01MAA4:Kapitola28: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(důkaz rozšířeného Lebesgua.) |
m |
||
(Není zobrazeno 7 mezilehlých verzí od stejného uživatele.) | |||
Řádka 60: | Řádka 60: | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
+ | \label{MMinorMajor} | ||
Buď $\phi\in\M$. | Buď $\phi\in\M$. | ||
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
Řádka 91: | Řádka 92: | ||
$\II\phi_1>-\infty$. | $\II\phi_1>-\infty$. | ||
Pak $\phi\in\Lambda$ a $\II\phi=\lim\II\phi_n$. | Pak $\phi\in\Lambda$ a $\II\phi=\lim\II\phi_n$. | ||
− | + | \begin{proof} | |
+ | Pokud jsou všechny $\phi_n \in \LL$, pak použiji klasickou Leviovu větu. Nechť tedy $(\exists m \in \N)(\phi_m \in \Lambda \sm \LL)$. Pak je $\II\phi_m=+\infty$, | ||
+ | což implikuje $\II\phi_m^+=+\infty$ a $\phi_m^- \in \LL$. Rozepíšeme-li $\phi_n\sim\phi_n^+ - \phi_n^-$, pak $\phi_n^+\nearrow\phi^+$ a $\phi_n^-\searrow\phi^-$, | ||
+ | což implikuje $(\forall n \geq m)(\II \phi_m^+=+\infty)$. Protože je $\phi^+ \in \M \wedge \phi^+ \geq \phi_n^+$, je dle věty \ref{MMinorMajor} (ii) $\II\phi^+=+\infty$ | ||
+ | a dále $(\phi_n^- \in \LL )\implies(\phi^- \in \LL)$ (Levi pro posloupnost). Platí tudíž $\phi \sim \phi^+ - \phi ^-$ a $\II\phi=+\infty$. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \item V rozšířené Leviově větě je předpoklad $\II\phi_1>-\infty$ nutný: Posloupnost $\posl{\psi_n}$, kde $\psi_n(x)=0$ pro $\forall x \in (-n,n)$ a $-\infty$ jinde má limitu $\psi(x)=0, \forall x \in \R$ a $\II\psi \neq \lim_{n\to +\infty}\II\psi_n$. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
Řádka 114: | Řádka 121: | ||
\item Buď nyní $\posl{\phi_n}$ libovolná posloupnost měřitelných | \item Buď nyní $\posl{\phi_n}$ libovolná posloupnost měřitelných | ||
funkcí a nechť $\phi_n\to\phi$. Potom platí $\phi_n^+\to\phi^+$ a | funkcí a nechť $\phi_n\to\phi$. Potom platí $\phi_n^+\to\phi^+$ a | ||
− | $\phi_n^-\to\phi^-$. Odtud a z~předcházejícího bodu | + | $\phi_n^-\to\phi^-$. Odtud a z~předcházejícího bodu vyplývá, že |
$\phi^+\in\Lambda$ a $\phi^-\in\Lambda$ a proto je $\phi\in\M$. | $\phi^+\in\Lambda$ a $\phi^-\in\Lambda$ a proto je $\phi\in\M$. | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} |
Aktuální verze z 2. 6. 2017, 08:24
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 21:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 08:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 08:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 10:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 21:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 10:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 15:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 10:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 08:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 09:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 20:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 10:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 08:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 12:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 00:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 20:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 08:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 08:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 12:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 10:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Měřitelné funkce} \begin{define} Řekneme, že $\phi$ je {\bf měřitelná} ($\phi\subset\M$) funkce $X\mapsto\RR$, jestliže existuje $\posl{h_n}\in\HH(X)$ taková, že $h_n\to\phi$. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item $\Lambda^+\subset\M$, $\Lambda\subset\M$. \item Je-li $\phi\gtrsim 0$, pak existuje $h_n\ge 0$, $h_n\to\phi$. \begin{proof} $k_n\to\phi$, $k_n^+\to\phi$. \end{proof} \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Buď $\phi\gtrsim 0$, pak $\phi\in\M$, právě když $\phi\in\Lambda$. \begin{proof} \begin{enumerate}[(1)] \item $(\Leftarrow)$ $\Lambda\subset\M$ zřejmé. \item $(\Rightarrow)$ Buď $\phi\in\M$, pak existuje $h_n\to\phi$, $h_n\ge 0$, $h_n\in\HH$. Položme $\alpha_m^{(n)}=\min_{n\le k\le m} h_k$, $\alpha_n=\inf_{k\ge n} h_k$. Protože $\alpha_m^{(n)}\searrow\alpha_n$, je podle Leviho $\alpha_n\in\Lambda$. Vzhledem k~nerovnosti $0\le\II\alpha_n\le\II\alpha_n^{(n)}$, je $\alpha_n\in\LL$. Protože ale $\alpha_n\nearrow\alpha=\liminf_{n\to\infty}h_n$, je znovu podle Leviho $\alpha\in\Lambda$. Protože $h_n\to\phi \Rightarrow\alpha\sim \phi $, tvrzení věty platí. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} $\phi\in\M$, právě když existuje dvojice funkcí $f,\ g \in \Lambda^+$ taková, že $\phi\sim f-g$. \begin{proof} \begin{enumerate} \item $(\Leftarrow)$ $(g_n-f_n)\to \phi$. \item $(\Rightarrow)$ $\phi\sim\phi^+-\phi^-\sim (f_1+g_2)-(f_2+g_1)$. Podle předchozí věty $\phi^+,\phi^-\in\Lambda$. $\phi^+\sim f_1-g_1$, $\phi^-\sim f_2-g_2$, $f_1,f_2\in\Lambda^+$ a protože $\phi^+$, $\phi^-$ musí mít integrál, pak $g_1,g_2\in\LL^+$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Jsou-li $\phi,\psi\in\M$, $\alpha\in\R$, pak platí \begin{enumerate}[(i)] \item $\phi+\psi\in\M$, má-li součet smysl. \item $\alpha\phi\in\M$, \item $\max(\phi,\psi)\in\M$, $\min(\phi,\psi)\in\M$, \item $\abs{\phi}\in\M$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{theorem} \label{MMinorMajor} Buď $\phi\in\M$. \begin{enumerate}[(i)] \item Existuje-li $\psi\in\LL$ tak, že $\abs{\phi}\lesssim\psi$, pak $\phi\in\LL$. \item Existuje-li $\psi\in\Lambda$ tak, že $\II\psi=+\infty$ a $\phi\gtrsim\psi$, pak $\phi\in\Lambda$ a $\II\phi=+\infty$. \item Existuje-li $\psi\in\Lambda$ tak, že $\II\psi=-\infty$ a $\phi\lesssim\psi$, pak $\phi\in\Lambda$ a $\II\phi=-\infty$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] \item $h_n\to\phi$ a $\abs{\phi}\le\psi$, tedy z poznámky \ref{lebesgue}.2 $\phi\in\LL$. \item $\phi^+\gtrsim\psi^+$, tedy $\II\phi^+\ge\II\psi^+=+\infty$. $\phi^-\lesssim\psi^-$, tedy $\II\phi^-\le\II\psi^-<+\infty$. $\II\phi^+=+\infty$, protože $\phi^-\in\LL$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Rozšíření Lebesgueovy věty: Buď $\phi_n\in\M$, $\abs{\phi_n}\lesssim\phi_0$, $\phi_0\in\LL$, $\phi_n\to\phi$. Pak $\phi\in\LL$ a $\II\phi=\lim\II\phi_n$. \begin{proof} $\phi$ i $\phi_n$ jsou podle předchozí věty integrabilní, protože mají integrabilní majorantu. Můžeme tedy aplikovat klasického Lebesgua \ref{lebesgue}. \end{proof} \item Rozšíření Leviovy věty: Buď $\phi_n\nearrow\phi$, $\phi_n\in\Lambda$, $\II\phi_1>-\infty$. Pak $\phi\in\Lambda$ a $\II\phi=\lim\II\phi_n$. \begin{proof} Pokud jsou všechny $\phi_n \in \LL$, pak použiji klasickou Leviovu větu. Nechť tedy $(\exists m \in \N)(\phi_m \in \Lambda \sm \LL)$. Pak je $\II\phi_m=+\infty$, což implikuje $\II\phi_m^+=+\infty$ a $\phi_m^- \in \LL$. Rozepíšeme-li $\phi_n\sim\phi_n^+ - \phi_n^-$, pak $\phi_n^+\nearrow\phi^+$ a $\phi_n^-\searrow\phi^-$, což implikuje $(\forall n \geq m)(\II \phi_m^+=+\infty)$. Protože je $\phi^+ \in \M \wedge \phi^+ \geq \phi_n^+$, je dle věty \ref{MMinorMajor} (ii) $\II\phi^+=+\infty$ a dále $(\phi_n^- \in \LL )\implies(\phi^- \in \LL)$ (Levi pro posloupnost). Platí tudíž $\phi \sim \phi^+ - \phi ^-$ a $\II\phi=+\infty$. \end{proof} \item V rozšířené Leviově větě je předpoklad $\II\phi_1>-\infty$ nutný: Posloupnost $\posl{\psi_n}$, kde $\psi_n(x)=0$ pro $\forall x \in (-n,n)$ a $-\infty$ jinde má limitu $\psi(x)=0, \forall x \in \R$ a $\II\psi \neq \lim_{n\to +\infty}\II\psi_n$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} \label{uzavrenost} Jestliže $\phi_n\in\M$ a $\phi_n\to\phi$, pak $\phi\in\M$. (uzavřenost $\M$) \begin{proof} \begin{enumerate} \item Buď nejdříve $\posl{\phi_n}$, $\phi_n\gtrsim 0$. Potom pro každé $m\in\N$ existuje posloupnost $\posl{h_n^{(m)}}$ nezáporných základních funkcí(omezených) takových, že $h_n^{(m)}\to\phi_m$. Položme \[\phi_0=\sum_{m,n=1}^\infty\frac{1}{n^2m^2} \frac{h_n^{(m)}}{\II h_n^{(m)}+1}.\] Z~Leviho plyne, že $\phi_0\in\LL$. Potom skoro všude platí $\phi(x)>0\implies\phi_0(x)>0$. Pokud položíme $\psi_n: =\min(\phi,n\phi_0)$, je $\psi_n\nearrow\phi$. Z~Leviho poté dostaneme $\phi\in\Lambda$, pokud platí, že $\psi_n\in\LL$. Pro $\psi_n\sim\lim_{m\to\infty}\min(\phi_m,n\phi_0)$ a $\abs{\min(\phi_m,n\phi_0)}\lesssim n\phi_0$, $\psi_n$ je limitní funkce posloupnosti měřitelných funkcí s~integrabilní majorantou, tudíž z rozšíření Lebesgua je $\psi_n\in\LL$. \item Buď nyní $\posl{\phi_n}$ libovolná posloupnost měřitelných funkcí a nechť $\phi_n\to\phi$. Potom platí $\phi_n^+\to\phi^+$ a $\phi_n^-\to\phi^-$. Odtud a z~předcházejícího bodu vyplývá, že $\phi^+\in\Lambda$ a $\phi^-\in\Lambda$ a proto je $\phi\in\M$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem}