jiné lineárně nezávislé vektory. |
− | $ | + | Jeden z~nich je |
− | + | % \begin{align} | |
− | Jeden z nich je\begin{ | + | % \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1} |
− | + | % &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \hat{J}_- \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2} \nonumber \\ | |
− | + | % &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\lj_- +\l2_-) \ket{l_1,l_l}\ox\ket{l_2,l_2} \nonumber \\ | |
− | + | % &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \left( \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} | |
− | + | % + \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right). | |
− | \end{ | + | % \end{align} |
− | \begin{ | + | \begin{IEEEeqnarray}{rCl} |
− | = \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} | + | \IEEEeqnarraymulticol{3}{l}{\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1}} \nonumber \\ \quad \qquad |
− | + | &=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \hat{J}_- \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2} \nonumber \\ | |
− | + | &=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\lj_- +\l2_-) \ket{l_1,l_l}\ox\ket{l_2,l_2} \nonumber \\ | |
− | \end{ | + | &=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \left( \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} |
− | \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} | + | + \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right). |
− | + | \end{IEEEeqnarray} | |
− | + | O~druhém, který je k~němu ortogonální, totiž | |
− | lze ukázat že splňuje \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro | + | \[ |
− | $j=m=l_1+l_2-1$, takže se jedná o stav, který označujeme $ | + | \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} |
− | + | \left( \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} - \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right), | |
− | na tento stav dostaneme $2(l_1+l_2-1)-1$ stavů s $j=l_1+l_2-1, | + | \] |
− | |m|\leq j$. | + | lze ukázat, že splňuje \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro $j=m=l_1+l_2-1$, takže se jedná o~stav, který označujeme $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2-1,l_1+l_2-1}$. |
+ | Postupnou aplikací operátoru $\hat{J}_-$ na tento stav dostaneme $2(l_1+l_2-1)-1$ stavů s~$j=l_1+l_2-1$, $|m|\leq j$. | ||
Stejným postupem dostaneme stavy s $j=l_1+l_2-2,j=l_1+l_2-3,\ldots., | Stejným postupem dostaneme stavy s $j=l_1+l_2-2,j=l_1+l_2-3,\ldots., | ||
Řádka 265: | Řádka 257: | ||
\end{equation} z čehož plyne $j_{min}=|l_1-l_2|$. | \end{equation} z čehož plyne $j_{min}=|l_1-l_2|$. | ||
− | Vzhledem k tomu, že stavy $ | + | Vzhledem k tomu, že stavy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ splňují rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro různá vlastní čísla, musí být vzájemně |
− | \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro různá vlastní čísla, musí být | + | ortogonální stejně jako stavy $\ket{l_1,m_1} \ox \ket{l_2,m_2}$. Dostáváme tedy dvě ortonormální baze v~podprostoru dimenze |
− | vzájemně ortogonální stejně jako stavy $ | + | $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Elementy matice přechodu mezi těmito dvěma přechody udávající mimo jiné \pst{} nalezení stavu systému s~daným $j$ a |
− | + | $m$ se nazývají Clebschovy--Gordanovy koeficienty. Způsob jejich výpočtu je možno nalézt např.~v~\cite {beh:lokf}. | |
− | dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Elementy matice přechodu mezi těmito | + | |
− | dvěma přechody udávající mimo jiné \pst{} nalezení stavu systému s | + | |
− | daným $j$ a $m$ se nazývají | + | |
− | jejich výpočtu je možno nalézt např.~v~\cite {beh:lokf}. | + | |
− | Závěrem této podkapitoly je vhodné říci, že předvedená metoda | + | Závěrem této podkapitoly je vhodné říci, že předvedená metoda neslouží jen pro konstrukci stavů systému složeného ze dvou kvant s~daným |
− | neslouží jen pro konstrukci stavů systému složeného ze dvou kvant s | + | momentem hybnosti. Při odvození jsme totiž použili pouze komutační relace momentů hybnosti. Ty jsou však shodné s~komutačními relacemi |
− | daným momentem hybnosti. Při odvození jsme totiž použili pouze | + | spinu. Můžeme tedy skládat nejen stavy dvou různých \cc, ale také orbitální moment hybnosti $l_1$ a spin $l_2=1/2$ a hledat tak stavy |
− | komutační relace momentů hybnosti. Ty jsou však shodné s komutačními | + | částice se spinem mající danou hodnotu celkového momentu hybnosti $j=l\pm 1/2$. |
− | relacemi spinu. Můžeme tedy skládat nejen stavy dvou různých \cc, | + | |
− | ale také orbitální moment hybnosti $l_1$ a spin $l_2= | + | |
− | tak stavy částice se spinem mající danou hodnotu celkového momentu | + | |
− | hybnosti $j=l\pm | + | |
Řádka 341: | Řádka 325: | ||
je vlnová \fc e dvou stejných bosonů a podobně | je vlnová \fc e dvou stejných bosonů a podobně | ||
\[ | \[ | ||
− | \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2) := \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) - \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1) | + | \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2) |
+ | := \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) - \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1) | ||
\] | \] | ||
je vlnová \fc e dvou stejných fermionů. Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s~nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do | je vlnová \fc e dvou stejných fermionů. Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s~nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do | ||
některé osy součástí definice jednočásticového stavu, čili např.~$a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm 1/2)$. | některé osy součástí definice jednočásticového stavu, čili např.~$a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm 1/2)$. | ||
− | Obecně Hilbertovy prostory stavů $\hil^S$, $\hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či | + | Obecně Hilbertovy prostory stavů $\hil^S$, $\hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či |
− | \fc í z~$L_2(\R^{3N},d^{3N}x)$, respektive $L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}$. | + | antisymetrických \fc í z~$L_2(\R^{3N},d^{3N}x)$, respektive $L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}$. |
Vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných bezspinových \cc{} ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je | Vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných bezspinových \cc{} ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je | ||
Řádka 388: | Řádka 373: | ||
princip má dalekosáhlé důsledky pro strukturu atomu. | princip má dalekosáhlé důsledky pro strukturu atomu. | ||
− | Pokud jednočásticové vlnové \fc e $\psi_n$ tvoří ortonormální baze v prostorech $L_2(\R^{3},d^{3}x)$, | + | Pokud jednočásticové vlnové \fc e $\psi_n$ tvoří ortonormální baze v~prostorech $L_2(\R^{3},d^{3}x)$, resp.~$L_2(\R^{3},d^{3}x)\ox\C^{2}$, |
− | funkce \rf{bosvlf} a \rf{antisym} složené z jednočásticových stavů (po patřičné normalizaci) tvoří | + | pak funkce \rf{bosvlf} a \rf{antisym} složené z~jednočásticových stavů (po patřičné normalizaci) tvoří ortonormální bazi v~prostoru |
− | ortonormální bazi v prostoru $\hil^S$ popisující soustavu bosonů, | + | $\hil^S$ popisující soustavu bosonů, resp.~$\hil^A$ popisující soustavu fermionů. |
\bc | \bc |
Verze z 12. 9. 2011, 09:37
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:38 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:39 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Poznámka | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:40 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Charakteristické rysy kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:41 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zrod kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:48 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Jednoduché kvantové systémy | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:49 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Příprava stavu kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:09 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Kvantová částice v centrálně symetrickém potenciálu | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:57 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobecněné vlastní funkce | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:58 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Bra-ketový formalismus a posunovací operátory | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Předpovědi výsledků měření | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Časový vývoj kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:01 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Částice v elektromagnetickém poli. Spin | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:02 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Systémy více částic | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:03 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:36 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Potenciálový rozptyl, tunelový jev | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:05 | kapitola14.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:06 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:blackbody.pdf | blackbody.pdf |
Image:s1s2.png | s1s2.png |
Image:s1full.png | s1full.png |
Image:s2full.png | s2full.png |
Image:wavefull.png | wavefull.png |
Image:ballfull.png | ballfull.png |
Image:roz1.pdf | roz1.pdf |
Image:roz2.pdf | roz2.pdf |
Image:fine_structure.pdf | fine_structure.pdf |
Image:zeeman_FS.pdf | zeeman_FS.pdf |
Image:tunel_prob.pdf | tunel_prob.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN} \section{Systémy více částic} Zatím jsme se věnovali kvantové mechanice jedné \cc e v~poli vnějších sil. Není třeba zdůrazňovat, že pro popis reálných fyzikálních systémů je třeba rozšířit kvantově mechanický popis na systémy více \cc, neboť i velmi jednoduchý reálný systém --- atom vodíku, jehož elektronový obal jsme zatím modelovali jednou kvantovou \cc í v~coulombickém poli, se skládá ze dvou \cc, protonu a elektronu. V~této kapitole se proto budeme věnovat \qv é \mi ce více \cc {} bez vazeb. Při budování \qv é \mi ky více \cc{} je třeba, na rozdíl od mechaniky klasické, velmi důsledně rozlišovat, jestli jde o~systém \cc{} stejného typu či nikoliv. Pod \cc emi stejného typu rozumíme \cc e, které se od sebe vzájemně neliší žádným ze svých vnitřních parametrů jako jsou hmota, náboj, magnetický moment atd., tedy parametrů, které jsou nezávislé na pohybovém stavu. Dvě \cc e, které mají všechny tyto parametry stejné považujeme za \emph{nerozlišitelné}, zatímco v~opačném případě je nazýváme rozlišitelné. {\small V klasické mechanice tento pojem není podstatný, neboť každá \cc e se pohybuje po dané křivce určené pohybovými \rc emi. Označíme-li si \cc e na začátku experimentu např.~jako \uv{první}, \uv{druhá} atd., je možné v~každém čase rozhodnout, o~kterou \cc i se jedná a všechny \cc e lze tedy považovat za rozlišitelné.} Při popisu jevů na atomární a nižší úrovni, nejsme schopni sledovat ani teoreticky předpovědět dráhy jednotlivých \cc {} a označení \uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl, neboť při přechodu z~jednoho stavu dvou či více nerozlišitelných \cc {} do jiného (ať už časovým vývojem nebo měřením) není možno rozhodnout, které z~nich je třeba přiřadit hodnoty pozorovatelných týkajících se jednotlivých \cc. \subsection{Systémy rozlišitelných \cc} Úkolem \qv é mechaniky systémů více \cc {} je předpovědět \pst i různých měření provedených na těchto systémech. Máme-li systém dvou bezspinových rozlišitelných \cc, a víme-li, že pravděpodobnost nalézt první \cc i v~oblasti $O_1$ je $w_1$ a pravděpodobnost nalézt druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_2$, pak (za předpokladu, že tyto \pst i jsou nezávislé) pravděpodobnost nalézt první \cc i v~oblasti $O_1$ a současně nalézt druhou \cc i v~oblasti $O_2$ je $w_1w_2$. Vzhledem k~tomu, že podle Bornova postulátu je \pst {} dána amplitudou vlnové \fc e, je celkem přirozené přiřadit systému dvou \cc, z~nichž jedna je ve stavu popsaném vlnovou \fc í $\psi_1$ a druhá ve stavu $\psi_2$, vlnovou fci $\psi(\vex_1,\vex_2)=\psi_1(\vex_1)\psi_2(\vex_2)$. To ovšem zdaleka neznamená, že všechny stavy systému dvou \cc {} jsou popsány vlnovými \fc emi, jež lze zapsat jako součin \fc í proměnných $\vex_1$, respektive $\vex_2$. Pokud by tomu tak bylo, pak by libovolná \pst{} týkající se první \cc e byla nezávislá na stavu druhé \cc e a mohli bychom popisovat pouze systémy nijak se neovlivňujících, tj.~neinteragujících \cc. Taková teorie však nemá žádný smysl, přesněji je ekvivalentní jedno\cc ové teorii pro každou ze složek systému. Obecně \textbf{přiřadíme stavu systému $N$ rozlišitelných bezspinových \cc {} kvadraticky integrabilní vlnovou funkci \[ \psi : \R^{3N} \to \C, \quad \psi \in L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \] a pozorovatelným samosdružené operátory na Hilbertově prostoru} \[ \mathcal{H} = L_2(\R^{3N},d^{3N}x). \] Platí (viz \cite[4.6.6]{beh:lokf}), že \[ L_2(\R^{3N},d^{3N}x) = L_2(\R^{3},d^{3}x) \ox L_2(\R^{3},d^{3}x) \ox \cdots \ox L_2(\R^{3},d^{3}x) \] \[ \Leftrightarrow \ \hil = \hil_1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N, \] kde ${\hil}_j$ je Hilbertův prostor stavů j-té \cc e. Zároveň platí, že pokud $\{e^{(j)}_{n_j},\ n_j\in\Z_+\}$ je ortonormální baze v~$\hil_j$, pak $\{e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2}\ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N},\ (n_1,n_2,\ldots,n_N)\in\Z^N_+\}$, kde \[ e^{(1)}_{n_1}\ox e^{(2)}_{n_2} \ox \cdots \ox e^{(N)}_{n_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N) := e^{(1)}_{n_1}(\vex_1) e^{(2)}_{n_2}(\vex_2) \cdots e^{(N)}_{n_N}(\vex_N) \] je rovněž ortonormální bazí v~$\hil_1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N$. Operátory, které působí netriviálním způsobem pouze v~$\hil_j$, tzn. \[ \hat{A}_j = \underbrace{\unit\ox\unit\ox\cdots\ox\unit}_{\text{$(j-1)$-krát}}\ox\hat{A}\ox\unit\ox\cdots\ox\unit \] se nazývají \emph{jednočásticové}. Typickým příkladem je operátor kinetické energie první částice $\hat{T}_1 := -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle \ox \unit \ox \cdots \ox \unit \equiv -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_1.$ Podobným způsobem lze definovat vícečásticové operátory. Pro \cc e se spinem $1/2$, jejichž vlnové \fc e mají dvě komponenty nebo alternativně závisejí na dodatečné proměnné $\xi\in\{+,-\}$, je třeba výše uvedený formalismus modifikovat. Vlnové \fc e systému $N$ \cc{} se spinem $1/2$ mají $2^N$ složek nebo alternativně závisejí vedle $\vex_1,\ldots,\vex_N$ též na $\xi_1,\ldots,\xi_N$, přičemž $\xi_j\in\{+,-\}$. Hilbertův stavový prostor je pak tensorovým součinem jednočásticových prostorů $L_2(\R^{3},d^{3}x) \otimes \C^{2}$. \[ \hil = \hil _1 \ox \hil_2 \ox \cdots \ox \hil_N = L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}. \] Skalární součin v~tomto prostoru je definován způsobem \be (\psi,\phi) := \sum_{\xi_1=\pm}\cdots\sum_{\xi_N=\pm} \int_{\R^{3N}} \psi^*(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \phi(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) d^{3N}x. \ee \bc Nechť hamiltonián dvou částic se spinem $1/2$ interagujících pouze prostřednictvím spinu má tvar \[ \hat{H} = -\hbar\nu\,(\sigma_1\ox\sigma_1 + \sigma_2\ox\sigma_2 + \sigma_3\ox\sigma_3). \] Určete dimenzi Hilbertova prostoru, vlastní čísla a vlastní vektory $\hat{H} $ a degeneraci energetických hladin. \ec \subsubsection{Problém dvou těles v~\qv é \mi ce} Problém dvou těles je v~kvantové, stejně jako v~klasické, mechanice snadno řešitelný, pokud síly jsou dány potenciálem závisejícím pouze na rozdílu poloh jednotlivých \cc {} $V(\vex_1,\vex_2)=V(\vex_1-\vex_2)$. Abychom mohli provést dynamický popis systému dvou \qv ých \cc, popíšeme napřed klasický systém hamiltonovským formalismem. Zavedením nových proměnných \be \vec{X} := \frac{m_1\vex_1+m_2\vex_2}{m_1+m_2}, \quad \vex := \vex_1-\vex_2 \ll{nsour} \ee dostaneme Lagrangeovu \fc i pro dvě \cc e ve tvaru \be L(\vec{X},\vex,\dot{\vec{X}},\dot{\vex}) = \half(m_1+m_2)\dot{\vec{X}}^2 + \half\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex}^2-V(\vex). \ee Kanonicky sdružené hybnosti jsou \begin{align} \vec{P} &:= \vec{p}_1+\vec{p}_2 = (m_1+m_2)\dot{\vec X} = m_1\dot{\vex}_1+m_2\dot{\vex}_2, \ll{nhyb1} \\ \vec{p} &:= \frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dot{\vex} = \frac{ m_2\vec{p}_1-m_1\vec{p}_2}{m_1+m_2} \ll{nhyb2} \end{align} a Hamiltonova \fc e má tvar součtu dvou Hamiltonových funkcí \be H(\vec{X},\vex,\vec{P},\vec{p}) = \frac{\vec{P}^2}{2(m_1+m_2)}+\frac{m_1+m_2}{2m_1m_2}\vec{p}{~}^2+V(\vex) = H_t(\vec{P})+H_{\mathrm{rel}}(\vex,\vec{p}). \ee Hamiltonovy pohybové \rc e pro $\vex_1(t), \vex_2(t), \vec{p}_1(t),\vec{p}_2(t)$ pak přejdou na separované rovnice pro pohyb těžiště $\vec{X}(t),\vec{P}(t)$ a relativní pohyb \cc {} daný $\vex(t), \vec{p}(t)$. \textbf{Transformace souřadnic \rf{nsour} vede i na zjednodušení kvantově mechanického popisu dvou částic.} Zapíšeme-li vlnovou \fc i systému jako \fc i nových souřadnic \be \Psi(\vec{X}\vex):=\psi(\vex_1(\vec{X},\vex), \vex_2(\vec{X},\vex)), \ee pak transformace \rf{nsour} vede na transformaci parciálních derivací \begin{align} \frac{\partial}{\partial X_j} &= \frac{\partial}{\partial x_{1,j}}+\frac{\partial}{\partial x_{2,j}}, \quad j=1,2,3, \ll{nder1} \\ \frac{\partial}{\partial x_j} &= \frac{1}{m_1+m_2} \left( m_2\frac{\partial}{\partial x_{1,j}}-m_1\frac{\partial}{\partial x_{2,j}} \right), \quad j=1,2,3, \ll{nder2} \end{align} která odpovídá transformaci operátorů hybnosti analogické \rf{nhyb1}, \rf{nhyb2}. \textbf{Hamiltonián systému dvou interagujících \cc \be \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m_1}\triangle_1-\frac{\hbar^2}{2m_2}\triangle_2 +\hat V(\vex_1-\vex_2) \ee transformací \rf{nsour} přejde na tvar \be \hat{H} = \hat{H}_t + \hat{H}_{\mathrm{rel}} = -\frac{\hbar^2}{2(m_1+m_2)}\triangle_X -\frac{\hbar^2}{2M}\triangle_x + \hat V(\vex), \ee který je ekvivalentní hamiltoniánu dvou neinteragujících \cc.} Jedna z~nich je volná kvantová \cc e s~hmotou $m_1+m_2$ (těžiště) a druhá je \cc í s~hmotou $M=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ v~poli potenciálu $V$. Právě uvedená fakta ospravedlňují interpretaci hladin \cc e v~coulombickém poli jako hladin vodíkového atomu, pokud do výrazu pro Rydbergovu energii dosadíme hmotu $M=\frac{m_em_p}{m_e+m_p}\approx{m_e}(1-\frac{m_e}{m_p})$, kde ${m_e},{m_p}$ jsou hmoty elektronu a protonu. Pokud se zajímáme o~spektrum hladin deuteria, je třeba místo $m_p$ použít hmotu deuteronu, která se přibližně rovná $2m_p$. \subsection{Skládání momentů hybnosti} \def\lj{{\hat L^{(1)}}} \def\l2{{\hat L^{(2)}}} \def\hj{{\hat J}} V~klasické \mi ce je moment hybnosti složených systémů dán prostým sčítání vektorů, tj.~vektorovým součtem momentů hybnosti jednotlivých složek. Pro kvantově \mi cké stavy tomu tak být nemůže, neboť víme, že projekce momentu hybnosti do libovolného směru může nabývat pouze celočíselných násobků $\hbar$. Je proto užitečné zjistit jaké stavy složeného systému odpovídají těmto celočíselným hodnotám. Složitost problému skládání momentů hybnosti narůstá s~počtem složek, a proto se v~dalším omezíme na systém dvou \cc{}, kde každá z nich je ve vlastních stavu momentu hybnosti, tj.~společném vlastním stavu $\hat L^2$ a $\hat L_z$. Nechť tedy máme systém složený ze dvou rozlišitelných částic, pro které byly naměřeny hodnoty momentů hybnosti $l_1(l_1+1)\hbar^2$, $m_1\hbar$ a $l_2(l_2+1)\hbar^2$, $m_2\hbar$. Znamená to tedy, že první z~\cc{} lze přiřadit \fc i $\psi_{a_1,l_1,m_1} \equiv \ket{a_1,l_1,m_1}$ a druhé $\psi_{a_2,l_2,m_2} \equiv \ket{a_2,l_2,m_2}$, kde hodnoty $a_1$, $a_2$ představují hodnoty ostatních pozorovatelných kompatibilních s~$\hat{L}^2$ a $\hat{L}_z$, např.~celkové energie. Stav celého sytému pak můžeme popsat vlnovou \fc í \[ \psi(\vex_1,\vex_2)=(\psi_{a_1,l_1,m_1}\ox\psi_{a_2,l_2,m_2})(\vex_1,\vex_2)=\psi_{a_1,l_1,m_1}(\vex_1)\psi_{a_2,l_2,m_2}(\vex_2). \] Zanedbáme-li závislost stavů na vlastních číslech $a_1,a_2$ můžeme této funkci přiřadit ket $\ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}$, pro který platí \begin{align} (\lj)^2 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= l_1(l_1+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm1} \\ (\l2)^2 \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= l_2(l_2+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm2} \\ \lj_z \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= m_1\hbar \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} \label{lmlm3} \\ \l2_z \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2} &= m_2\hbar \ \ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}. \label{lmlm4} \end{align} Pro dané $l_1$, $l_2$ (a $a_1$, $a_2$) tvoří tyto stavy podprostor dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Otázka je, jaké lze naměřit \textbf{hodnoty momentu hybnosti celého systému} a s~jakou \pst í? Složkám celkového momentu hybnosti podle principu korespondence přiřadíme operátory $\hat{J}_k=\lj_k+\l2_k$, kde $\lj_k$ působí pouze na funkce v~proměnné $\vex_1$ a $\l2_k$ působí pouze na funkce v~proměnné $\vex_2$. Znamená to tedy, že operátory $\lj_k$ a $\l2_j$ komutují. Odtud je pak snadné ukázat, že \be [\hat{J}_k,\hat{J}_l]=i\hbar\epsilon_{klm}\hat J_m. \ee Z~podkapitoly \ref{atmh} pak plyne, že vlastní hodnoty operátorů $\hat{J}^2$ a $\hat{J}_z$ mohou mít vlastní hodnoty pouze $j(j+1)\hbar^2$ a $m\hbar$, kde $j$ a $m$ jsou (polo)celá čísla, $|m| \leq j$. Zároveň lze snadno ukázat že \be [\hat{J}_k,(\lj)^2]=0, \quad [\hat{J}_k,(\l2)^2]=0, \ee takže operátory $(\lj)^2$, $(\l2)^2$, $\hat{J}^2$, $\hat{J}_z$ vzájemně komutují a mohou (spolu s~dalšími operátory) být součástí úplné množiny pozorovatelných systému dvou \cc. Označme tedy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ ket, který je vlastním stavem těchto pozorovatelných. Znamená to, že splňuje rovnice \begin{align} (\lj)^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= l_1(l_1+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm1} \\ (\l2)^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= l_2(l_2+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm2} \\ \hj^2 \ket{l_1,l_2,j,m} &= j(j+1)\hbar^2 \ \ket{l_1,l_2,j,m} \label{lljm3} \\ \hj_z \ket{l_1,l_2,j,m} &= m\hbar \ \ket{l_1,l_2,j,m}.\label{lljm4} \end{align} Naším úkolem nyní je tyto stavy nalézt, přesněji, sestavit je ze stavů $\ket{l_1,m_1} \otimes \ket{l_2,m_2}$ popisujících momenty hybnosti jednotlivých \cc. V~prvním kroku se přesvědčíme, že stav $\ket{l_1,l_1} \otimes \ket{l_2,l_2}$ splňuje rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro $j=m=l_1+l_2$. Rovnice \rf{lljm1}, \rf{lljm2} se shodují s~\rf{lmlm1}, \rf{lmlm2} a rovnice \rf{lljm4} je jednoduchým důsledkem \rf{lmlm1}, \rf{lmlm2}. K~odvození \rf{lljm3} se hodí formule \begin{equation} \hj^2 = \hj_1^2+\hj_2^2+\hj_3^2 = (\lj)^2+(\l2)^2+2\lj_3\l2_3+\lj_+\l2_-+\lj_-\l2_+, \label{jjll} \end{equation} kterou lze snadno odvodit z~definice posunovacích operátorů $\hat{L}_\pm$. Znamená to tedy, že $\ket{l_1,l_1} \otimes \ket{l_2,l_2} = \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2}$. Ze stavu $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2}$ nyní můžeme snadno vytvořit $2(l_1+l_2)+1$ stavů \[ \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,m}, \text{ kde } m=-l_1-l_2,\ldots,l_1+l_2 \] působením posunovacích operátorů $\hat{J}_\pm = \hat{J}_1\pm i \hat{J}_2 = \lj_\pm+\l2_\pm$. (Tyto stavy tvoří tzv.~ireducibilní reprezentaci algebry $\mathfrak{su}(2)$.) V~dalších krocích (pro $l_1,l_2\neq 0$) je možno vytvořit stavy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ s~$j<l_1+l_2$. Je zřejmé, že ze stavů $\ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1}$ a $\ket{l_1,l_1-1} \ox \ket{l_2,l_2}$ je možné vytvořit dva jiné lineárně nezávislé vektory. Jeden z~nich je % \begin{align} % \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1} % &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \hat{J}_- \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2} \nonumber \\ % &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\lj_- +\l2_-) \ket{l_1,l_l}\ox\ket{l_2,l_2} \nonumber \\ % &= \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \left( \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} % + \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right). % \end{align} \begin{IEEEeqnarray}{rCl} \IEEEeqnarraymulticol{3}{l}{\ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2-1}} \nonumber \\ \quad \qquad &=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \hat{J}_- \ket{l_1,l_2,l_1+l_2,l_1+l_2} \nonumber \\ &=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} (\lj_- +\l2_-) \ket{l_1,l_l}\ox\ket{l_2,l_2} \nonumber \\ &=& \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \left( \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} + \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right). \end{IEEEeqnarray} O~druhém, který je k~němu ortogonální, totiž \[ \frac{1}{\alpha^{(-)}_{l_1+l_2,l_1+l_2}} \left( \alpha^{(-)}_{l_2,l_2} \ \ket{l_1,l_l-1} \ox \ket{l_2,l_2} - \alpha^{(-)}_{l_1,l_1} \ \ket{l_1,l_1} \ox \ket{l_2,l_2-1} \right), \] lze ukázat, že splňuje \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro $j=m=l_1+l_2-1$, takže se jedná o~stav, který označujeme $\ket{l_1,l_2,l_1+l_2-1,l_1+l_2-1}$. Postupnou aplikací operátoru $\hat{J}_-$ na tento stav dostaneme $2(l_1+l_2-1)-1$ stavů s~$j=l_1+l_2-1$, $|m|\leq j$. Stejným postupem dostaneme stavy s $j=l_1+l_2-2,j=l_1+l_2-3,\ldots., j_{min}$. Zbývá zjistit kolik je $j_{min}$. Rozměr podprostoru stavů s daným $j$ je $2j+1$ a rozměr podprostoru s daným $l_1,l_2$, z jehož stavů jsou vektory $|l_1,l_2,j,m>$ tvořeny, je $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Musí tedy platit \begin{equation}\label{jmin} (2l_1+1)(2l_2+1)=\sum_{j_{min}}^{l_1+l_2}(2j+1)=(l_1+l_2+1)^2-j_{min}^2, \end{equation} z čehož plyne $j_{min}=|l_1-l_2|$. Vzhledem k tomu, že stavy $\ket{l_1,l_2,j,m}$ splňují rovnice \rf{lljm1}--\rf{lljm4} pro různá vlastní čísla, musí být vzájemně ortogonální stejně jako stavy $\ket{l_1,m_1} \ox \ket{l_2,m_2}$. Dostáváme tedy dvě ortonormální baze v~podprostoru dimenze $(2l_1+1)(2l_2+1)$. Elementy matice přechodu mezi těmito dvěma přechody udávající mimo jiné \pst{} nalezení stavu systému s~daným $j$ a $m$ se nazývají Clebschovy--Gordanovy koeficienty. Způsob jejich výpočtu je možno nalézt např.~v~\cite {beh:lokf}. Závěrem této podkapitoly je vhodné říci, že předvedená metoda neslouží jen pro konstrukci stavů systému složeného ze dvou kvant s~daným momentem hybnosti. Při odvození jsme totiž použili pouze komutační relace momentů hybnosti. Ty jsou však shodné s~komutačními relacemi spinu. Můžeme tedy skládat nejen stavy dvou různých \cc, ale také orbitální moment hybnosti $l_1$ a spin $l_2=1/2$ a hledat tak stavy částice se spinem mající danou hodnotu celkového momentu hybnosti $j=l\pm 1/2$. \subsection{Systémy nerozlišitelných \cc, Pauliho princip} Jak už bylo řečeno na počátku této kapitoly, při popisu jevů na atomární a nižší úrovni označení \uv{první} či \uv{druhá} pro nerozlišitelné \cc e ztrácí smysl. Tento fakt by se tedy měl odrazit i v~teoretickém popisu těchto jevů. Nechť $\{A,B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných dvoučásticového systému. Vlnová \fc e $\psi(\vex_1,\vex_2)$ dvoučásticového stavu, který je dán hodnotami $a,b,\ldots$ pozorovatelných $A,B,\ldots$ je pak určena podmínkami \be \hat{A}\psi = a\psi, \quad \hat{B}\psi = b\psi, \quad \ldots \ll{ab12} \ee Při záměně částic se stavová funkce $\psi(\vex_1,\vex_2)$ změní na $\tilde{\psi}(\vex_1,\vex_2):=\psi(\vex_2,\vex_1).$ Pro nerozlišitelné částice se ale výsledky měření na dvoučásticovém systému touto záměnou nemohou změnit. Současně s \rf{ab12} musí tedy rovněž platit \be \hat{A}\tilde{\psi} = a\tilde{\psi}, \quad \hat{B}\tilde{\psi} = b\tilde{\psi}, \quad \ldots \ee Z~předpokladu, že $\{A, B,\ldots\}$ je úplná množina pozorovatelných plyne, že \fc e $\psi$ a $\tilde{\psi}$ jsou určeny jednoznačně až na konstantu. Musí tedy platit $\psi=C_\psi\tilde{\psi}$. Odtud však plyne, že \be \psi(\vex_1,\vex_2)=C_\psi\psi(\vex_2,\vex_1)={C_\psi}^2\psi(\vex_1,\vex_2), \ll{asymvlnfce} \ee takže $C_\psi=\pm 1$. Stavové \fc e dvou nerozlišitelných \cc {} musí tedy být buď symetrické, či antisymetrické při záměně svých argumentů. Mimo to, pro jeden typ \cc {} znaménko $C_\psi$ nemůže záviset na vlnové \fc i, neboť v~opačném případě stavy popsané lineárními kombinacemi vlnových \fc í s~různými symetriemi by nebyly ani symetrické ani antisymetrické. Částice, jejichž soubory jsou popsány symetrickými vlnovými \fc emi se nazývají \emph{bosony} a částice, jejichž soubory jsou popsány antisymetrickými vlnovými \fc emi se nazývají \emph{fermiony}. V~kvantové teorii pole lze ukázat, že \textbf{typ symetrie vlnových \fc í je určen spinem \cc.} Částice s~polocelým spinem (v~jednotkách $\hbar$), jako např.~elektron, proton či neutron, jsou fermiony a částice s~celým spinem, jako např.~$\pi$--mesony nebo foton, jsou bosony. Vlnové \fc e \cc{} s~nenulovým spinem však závisejí vedle souřadnic $\vex_j$ též na \uv{spinových} proměnných $\xi_j$ nabývajících pouze diskrétních hodnot. Symetrií či antisymetrií vlnové \fc e se pak rozumí (anti)symetrie vůči záměně dvojic $(\vex_j,\xi_j)$ a $(\vex_k,\xi_k)$, $j\neq k$. Z~výše uvedeného ihned plyne, že \textbf{vlnová funkce systému více nerozlišitelných bosonů či fermionů je symetrická, respektive antisymetrická} vůči záměně libovolných (dvojic) argumentů, neboť analog podmínky \rf{asymvlnfce} pro více \cc{} lze interpretovat jako existenci jednorozměrné reprezentace grupy permutací $P_N$. Takovéto reprezentace jsou však buď totálně symetrické či antisymetrické. Příkladem je vlnová funkce tří \cc, která má v~první dvojici argumentů symetrii danou znaménkem $C_1$ a ve druhé znaménkem $C_2$. Pak \[ \psi(x_1,x_2,x_3)=C_1\psi(x_2,x_1,x_3)=C_1C_2\psi(x_2,x_3,x_1)=C_2\psi(x_3,x_2,x_1), \] ale současně \[ \psi(x_1,x_2,x_3)=C_2\psi(x_1,x_3,x_2)=C_1C_2\psi(x_3,x_1,x_2)=C_1\psi(x_3,x_2,x_1), \] takže $C_1=C_2$. Podobně jako v~případě rozlišitelných \cc {} je možno vytvářet vícečásticové vlnové funkce z~jednočásticových. Jsou-li $\psi_a(\vex)$ vlnové \fc e jedné bezspinové \cc e, tzn.~$\psi_a\in$ \qintspace, pak \[ \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\vex_2) := \psi_{a_1}(\vex_1)\psi_{a_2}(\vex_2) + \psi_{a_1}(\vex_2)\psi_{a_2}(\vex_1) \] je vlnová \fc e dvou stejných bosonů a podobně \[ \psi_{a_1,a_2}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2) := \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1)\psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) - \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2)\psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1) \] je vlnová \fc e dvou stejných fermionů. Je vhodné na tomto místě připomenout, že pro částice s~nenulovým spinem je hodnota průmětu spinu do některé osy součástí definice jednočásticového stavu, čili např.~$a_1=(n_1,l_1,m_1,\pm 1/2)$. Obecně Hilbertovy prostory stavů $\hil^S$, $\hil^A$ systému $N$ nerozlišitelných \cc{} jsou podprostory totálně symetrických či antisymetrických \fc í z~$L_2(\R^{3N},d^{3N}x)$, respektive $L_2(\R^{3N},d^{3N}x) \ox \C^{2^N}$. Vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných bezspinových \cc{} ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je \be \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\vex_2,\ldots,\vex_N) := \sum_{\pi\in P_N} \psi_{a_1}(\vex_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N}) \ll{bosvlf} \ee a vlnová \fc e $N$ nerozlišitelných fermionů ve stavech $\psi_{a_1},\psi_{a_2},\ldots,\psi_{a_N}$ je \begin{multline} \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\ := \sum_{\pi\in P_N} (-)^{\grad\pi}\psi_{a_1}(\vex_{\pi 1},\xi_{\pi 1}) \psi_{a_2}(\vex_{\pi 2},\xi_{\pi 2})\cdots\psi_{a_N}(\vex_{\pi N},\xi_{\pi N}), \ll{antisym} \end{multline} kde $P_N$ je grupa permutací $N$ objektů a $\grad\pi$ je počet transposic, ze kterých je možno složit permutaci $\pi$. Antisymetrickou vlnovou \fc i \rf{antisym} lze zapsat jako tzv.~\emph{Slaterův determinant} \begin{multline} \psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}(\vex_1,\xi_1,\vex_2,\xi_2,\ldots,\vex_N,\xi_N) \\ = \det\left( \ba{cccc} \psi_{a_1}(\vex_1,\xi_1) & \psi_{a_2}(\vex_1,\xi_1) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_1,\xi_1) \\ \psi_{a_1}(\vex_2,\xi_2) & \psi_{a_2}(\vex_2,\xi_2) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_2,\xi_2) \\ & & \ddots & \\ \psi_{a_1}(\vex_N,\xi_N) & \psi_{a_2}(\vex_N,\xi_N) & \ldots & \psi_{a_N}(\vex_N,\xi_N) \\ \ea \right). \ll{slaterd} \end{multline} Pozorovatelné pro systémy nerozlišitelných \cc{} jsou pak popsány samosdruženými operátory v~podprostorech $\hil^S$ nebo $\hil^A$. Znamená to, že působení těchto operátorů musí zachovat (anti)symetrii \fc í, na které působí. Takže např.~operátor potenciální energie v~poli konzervativních sil musí být popsán funkcí $V(x_1,x_2,\ldots,x_N)$, která je symetrická vůči záměně svých proměnných. Formálně lze tuto vlastnost vyjádřit tak, že pozorovatelné komutují s~operátorem \uv{záměny \cc{}} $P_\pi$ \be P_\pi\psi(x_1,x_2,\ldots,x_N) := \psi(x_{\pi 1},x_{\pi 2},\ldots,x_{\pi N}) \ee Z~výrazu \rf{slaterd} je zřejmé, že pokud dva jednočásticové stavy jsou stejné, pak $\psi_{a_1,a_2,\ldots,a_N}=0$, což je matematické vyjádření Pauliho vylučovacího principu: \textbf{V~souboru nerozlišitelných fermionů nemohou existovat dvě \cc e ve stejném stavu}. Tento princip má dalekosáhlé důsledky pro strukturu atomu. Pokud jednočásticové vlnové \fc e $\psi_n$ tvoří ortonormální baze v~prostorech $L_2(\R^{3},d^{3}x)$, resp.~$L_2(\R^{3},d^{3}x)\ox\C^{2}$, pak funkce \rf{bosvlf} a \rf{antisym} složené z~jednočásticových stavů (po patřičné normalizaci) tvoří ortonormální bazi v~prostoru $\hil^S$ popisující soustavu bosonů, resp.~$\hil^A$ popisující soustavu fermionů. \bc Najděte energie a vlastní \fc e základního a prvního excitovaného stavu dvou nerozlišitelných \cc{} se spinem 0, resp.~$1/2$ v~poli harmonického oscilátoru. \ec \bc Napište vlnovou funkci základního stavu atomového obalu helia zanedbáme-li odpudivé síly mezi elektrony (tzv.~nulová aproximace). \ec