02TSFA:Kapitola10: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(kopa oprav, upřesnění, zjednodušení) |
m |
||
Řádka 126: | Řádka 126: | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
− | \includegraphics{ | + | \includegraphics{transw.pdf} |
\end{center} | \end{center} | ||
Řádka 183: | Řádka 183: | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
− | \includegraphics{ | + | \includegraphics{syst.pdf} |
\end{center} | \end{center} | ||
Verze z 7. 9. 2010, 14:22
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TSFA
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TSFA | Admin | 1. 8. 2010 | 10:52 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 27. 1. 2011 | 20:47 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Matematický aparát | Kunzmart | 25. 8. 2021 | 11:16 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Statistický popis složitých soustav | Krasejak | 27. 6. 2014 | 12:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Statistický soubor a rozdělovací funkce | Krasejak | 27. 6. 2014 | 13:15 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Nejpravděpodobnější rozdělení | Krasejak | 29. 3. 2014 | 02:23 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Partiční funkce systému a jeho podsystémů | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:02 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Mikrokanonický soubor | Kunzmart | 26. 8. 2021 | 09:10 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Kanonický soubor | Maresj23 | 5. 1. 2014 | 11:23 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Grandkanonický soubor | Godalale | 7. 6. 2023 | 21:04 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Ekvivalence statistických souborů | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 00:40 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Principy termodynamiky | Krasejak | 29. 3. 2014 | 02:29 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Termodynamické potenciály | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 03:41 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Závislost termodynamických potenciálů na látkovém množství | Krasejak | 29. 3. 2014 | 02:33 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Vztahy mezi derivacemi termodynamických veličin | Batysfra | 30. 8. 2011 | 14:22 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Další termodynamické veličiny | Tomas | 7. 9. 2010 | 14:53 | kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Kvantověmechanický harmonický oscilátor | Kubuondr | 29. 5. 2017 | 13:21 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Měření Poissonovy konstanty | Admin | 1. 8. 2010 | 10:47 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Termodynamika směsí různých látek | Tomas | 7. 9. 2010 | 12:38 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vratné a nevratné procesy | Kubuondr | 26. 5. 2017 | 12:32 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Ustálení dynamické rovnováhy | Tomas | 7. 9. 2010 | 12:40 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Důsledky podmínek rovnováhy | Kubuondr | 15. 4. 2017 | 08:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Rovnováha systému o více fázích | Tomas | 7. 9. 2010 | 14:23 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Klasifikace fázových přechodů | Chladjar | 14. 9. 2020 | 14:32 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Joule-Thompsonův pokus | Tomas | 7. 9. 2010 | 18:43 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Termodynamické nerovnosti | Karel.brinda | 6. 2. 2011 | 20:44 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Narušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip) | Tomas | 7. 9. 2010 | 12:46 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Statistická rozdělení soustavy volných částic | Chladjar | 15. 9. 2020 | 10:40 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Odvození termodynamiky IP statistickými metodami | Admin | 25. 4. 2024 | 11:36 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa | Groveond | 1. 7. 2014 | 20:35 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Modely krystalů | Chladjar | 17. 9. 2020 | 17:19 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Jiný statistický přístup — kinetická teorie | Tomas | 14. 2. 2011 | 23:22 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Otázky ke zkoušce z TSF | Admin | 1. 8. 2010 | 10:51 | kapitola31.tex | |
Kapitola32 | editovat | Reference | Tomas | 7. 9. 2010 | 12:54 | reference.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fcel1.pdf | fcel1.pdf |
Image:2krabab.pdf | 2krabab.pdf |
Image:Transw.pdf | transw.pdf |
Image:Syst.pdf | syst.pdf |
Image:3pt.pdf | 3pt.pdf |
Image:Cholesctv.pdf | Cholesctv.pdf |
Image:Oscpot.pdf | Oscpot.pdf |
Image:Spins.pdf | spins.pdf |
Image:Spins2.pdf | spins2.pdf |
Image:Spins3.pdf | spins3.pdf |
Image:Spins4.pdf | spins4.pdf |
Image:Ptdiag.pdf | ptdiag.pdf |
Image:Joulthom.pdf | joulthom.pdf |
Image:Trirozd.pdf | trirozd.pdf |
Image:FD_e_mu.jpg | FD_e_mu.jpg |
Image:Krystal.pdf | krystal.pdf |
Image:Krystal2.pdf | krystal2.pdf |
Image:Procesyr.pdf | procesyr.pdf |
Image:Hgraf.pdf | hgraf.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA} \section{Principy termodynamiky} \index{princip, termodynamiky, nultý}\subsection{0. princip termodynamiky} \emph{Systém v termodynamické rovnováze má všude stejnou teplotu}. \bigskip Mějme dva systémy A a B uspořádané následovně: \begin{center} \includegraphics{2krabab.pdf} \end{center} Systémy jsou na sobě zcela nezávislé a můžeme je tedy popsat takto: \noindent A) $$w_{A,\gamma} = \frac{1}{Z_A}\exp(-\beta _A H_{A\gamma}) \qquad Z_{A} = \suma{\gamma}{}\exp\left(-\beta_A H_{A\gamma}\right)$$ B) $$w_{B,\delta} = \frac{1}{Z_B}\exp(-\beta _B H_{B\delta}) \qquad Z_{B} = \suma{\delta}{}\exp\left(-\beta_B H_{B\delta}\right)$$ Indexy mikrostavů byly v sumách pro A a B zvoleny jako $\gamma$ a $\delta$, protože systém A má obecně jiné stavy než systém B. Mikrostavy složeného systému jsou určeny dvojicí $(\gamma, \delta)$. Díky nezávislosti podsystémů můžeme celkové nejpravděpodobnější rozdělení popsat jako $$w_{\gamma\delta} = w_{A,\gamma} \: . \: w_{B,\delta}$$ a jejich střední energie spočítat jako $$U_A = \suma{\gamma}{}w_{A,\gamma} E_{A,\gamma} = -\pderivx{}{\beta _A} (\ln Z_A)$$ $$U_B = \suma{\delta}{}w_{B,\delta} E_{B,\delta} = -\pderivx{}{\beta _B} (\ln Z_B)$$ Vneseme nyní mezi systémy slabou vazbu, která umožní nastolení rovnováhy. Výsledný systém je popsán hamiltoniánem $$H = H_A + H_B + V \doteq H_A + H_B $$ kde $V$ je energie vazby. Ta je natolik slabá, že $V$ můžeme zanedbat. Potom lze říci, že nejpravděpodobnější rozdělení celého systému v rovnováze je $$w_{\gamma\delta} = \frac{1}{Z}\exp(-\beta H) = \frac{1}{Z}\exp(-\beta (H_{A,\gamma} + H_{B,\delta}))$$ $$Z = \suma{\gamma,\delta}{}\exp(-\beta H_{A,\gamma} - \beta H_{B,\delta})$$ Zde už se vyskytuje pouze společný Lagrangeův multiplikátor $\beta$. Dále $$U = - \pderivx{}{\beta} (\ln Z)$$ a protože systémy jsou kromě zanedbatelné vazby nezávislé, také $$Z = Z_A \: . \: Z_B$$ potom ovšem $$U = - \pderivx{}{\beta} (\ln Z) = - \pderivx{}{\beta} (\ln Z_A . Z_B) = $$ $$ = - \pderivx{}{\beta} \ln Z_A - \pderivx{}{\beta} \ln Z_B = \tilde U_A + \tilde U_B$$ Po zavedení vazby tedy došlo k jisté redistribuci energie tak, že celkové množství vnitřní energie se nezměnilo, ale energie jednotlivých subsystémů ano a z monotonie funkcí $U_A(\beta)$ a $U_B(\beta)$ platí, že $$\beta _A \le \beta \le \beta _B \text{~~resp.~~} \beta _B \le \beta \le \beta _A$$ podle toho jestli bylo původně větší $\beta_A$ nebo $\beta_B$. Z toho vyplývají následující poznatky: \begin{enumerate} \item $\beta$ je možné nějak spojovat s teplotou \item Výměna energie může probíhat pouze tak, aby platilo, že $\beta _A < \beta < \beta _B$ a podobně pro teploty. \item Redistribuce energie v systému nezávisí na absolutních hodnotách energií v subsystémech, nýbrž pouze na multiplikátorech $\beta$. \end{enumerate} \begin{remark} Jsou dva limitní případy: \begin{itemize} \item \emph{Teploměr}: měření teploty provádíme pomocí teploměru, který by měl mít nejlépe nulovou tepelnou kapacitu, aby z měřeného systému neodebíral energii (nesnižoval jeho teplotu) a tak jej neovlivňoval. Potom ovšem $\beta \rightarrow \beta _A$. \item \emph{Rezervoár}: odebíráme-li z rezervoáru (lázně, termostatu) energii, neměla by se změnit jeho teplota. Jeho kapacita by tedy měla být co největší (pokud možno nekonečná). Potom $\beta \rightarrow \beta _B$. \end{itemize} \end{remark} \index{princip, termodynamiky, první} \subsection{I. princip termodynamiky} \emph{Energie se zachovává, práce ani teplo nevznikají z ničeho a ani nezanikají.} \bigskip Matematická formulace 1. PT je $$\eth Q = dU + \eth W$$ kde $Q$ je teplo, $U$ vnitřní energie a $W$ práce. Znaménko je voleno tak, že dodané teplo odpovídá $\eth Q>0$ a vykonaná práce je $\eth W >0$. Znaků $\eth$ je ve výrazu použito proto, že $Q$ ani $W$ nejsou úplnými diferenciály --- $\eth Q, \eth W$ jsou pouze přírůstky. Jinak řečeno jejich hodnota závisí na způsobu (dráze), kterým se systém dostal z počátečního do konečného stavu. Úplné diferenciály, jako $dU$ na cestě nezávisí. Proberme si nejprve speciální případy. \bigskip \begin{itemize} \item \emph{Teplo}: předpokládejme, že sledovaný systém nekoná žádnou práci a pouze vyměňuje teplo s okolím. Proces předání tepla způsobí změnu rozdělení. Stavy systému (uzavřeného!) sice zůstanou stejné, ale změní se jejich relativní četnosti. Přidáme-li teplo, stanou se pravděpodobnějšími ty s vyšší energií, odebereme-li teplo, stanou se pravděpodobnějšími ty s nižší energií. Platí: $$ \Delta Q = U_2 - U_1 = \suma{\gamma}{} w_\gamma( \beta _2 ) H_\gamma - \suma{\gamma}{} w_\gamma( \beta _1 ) H_\gamma$$ Zde $U_1$ a $\beta _1$ jsou veličiny popisující systém před předáním tepla, kdežto veličiny $U_2, \beta _2$ popisují systém po předání. \begin{center} \includegraphics{transw.pdf} \end{center} Rozdělení před i po změně ovšem musí být stále normováno, tedy $$\suma{\gamma}{}w_{\gamma}(\beta _2) = \suma{\gamma}{}w_{\gamma}(\beta_1) = 1$$ tedy $$\suma{\gamma}{}w_\gamma(\beta _2) - w_\gamma(\beta _1) = 0$$ $$\Delta Q = \suma{\gamma}{}w_\gamma(\beta _2) H_\gamma - \suma{\gamma}{}w_\gamma(\beta _1) H_\gamma = \suma{\gamma}{} (w_\gamma(\beta _2) - w_\gamma(\beta _1) ) H_\gamma$$ a v infinitezimální změně pak $w_\gamma( \beta _2 ) - w_\gamma(\beta _1) = dw$ a $$dQ = \suma{\gamma}{} dw_\gamma H_\gamma = dU, \qquad \suma{\gamma}{}dw_\gamma = 0$$ \item \emph{Práce}: předpokládejme, že systém si s okolím nevyměňuje teplo ($\eth Q = 0$). Přírůstek práce vykonané systémem je definován jako $$d W = \suma{\alpha}{}X_\alpha d \xi _\alpha$$ kde $X_\alpha$ je zobecněná síla a $\xi _\alpha$ zobecněná souřadnice. Práce je při adiabatickém ději úplným diferenciálem. Tyto veličiny mohou být různé, jako příklady uveďme dvojice (síla, dráha), (tlak, objem) či (vnější mg. pole, magnetizace). Máme-li hamiltonián závislý na zobecněných souřadnicích leč explicitně nezávislý na čase, a použijeme-li Taylorův rozvoj, získáme vztahy \\ \bigskip $H( \xi _\alpha( t + dt) ) = H(\xi _\alpha(t)) + \suma{\alpha}{} \pderivx{H}{\xi _\alpha} \frac{d \xi _\alpha}{dt}dt \+ \quad $členy vyšších řádů$ \quad \doteq \dots$\\ \bigskip Vyšší řády jsou malé, neboť časové změny jsou malé. Nepočítáme žádné výbuchy! Můžeme je tedy s klidným srdcem, čistým svědomím a úsměvem na tváři zanedbat. $$ \dots \doteq H(\xi _\alpha (t) ) + \suma{\alpha}{} \pderivx{H}{\xi _\alpha} d \xi _\alpha = $$ $$ = H(\xi _\alpha (t) ) + \suma{\alpha}{}(-X_\alpha) d \xi _\alpha = H + dH$$ kde $X _\alpha = -\pderivx{H}{\xi _\alpha}$. Zderivujeme-li $$ \derivx{U}{t} = \derivx{}{t} \left<H\right> = \left< -\suma{\alpha}{} X _\alpha \frac{d\xi _\alpha}{dt} \right> = -\suma{\alpha}{} \left<X _\alpha\right> \frac{d\xi _\alpha}{dt} = -\derivx{W}{t}$$ \bigskip Tedy máme-li třeba dvojici (tlak, objem), bude $\eth W = \left<p\right> dV$. \item \emph{Teplo + Práce}: Vezměme náš systém a) a obklopme ho dvěma dalšími. Jeden bude sloužit jako klasická tepelná lázeň, druhý jako \uv{rezervoár} práce (píst). \begin{center} \includegraphics{syst.pdf} \end{center} Pokud funkce $F$ není explicitně závislá na čase a $H$ je hamiltonián tohoto systému, tak platí $$ \frac{dF}{dt} = \{F,H \} $$ Jsou-li dány dva systémy, X a Y s energií $H_X,\,H_Y$, potom \index{závorky, Poissonovy} Poissonovy závorky $\{H_X,H_Y\}$ udávají rychlost, se kterou teče energie ze systému X do Y. %%% Tyto vlastnosti není třeba odvozovat! Maximálně lze ukázat, jaký mají vlastnosti P.z. v tomto případě přímý význam. - V.P. %Z toho plyne, že musí být antisymetrické $\{H_X,H_Y\} =-\{H_Y,H_X\} $ a tok z X do X %je nulový $\{H_X,H_X\} = \{H_Y,H_Y\} = 0$. Navíc po přidání systému Z, můžeme X a Y považovat za jediný systém %a $\{H_X + H_Y,H_Z\} = \{H_X ,H_Z\}+ \{H_Y,H_Z\} $, takže jsou aditivní. Systémy a) a c) jsou propojeny slabou vazbou $V_{ac}$ umožňující termalizaci (nastolení rovnováhy). Systém b) má se systémem a) společnou nějakou pracovní proměnnou. Dodejme, že b) a c) na sebe \uv{nevidí} --- nemají nic společného, a tedy $$ \{ H_a, H_a \}= \{ H_b, H_b \} = \{ H_c, H_c \} = \{H_b, H_c\} = 0$$ Celkový hamiltonián definujeme jako $$ H = H_a + H_b + H_c + V_{ac}$$ Dále platí, že teplo přijaté systémem a) je $$ \eth Q_a = - d U_c = -dt \left<\{H_c, H \}\right> = -dt \left<\{H_c, H_a \}\right> -dt \left<\{H_c, V_{ac} \}\right> $$ a práce jím vykonaná $$ \eth W_a = d U_b = dt \left<\{H_b, H \}\right> = dt \left<\{H_b, H_a \}\right> $$ \bigskip Tj. práce a teplo se berou na úkor energií rezervoárů. Navíc, protože vazba mezi systémy a) a c) má jen zanedbatelnou energii, můžeme uvažovat, že do ní vtéká stejné množství energie jako z ní vytéká $$ \{H_c, V_{ac}\} =\{ V_{ac},H_a\} $$ Celkem dostaneme $$\eth Q_a - \eth W_a = -dt \left<\{H_c, H_a \}\right> -dt \left<\{H_c, V_{ac} \}\right> -dt \left<\{H_b, H_a \}\right> =$$ $$= -dt \left<\{H_c+H_b+V_{ac} , H_a \}\right> = dt \left<\{H_a, H \}\right> = d U_a$$ Poslední rovnost je tedy $I.PT$: $$dU = \eth Q - \eth W$$ % Systémy a) a c) jsou propojeny slabou vazbou umožňující termalizaci % (nastolení rovnováhy) a se systémem b) má a) společnou nějakou pracovní % proměnnou. Dodejme, že b) a c) na sebe \uv{nevidí} --- nic společného nemají % a tedy % % $$ \{ H_a, H_a \}= \{ H_b, H_b \} = \{ H_c, H_c \} = \{H_b, H_c\} = 0$$ % % Platí, že % % $$ H = H_a + H_b + H_c + V_{ac}$$ % $$ \eth Q = - d U_b = -dt \left<\{H, H_b \}\right> = -dt \left<\{V_{ac}, H_b \}\right> $$ % $$ \eth W = -d U_c = -dt \left<\{H, H_c \}\right> = -dt \left<\{H_a, H_c \}\right> $$ % \bigskip % % Tj. práce a teplo se berou na úkor energií rezervoárů a potom % % $$ d U_a = -d U_b - d U_c = \eth Q + \eth W $$ % \bigskip % % Celek je časově nezávislý, časová změna hamiltoniánu z c)-a) je % kompenzována stejně velkou, avšak opačnou změnou v b)-a). Potom % % $$ d U_a = \eth Q + \eth W = dt \left< \{ H_a, H_b + V_{ac} \} \right> $$ % $$ d U_a = \suma{\gamma}{} dw_ \gamma H_a (\gamma) % + \suma{\gamma}{} w_\gamma d H_a (\gamma)$$ % % přičemž $ d H_a $ závisí výhradně na makroskopických veličinách. Jak jsme si % objasnili v předchozích dvou kapitolkách, má výraz $\suma{\gamma}{} dw_ \gamma H_a (\gamma)$ % význam tepla (při dodání tepla se mění rozdělení a pravděpodobnější budou stavy s vyšší energií) a výraz $\suma{\gamma}{} w_\gamma d H_a (\gamma)$ má význam práce (měníme % Hamiltonián soustavy). Poslední rovnost je tedy $I.PT$: % % $$dU = \eth Q - \eth W$$ % % Mínus je zde kvůli znaménkové konvenci. \end{itemize} \index{princip, termodynamiky, druhý} \subsection{II. princip termodynamiky} \emph{Nelze cyklickým procesem přenášet teplo ze studeného tělesa na teplé, bez toho aby se jisté množství dodané práce nepřeměnilo na teplo. } \label{2pt} \bigskip V následujících kapitolách až do kapitoly \ref{chap:vrat} budeme uvažovat pouze kvazistatické děje \index{děj, kvazistatický}, což jsou nekonečně pomalé děje takové že je celý systém po celý čas v rovnováze. Jedné se o limitní případ reálných dějů. V klasické fenomenologické termodynamice pro je entropie definována jako $$ dS = \frac{\eth Q}{T} \qquad S_2 - S_1 = \suma{j}{}\integral{}{} \frac{d Q_j}{T_j}$$ kde $j$ je index rezervoáru. Jedná se o matematickou formulaci 2.PT pro kvazistatické děje. Inverzní hodnota teploty přestavuje integrující faktor diferenciální formy $\eth Q$, proto je $dS$ úplným diferenciálem. Ovšem statistická entropie kanonického je definována výrazem $$dS_{stat} = -k_B d\left(\sum_\gamma w_\gamma\ln w_\gamma\right) = -k_B \sum_\gamma dw_\gamma \ln w_\gamma -k_B \sum \frac{w_\gamma}{w_\gamma}dw_\gamma $$ z normovací podmínky $\sum w_\gamma = 1$ plyne, že $\sum dw_\gamma = 0$, proto $$dS_{stat} = -k_B \sum_\gamma dw_\gamma \ln w_\gamma = -k_B \sum_\gamma dw_\gamma (-\ln Z -\beta H_\gamma) = k_B \sum_\gamma dw_\gamma \beta H_\gamma$$ Zde $\suma{\gamma}{} d( w_\gamma )H_\gamma$ má význam energie a v minulé kapitole jsme si jej ztotožnili s~teplem $\eth Q$. Pokud budeme požadovat rovnost diferenciálů statistické a fenomenologické entropie, dostáváme $$dS_{stat} = k_B\beta \eth Q = \frac{\eth Q}{T} = dS$$ a platí tedy $$\beta = \frac1 {k_B T}$$ % \begin{remark} Protože hovoříme o diferenciálech, mohou se $S$ a $S_{\rm stat}$ lišit o konstantu. \end{remark} \begin{remark} Mějme dva druhy atomů v jedné krabici, na počátku oddělené přepážkou. Přepážku odstraňme a smíchejme je. Rozdělení mikrostavů jsou stejné, každá z částic může být vlevo či vpravo $\Rightarrow$ binomické rozdělení (viz cvičení), tak kde je ten nárůst entropie? Omezíme-li se na malý počet parametrů, vědomosti o tom, kde je která částice (vlevo / vpravo) nám zůstanou skryty. Na počátku jsme ale věděli, že atomy prvního plynu byly vlevo a atomy druhého vpravo. Smícháním tedy naše nevědomost vzrostla --- zvýšila se entropie. \end{remark} \index{princip, termodynamiky, třetí} \subsection{III. princip termodynamiky} \emph{Při $T \rightarrow 0$ mají všechny chemicky čisté látky stejnou entropii (konstantní) a tu lze položit rovnu nule.} \bigskip Zkontrolujme, zda $S = - k_B \suma{\gamma}{} w_\gamma \ln w_\gamma \rightarrow 0$ . \bigskip Pro $T \rightarrow 0$ jde $\beta \rightarrow +\infty$. To znamená, že členy $$\exp( - \beta E_\gamma) = \frac{1}{\exp(\beta E_\gamma)}$$ se rychle zmenšují a postupně jdou k nule. Suma $\suma{\gamma}{}$ tedy zahrnuje s klesajícím $T$ stále více členů, které jsou prakticky nulové. Nejdéle \uv{vydrží} ty členy, které mají hodně malé $E_\gamma$, jež dokáže na čas vyrušit účinky prakticky nekonečného $\beta$. Ale i ty nakonec podlehnou a pro $\beta \approx \infty$ zůstane vlastně jen jeden člen: $E_\gamma = 0$. Tj. v~limitě přežije jen jeden stav a to ten s nulovou energií. Vzniká diskrétní rozdělení (viz. obrázek, $T_3 < T_2 < T_1$). \begin{center} \includegraphics{3pt.pdf} \end{center} Ovšem $S = - k_B \suma{\gamma = \gamma_0}{} w_\gamma \ln w_\gamma = -k_B \:.\: 1 \:.\: \ln 1 = 0$ a $\lim_{x\rightarrow 0} x \ln x = 0$, entropie je tedy opravdu nulová. V podstatě jde o to, že při nízkých teplotách systém sestupuje do stavů s nižší energií a při absolutní nule si sedne do základního stavu. Ten sice nemusí mít nulovou energii (např. elektronový obal atomu má energii zápornou a přechodem k základnímu stavu se tedy od nulové energie ještě vzdaluje), ale důležité je, že tento stav je pouze \emph{jeden}. Je-li tedy systém v základním stavu, je pevně určen (nulová neurčitost) a statistická entropie musí být nulová. Podotkněme, že tento předpoklad může porušen u kvantových systémů, kde nejnižší energii může stále ještě odpovídat více mikrostavů, které se liší jen vnitřními stupni volnosti (například spinem).