02KVAN:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
m (drobné formální úpravy) |
||
Řádka 6: | Řádka 6: | ||
Veškeré úvahy v~kapitolách \ref{Popisstavu} a \ref{Vysledkymereni} se týkaly stavu v~daném časovém okamžiku. Nyní se vrátíme k~důsledkům plynoucím | Veškeré úvahy v~kapitolách \ref{Popisstavu} a \ref{Vysledkymereni} se týkaly stavu v~daném časovém okamžiku. Nyní se vrátíme k~důsledkům plynoucím | ||
z~časového vývoje, který je v~\qv é \mi ce dán \sv ou \rc í | z~časového vývoje, který je v~\qv é \mi ce dán \sv ou \rc í | ||
− | \be i\hbar\frac{\ | + | \be i\hbar\frac{\pd\psi}{\pd t}=\hat H\psi. \ll{SRH} \ee |
Řádka 19: | Řádka 19: | ||
pak je snadné ukázat, že pro tyto veličiny platí \emph{rovnice kontinuity} | pak je snadné ukázat, že pro tyto veličiny platí \emph{rovnice kontinuity} | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
− | \frac{\ | + | \frac{\pd\rho}{\pd t}(\vex,t) + \div \vec{j}(\vex,t)=0. |
\ll{rcekont} | \ll{rcekont} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
Důsledkem rovnice kontinuity je, že \textbf{normalizace vlnové funkce nezávisí na čase}. Přesnější vyjádření tohoto faktu je dáno rovností | Důsledkem rovnice kontinuity je, že \textbf{normalizace vlnové funkce nezávisí na čase}. Přesnější vyjádření tohoto faktu je dáno rovností | ||
− | \begin{equation} \frac{d}{dt}(\psi,\psi)=0 \ll{neznat} \end{equation} | + | \begin{equation} \frac{\d}{\dt}(\psi,\psi)=0 \ll{neznat} \end{equation} |
plynoucí z~rovnice kontinuity pro funkce $\psi$, které spolu se svými derivacemi jdou v~nekonečnu dostatečně rychle k~nule. | plynoucí z~rovnice kontinuity pro funkce $\psi$, které spolu se svými derivacemi jdou v~nekonečnu dostatečně rychle k~nule. | ||
Řádka 35: | Řádka 35: | ||
v~\qv é \mi ce jsou tzv.~\emph{stacionární stavy}. Tyto stavy jsou popsány vlnovými funkcemi $\psi(\vex,t)$, pro které střední hodnota | v~\qv é \mi ce jsou tzv.~\emph{stacionární stavy}. Tyto stavy jsou popsány vlnovými funkcemi $\psi(\vex,t)$, pro které střední hodnota | ||
libovolné pozorovatelné nezávisí na čase. Jinými slovy pro ně musí platit | libovolné pozorovatelné nezávisí na čase. Jinými slovy pro ně musí platit | ||
− | \be \frac{d}{dt}\langle\hat{A}\rangle_{\psi}=0 \ee | + | \be \frac{\d}{\dt}\langle\hat{A}\rangle_{\psi}=0 \ee |
pro libovolný samosdružený operátor, který explicitně nezávisí na čase. | pro libovolný samosdružený operátor, který explicitně nezávisí na čase. | ||
Řádka 49: | Řádka 49: | ||
Na pravé straně \sv y \rc e \rf{SRH} stojí operátor energie --- hamiltonián. Není tedy překvapivé, že vlastní stavy operátoru energie budou | Na pravé straně \sv y \rc e \rf{SRH} stojí operátor energie --- hamiltonián. Není tedy překvapivé, že vlastní stavy operátoru energie budou | ||
hrát v~časovém vývoji \qv ě \mi ckých stavů důležitou roli. Pro vlnové \fc e \rf{stacstav} lze snadno ukázat, že pokud vyhovují \sv ě \rc i, | hrát v~časovém vývoji \qv ě \mi ckých stavů důležitou roli. Pro vlnové \fc e \rf{stacstav} lze snadno ukázat, že pokud vyhovují \sv ě \rc i, | ||
− | pak jsou vlastními stavy energie a $C(t)=C(t_0)e^{- | + | pak jsou vlastními stavy energie a $C(t)=C(t_0)e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}$. Ze \sv y \rc e totiž plyne |
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
C(t)\hat{H} \psi(\vex,t_0)= i\hbar \dot C(t) \psi(\vex,t_0). | C(t)\hat{H} \psi(\vex,t_0)= i\hbar \dot C(t) \psi(\vex,t_0). | ||
Řádka 63: | Řádka 63: | ||
řešením \sv y \rc e \rf{SRH} s~počáteční podmínkou \rf{vlstham} je | řešením \sv y \rc e \rf{SRH} s~počáteční podmínkou \rf{vlstham} je | ||
\be | \be | ||
− | \fbox{$\psi_E(\vex,t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\psi_E(\ | + | \fbox{$\psi_E(\vex,t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\psi_E(\vex)$}\ . |
\ee | \ee | ||
Z~právě uvedených důvodu se vlastní stavy operátoru energie nazývají {stacionární stavy} a rovnice pro vlastní hodnoty \rf{vlstham} se často | Z~právě uvedených důvodu se vlastní stavy operátoru energie nazývají {stacionární stavy} a rovnice pro vlastní hodnoty \rf{vlstham} se často | ||
Řádka 90: | Řádka 90: | ||
superpozicí stacionárních stavů) | superpozicí stacionárních stavů) | ||
\[ | \[ | ||
− | \psi(x,0)=0,\ \mathrm{pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin[\frac{\pi}{2a}(x-a)]+\sin[\frac{\pi}{a}(x-a)],\ \mathrm{pro} \ |x|<a. | + | \psi(x,0)=0,\ \mathrm{pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin\left[ \frac{\pi}{2a}(x-a)\right] +\sin\left[\frac{\pi}{a}(x-a)\right] ,\ \mathrm{pro} \ |x|<a. |
\] | \] | ||
Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v~čase $t=0$ a $t=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar}$ bude nacházet v~intervalu $(-a,0)$? | Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v~čase $t=0$ a $t=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar}$ bude nacházet v~intervalu $(-a,0)$? | ||
Řádka 107: | Řádka 107: | ||
Zavedeme proto nejdříve užitečný pojem časové derivace operátoru: Nechť $\hat{A}$ je samosdružený operátor. \emph{Časovou derivací operátoru} | Zavedeme proto nejdříve užitečný pojem časové derivace operátoru: Nechť $\hat{A}$ je samosdružený operátor. \emph{Časovou derivací operátoru} | ||
− | $\hat{A}$ nazveme operátor označený $\hat{\frac{ | + | $\hat{A}$ nazveme operátor označený $\hat{\frac{\d A}{\dt}}$, definovaný jako |
\be | \be | ||
− | {\LARGE \fbox{$ \hat{\dfrac{ | + | {\LARGE \fbox{$ \hat{\dfrac{\d A}{\dt}} := \dfrac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A] + \dfrac{\pd\hat A}{\pd t} $ }}\ . |
\ll{casderoper} | \ll{casderoper} | ||
\ee | \ee | ||
Poslední člen na pravé straně je nenulový pouze tehdy závisí-li akce operátoru na čase, s~čímž se setkáváme jen zřídka. Důvodem pro tuto definici | Poslední člen na pravé straně je nenulový pouze tehdy závisí-li akce operátoru na čase, s~čímž se setkáváme jen zřídka. Důvodem pro tuto definici | ||
− | je, že pro všechna $\psi$, která leží v~nějakém uzavřeném podprostoru hustém v~$\ | + | je, že pro všechna $\psi$, která leží v~nějakém uzavřeném podprostoru hustém v~$\Hil$ platí |
\be | \be | ||
− | \frac{d}{dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi}=\left\langle \hat{\frac{ | + | \frac{\d}{\dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi}=\left\langle \hat{\frac{\d A}{\dt}} \right\rangle_\psi. |
\ll{casderop} | \ll{casderop} | ||
\ee | \ee | ||
Provedeme-li totiž (poněkud formálně) časovou derivaci na levé straně \rf{casderop} dostaneme | Provedeme-li totiž (poněkud formálně) časovou derivaci na levé straně \rf{casderop} dostaneme | ||
\begin{equation} | \begin{equation} | ||
− | \frac{d}{dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi} | + | \frac{\d}{\dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi} |
− | = (\psi,\psi)^{-1}\left[ (\frac{\ | + | = \left(\psi,\psi\right)^{-1}\left[ \left(\frac{\pd\psi}{\pd t},\hat A\psi\right) |
− | + (\psi,\frac{\ | + | + \left(\psi,\frac{\pd\hat A}{\pd t}\psi\right) |
− | + (\psi,\hat A\frac{\ | + | + \left(\psi,\hat A\frac{\pd\psi}{\pd t}\right)\right]. |
\end{equation} | \end{equation} | ||
a ze \sv y \rc e pak plyne vztah \rf{casderop}. | a ze \sv y \rc e pak plyne vztah \rf{casderop}. | ||
Řádka 140: | Řádka 140: | ||
či hybnosti dostaneme | či hybnosti dostaneme | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
− | \frac{d}{dt} \langle \hat Q_j \rangle_{\psi} &= \left\langle \hat{\frac{P_j}{M}} \right\rangle_\psi, \ll{ehrx} \\ | + | \frac{\d}{\dt} \langle \hat Q_j \rangle_{\psi} &= \left\langle \hat{\frac{P_j}{M}} \right\rangle_\psi, \ll{ehrx} \\ |
− | \frac{d}{dt} \langle \hat P_j \rangle_{\psi} &= \left\langle {-\hat{\frac {\ | + | \frac{\d}{\dt} \langle \hat P_j \rangle_{\psi} &= \left\langle {-\hat{\frac {\pd V}{\pd x_j}}} \right\rangle_\psi. \ll{ehrp} |
\end{align} | \end{align} | ||
Tyto vztahy připomínají do jisté míry Hamiltonovy rovnice klasické mechaniky. První z~nich říká, že časová derivace střední hodnoty souřadnice | Tyto vztahy připomínají do jisté míry Hamiltonovy rovnice klasické mechaniky. První z~nich říká, že časová derivace střední hodnoty souřadnice | ||
Řádka 147: | Řádka 147: | ||
síly v~bodě $\langle \hat Q_j \rangle_{\psi}$, neboli pokud | síly v~bodě $\langle \hat Q_j \rangle_{\psi}$, neboli pokud | ||
\[ | \[ | ||
− | \left\langle {-\hat{\frac {\ | + | \left\langle {-\hat{\frac {\pd V}{\pd x_j}}} \right\rangle_\psi = -\frac {\pd V}{\pd x_j}(\langle \vec X \rangle_\psi). |
\] | \] | ||
To je splněno pouze pro potenciály, které jsou maximálně kvadratickou funkcí souřadnic. Pro obecnější typy potenciálů je souvislost Ehrenfestových | To je splněno pouze pro potenciály, které jsou maximálně kvadratickou funkcí souřadnic. Pro obecnější typy potenciálů je souvislost Ehrenfestových | ||
teorémů s~pohybovými rovnicemi klasické mechaniky mnohem složitější (viz \cite[kap.~1.7]{kv:qm} a \cite[kap.~3.5]{for:ukt}) a očekávaná shoda | teorémů s~pohybovými rovnicemi klasické mechaniky mnohem složitější (viz \cite[kap.~1.7]{kv:qm} a \cite[kap.~3.5]{for:ukt}) a očekávaná shoda | ||
s~klasickou teorií nastává až pro stavy s~dostatečně velkou energií. | s~klasickou teorií nastává až pro stavy s~dostatečně velkou energií. |
Verze z 3. 2. 2014, 18:55
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVAN
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVAN | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:38 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:04 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:39 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Poznámka | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:40 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Charakteristické rysy kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:41 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zrod kvantové mechaniky | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:48 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Jednoduché kvantové systémy | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:49 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Příprava stavu kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:09 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Kvantová částice v centrálně symetrickém potenciálu | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:57 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Zobecněné vlastní funkce | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:58 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Bra-ketový formalismus a posunovací operátory | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Předpovědi výsledků měření | Stefamar | 18. 9. 2018 | 14:59 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Časový vývoj kvantové částice | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:01 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Částice v elektromagnetickém poli. Spin | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:02 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Systémy více částic | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:03 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:36 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Potenciálový rozptyl, tunelový jev | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:05 | kapitola14.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Stefamar | 18. 9. 2018 | 15:06 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:blackbody.pdf | blackbody.pdf |
Image:s1s2.png | s1s2.png |
Image:s1full.png | s1full.png |
Image:s2full.png | s2full.png |
Image:wavefull.png | wavefull.png |
Image:ballfull.png | ballfull.png |
Image:roz1.pdf | roz1.pdf |
Image:roz2.pdf | roz2.pdf |
Image:fine_structure.pdf | fine_structure.pdf |
Image:zeeman_FS.pdf | zeeman_FS.pdf |
Image:tunel_prob.pdf | tunel_prob.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVAN} \section{Časový vývoj kvantové částice} \ll{Casovyvyvoj} Veškeré úvahy v~kapitolách \ref{Popisstavu} a \ref{Vysledkymereni} se týkaly stavu v~daném časovém okamžiku. Nyní se vrátíme k~důsledkům plynoucím z~časového vývoje, který je v~\qv é \mi ce dán \sv ou \rc í \be i\hbar\frac{\pd\psi}{\pd t}=\hat H\psi. \ll{SRH} \ee \subsection{Rovnice kontinuity} Definujeme-li vedle hustoty \pst i $\rho(\vex,t):=\psi^*(\vex,t) \psi(\vex,t)$ také \emph{hustotu toku \pst i} \begin{equation} \vec{j}(\vex,t):=\frac{i\hbar}{2M}[\psi(\vex,t) \vec{\nabla}\psi^*(\vex,t) -\psi^*(\vex,t) \vec{\nabla}\psi(\vex,t)], \ll{tokpsti} \end{equation} pak je snadné ukázat, že pro tyto veličiny platí \emph{rovnice kontinuity} \begin{equation} \frac{\pd\rho}{\pd t}(\vex,t) + \div \vec{j}(\vex,t)=0. \ll{rcekont} \end{equation} Důsledkem rovnice kontinuity je, že \textbf{normalizace vlnové funkce nezávisí na čase}. Přesnější vyjádření tohoto faktu je dáno rovností \begin{equation} \frac{\d}{\dt}(\psi,\psi)=0 \ll{neznat} \end{equation} plynoucí z~rovnice kontinuity pro funkce $\psi$, které spolu se svými derivacemi jdou v~nekonečnu dostatečně rychle k~nule. \subsection{Stacionární stavy} Důležitou třídou stavů klasické mechaniky jsou rovnovážné stavy, neboli statická řešení pohybových rovnic $x(t)=x(t_0)$. Jejich obdobou v~\qv é \mi ce jsou tzv.~\emph{stacionární stavy}. Tyto stavy jsou popsány vlnovými funkcemi $\psi(\vex,t)$, pro které střední hodnota libovolné pozorovatelné nezávisí na čase. Jinými slovy pro ně musí platit \be \frac{\d}{\dt}\langle\hat{A}\rangle_{\psi}=0 \ee pro libovolný samosdružený operátor, který explicitně nezávisí na čase. Je snadné ukázat, že pokud \qv á \cc e je popsána vlnovou \fc í, která se v~různých časech liší pouze faktorem nezávislým na $\vex$ \begin{equation} \psi (\vex,t)=C(t)\psi (\vex,t_0), \ll{stacstav} \end{equation} pak faktor $C(t)$ je fyzikálně nepodstatný, neboť neovlivní žádné fyzikálně interpretovatelné výsledky jako je pravděpodobnost nalezení v~místě $\vex$, pravděpodobnost přechodu do jiného stavu v~důsledku měření, ani střední hodnotu operátoru ve stavu $\psi$. Znamená to tedy, že stavy popsané vlnovými funkcemi \rf{stacstav} jsou stacionární. Na pravé straně \sv y \rc e \rf{SRH} stojí operátor energie --- hamiltonián. Není tedy překvapivé, že vlastní stavy operátoru energie budou hrát v~časovém vývoji \qv ě \mi ckých stavů důležitou roli. Pro vlnové \fc e \rf{stacstav} lze snadno ukázat, že pokud vyhovují \sv ě \rc i, pak jsou vlastními stavy energie a $C(t)=C(t_0)e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}$. Ze \sv y \rc e totiž plyne \begin{equation} C(t)\hat{H} \psi(\vex,t_0)= i\hbar \dot C(t) \psi(\vex,t_0). \end{equation} Odtud dostáváme, že $\psi(\vex,t_0)$ je vlastní \fc í hamiltoniánu s~vlastní hodnotou $E=i\hbar\dot C(t)/C(t)$ a výše uvedený tvar \fc e $C(t)$. Na druhé straně, víme-li, že \cc e v~čase $t_0$ je ve stavu $\psi_E $ \begin{equation} \hat{H}\psi_E=E\psi_E, \ll{vlstham} \end{equation} pak v~tomto stavu zůstane do té doby, dokud není ovlivněna nějakým vnějším zásahem (například měřením veličiny nekompatibilní s~energií), neboť řešením \sv y \rc e \rf{SRH} s~počáteční podmínkou \rf{vlstham} je \be \fbox{$\psi_E(\vex,t)=e^{-i\frac{E}{\hbar}(t-t_0)}\psi_E(\vex)$}\ . \ee Z~právě uvedených důvodu se vlastní stavy operátoru energie nazývají {stacionární stavy} a rovnice pro vlastní hodnoty \rf{vlstham} se často nazývá \emph{bezčasová \sv a \rc e.} Za jistých velmi obecných předpokladů (unitarita časového vývoje, viz \cite{for:ukt}) lze ukázat i opak, totiž že všechny \textbf{stacionární stavy jsou vlastními stavy hamiltoniánu.} Jednoduchý časový vývoj stacionárních stavů je možno využít i pro popis časového vývoje nestacionárních stavů, tj.~řešení \sv y \rc e s~počáteční podmínkou zadanou \fc í, která není vlastní funkcí hamiltoniánu. Stačí k~tomu, aby existovala ortonormální baze $\{e_n\}$, jejíž prvky jsou vlastními stavy hamiltoniánu. Pak je možno zapsat počáteční vlnovou \fc i způsobem \be \psi(\vex)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vex) \ll{rozklg0}\ee a odpovídající řešení \sv y \rc e je \be \psi(\vex,t)=\sum_{n}\psi_ne_n(\vex)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}(t-t_0)}. \ll{rozklgt}\ee Neznamená to však, že stav rozložený podle stacionárních stavů je stacionárním, neboť koeficient u~každé komponenty má jinou časovou závislost. Vyjímečnost stacionárních stavů byl jeden z~důvodů, proč jsme v~předchozích kapitolách hledali vlastní stavy operátorů energie, pro některé fyzikálně zajímavé případy jako byl harmonický oscilátor či částice v~Coulombově poli. \bc Nechť Hamiltonián kvantového systému má čistě bodové spektrum. Na systému byla naměřena hodnota $a$ pozorovatelné $A$, která má čistě bodové spektrum, přičemž $a$ je nedegenerovaná vlastní hodnota. Jaká je pravděpodobnost, že naměříme stejnou hodnotu, budeme-li měření opakovat po čase $t$? \ec \bc Nechť částice hmoty $M$ v~jednorozměrné nekonečně hluboké potenciálové jámě šířky $2a$ je v~čase $t=0$ popsána vlnovou \fc í (která je superpozicí stacionárních stavů) \[ \psi(x,0)=0,\ \mathrm{pro}\ |x|>a,\ \ \psi(x,0)=\sin\left[ \frac{\pi}{2a}(x-a)\right] +\sin\left[\frac{\pi}{a}(x-a)\right] ,\ \mathrm{pro} \ |x|<a. \] Jaká je pravděpodobnost, že \cc e se v~čase $t=0$ a $t=\frac{8Ma^2}{\pi\hbar}$ bude nacházet v~intervalu $(-a,0)$? \ec \subsection{Integrály pohybu, časová derivace operátoru, Ehrenfestovy teorémy} V~klasické mechanice známe zachovávající se veličiny --- integrály pohybu, jejichž hodnota se během časového vývoje systému nemění, přestože jsou funkcemi jiných, časově proměnných veličin jako je například poloha či hybnost \cc e. I v~\qv é \mi ce lze definovat integrály pohybu. Jejich definici však nelze převzít z~klasické \mi ky, neboť zatím všechny operátory odpovídající fyzikálním veličinám jsou nezávislé na čase. Zavedeme proto nejdříve užitečný pojem časové derivace operátoru: Nechť $\hat{A}$ je samosdružený operátor. \emph{Časovou derivací operátoru} $\hat{A}$ nazveme operátor označený $\hat{\frac{\d A}{\dt}}$, definovaný jako \be {\LARGE \fbox{$ \hat{\dfrac{\d A}{\dt}} := \dfrac{i}{\hbar}[\hat H,\hat A] + \dfrac{\pd\hat A}{\pd t} $ }}\ . \ll{casderoper} \ee Poslední člen na pravé straně je nenulový pouze tehdy závisí-li akce operátoru na čase, s~čímž se setkáváme jen zřídka. Důvodem pro tuto definici je, že pro všechna $\psi$, která leží v~nějakém uzavřeném podprostoru hustém v~$\Hil$ platí \be \frac{\d}{\dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi}=\left\langle \hat{\frac{\d A}{\dt}} \right\rangle_\psi. \ll{casderop} \ee Provedeme-li totiž (poněkud formálně) časovou derivaci na levé straně \rf{casderop} dostaneme \begin{equation} \frac{\d}{\dt} \langle\hat{A}\rangle_{\psi} = \left(\psi,\psi\right)^{-1}\left[ \left(\frac{\pd\psi}{\pd t},\hat A\psi\right) + \left(\psi,\frac{\pd\hat A}{\pd t}\psi\right) + \left(\psi,\hat A\frac{\pd\psi}{\pd t}\right)\right]. \end{equation} a ze \sv y \rc e pak plyne vztah \rf{casderop}. \bc Nalezněte operátor rychlosti pro \cc i v poli konzervativních sil. \ec \bc Ukažte jak závisí na čase střední kvadratická odchylka souřadnice jednorozměrného harmonického oscilátoru. \ec \emph{Integrálem pohybu v \qv é \mi ce} nazveme operátor $\hat A$, pro který $\hat {\frac{dA}{dt}}=0$. Pro \textbf{operátory, které nejsou explicitně závislé na čase} to znamená, že \textbf{jsou integrály pohybu, pokud komutují s~$\hat H$.} Speciálním případem vztahů \rf{casderop} a \rf{casderoper} jsou tzv.~Ehrenfestovy teorémy. Zvolíme-li za operátor $\hat A$ operátor souřadnice či hybnosti dostaneme \begin{align} \frac{\d}{\dt} \langle \hat Q_j \rangle_{\psi} &= \left\langle \hat{\frac{P_j}{M}} \right\rangle_\psi, \ll{ehrx} \\ \frac{\d}{\dt} \langle \hat P_j \rangle_{\psi} &= \left\langle {-\hat{\frac {\pd V}{\pd x_j}}} \right\rangle_\psi. \ll{ehrp} \end{align} Tyto vztahy připomínají do jisté míry Hamiltonovy rovnice klasické mechaniky. První z~nich říká, že časová derivace střední hodnoty souřadnice ve stavu $\psi$ je rovna střední hodnotě \uv{operátoru rychlosti} $\hat P_j/M$. Analogie je úplná pokud pravá strana \rf{ehrp} je rovna hodnotě síly v~bodě $\langle \hat Q_j \rangle_{\psi}$, neboli pokud \[ \left\langle {-\hat{\frac {\pd V}{\pd x_j}}} \right\rangle_\psi = -\frac {\pd V}{\pd x_j}(\langle \vec X \rangle_\psi). \] To je splněno pouze pro potenciály, které jsou maximálně kvadratickou funkcí souřadnic. Pro obecnější typy potenciálů je souvislost Ehrenfestových teorémů s~pohybovými rovnicemi klasické mechaniky mnohem složitější (viz \cite[kap.~1.7]{kv:qm} a \cite[kap.~3.5]{for:ukt}) a očekávaná shoda s~klasickou teorií nastává až pro stavy s~dostatečně velkou energií.