Matematika1:Kapitola8: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 195: | Řádka 195: | ||
\begin{figure}[ht] | \begin{figure}[ht] | ||
\centering | \centering | ||
− | \subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{ | + | \subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{sinh}} |
− | \subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{ | + | \subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{cosh}} |
\\ | \\ | ||
− | \subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{ | + | \subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{tgh}} |
− | \subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{ | + | \subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{cotgh}} |
\label{fig:hyperbolicke} | \label{fig:hyperbolicke} | ||
\caption{Grafy hyperbolických funkcí.} | \caption{Grafy hyperbolických funkcí.} |
Verze z 5. 8. 2011, 17:56
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika1 | Fucikrad | 4. 9. 2015 | 11:23 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:43 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 27. 8. 2011 | 08:16 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Úvod, jazyk, značení | Fucikrad | 25. 9. 2023 | 11:48 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Funkce | Admin | 6. 8. 2014 | 10:45 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Limita funkce | Fucikrad | 7. 10. 2021 | 16:41 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Spojitost funkce | Pitrazby | 5. 11. 2016 | 19:18 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Derivace funkce | Dvoraro3 | 6. 1. 2023 | 23:50 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Aplikace derivace | Fucikrad | 24. 10. 2020 | 13:32 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Integrální počet | Fucikrad | 21. 4. 2022 | 06:45 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Transcendentní funkce | Fucikrad | 20. 2. 2021 | 12:29 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Aplikace integrálu | Fucikrad | 11. 1. 2021 | 10:39 | kapitola9.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:matematika1_cosh.pdf | cosh.pdf |
Image:matematika1_sinh.pdf | sinh.pdf |
Image:matematika1_sinxx.pdf | sinxx.pdf |
Image:matematika1_tgh.pdf | tgh.pdf |
Image:matematika1_cotgh.pdf | cotgh.pdf |
Image:matematika1_riemann.pdf | riemann.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1} \section[Transcendentní funkce]{\fbox{Transcendentní funkce}} \subsection{Algebraické a transcendentní funkce} \begin{define}[Algebraické číslo] Algebraické číslo je číslo, které je kořenem polynomu s racionálními koeficienty. \end{define} \begin{define}[Transcendentní číslo] Transcendentní číslo je číslo, které není algebraické. \end{define} \begin{define}[Algebraická funkce] Algebraická funkce splňuje polynomiální rovnici s polynomiálními koeficienty. \end{define} \begin{define}[Transcendentní funkce] Transcendentní funkce je funkce, která není algebraická. \end{define} \subsection{Logaritmická funkce} \begin{define}[Logaritmická funkce]\label{def:logf} Logaritmická funkce je nekonstantní diferencovatelná funkce $f$ definovaná na $\R^+$, která pro všechny $x>0$ a $y>0$ splňuje $$ f(xy) = f(x)+f(y). $$ \end{define} \begin{theorem}[Vlastnosti logaritmické funkce]\label{thm:logf} Buď $f$ logaritmická funkce. Potom \begin{enumerate} \item $f(1)=0$ \item $f\left(\frac1x\right)=-f(x)$ \item $f\left(\frac{x}{y}\right)=f(x)-f(y)$ \item $f^\prime(x)=\frac{1}{x}f^\prime(1)$, kde $f^\prime(1)$ odpovídá bázi logaritmu. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof}~ \begin{enumerate} \item $f(1) = f(1\cdot1) = f(1) + f(1) = 2f(1)$ odkud $f(1)=0$. \item $0 = f(1) = f(x\cdot\frac1x) = f(x) + f(\frac1x)$ odkud $f(x) = -f(\frac1x)$. \item viz 2. \item $f^\prime(x) = \lim\limits_{h\to0}\frac1h\left(f(x+h)-f(x)\right) =\lim\limits_{h\to0}\frac{x}{x}\frac1hf\left(\frac{x+h}{x}\right) \overset{u=\frac{h}{x}}{=} \frac1x\lim\limits_{u\to0}\frac1u(f(1+u)-\underbrace{f(1)}_0) = \frac{1}{x}f^\prime(1) $ \end{enumerate} \end{proof} \subsection{Přirozený logaritmus} \begin{define}[Přirozený logaritmus]\label{def:ln} Funkce \be\label{dln} \ln x = \int\limits_1^x \frac{\ud t}{t}, \ee pro $x>0$ se nazývá \textbf{přirozený logaritmus}. \end{define} \begin{theorem} Funkce $\ln$ je logaritmická funkce. \begin{proof} Předpokládejme bez újmy na obecnosti, že $0<x<y$. \\ Podle definice~\ref{def:logf} musíme ukázat, že $\ln(x\cdot y) = \ln{x}+\ln{y}$: $$ \ln(xy) = \int\limits_1^{xy} \frac{\ud t}{t} = \int\limits_1^x \frac{\ud t}{t} + \int\limits_x^{xy} \frac{\ud t}{t} \overset{u=\frac{t}{x}}{=} \int\limits_1^x \frac{\ud t}{t} + \int\limits_1^{y} \frac{\ud u}{u} = \ln{x}+\ln{y}. $$ \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Vlastnosti $\ln x$] Funkce $\ln x$ definovaná vztahem (\ref{dln}) má následující vlastnosti: \begin{enumerate} \item $(\ln x)^\prime = \frac{1}{x}$ \item $\ln$ je ostře rostoucí na $D_{\ln}$. \item $\ln{x^\alpha} = \alpha \ln{x}$ pro $\alpha\in\R$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{proof}~ \begin{enumerate} \item Derivací integrálu jakožto funkce horní meze v definici \ref{def:ln} dostáváme tvrzení věty, což zároveň odpovídá \uv{přirozené} volbě $f^\prime(1)=1$ ve větě~\ref{thm:logf}(4.). \item Pro všechna $x\in D_{\ln}=\R^+$ je $\frac1x>0$ a tudíž podle věty~\ref{thm:monotonie} ostře roste. \item Pro $\alpha=0$ tvrzení zjevně platí. Pro $\alpha\neq0$ máme $$ \ln x^\alpha = \int\limits_1^{x^\alpha}\frac{\ud t}{t} \overset{t=u^\alpha}{=} \int\limits_1^x \frac{u^{\alpha-1}}{u^\alpha}\ud u = \alpha\ln{x}. $$ \end{enumerate} \end{proof} \begin{define}[Eulerovo číslo] Eulerovo číslo $\e$ je jediné číslo, které splňuje $\ln{\e}=1$. \end{define} \subsection{Exponenciální funkce} \begin{define}[Exponenciální funkce] Inverzní funkci k funkci $\ln$ nazýváme exponenciální funkcí při základu $\e$ a značíme $\e^x$ nebo $\exp(x)$. \end{define} \begin{theorem}[Vlastnosti exponenciální funkce]\oprava \begin{enumerate} \item $(\e^x)^\prime = \e^x$ pro $x\in\R$. \item $\e^{x+y} = \e^x\e^y$ pro $x,y\in\R$. \item $\e^{-x} = \frac{1}{\e^x}$ pro $x\in\R$. \end{enumerate} \begin{proof}~ \begin{enumerate} \item Podle věty~\ref{thm:dinverze} o derivaci inverzní funkce platí $$ (\e^x)^\prime = \frac{1}{\left(\frac{1}{\e^x}\right)} = \e^x. $$ \item $\ln\e^{x+y} = (x+y)\ln\e = x+y = x\ln\e + y\ln\e = \ln\e^{x}\e^{y}$. \item viz 2. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Obecná mocnina} \begin{define}[Obecná mocnina]\label{def:obecna_mocnina} Pro $\beta>0$ a $\alpha\in\R$ definujeme \textbf{obecnou mocninu} jako $$ \beta^\alpha = e^{\alpha \ln \beta}, $$ kde $\beta$ je báze (základ) a $\alpha$ exponent (mocnina). \end{define} \begin{theorem}[Vlastnosti obecné mocniny] Nechť $x>0$ a $a,b\in\R$. Pak \begin{enumerate} \item $x^{a+b} = x^ax^b$. \item $x^{-a} = \frac{1}{x^a}$. \item $(x^{a})^\prime = ax^{a-1}$. \item $(a^x)^\prime = (\ln{a})\cdot a^x$. \end{enumerate} \begin{proof} Všechny body věty plynou z definice~\ref{def:obecna_mocnina} a vlastností logaritmu. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Obecná báze logaritmu} \begin{define}[Obecná báze logaritmu]\label{def:obecny_logaritmus} Pro $p>0$, $p\neq 1$ definujeme \textbf{logaritmus při základu p} jako $$ \log_p x = \frac{\ln x}{\ln p}, $$ kde $p$ je báze (základ). Pro $p=10$ definujeme dekadický logaritmus a značíme zkráceně symbolem $\log$. \end{define} \begin{theorem}[Vlastnosti logaritmu]\oprava \begin{enumerate} \item $\log_p{x}$ je inverzní funkce k $p^x$. \item $(\log_p{x})^\prime = \frac{1}{\ln{p}}\frac{1}{x}$. \item $\log_p{x}$ je logaritmická funkce. \end{enumerate} \begin{proof}~ \begin{enumerate} \item Podle definice~\ref{def:obecny_logaritmus} je funkce $\log_p$ stejně jako $\ln$ prostá na $\R^+$. Stačí ověřit obě vlastnosti inverzní funkce $f\circ f^{-1} = \id$ a $f^{-1}\circ f = \id$ (viz věta~\ref{thm:inverze_id}): $$ \log_p{p^x} = \frac{\ln{p^x}}{\ln{p}} = \frac{x\ln{p}}{\ln{p}} = x,$$ $$ p^{\log_p{x}} = \e^{\log_p(x)\cdot\ln{p}} = \e^{\frac{\ln{x}}{\ln{p}}\ln{p}} = \e^{\ln{x}}=x$$ \item Tvrzení plyne přímou derivací definice~\ref{def:obecny_logaritmus} podle $x$. \item Ověření vlastnosti logaritmické funkce (viz definice~\ref{def:logf}): $$ \log_p(x\cdot y) = \frac{\ln(x\cdot y)}{\ln{p}} = \frac{\ln{x}+\ln{y}}{\ln{p}} = \frac{\ln{x}}{\ln{p}} + \frac{\ln{y}}{\ln{p}} = \log_p{x} + \log_p{y} $$ \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Hyperbolické funkce} \begin{define}[Hyperbolické funkce]\label{def:hyperbolicke}\oprava \begin{align*} \sinh x &= \frac{e^x-e^{-x}}{2}, \\ \cosh x &= \frac{e^x+e^{-x}}{2}, \\ \tgh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}, \\ \ctgh x &= \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} \end{align*} \end{define} \begin{figure}[ht] \centering \subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{sinh}} \subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{cosh}} \\ \subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{tgh}} \subfigure{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{cotgh}} \label{fig:hyperbolicke} \caption{Grafy hyperbolických funkcí.} \end{figure} \begin{theorem}[Vlastnosti hyperbolických funkcí $\sinh$ a $\cosh$]\oprava \begin{enumerate} \item $\cosh{x} > \frac12\e^x > \sinh{x}$ \item $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$. \item $\sinh(x+y) = \sinh{x}\cosh{y} + \sinh{y}\cosh{x}$ \item $\cosh(x+y) = \cosh{x}\cosh{y} + \sinh{x}\sinh{y}$ \end{enumerate} \begin{proof} Tvrzení se dokáží dosazením vzorců z definice~\ref{def:hyperbolicke}. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Derivace hyperbolických funkcí]\oprava \begin{align} (\sinh x)^\prime &= \cosh x, \\ (\cosh x)^\prime &= \sinh x, \\ (\tgh x)^\prime &= \frac{1}{\cosh^2 x}, \\ (\ctgh x)^\prime &= -\frac{1}{\sinh^2 x} \end{align} \end{theorem} \subsection{Inverzní hyperbolické funkce} \begin{define}[Inverzní hyperbolické funkce]\oprava \begin{align*} &\argsinh x = \sinh^{-1} x \quad &&\hbox{argument hyperbolického sinu}, \\ &\argcosh x = \cosh^{-1} x \quad &&\hbox{argument hyperbolického cosinu}, \\ &\argtgh x = \tgh^{-1} x, \quad &&\hbox{argument hyperbolické tangenty}, \\ &\argctgh x = \ctgh^{-1} x, \quad &&\hbox{argument hyperbolické kotangenty}. \end{align*} \end{define} \begin{theorem}[Explicitní vyjádření inverzních hyperbolických funkcí]\label{thm:invhyperb}\oprava \begin{align} &\argsinh x = \ln (x+\sqrt{x^2+1}), &&\hbox{pro~~} x \in\R \\ &\argcosh x = \ln (x+\sqrt{x^2-1}), &&\hbox{pro~~} x \geq 1 \\ &\argtgh x = \frac12 \ln\frac{1+x}{1-x}, &&\hbox{pro~~} x \in (-1, 1) \\ &\argctgh x = \frac12 \ln\frac{x+1}{x-1} &&\hbox{pro~~} x \in (-\infty, -1)\cup(1, +\infty). \end{align} \begin{proof} Pro jednotlivé funkce je potřeba odvodit inverzní funkci pomocí techniky explicitního vyjádření $x=f^{-1}(y)$ ze vztahu $y = f(x)$. \begin{enumerate} \item $y = \sinh{x} = \frac12(\e^x - \e^{-x})$, kde vynásobením rovnice $\e^x$ dostáváme kvadratickou rovnici pro neznámou \uv{$\e^x$}: $$ (\e^{x})^2-2y\e^x -1=0, $$ kterou řeší $$ \e^x = y\pm\sqrt{y^2+1}. $$ Z těchto řešení vyhovuje pouze $\e^x = y+\sqrt{y^2+1}$, protože $H_{\e^x}=\R^+$. Odtud již plyne tvrzení věty. \item Funkce $\cosh$ není na $\R$ prostá a proto nejprve zúžíme definiční obor např. na $\R_0^+$ tak, abychom dostali prostou funkci. $y=\cosh{x}=\frac12(\e^x + \e^{-x}$, kde vynásobením rovnice $\e^x$ dostáváme kvadratickou rovnici pro neznámou \uv{$\e^x$}: $$ (\e^{x})^2+2y\e^x -1=0, $$ kterou řeší $$ \e^x = y\pm\sqrt{y^2+1}. $$ Z těchto řešení vyhovuje pouze $\e^x = y+\sqrt{y^2+1}$, protože pro daný definiční obor funkce $\cosh$ ($x\geq0$) je funkce $\e^x\geq1$. Odtud již plyne tvrzení věty. \item $y=\tgh{x}=\frac{\e^x-\e^{-x}}{\e^x+\e^{-x}}$, kde vynásobením rovnice $\e^x(\e^x+\e^{-x})$ dostáváme kvadratickou rovnici pro neznámou \uv{$\e^x$}: $$ (y-1)(\e^{x})^2 + y + 1=0, $$ kterou řeší $$ \e^x = \pm\sqrt{\frac{1+y}{1-y}}. $$ Z těchto řešení vyhovuje pouze to kladné, neb $H_{\e^x}=\R^+$. Odtud již plyne tvrzení věty. \item Inverzní funkce k $\ctgh$ -- viz 3. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[Derivace inverzních hyperbolických funkcí]\oprava \begin{align} (\argsinh x)^\prime &= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \\ (\argcosh x)^\prime &= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \\ (\argtgh x)^\prime &= (\argctgh x)^\prime = \frac{1}{1-x^2} \quad \hbox{\textit{(pozor na různé definiční obory!)}}. \end{align} \end{theorem} \begin{proof} Větu snadno dokážeme derivací explicitního vyjádření inverzních funkcí ve větě~\ref{thm:invhyperb}. \end{proof} \subsection{Pokročilé techniky integrace goniometrických funkcí} \begin{remark} Dle lemma~\ref{lemma:sincos} lze snížit druhou mocninu funkcí $\sin$ a $\cos$: \begin{align*} \cos^2(x) &= \frac{1+cos(2x)}{2}, \\ \sin^2(x) &= \frac{1-cos(2x)}{2}, \end{align*} čehož je možné využít při integraci výrazů tvaru $\int\sin^m{x}\cos^n{x}\ud x$, kde $m,n\in\N_0$: \begin{enumerate} \item Jsou-li $m$ i $n$ sudé: \\ Použijeme lemma~\ref{lemma:sincos} na $\int(\sin^2{x})^{\frac{m}2}(\cos^2{x})^{\frac{n}2}\ud x$ \item Jsou-li ($m$ sudé a $n$ liché) nebo ($m$ liché a $n$ sudé):\\ Substituujeme funkci se sudou mocninou (z funkce s lichou mocninou dostaneme diferenciál), např. pro $m$-sudé, $n$-liché: $$ \int\sin^m{x}(\cos^2{x})^{\frac{n-1}2}\cos{x}\ud x = \Big|u=\sin{x} \Big| = \int u^m (1-u^2)^{\frac{n-1}{2}}\ud u $$ \item Jsou-li $m$ i $n$ liché:\\ Převedeme integrand pomocí součtových vzorců $\sin{x}\cos{x}=2\sin(2x)$ a lemma~\ref{lemma:sincos} na výraz předchozích typů, např. pro $m<n$: $$ \int\sin^m{x}\cos^n{x}\ud x = \int(\sin{x}\cos{x})^m(\cos^2{x})^{\frac{n-m}{2}}\ud x = \int(2\sin(2x))^m\left(\frac{1+\cos(2x)}{2}\right)^{\frac{n-m}{2}}\ud x, $$ kde poznamenejme, že $m-n$ je sudé číslo. \end{enumerate} \end{remark} \begin{lemma}[Vzorce pro součin goniometrických funkcí]\label{lemma:soucinsincos}\oprava \begin{align*} &\cos(mx)\cos(nx) = \frac12\Big( \cos[(n+m)x] + \cos[(n-m)x] \Big) \\ &\sin(mx)\sin(nx) = \frac12\Big( \cos[(n-m)x] - \cos[(n+m)x] \Big) \\ &\sin(mx)\cos(nx) = \frac12\Big( \sin[(m-n)x] + \sin[(n+m)x] \Big) \end{align*} \begin{proof} Větu dokážeme pomocí součtových vzorců pro funkce $\cos$ a $\sin$. \end{proof} \end{lemma} \begin{remark} Pomocí lemma~\ref{lemma:soucinsincos} se integrály typu $\int\cos(\alpha x)\sin(\beta x)~\ud x$, $\int\cos(\alpha x)\cos(\beta x)~\ud x$ a $\int\sin(\alpha x)\sin(\beta x)~\ud x$, pro $\alpha, \beta \in \R$ převedou na známé integrály. \end{remark} \subsection{Shrnutí integračních vzorců} \begin{remark}~\vskip 1em \begin{tabular}{|l|l|l|} \hline Typ integrálu & Výsledný typ funkce & Substituce \\ \hline $\displaystyle\int\frac{\ud x}{\sqrt{a^2-(x+b)^2}}$ & $\arcsin$ nebo $-\arccos$ & $x+b = a\sin{u}$ nebo $x+b=a\cos{u}$ \\ $\displaystyle\int\frac{\ud x}{a^2+(x+b)^2}$ & $\arctg$ nebo $-\arcctg$ & $x+b = a\tg{u}$ nebo $x+b= a\cotg{u}$ \\ $\displaystyle\int\frac{\ud x}{\sqrt{(x+b)^2+a^2}}$ & $\argsinh$ & $x+b = a\sinh{u}$ \\ $\displaystyle\int\frac{\ud x}{\sqrt{(x+b)^2-a^2}}$ & $\argcosh$ & $x+b = a\cosh{u}$ \\ $\displaystyle\int\frac{\ud x}{(x+b)^2-a^2}$ & $\argtgh$ nebo $\argctgh$ & $x+b = a\tgh{u}$ nebo $x+b = a\ctgh{u}$\\ \hline \end{tabular} \end{remark}