02TSFsbirka:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFsbirka} \chapter{Fluktuace} \bc Dokažte, ze v kanonickém souboru platí vztah $$ \left(\Delta U\right)^2 = kT^2 C. $$ \ec \navod $$ \left(\Delta U\r...) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02TSFsbirka} | %\wikiskriptum{02TSFsbirka} | ||
− | \chapter{ | + | \chapter{Rozlišitelné a nerozlišitelné částice} |
− | + | ||
− | \ | + | \section{Maxwell-Boltzmannovo rozdělení} |
− | + | ||
+ | Uvažujme systém tvořený klasickými částicemi. Každá z nich se může nacházet na nějaké energetické hladině s energií $\varepsilon_i$, degenerace této hladiny nechť je $g_i$. Soustava je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Je-li počet částic $N$ pevný, můžeme systém popsat pomocí kanonické partiční sumy | ||
$$ | $$ | ||
− | \left(\ | + | Z_K = \frac{1}{N!}\left(\sum_{i}g_i e^{-\beta\varepsilon_i}\right)^N. |
$$ | $$ | ||
− | \ | + | Pro Lagrangeův multiplikátor opět platí $\beta=\frac{1}{kT}.$ Entropie rovnovážného rozdělení a vnitřní energie souboru se určí ze vztahů |
− | \ | + | |
$$ | $$ | ||
− | + | S = k\ln{Z_K} + k\beta U,\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta}. | |
$$ | $$ | ||
− | + | Pokud se počet částic mění, popíšeme soubor pomocí grandkanonické partiční sumy | |
− | + | ||
− | + | ||
$$ | $$ | ||
− | \ | + | Z_{\rm MB} = \sum_{N=0}^{+\infty}Z_K(N) e^{\alpha N} = \prod_{i}\exp\left(g_i e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right), |
$$ | $$ | ||
− | \ | + | kde $\alpha = \frac{\mu}{kT}$. Entropie rovnovážného rozdělení je rovna |
− | \ | + | \begin{equation} |
− | \begin{ | + | \label{chap6:S} |
− | \ | + | S = k\ln{Z_{\rm MB}} + k\beta U - k\alpha N, |
− | + | \end{equation} | |
− | \end{ | + | vnitřní energie a střední počet částic se určí pomocí vztahů |
− | + | \begin{equation} | |
− | \ | + | \label{chap6:UN} |
− | + | U = -\left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\beta}\right)_\alpha,\quad N = \left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\alpha}\right)_\beta. | |
+ | \end{equation} | ||
+ | Protože partiční suma $Z_{\rm MB}$ má tvar součinu přes energetické hladiny, platí | ||
$$ | $$ | ||
− | + | N = \sum_i\langle n_i\rangle,\quad U = \sum_i\varepsilon_i\langle n_i\rangle, | |
$$ | $$ | ||
− | + | kde $\langle n_i\rangle$ označuje střední počet částic na hladině $\varepsilon_i$. Pro soubor klasických částic snadno dostaneme (viz Příklad~\ref{chap6:ni}) | |
− | \ | + | |
− | \ | + | |
$$ | $$ | ||
− | \ | + | \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha}} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)}, |
$$ | $$ | ||
− | + | což se označuje jako Maxwell-Boltzmannovo rozdělení. | |
− | + | ||
+ | \section{Bose-Einsteinovo rozdělení} | ||
+ | |||
+ | Uvažujme nyní soubor identických kvantových částic. Označíme počet částic s energií $\varepsilon_i$ (obsazovací číslo) jako $n_i$, celkový počet částic v souboru a jeho energie je potom | ||
+ | $$ | ||
+ | N = \sum_i n_i,\quad E_N = \sum_i \varepsilon_i n_i. | ||
+ | $$ | ||
+ | Protože celkový počet částic a energie souboru fluktuují kolem svých středních hodnot, popíšeme systém pomocí grandkanonické partiční sumy | ||
+ | $$ | ||
+ | Z_G = \sum_{N = (n_1,n_2,\ldots)} e^{-\beta E_N + \alpha N} = \prod_i\sum_{n_i=0}^{+\infty} e^{(\alpha-\beta\varepsilon_i)n_i}. | ||
+ | $$ | ||
+ | Pro bosony (částice s celočíselným spinem) můžou obsazovací čísla nabývat jakýchkoli hodnot, tj. $n_i = 0,1,2,\ldots$. Jejich grandkanonická partiční suma se pak dá přepsat do tvaru | ||
+ | $$ | ||
+ | Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}}. | ||
+ | $$ | ||
+ | Zde jsme uvažovali nedegenerované energetické hladiny. Pokud je degenerace hladiny $\varepsilon_i$ rovna $g_i$, má partiční suma tvar | ||
+ | $$ | ||
+ | Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{\left(1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right)^{g_i}}. | ||
+ | $$ | ||
+ | Entropie, vnitřní energie a střední počet částic se určí analogicky jako pro Maxwell-Boltz\-mannovo rozdělení (\ref{chap6:S}), (\ref{chap6:UN}). Partiční suma $Z_{\rm BE}$ má opět tvar součinu přes energie, takže $U$ a $N$ se dají vyjádřit pomocí středního počtu částic na dané energetické hladině $\langle n_i\rangle$. Pro soubor bosonů dostaneme (viz Příklad~\ref{chap6:ni}) | ||
+ | $$ | ||
+ | \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} - 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1}. | ||
+ | $$ | ||
+ | Toto rozdělení se nazývá Bose-Einsteinovo. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \section{Fermi-Diracovo rozdělení} | ||
+ | |||
+ | Pro fermiony (částice s poločíselným spinem) platí Pauliho vylučovací princip. Obsazovací čísla můžou tedy nabývat pouze hodnot $n_i = 0,1$. Partiční suma je pak rovna | ||
+ | $$ | ||
+ | Z_{\rm FD} = \prod_i \left(\sum_{n_i=0}^{1} e^{(\alpha-\beta\varepsilon_i)n_i} \right)^{g_i} = \prod_i\left(1 + e^{\alpha - \beta\varepsilon_i}\right)^{g_i}, | ||
+ | $$ | ||
+ | kde $g_i$ je degenerace hladiny $\varepsilon_i$. Protože je partiční suma $Z_{\rm FD}$ daná součinem přes energie, můžeme $U$ a $N$ vyjádřit pomocí středního počtu částic s energií $\langle n_i\rangle$. Ten se řídí Fermi-Diracovým rozdělením (viz Příklad~\ref{chap6:ni}) | ||
+ | $$ | ||
+ | \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} + 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}. | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | \section{Příklady} | ||
+ | |||
\bc | \bc | ||
− | + | Uvažujte systém dvou částic, každá může mít energii $ 0, \varepsilon, 2\varepsilon$. Určete partiční sumu souboru a jeho vnitřní energii, za předpokladu, že částice jsou | |
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item rozlišitelné | ||
+ | \item fermiony bez spinu | ||
+ | \item bosony se spinem nula | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \ec | ||
+ | \vysl | ||
+ | Označíme $x = e^{-\beta\varepsilon}$ | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item rozlišitelné | ||
$$ | $$ | ||
− | \ | + | Z_R =\left(1 + x + x^2\right)^2,\quad U_R = 2 x \varepsilon \frac{1+2x}{1+x+x^2} |
$$ | $$ | ||
+ | \item fermiony | ||
+ | $$ | ||
+ | Z_F = x(1+x+x^2),\quad U_F = \varepsilon\left(1 + x \frac{1+2x}{1+x+x^2}\right) | ||
+ | $$ | ||
+ | \item bosony | ||
+ | $$ | ||
+ | Z_B = 1+x+2x^2+x^3+x^4,\quad U_B = x\varepsilon\frac{1+4x+3x^2+4x^3}{(1+x^2)(1+x+x^2)} | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | |||
+ | \bc | ||
+ | Uvažujte systém dvou částic, každá může mít energii $E_n = n \hbar \omega, n=0,1,2,\ldots$. Určete partiční sumu souboru a jeho vnitřní energii, za předpokladu, že částice jsou | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item rozlišitelné | ||
+ | \item fermiony bez spinu | ||
+ | \item bosony se spinem nula | ||
+ | \end{enumerate} | ||
\ec | \ec | ||
− | \ | + | \vysl |
+ | Označíme $x = e^{-\beta\hbar\omega}$ | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item rozlišitelné | ||
$$ | $$ | ||
− | + | Z_R = \frac{1}{(1-x)^2},\quad U_R = \hbar\omega \frac{2x}{1-x} | |
$$ | $$ | ||
+ | \item fermiony | ||
+ | $$ | ||
+ | Z_F = \frac{x}{1+x} \frac{1}{(1-x)^2},\quad U_F = U_R + \hbar\omega\frac{1}{1+x} >U_R | ||
+ | $$ | ||
+ | \item bosony | ||
+ | $$ | ||
+ | Z_B = \frac{1}{1+x} \frac{1}{(1-x)^2},\quad U_B = U_R - \hbar\omega\frac{x}{1+x}<U_R | ||
+ | $$ | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | |||
+ | \bc | ||
+ | \label{chap6:ni} | ||
+ | Určete střední počet částic s energií $\varepsilon_i$ pro soubor klasických částic, bosonů a fermionů. Předpokládejte, že hladina $\varepsilon_i$ má degeneraci $g_i$. | ||
+ | \ec | ||
+ | \vysl | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \nonumber \hbox{Maxwell-Boltzmann} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)},\\ | ||
+ | \nonumber \hbox{Bose-Einstein} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1},\\ | ||
+ | \nonumber \hbox{Fermi-Dirac} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}. | ||
+ | \end{eqnarray} |
Verze z 9. 2. 2011, 16:11
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TSFsbirka
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TSFsbirka | Steffy | 9. 2. 2011 | 16:06 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 12. 2. 2012 | 13:21 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Základy teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky | Hoskoant | 22. 2. 2017 | 17:57 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Nejpravděpodobnější rozdělení | Steffy | 12. 2. 2012 | 12:58 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Termodynamické potenciály a identity | Steffy | 12. 2. 2012 | 12:59 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Ideální a neideální plyny | Kubuondr | 10. 4. 2017 | 22:25 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Statistické soubory - Hamiltonovské systémy | Admin | 16. 5. 2024 | 13:48 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Fluktuace | Steffy | 12. 2. 2012 | 13:01 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Statistické soubory - diskrétní hladiny | Steffy | 11. 2. 2013 | 16:05 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Přesné statistiky | Kubuondr | 28. 4. 2017 | 09:40 | kapitola8.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:2part_U.pdf | 2part_U.pdf |
Image:binomial.pdf | binomial.pdf |
Image:blackbody2.pdf | blackbody2.pdf |
Image:gauss2.pdf | gauss2.pdf |
Image:maxwell.pdf | maxwell.pdf |
Image:poisson.pdf | poisson.pdf |
Image:spin_C.pdf | spin_C.pdf |
Image:spin_M.pdf | spin_M.pdf |
Image:spin_S.pdf | spin_S.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFsbirka} \chapter{Rozlišitelné a nerozlišitelné částice} \section{Maxwell-Boltzmannovo rozdělení} Uvažujme systém tvořený klasickými částicemi. Každá z nich se může nacházet na nějaké energetické hladině s energií $\varepsilon_i$, degenerace této hladiny nechť je $g_i$. Soustava je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Je-li počet částic $N$ pevný, můžeme systém popsat pomocí kanonické partiční sumy $$ Z_K = \frac{1}{N!}\left(\sum_{i}g_i e^{-\beta\varepsilon_i}\right)^N. $$ Pro Lagrangeův multiplikátor opět platí $\beta=\frac{1}{kT}.$ Entropie rovnovážného rozdělení a vnitřní energie souboru se určí ze vztahů $$ S = k\ln{Z_K} + k\beta U,\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta}. $$ Pokud se počet částic mění, popíšeme soubor pomocí grandkanonické partiční sumy $$ Z_{\rm MB} = \sum_{N=0}^{+\infty}Z_K(N) e^{\alpha N} = \prod_{i}\exp\left(g_i e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right), $$ kde $\alpha = \frac{\mu}{kT}$. Entropie rovnovážného rozdělení je rovna \begin{equation} \label{chap6:S} S = k\ln{Z_{\rm MB}} + k\beta U - k\alpha N, \end{equation} vnitřní energie a střední počet částic se určí pomocí vztahů \begin{equation} \label{chap6:UN} U = -\left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\beta}\right)_\alpha,\quad N = \left(\frac{\partial\ln{Z_{\rm MB}}}{\partial\alpha}\right)_\beta. \end{equation} Protože partiční suma $Z_{\rm MB}$ má tvar součinu přes energetické hladiny, platí $$ N = \sum_i\langle n_i\rangle,\quad U = \sum_i\varepsilon_i\langle n_i\rangle, $$ kde $\langle n_i\rangle$ označuje střední počet částic na hladině $\varepsilon_i$. Pro soubor klasických částic snadno dostaneme (viz Příklad~\ref{chap6:ni}) $$ \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha}} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)}, $$ což se označuje jako Maxwell-Boltzmannovo rozdělení. \section{Bose-Einsteinovo rozdělení} Uvažujme nyní soubor identických kvantových částic. Označíme počet částic s energií $\varepsilon_i$ (obsazovací číslo) jako $n_i$, celkový počet částic v souboru a jeho energie je potom $$ N = \sum_i n_i,\quad E_N = \sum_i \varepsilon_i n_i. $$ Protože celkový počet částic a energie souboru fluktuují kolem svých středních hodnot, popíšeme systém pomocí grandkanonické partiční sumy $$ Z_G = \sum_{N = (n_1,n_2,\ldots)} e^{-\beta E_N + \alpha N} = \prod_i\sum_{n_i=0}^{+\infty} e^{(\alpha-\beta\varepsilon_i)n_i}. $$ Pro bosony (částice s celočíselným spinem) můžou obsazovací čísla nabývat jakýchkoli hodnot, tj. $n_i = 0,1,2,\ldots$. Jejich grandkanonická partiční suma se pak dá přepsat do tvaru $$ Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}}. $$ Zde jsme uvažovali nedegenerované energetické hladiny. Pokud je degenerace hladiny $\varepsilon_i$ rovna $g_i$, má partiční suma tvar $$ Z_{\rm BE} = \prod_i \frac{1}{\left(1-e^{\alpha-\beta\varepsilon_i}\right)^{g_i}}. $$ Entropie, vnitřní energie a střední počet částic se určí analogicky jako pro Maxwell-Boltz\-mannovo rozdělení (\ref{chap6:S}), (\ref{chap6:UN}). Partiční suma $Z_{\rm BE}$ má opět tvar součinu přes energie, takže $U$ a $N$ se dají vyjádřit pomocí středního počtu částic na dané energetické hladině $\langle n_i\rangle$. Pro soubor bosonů dostaneme (viz Příklad~\ref{chap6:ni}) $$ \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} - 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1}. $$ Toto rozdělení se nazývá Bose-Einsteinovo. \section{Fermi-Diracovo rozdělení} Pro fermiony (částice s poločíselným spinem) platí Pauliho vylučovací princip. Obsazovací čísla můžou tedy nabývat pouze hodnot $n_i = 0,1$. Partiční suma je pak rovna $$ Z_{\rm FD} = \prod_i \left(\sum_{n_i=0}^{1} e^{(\alpha-\beta\varepsilon_i)n_i} \right)^{g_i} = \prod_i\left(1 + e^{\alpha - \beta\varepsilon_i}\right)^{g_i}, $$ kde $g_i$ je degenerace hladiny $\varepsilon_i$. Protože je partiční suma $Z_{\rm FD}$ daná součinem přes energie, můžeme $U$ a $N$ vyjádřit pomocí středního počtu částic s energií $\langle n_i\rangle$. Ten se řídí Fermi-Diracovým rozdělením (viz Příklad~\ref{chap6:ni}) $$ \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{e^{\beta\varepsilon_i-\alpha} + 1} = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}. $$ \section{Příklady} \bc Uvažujte systém dvou částic, každá může mít energii $ 0, \varepsilon, 2\varepsilon$. Určete partiční sumu souboru a jeho vnitřní energii, za předpokladu, že částice jsou \begin{enumerate} \item rozlišitelné \item fermiony bez spinu \item bosony se spinem nula \end{enumerate} \ec \vysl Označíme $x = e^{-\beta\varepsilon}$ \begin{enumerate} \item rozlišitelné $$ Z_R =\left(1 + x + x^2\right)^2,\quad U_R = 2 x \varepsilon \frac{1+2x}{1+x+x^2} $$ \item fermiony $$ Z_F = x(1+x+x^2),\quad U_F = \varepsilon\left(1 + x \frac{1+2x}{1+x+x^2}\right) $$ \item bosony $$ Z_B = 1+x+2x^2+x^3+x^4,\quad U_B = x\varepsilon\frac{1+4x+3x^2+4x^3}{(1+x^2)(1+x+x^2)} $$ \end{enumerate} \bc Uvažujte systém dvou částic, každá může mít energii $E_n = n \hbar \omega, n=0,1,2,\ldots$. Určete partiční sumu souboru a jeho vnitřní energii, za předpokladu, že částice jsou \begin{enumerate} \item rozlišitelné \item fermiony bez spinu \item bosony se spinem nula \end{enumerate} \ec \vysl Označíme $x = e^{-\beta\hbar\omega}$ \begin{enumerate} \item rozlišitelné $$ Z_R = \frac{1}{(1-x)^2},\quad U_R = \hbar\omega \frac{2x}{1-x} $$ \item fermiony $$ Z_F = \frac{x}{1+x} \frac{1}{(1-x)^2},\quad U_F = U_R + \hbar\omega\frac{1}{1+x} >U_R $$ \item bosony $$ Z_B = \frac{1}{1+x} \frac{1}{(1-x)^2},\quad U_B = U_R - \hbar\omega\frac{x}{1+x}<U_R $$ \end{enumerate} \bc \label{chap6:ni} Určete střední počet částic s energií $\varepsilon_i$ pro soubor klasických částic, bosonů a fermionů. Předpokládejte, že hladina $\varepsilon_i$ má degeneraci $g_i$. \ec \vysl \begin{eqnarray} \nonumber \hbox{Maxwell-Boltzmann} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)},\\ \nonumber \hbox{Bose-Einstein} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) - 1},\\ \nonumber \hbox{Fermi-Dirac} & : & \langle n_i\rangle = \frac{g_i}{\exp\left(\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right) + 1}. \end{eqnarray}