Matematika1Priklady:Kapitola4: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika1Priklady} \section{Aplikace derivace} \begin{enumerate} \item Určete rovnice tečen ke křivce $y = x^3+x^2-2x$ v průsečících křivky s...) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{Matematika1Priklady} | %\wikiskriptum{Matematika1Priklady} | ||
− | \section{ | + | \section{Extremální úlohy, konvexnost, konkávnost, inflexe} |
+ | \subsection*{\fbox{Rozcvička}} | ||
+ | V této části jsou příklady na procvičení hledání lokálních extrémů, které pro svou nižší náročnost nejsou zahrnuty ve zkouškové písemce a tudíž nejsou číslovány. | ||
+ | |||
+ | \begin{itemize} | ||
+ | |||
+ | \item Úsečku rozdělte na dvě části tak, aby součet obsahů | ||
+ | čtverců sestrojených nad oběma částmi byl minimální. | ||
+ | |||
+ | \res{v polovině} | ||
+ | |||
+ | \item Ze všech obdélníků s daným obsahem určete ten, který má | ||
+ | nejmenší obvod. | ||
+ | |||
+ | \res{$a=b=\sqrt{S}$, kde $S$ je obsah} | ||
+ | |||
+ | \item | ||
+ | Jak volit rozměry pozemku pravoúhlého tvaru, máme-li jej | ||
+ | oplotit pletivem délky $60$m a chceme aby obsah byl co | ||
+ | největší? | ||
+ | |||
+ | \res{$15 \times 15 = 255$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | \end{itemize} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | |||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | \odstavec{Konvexnost, konkávnost a inflexe} | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | f(x) = \frac{|x^2-3x-4|}{x} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{$D_f = \R\setminus\{0\}$} | ||
+ | |||
+ | \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | f(x) = 1 + \sqrt[3]{x} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{TODO} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | f(x) = 3x^2-x^3 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{TODO} | ||
+ | |||
+ | \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | f(x) = \frac{2x}{1+x^2} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{TODO} | ||
+ | |||
+ | \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | f(x) = \sqrt{1+x^2} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{TODO} | ||
+ | |||
+ | \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | f(x) = \frac{|x-1|}{x^2} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{TODO} | ||
+ | |||
+ | \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | f(x) = \ln(1+x^2) | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{TODO} | ||
+ | |||
+ | \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | f(x) = x^3\ln{x} + 1 | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{TODO} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | \odstavec{Extremální úlohy} | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Z desky tvaru trojúhelníku, jehož základna je $a$ a výška | ||
+ | $v$ a úhly při základně jsou ostré, má být vyříznuta obdélníková | ||
+ | deska; přičemž jedna strana obdélníku je částí základny. | ||
+ | Pomocí techniky hledání extrémů určete | ||
+ | rozměry obdélníku tak, aby jeho obsah byl maximální. | ||
+ | |||
+ | \res{$x=\frac{a}2$, $y = \frac{v}2$} | ||
+ | \item | ||
+ | Pomocí techniky hledání extrémů určete rozměry parního kotle tvaru válce tak, aby při | ||
+ | daném objemu $V$ bylo ochlazování páry nejmenší; tj. aby povrch válce byl minimální. | ||
+ | |||
+ | \res{$r = \sqrt[3]{V/{2\pi}}$, $v = \sqrt[3]{4V/{\pi}}$} | ||
+ | |||
+ | \item | ||
+ | Ze všech pravoúhlých trojúhelníků s daným součtem délek | ||
+ | přepony a odvěsny $k$ určete ten jehož obsah je největší. | ||
+ | |||
+ | \res{$y=k/3$, $x = \sqrt3/3 k$, $\alpha=\pi/6$} | ||
+ | |||
+ | \item | ||
+ | Chceme oplotit výběh pro slépky, který má mít tvar | ||
+ | pravoúhelníku. Přitom máme k dispozici $200$m pletiva a víme, že | ||
+ | část plotu budou tvořit 2 celé stěny drůbežárny, jejíž obdélníkový | ||
+ | půdorys má rozměry $a=16m$ a $b=10m$. Jaké rozměry musí mít | ||
+ | výběh, aby měl co největší obsah? | ||
+ | |||
+ | \res{čtverec $56,5m$} | ||
+ | |||
+ | \item | ||
+ | Pomocí techniky hledáni extrémů určete rozměry obsahově maximálního obdélníka vepsaného | ||
+ | elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ | ||
+ | |||
+ | \res{$a\sqrt2, b\sqrt2$} | ||
+ | |||
+ | \item | ||
+ | Pomocí techniky hledání extrémů určete rozměry objemově maximálního válce vepsaného do | ||
+ | koule o poloměru $R$. | ||
+ | |||
+ | \res{$v = 2R/\sqrt3$, $r=R\sqrt{2/3}$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Jaké rozměry musí mít bazén se čtvercovým dnem a objemem | ||
+ | $V=32m^3$, má-li se na jeho vyzdění spotřebovat co nejméně | ||
+ | matriálu? | ||
+ | |||
+ | \res{$4,4,2$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Pomocí techniky hledání extrémů vepište do půlkruhu o poloměru $r$ obdélník maximální plochy. | ||
+ | |||
+ | \res{$r\sqrt2, \frac{r}{\sqrt2}$} | ||
+ | |||
+ | \item Dolní část okna má tvar obdélníka, horní tvar půlkruhu. | ||
+ | Délka rámu celého okna je $P$. Při jakých rozměrech bude okno | ||
+ | propouštět nejvíce světla? | ||
+ | |||
+ | \res{$\frac{2P}{\pi+4}, \frac{P}{4+\pi}$} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \sin(x)\sqrt{1-\cos^2(x)}$ na intervalu $[-\pi,\pi]$. | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item | + | \item Rozhodněte, zda existuje první derivace funkce $f$ v bodě $x=0$. |
− | + | \item Nalezněte všechny lokální extrémy a intervaly monotonie funkce $f(x)$ na intervalu $(-\pi,\pi)$. | |
− | + | Jsou tyto lokální extrémy též globálními extrémy na uvažovaném intervalu $[-\pi,\pi]$ ? | |
+ | \end{enumerate} | ||
+ | |||
+ | \res{TODO} | ||
+ | |||
+ | \item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = x+2\sqrt{1-\cos^2(x)}$. | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Rozhodněte, zda existuje první derivace funkce $f$ v bodě $x=0$. | ||
+ | \item Nalezněte všechny lokální extrémy a intervaly monotonie funkce $f(x)$ na intervalu $(-\pi,\pi)$. | ||
+ | Jsou tyto lokální extrémy též globálními extrémy na uvažovaném intervalu $[-\pi,\pi]$ ? | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | |||
+ | \res{TODO} | ||
+ | |||
+ | \item Nalezněte definiční obor, lokální extrémy a intervaly monotonie funkce | ||
+ | \begin{priklad} | ||
+ | f(x) = \left( \frac{x^2}{x+1} \right)^{\frac{1}{4}} | ||
+ | \end{priklad} | ||
+ | |||
+ | \res{TODO} | ||
+ | |||
+ | \item Nechť součet dvou čísel je 12, určete tato čísla tak, aby | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item součet třetích mocnin byl minimální | ||
+ | \item součin jednoho s třetí mocninou druhého byl maximální | ||
+ | \item obě byla kladná a součin jednoho s druhou mocninou | ||
+ | druhého byla maximální. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | |||
+ | \res{TODO} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \item Určete rozměry parního kotle tvaru válce tak, aby při daném objemu $V$ | ||
+ | bylo ochlazování páry nejmenší - tj. aby povrch válce (včetně podstav) byl minimální. | ||
+ | |||
+ | \res{ $r = \sqrt[3]{V/2\pi}, v = V/\pi r^2$} | ||
+ | |||
+ | \item Ukažte, že pro všechna $x>0$ je funkce $\ln x$ vždy menší než $\sqrt{x}$. | ||
+ | (Návod: zkoumejte extrémy rozdílu těchto funkcí.) | ||
+ | |||
+ | \res{maximum $\ln{x}-\sqrt{x}$ je $2\ln{2}-2 < 0$} | ||
+ | |||
+ | \item Ukažte, že pro všechna $x\in\R$ je funkce $1+x$ vždy menší než $\e^x$. | ||
+ | (Návod: zkoumejte extrémy rozdílu těchto funkcí.) | ||
+ | |||
+ | \res{minimum $\e^{x}-x-1$ je $0$ v $x=0$} | ||
+ | |||
+ | \item Ukažte, že pro všechna $x>0$ je funkce $\ln(1+x)$ vždy menší než $x$. | ||
+ | (Návod: zkoumejte extrémy rozdílu těchto funkcí.) | ||
+ | |||
+ | \res{$\ln(1+x)-x$ je pro $x>0$ ostře klesající a záporná} | ||
+ | |||
+ | \item Ukažte, že pro všechna $x>0$ je funkce $\arctg{x}$ vždy menší než $x$. | ||
+ | (Návod: zkoumejte extrémy rozdílu těchto funkcí.) | ||
+ | |||
+ | \res{$\arctg{x}-x$ je pro $x>0$ ostře klesající a záporná} | ||
+ | |||
+ | |||
− | + | \item | |
− | + | Určete kladný parametr $A>0$ tak, aby objem tělesa, | |
− | + | které vznikne rotací funkce | |
− | + | ||
− | + | \begin{priklad} | |
− | + | f(x) = Ax+\frac{1}{A(x+1)} | |
− | + | \end{priklad} | |
− | + | okolo osy $x$ na intervalu $[0,1]$ byl minimální ! | |
− | + | ||
− | + | \res{$A = \sqrt[4]{3/2}$} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | \item Je-li rozdíl dvou čísel rovný $10$, je jejich součin větší než $-30$? | |
− | + | ||
− | + | \res{ano} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | \item | |
− | + | Nit délky $l$ se má rozstřihnout na dvě části, z jedné části | |
− | + | se udělá kružnice a ze druhé čtverec. Určete délky jednotlivých | |
− | + | částí tak, aby součet ploch čtverce a kruhu byl minimální. | |
− | + | ||
− | + | \res{TODO} | |
− | + | ||
− | + | \item | |
− | + | Nit délky $l$ se má rozstřihnout na dvě části. Z jedné části | |
− | + | se udělá kružnice a ze druhé rovnostranný trojúhelník. Určete délky jednotlivých | |
− | + | částí tak, aby součet ploch trojúhelníku a kruhu byl minimální. | |
− | + | ||
− | + | \res{TODO} | |
− | + | ||
− | + | \item | |
− | + | Do koule o poloměru $R$ vepište válec s maximálním objemem. | |
− | + | ||
− | + | \res{$r=R\sqrt{\frac23}$, $v=\frac{2R}{\sqrt3}$} | |
− | + | ||
− | + | \item | |
− | + | Do koule o poloměru $R$ vepište válec s maximálním povrchem. | |
− | + | ||
− | + | \res{$r=R\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt{5}}{10}}$, $v=R\sqrt{2-\frac{2\sqrt{5}}{2}}$} | |
− | + | ||
− | + | \item | |
− | + | Jaký je maximální objem kužele s danou stranou $s$? | |
− | + | ||
− | + | \res{$\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}s^3$} | |
− | + | ||
− | + | \item | |
− | + | Při jakých rozměrech má válec daného objemu $V$ nejmenší povrch? | |
− | + | ||
− | + | \res{$v=2\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$, $r=\frac{v}{2}$} | |
− | + | ||
− | + | \item | |
− | + | Z papíru tvaru obdélníka se stranami $a$ a $b$ vyrobíme krabičku tak, že vystřihneme ze všech čtyř rohů stejné čtverce. | |
− | + | Krabička bude mít výšku rovnou straně tohoto čtverce. | |
− | + | Pomocí techniky hledání extrémů nalezněte délku strany čtverce, při níž bude objem krabičky největší. | |
− | + | ||
− | + | \res{$\frac16\left(a+b-\sqrt{a^2-ab+b^2}\right)$} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
− | |||
− |
Verze z 10. 7. 2011, 12:47
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu Matematika1Priklady
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu Matematika1Priklady | Fucikrad | 18. 9. 2011 | 08:54 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:44 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Fucikrad | 27. 4. 2022 | 09:11 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Limity a spojitost | Pitrazby | 25. 10. 2016 | 09:25 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Derivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptoty | Dvoraro3 | 4. 11. 2022 | 22:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vyšetřování funkcí | Admin | 29. 1. 2023 | 20:44 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Extremální úlohy, konvexnost, konkávnost, inflexe | Admin | 3. 4. 2024 | 11:17 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Neurčité integrály a primitivní funkce | Dvoraro3 | 28. 11. 2022 | 23:16 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Určité integrály | Pitrazby | 28. 4. 2016 | 12:29 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Aplikace integrálů | Fucikrad | 12. 4. 2022 | 10:53 | kapitola7.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{Matematika1Priklady} \section{Extremální úlohy, konvexnost, konkávnost, inflexe} \subsection*{\fbox{Rozcvička}} V této části jsou příklady na procvičení hledání lokálních extrémů, které pro svou nižší náročnost nejsou zahrnuty ve zkouškové písemce a tudíž nejsou číslovány. \begin{itemize} \item Úsečku rozdělte na dvě části tak, aby součet obsahů čtverců sestrojených nad oběma částmi byl minimální. \res{v polovině} \item Ze všech obdélníků s daným obsahem určete ten, který má nejmenší obvod. \res{$a=b=\sqrt{S}$, kde $S$ je obsah} \item Jak volit rozměry pozemku pravoúhlého tvaru, máme-li jej oplotit pletivem délky $60$m a chceme aby obsah byl co největší? \res{$15 \times 15 = 255$} \end{itemize} \subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}} \begin{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \odstavec{Konvexnost, konkávnost a inflexe} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce \begin{priklad} f(x) = \frac{|x^2-3x-4|}{x} \end{priklad} \res{$D_f = \R\setminus\{0\}$} \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce \begin{priklad} f(x) = 1 + \sqrt[3]{x} \end{priklad} \res{TODO} \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce \begin{priklad} f(x) = 3x^2-x^3 \end{priklad} \res{TODO} \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce \begin{priklad} f(x) = \frac{2x}{1+x^2} \end{priklad} \res{TODO} \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce \begin{priklad} f(x) = \sqrt{1+x^2} \end{priklad} \res{TODO} \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce \begin{priklad} f(x) = \frac{|x-1|}{x^2} \end{priklad} \res{TODO} \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce \begin{priklad} f(x) = \ln(1+x^2) \end{priklad} \res{TODO} \item Vyšetřete konvexnost, konkávnost a inflexní body funkce \begin{priklad} f(x) = x^3\ln{x} + 1 \end{priklad} \res{TODO} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \odstavec{Extremální úlohy} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \item Z desky tvaru trojúhelníku, jehož základna je $a$ a výška $v$ a úhly při základně jsou ostré, má být vyříznuta obdélníková deska; přičemž jedna strana obdélníku je částí základny. Pomocí techniky hledání extrémů určete rozměry obdélníku tak, aby jeho obsah byl maximální. \res{$x=\frac{a}2$, $y = \frac{v}2$} \item Pomocí techniky hledání extrémů určete rozměry parního kotle tvaru válce tak, aby při daném objemu $V$ bylo ochlazování páry nejmenší; tj. aby povrch válce byl minimální. \res{$r = \sqrt[3]{V/{2\pi}}$, $v = \sqrt[3]{4V/{\pi}}$} \item Ze všech pravoúhlých trojúhelníků s daným součtem délek přepony a odvěsny $k$ určete ten jehož obsah je největší. \res{$y=k/3$, $x = \sqrt3/3 k$, $\alpha=\pi/6$} \item Chceme oplotit výběh pro slépky, který má mít tvar pravoúhelníku. Přitom máme k dispozici $200$m pletiva a víme, že část plotu budou tvořit 2 celé stěny drůbežárny, jejíž obdélníkový půdorys má rozměry $a=16m$ a $b=10m$. Jaké rozměry musí mít výběh, aby měl co největší obsah? \res{čtverec $56,5m$} \item Pomocí techniky hledáni extrémů určete rozměry obsahově maximálního obdélníka vepsaného elipse $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ \res{$a\sqrt2, b\sqrt2$} \item Pomocí techniky hledání extrémů určete rozměry objemově maximálního válce vepsaného do koule o poloměru $R$. \res{$v = 2R/\sqrt3$, $r=R\sqrt{2/3}$} \item Jaké rozměry musí mít bazén se čtvercovým dnem a objemem $V=32m^3$, má-li se na jeho vyzdění spotřebovat co nejméně matriálu? \res{$4,4,2$} \item Pomocí techniky hledání extrémů vepište do půlkruhu o poloměru $r$ obdélník maximální plochy. \res{$r\sqrt2, \frac{r}{\sqrt2}$} \item Dolní část okna má tvar obdélníka, horní tvar půlkruhu. Délka rámu celého okna je $P$. Při jakých rozměrech bude okno propouštět nejvíce světla? \res{$\frac{2P}{\pi+4}, \frac{P}{4+\pi}$} \item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \sin(x)\sqrt{1-\cos^2(x)}$ na intervalu $[-\pi,\pi]$. \begin{enumerate} \item Rozhodněte, zda existuje první derivace funkce $f$ v bodě $x=0$. \item Nalezněte všechny lokální extrémy a intervaly monotonie funkce $f(x)$ na intervalu $(-\pi,\pi)$. Jsou tyto lokální extrémy též globálními extrémy na uvažovaném intervalu $[-\pi,\pi]$ ? \end{enumerate} \res{TODO} \item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = x+2\sqrt{1-\cos^2(x)}$. \begin{enumerate} \item Rozhodněte, zda existuje první derivace funkce $f$ v bodě $x=0$. \item Nalezněte všechny lokální extrémy a intervaly monotonie funkce $f(x)$ na intervalu $(-\pi,\pi)$. Jsou tyto lokální extrémy též globálními extrémy na uvažovaném intervalu $[-\pi,\pi]$ ? \end{enumerate} \res{TODO} \item Nalezněte definiční obor, lokální extrémy a intervaly monotonie funkce \begin{priklad} f(x) = \left( \frac{x^2}{x+1} \right)^{\frac{1}{4}} \end{priklad} \res{TODO} \item Nechť součet dvou čísel je 12, určete tato čísla tak, aby \begin{enumerate} \item součet třetích mocnin byl minimální \item součin jednoho s třetí mocninou druhého byl maximální \item obě byla kladná a součin jednoho s druhou mocninou druhého byla maximální. \end{enumerate} \res{TODO} \item Určete rozměry parního kotle tvaru válce tak, aby při daném objemu $V$ bylo ochlazování páry nejmenší - tj. aby povrch válce (včetně podstav) byl minimální. \res{ $r = \sqrt[3]{V/2\pi}, v = V/\pi r^2$} \item Ukažte, že pro všechna $x>0$ je funkce $\ln x$ vždy menší než $\sqrt{x}$. (Návod: zkoumejte extrémy rozdílu těchto funkcí.) \res{maximum $\ln{x}-\sqrt{x}$ je $2\ln{2}-2 < 0$} \item Ukažte, že pro všechna $x\in\R$ je funkce $1+x$ vždy menší než $\e^x$. (Návod: zkoumejte extrémy rozdílu těchto funkcí.) \res{minimum $\e^{x}-x-1$ je $0$ v $x=0$} \item Ukažte, že pro všechna $x>0$ je funkce $\ln(1+x)$ vždy menší než $x$. (Návod: zkoumejte extrémy rozdílu těchto funkcí.) \res{$\ln(1+x)-x$ je pro $x>0$ ostře klesající a záporná} \item Ukažte, že pro všechna $x>0$ je funkce $\arctg{x}$ vždy menší než $x$. (Návod: zkoumejte extrémy rozdílu těchto funkcí.) \res{$\arctg{x}-x$ je pro $x>0$ ostře klesající a záporná} \item Určete kladný parametr $A>0$ tak, aby objem tělesa, které vznikne rotací funkce \begin{priklad} f(x) = Ax+\frac{1}{A(x+1)} \end{priklad} okolo osy $x$ na intervalu $[0,1]$ byl minimální ! \res{$A = \sqrt[4]{3/2}$} \item Je-li rozdíl dvou čísel rovný $10$, je jejich součin větší než $-30$? \res{ano} \item Nit délky $l$ se má rozstřihnout na dvě části, z jedné části se udělá kružnice a ze druhé čtverec. Určete délky jednotlivých částí tak, aby součet ploch čtverce a kruhu byl minimální. \res{TODO} \item Nit délky $l$ se má rozstřihnout na dvě části. Z jedné části se udělá kružnice a ze druhé rovnostranný trojúhelník. Určete délky jednotlivých částí tak, aby součet ploch trojúhelníku a kruhu byl minimální. \res{TODO} \item Do koule o poloměru $R$ vepište válec s maximálním objemem. \res{$r=R\sqrt{\frac23}$, $v=\frac{2R}{\sqrt3}$} \item Do koule o poloměru $R$ vepište válec s maximálním povrchem. \res{$r=R\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt{5}}{10}}$, $v=R\sqrt{2-\frac{2\sqrt{5}}{2}}$} \item Jaký je maximální objem kužele s danou stranou $s$? \res{$\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}s^3$} \item Při jakých rozměrech má válec daného objemu $V$ nejmenší povrch? \res{$v=2\sqrt[3]{\frac{V}{\pi}}$, $r=\frac{v}{2}$} \item Z papíru tvaru obdélníka se stranami $a$ a $b$ vyrobíme krabičku tak, že vystřihneme ze všech čtyř rohů stejné čtverce. Krabička bude mít výšku rovnou straně tohoto čtverce. Pomocí techniky hledání extrémů nalezněte délku strany čtverce, při níž bude objem krabičky největší. \res{$\frac16\left(a+b-\sqrt{a^2-ab+b^2}\right)$} \end{enumerate}