02TSFA:Kapitola28: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFA} \section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa} \index{plyn, fotonový} \index{záření, absolutně černého tělesa} Budiž na...) |
(opravy, přidané odvození AČT) |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
+ | |||
%\wikiskriptum{02TSFA} | %\wikiskriptum{02TSFA} | ||
\section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa} | \section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa} | ||
Řádka 7: | Řádka 8: | ||
černého tělesa). Nechť má dutina objem $V$ a obsahuje velký počet fotonů, | černého tělesa). Nechť má dutina objem $V$ a obsahuje velký počet fotonů, | ||
které jsou nerozlišitelné a neřídí se Pauliho vylučovacím principem. Jsou to tedy | které jsou nerozlišitelné a neřídí se Pauliho vylučovacím principem. Jsou to tedy | ||
− | bosony a řídí se Bose-Einsteinovou statistikou | + | bosony a řídí se Bose-Einsteinovou statistikou. |
− | + | ||
− | + | Střední počet fotonů s frekvencí v intervalu $\omega, \omega +d\omega$ je dán takto | |
− | $$ | + | |
− | \ | + | $$dN_\omega = N_\omega d\Gamma_\omega$$ |
− | + | ||
− | + | Rozdělení $N_\omega$ získáme dosazením za energii do BE statistiky | |
− | + | ||
− | \ | + | $$N_\omega = \frac{1}{\exp(\beta(\hbar\omega -\mu))-1}$$ |
− | + | ||
− | + | Abychom určili $\mu$ potřebovali bychom znát střední počet fotonů. Ten je ale dán danými podmínkami, teplotou $T$ a objemem nádoby $V$. Proto určíme $\mu$ z podmínek rovnováhy | |
− | + | ||
− | + | $$ 0 =(dF)_{T,V} = \mu dN $$ | |
− | $$u(\ | + | |
− | + | a proto je $\mu = 0$. Váhový faktor $d\Gamma_\omega$ určíme následujícím způsobem. Pro vlnový vektor $\bf k$ platí | |
− | + | ||
+ | $$k_x = \frac{2\pi n_1}{L_x}\qquad k_y = \frac{2\pi n_2}{L_y}\qquad k_z = \frac{2\pi n_3}{L_z}$$ | ||
+ | |||
+ | kde $L_x,L_y,L_z$ jsou strany kvádru ve kterém je záření uzavřeno a $n_i$ jsou přirozená čísla. | ||
+ | Bude-li vlnová délka záření mnohem menší než rozměr kvádru, budou se blízké hodnoty $\bf k$ lišit jen nepatrně a můžeme nalézt počet $\Delta M$ těchto vektorů v intervalu $\Delta k_x\Delta k_y \Delta k_z $. Jejich počet je | ||
+ | |||
+ | $$\Delta M = \Delta n_1 \Delta n_2\Delta n_3 $$ | ||
+ | |||
+ | dosadíme ze $\Delta n_i$ | ||
+ | |||
+ | $$\Delta M = \frac1{(2\pi)^3}L_xL_yL_z \Delta k_x\Delta k_y \Delta k_z = \frac{V}{(2\pi)^3}d^3\bf k$$ | ||
+ | |||
+ | Při daném vektoru $\bf k$ existují dvě polarizace, počet kvantových stavů (váhový faktor) $d\Gamma({\bf k}) = 2\Delta M$. Dále provedeme integraci přes úhly%a neměla by tam vyskočit 1/8? n_i jsou kladné | ||
+ | , dosadíme za $k = \frac{\omega}{c}$ a vyjde | ||
+ | |||
+ | $$d\Gamma_\omega = \frac{V\omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}$$ | ||
+ | |||
+ | dosadíme do $dN_\omega$ | ||
+ | |||
+ | $$dN_\omega = \frac{1}{\exp(\beta h\omega)-1} \frac{V \omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}$$ | ||
+ | |||
+ | Hustotu energie $u(\omega,T)$ ve frekvenčním intervalu získáme tak, že vezmeme střední počet fotonů v intervalu $d\omega$, vynásobíme je jejich energií $\hbar \omega$ a vydělíme objemem. | ||
+ | |||
+ | $$u(\omega,T)d\omega = \frac{ \omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}\frac{\hbar\omega}{\exp\left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right)-1} $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
To je slavný \index{zákon, Planckův vyzařovací}\emph{Planckův vyzařovací zákon}. Z tohoto vzorce lze získat zajímavé | To je slavný \index{zákon, Planckův vyzařovací}\emph{Planckův vyzařovací zákon}. Z tohoto vzorce lze získat zajímavé | ||
výsledky. Ke zjištění vlnové délky, při níž je hustota energie největší, zavedeme substituci | výsledky. Ke zjištění vlnové délky, při níž je hustota energie největší, zavedeme substituci | ||
− | $\ | + | $\omega= 2\pi c/\lambda$ \footnote{nezapomeňte dosadit i za $d\omega$ }. |
$$u(\lambda,T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}$$ | $$u(\lambda,T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}$$ | ||
a vyřešíme rovnici | a vyřešíme rovnici | ||
Řádka 38: | Řádka 68: | ||
když si navíc zadefinujeme | když si navíc zadefinujeme | ||
$$ x\equiv{hc\over\lambda kT } $$ | $$ x\equiv{hc\over\lambda kT } $$ | ||
− | pak se rovnice výše | + | pak se rovnice výše jednodušší na |
$${x e^{x}\over e^{x} - 1}-5=0$$ | $${x e^{x}\over e^{x} - 1}-5=0$$ | ||
− | Tato rovnice má numerické řešení rovno $x = 4, | + | Tato transcendentní rovnice má numerické řešení rovno $x \,\dot{=}\, 4,9651 $. |
Ze znalosti $x$ už snadno určíme vlnovou délku $\lambda$ | Ze znalosti $x$ už snadno určíme vlnovou délku $\lambda$ | ||
− | $$\lambda_{max} = {hc\over x }{1\over kT} = {2,898 \cdot 10^6 \ \mathrm{nm \cdot K} \over T}$$ | + | $$\lambda_{max} = {hc\over x }{1\over kT} \,\dot{=}\, {2,898 \cdot 10^6 \ \mathrm{nm \cdot K} \over T}$$ |
To je \index{zákon, Wienův, posunovací}\emph{Wienův posunovací zákon}, který vyjadřuje, že maximum ve spektru záření | To je \index{zákon, Wienův, posunovací}\emph{Wienův posunovací zákon}, který vyjadřuje, že maximum ve spektru záření | ||
absolutně černého tělesa se s rostoucí teplotou stále více posunuje k menším | absolutně černého tělesa se s rostoucí teplotou stále více posunuje k menším | ||
− | vlnovým délkám (větším frekvencím). | + | vlnovým délkám (větším frekvencím). Pokud bychom na začátku neprovedli substituci a spočetli přímo $\nu_{max}$, dospěli bychom k hodnotě |
+ | $$\nu_{max} \,\dot{=}\, T\cdot 5,879\cdot 10^{10} \text{\,Hz $\cdot$ K$^{-1}$}$$ | ||
+ | |||
+ | Stojí za povšimnutí, že $\nu_{max}\lambda_{max} \,\dot{=}\, 0.568c \neq c$. Tento fakt byl skutečně experimentálně potvrzen. | ||
Dalším zajímavým výsledkem je celková hustota energie (všechny frekvence) uvnitř dutiny: | Dalším zajímavým výsledkem je celková hustota energie (všechny frekvence) uvnitř dutiny: | ||
− | $$u = \integral{0}{\infty}u( \ | + | $$u = \integral{0}{\infty}u( \omega) d \omega = \frac{ \hbar}{\pi^2c^3}\integral{0}{\infty} |
− | \frac{\ | + | \frac{\omega^3 d\omega}{\exp\left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right)-1}$$ |
\bigskip | \bigskip | ||
Provedeme-li substituci, dostáváme | Provedeme-li substituci, dostáváme | ||
− | $$u = \frac{ | + | $$u = \frac{ \hbar}{\pi^2 c^3}\frac{(kT)^4}{\hbar^4}\integral{0}{\infty}\frac{x^3 dx}{e^x - 1}$$ |
\bigskip | \bigskip | ||
Řádka 66: | Řádka 99: | ||
což je \index{zákon, Stefan-Boltzmannův}\emph{Stefan-Boltzmannův | což je \index{zákon, Stefan-Boltzmannův}\emph{Stefan-Boltzmannův | ||
− | zákon}. Hodnota \index{konstanta, Stefanova}Stefanovy konstanty je | + | zákon}. Hodnota \index{konstanta, Stefanova}Stefanovy konstanty je |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | $$\sigma = \frac{\pi^2k^4}{15\hbar^3c^3}\,\dot{=}\, 7,561 . 10^{-16} Jm^{-3} K^{-4}$$ | ||
+ | \bigskip | ||
+ | |||
+ | Spočteme emisní intenzitu vyzařování temného tělesa. Je-li záření v rovnováze, potom je intenzita dopadajícího záření $I_i$ rovna intenzitě vyzařovaného záření $I_e$. Za jednotku času u prostorového úhlu $d\Omega$ pod úhlem $\theta$ k normále na jednotkovou plochu stěny dopadá energie | ||
+ | |||
+ | $$I_i(\omega, T, \Omega)d\omega d\Omega = \frac{c}{4\pi}u(\omega,T)\cos \theta d\omega d\Omega $$ | ||
+ | |||
+ | $4\pi$ je tam proto, že záření v dutině je ve všech směrech stejné (izotropní) a $\cos\theta$ odpovídá tomu, že čím je větší odklon zdroje od kolmice, tím menší jednotkovou plošku stěny \uv{vidí}. Celkovou dopadající intenzitu $I_e$ získáme prostě tak že tento vztah vyintegrujeme přes horní polosféru (světlo může na objekt dopadat jen zvenku) a přes všechny frekvence | ||
+ | |||
+ | $$I_i = I_e = \integral{0}{\infty}d\omega\integral{0}{\frac{\pi}{2}}d\theta\integral{0}{2\pi}\sin(\theta)d\phi \frac{c}{4\pi} u(\omega,T)\cos\theta = \frac14 c\sigma T^4$$ | ||
+ | |||
+ | Stefanova konstanta se z praktických důvodů zavádí takto | ||
+ | |||
+ | $$\sigma' = \frac14 c\sigma = \frac{\pi^2k^4}{60\hbar^3c^2} = 5,67\cdot 10^{-8}\text{Wm$^{-2}$K$^{-4}$}$$ | ||
+ | |||
\bigskip | \bigskip | ||
Verze z 7. 9. 2010, 12:50
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TSFA
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TSFA | Admin | 1. 8. 2010 | 10:52 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 27. 1. 2011 | 20:47 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Matematický aparát | Kunzmart | 25. 8. 2021 | 11:16 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Statistický popis složitých soustav | Krasejak | 27. 6. 2014 | 12:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Statistický soubor a rozdělovací funkce | Krasejak | 27. 6. 2014 | 13:15 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Nejpravděpodobnější rozdělení | Krasejak | 29. 3. 2014 | 02:23 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Partiční funkce systému a jeho podsystémů | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:02 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Mikrokanonický soubor | Kunzmart | 26. 8. 2021 | 09:10 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Kanonický soubor | Maresj23 | 5. 1. 2014 | 11:23 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Grandkanonický soubor | Godalale | 7. 6. 2023 | 21:04 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Ekvivalence statistických souborů | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 00:40 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Principy termodynamiky | Krasejak | 29. 3. 2014 | 02:29 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Termodynamické potenciály | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 03:41 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Závislost termodynamických potenciálů na látkovém množství | Krasejak | 29. 3. 2014 | 02:33 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Vztahy mezi derivacemi termodynamických veličin | Batysfra | 30. 8. 2011 | 14:22 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Další termodynamické veličiny | Tomas | 7. 9. 2010 | 14:53 | kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Kvantověmechanický harmonický oscilátor | Kubuondr | 29. 5. 2017 | 13:21 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Měření Poissonovy konstanty | Admin | 1. 8. 2010 | 10:47 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Termodynamika směsí různých látek | Tomas | 7. 9. 2010 | 12:38 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vratné a nevratné procesy | Kubuondr | 26. 5. 2017 | 12:32 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Ustálení dynamické rovnováhy | Tomas | 7. 9. 2010 | 12:40 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Důsledky podmínek rovnováhy | Kubuondr | 15. 4. 2017 | 08:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Rovnováha systému o více fázích | Tomas | 7. 9. 2010 | 14:23 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Klasifikace fázových přechodů | Chladjar | 14. 9. 2020 | 14:32 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Joule-Thompsonův pokus | Tomas | 7. 9. 2010 | 18:43 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Termodynamické nerovnosti | Karel.brinda | 6. 2. 2011 | 20:44 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Narušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip) | Tomas | 7. 9. 2010 | 12:46 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Statistická rozdělení soustavy volných částic | Chladjar | 15. 9. 2020 | 10:40 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Odvození termodynamiky IP statistickými metodami | Admin | 25. 4. 2024 | 11:36 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa | Groveond | 1. 7. 2014 | 20:35 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Modely krystalů | Chladjar | 17. 9. 2020 | 17:19 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Jiný statistický přístup — kinetická teorie | Tomas | 14. 2. 2011 | 23:22 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Otázky ke zkoušce z TSF | Admin | 1. 8. 2010 | 10:51 | kapitola31.tex | |
Kapitola32 | editovat | Reference | Tomas | 7. 9. 2010 | 12:54 | reference.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fcel1.pdf | fcel1.pdf |
Image:2krabab.pdf | 2krabab.pdf |
Image:Transw.pdf | transw.pdf |
Image:Syst.pdf | syst.pdf |
Image:3pt.pdf | 3pt.pdf |
Image:Cholesctv.pdf | Cholesctv.pdf |
Image:Oscpot.pdf | Oscpot.pdf |
Image:Spins.pdf | spins.pdf |
Image:Spins2.pdf | spins2.pdf |
Image:Spins3.pdf | spins3.pdf |
Image:Spins4.pdf | spins4.pdf |
Image:Ptdiag.pdf | ptdiag.pdf |
Image:Joulthom.pdf | joulthom.pdf |
Image:Trirozd.pdf | trirozd.pdf |
Image:FD_e_mu.jpg | FD_e_mu.jpg |
Image:Krystal.pdf | krystal.pdf |
Image:Krystal2.pdf | krystal2.pdf |
Image:Procesyr.pdf | procesyr.pdf |
Image:Hgraf.pdf | hgraf.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA} \section{Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa} \index{plyn, fotonový} \index{záření, absolutně černého tělesa} Budiž naším sledovaným systémem dutina v nějakém neprůhledném materiálu (model absolutně černého tělesa). Nechť má dutina objem $V$ a obsahuje velký počet fotonů, které jsou nerozlišitelné a neřídí se Pauliho vylučovacím principem. Jsou to tedy bosony a řídí se Bose-Einsteinovou statistikou. Střední počet fotonů s frekvencí v intervalu $\omega, \omega +d\omega$ je dán takto $$dN_\omega = N_\omega d\Gamma_\omega$$ Rozdělení $N_\omega$ získáme dosazením za energii do BE statistiky $$N_\omega = \frac{1}{\exp(\beta(\hbar\omega -\mu))-1}$$ Abychom určili $\mu$ potřebovali bychom znát střední počet fotonů. Ten je ale dán danými podmínkami, teplotou $T$ a objemem nádoby $V$. Proto určíme $\mu$ z podmínek rovnováhy $$ 0 =(dF)_{T,V} = \mu dN $$ a proto je $\mu = 0$. Váhový faktor $d\Gamma_\omega$ určíme následujícím způsobem. Pro vlnový vektor $\bf k$ platí $$k_x = \frac{2\pi n_1}{L_x}\qquad k_y = \frac{2\pi n_2}{L_y}\qquad k_z = \frac{2\pi n_3}{L_z}$$ kde $L_x,L_y,L_z$ jsou strany kvádru ve kterém je záření uzavřeno a $n_i$ jsou přirozená čísla. Bude-li vlnová délka záření mnohem menší než rozměr kvádru, budou se blízké hodnoty $\bf k$ lišit jen nepatrně a můžeme nalézt počet $\Delta M$ těchto vektorů v intervalu $\Delta k_x\Delta k_y \Delta k_z $. Jejich počet je $$\Delta M = \Delta n_1 \Delta n_2\Delta n_3 $$ dosadíme ze $\Delta n_i$ $$\Delta M = \frac1{(2\pi)^3}L_xL_yL_z \Delta k_x\Delta k_y \Delta k_z = \frac{V}{(2\pi)^3}d^3\bf k$$ Při daném vektoru $\bf k$ existují dvě polarizace, počet kvantových stavů (váhový faktor) $d\Gamma({\bf k}) = 2\Delta M$. Dále provedeme integraci přes úhly%a neměla by tam vyskočit 1/8? n_i jsou kladné , dosadíme za $k = \frac{\omega}{c}$ a vyjde $$d\Gamma_\omega = \frac{V\omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}$$ dosadíme do $dN_\omega$ $$dN_\omega = \frac{1}{\exp(\beta h\omega)-1} \frac{V \omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}$$ Hustotu energie $u(\omega,T)$ ve frekvenčním intervalu získáme tak, že vezmeme střední počet fotonů v intervalu $d\omega$, vynásobíme je jejich energií $\hbar \omega$ a vydělíme objemem. $$u(\omega,T)d\omega = \frac{ \omega^2 d\omega}{\pi^2c^3}\frac{\hbar\omega}{\exp\left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right)-1} $$ To je slavný \index{zákon, Planckův vyzařovací}\emph{Planckův vyzařovací zákon}. Z tohoto vzorce lze získat zajímavé výsledky. Ke zjištění vlnové délky, při níž je hustota energie největší, zavedeme substituci $\omega= 2\pi c/\lambda$ \footnote{nezapomeňte dosadit i za $d\omega$ }. $$u(\lambda,T) = {8\pi h c\over \lambda^5}{1\over e^{h c/\lambda kT}-1}$$ a vyřešíme rovnici $$\derivx{u( \lambda )}{\lambda} = 0$$ \bigskip Po zderivování dostaneme $$ { \partial u \over \partial \lambda } = 8\pi h c\left( {hc\over kT \lambda^7}{e^{h c/\lambda kT}\over \left(e^{h c/\lambda kT}-1\right)^2} - {1\over\lambda^6}{5\over e^{h c/\lambda kT}-1}\right)=0$$ což jde zjednodušit na $${hc\over\lambda kT }{e^{h c/\lambda kT}\over e^{h c/\lambda kT} -1}-5=0$$ když si navíc zadefinujeme $$ x\equiv{hc\over\lambda kT } $$ pak se rovnice výše jednodušší na $${x e^{x}\over e^{x} - 1}-5=0$$ Tato transcendentní rovnice má numerické řešení rovno $x \,\dot{=}\, 4,9651 $. Ze znalosti $x$ už snadno určíme vlnovou délku $\lambda$ $$\lambda_{max} = {hc\over x }{1\over kT} \,\dot{=}\, {2,898 \cdot 10^6 \ \mathrm{nm \cdot K} \over T}$$ To je \index{zákon, Wienův, posunovací}\emph{Wienův posunovací zákon}, který vyjadřuje, že maximum ve spektru záření absolutně černého tělesa se s rostoucí teplotou stále více posunuje k menším vlnovým délkám (větším frekvencím). Pokud bychom na začátku neprovedli substituci a spočetli přímo $\nu_{max}$, dospěli bychom k hodnotě $$\nu_{max} \,\dot{=}\, T\cdot 5,879\cdot 10^{10} \text{\,Hz $\cdot$ K$^{-1}$}$$ Stojí za povšimnutí, že $\nu_{max}\lambda_{max} \,\dot{=}\, 0.568c \neq c$. Tento fakt byl skutečně experimentálně potvrzen. Dalším zajímavým výsledkem je celková hustota energie (všechny frekvence) uvnitř dutiny: $$u = \integral{0}{\infty}u( \omega) d \omega = \frac{ \hbar}{\pi^2c^3}\integral{0}{\infty} \frac{\omega^3 d\omega}{\exp\left(\frac{\hbar \omega}{kT}\right)-1}$$ \bigskip Provedeme-li substituci, dostáváme $$u = \frac{ \hbar}{\pi^2 c^3}\frac{(kT)^4}{\hbar^4}\integral{0}{\infty}\frac{x^3 dx}{e^x - 1}$$ \bigskip kde všechno až na $T^4$ je konstantní a tedy $$u(T) = \sigma T^4$$ \bigskip což je \index{zákon, Stefan-Boltzmannův}\emph{Stefan-Boltzmannův zákon}. Hodnota \index{konstanta, Stefanova}Stefanovy konstanty je $$\sigma = \frac{\pi^2k^4}{15\hbar^3c^3}\,\dot{=}\, 7,561 . 10^{-16} Jm^{-3} K^{-4}$$ \bigskip Spočteme emisní intenzitu vyzařování temného tělesa. Je-li záření v rovnováze, potom je intenzita dopadajícího záření $I_i$ rovna intenzitě vyzařovaného záření $I_e$. Za jednotku času u prostorového úhlu $d\Omega$ pod úhlem $\theta$ k normále na jednotkovou plochu stěny dopadá energie $$I_i(\omega, T, \Omega)d\omega d\Omega = \frac{c}{4\pi}u(\omega,T)\cos \theta d\omega d\Omega $$ $4\pi$ je tam proto, že záření v dutině je ve všech směrech stejné (izotropní) a $\cos\theta$ odpovídá tomu, že čím je větší odklon zdroje od kolmice, tím menší jednotkovou plošku stěny \uv{vidí}. Celkovou dopadající intenzitu $I_e$ získáme prostě tak že tento vztah vyintegrujeme přes horní polosféru (světlo může na objekt dopadat jen zvenku) a přes všechny frekvence $$I_i = I_e = \integral{0}{\infty}d\omega\integral{0}{\frac{\pi}{2}}d\theta\integral{0}{2\pi}\sin(\theta)d\phi \frac{c}{4\pi} u(\omega,T)\cos\theta = \frac14 c\sigma T^4$$ Stefanova konstanta se z praktických důvodů zavádí takto $$\sigma' = \frac14 c\sigma = \frac{\pi^2k^4}{60\hbar^3c^2} = 5,67\cdot 10^{-8}\text{Wm$^{-2}$K$^{-4}$}$$ \bigskip \begin{remark} Pro tlak záření platí $$p(T) = \frac{u(T)}{3}$$ \bigskip na rozdíl od běžných plynů, jejichž tlak je $p = \frac{2}{3}\frac{U}{V}$. To je dáno tím, že fotonový plyn je relativistický a neplatí pro něj vztah mezi kinetickou energií a hybností $E_k = p^2/2m$. \end{remark} Když známe vztah pro tlak, tak už není problém odvodit adiabatu fotonového plynu. Spočítá se stejně jako u IP jenom za tlak a vnitřní energii se dosadí vzorce pro fotonový plyn. Pokud budete počítat správně, tak vám vyjde $$TV^{1/3} = konst$$