01FA1:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Nejsou zobrazeny 4 mezilehlé verze od stejného uživatele.) | |||
Řádka 225: | Řádka 225: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
\item {\bf $T_1$ prostor}, právě když | \item {\bf $T_1$ prostor}, právě když | ||
− | $$\left(\forall x,y \in X,\ x \neq y \right) \left(\exists U \in \tau \ \land | + | $$\left(\forall x,y \in X,\ x \neq y \right) \left(\exists U \in \tau \ \land \ y \notin U \right);$$ |
\item {\bf $T_2$ prostor (Hausdorffův)}, právě když | \item {\bf $T_2$ prostor (Hausdorffův)}, právě když | ||
$$\left(\forall x,y \in X,\ x \neq y \right) \left(\exists U \in \tau \right) \left(\exists V \in \tau \right) \left(x\in U \ \land \ y\in V \ \land \ U\cap V = \emptyset \right);$$ | $$\left(\forall x,y \in X,\ x \neq y \right) \left(\exists U \in \tau \right) \left(\exists V \in \tau \right) \left(x\in U \ \land \ y\in V \ \land \ U\cap V = \emptyset \right);$$ | ||
Řádka 245: | Řádka 245: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | $T_4 \Rightarrow T_3 \Rightarrow T_2 \Rightarrow T_1$ a tyhle | + | $T_4 \Rightarrow T_3 \Rightarrow T_2 \Rightarrow T_1$ a tyhle implikace nelze obecně obrátit. Většinou budeme pracovat s minimálně Hausdorffovým prostorem. |
\end{remark} | \end{remark} | ||
Řádka 275: | Řádka 275: | ||
Abychom dokázali toto tvrzení, bude potřeba dokázat dvě implikace. Místo nic ale dokážeme obměněné implikace, takže budeme dokazovat obměněné tvrzení: | Abychom dokázali toto tvrzení, bude potřeba dokázat dvě implikace. Místo nic ale dokážeme obměněné implikace, takže budeme dokazovat obměněné tvrzení: | ||
− | \noindent $X$ není kompaktní $\Leftrightarrow$ Existuje systém uzavřených množin $\{A_{\alpha} \}_{\alpha \in \mathscr{A}}$ | + | \noindent $X$ není kompaktní $\Leftrightarrow$ Existuje systém uzavřených množin $\{A_{\alpha} \}_{\alpha \in \mathscr{A}}$ takový, že libovolný podsystém |
− | $\{A_{\alpha} \}_{\alpha \in \B}$, kde $\B \subset \mathscr{A}$ je končená množina | + | $\{A_{\alpha} \}_{\alpha \in \B}$, kde $\B \subset \mathscr{A}$ je končená množina má neprázdný průnik a zároveň systém $\{A_{\alpha} \}_{\alpha \in \mathscr{A}}$ má prázdný průnik. |
\noindent Tyto dvě vlastnosti nám říkají, že $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \B} A_{\alpha} \neq \emptyset $, což znamená, že $X \backslash \displaystyle \bigcap_{\alpha \in \B} A_{\alpha} \neq X$. | \noindent Tyto dvě vlastnosti nám říkají, že $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \B} A_{\alpha} \neq \emptyset $, což znamená, že $X \backslash \displaystyle \bigcap_{\alpha \in \B} A_{\alpha} \neq X$. | ||
Řádka 288: | Řádka 288: | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
− | Uzavřená podmnožina $A$ kompaktního topologického | + | Uzavřená podmnožina $A$ kompaktního topologického prostoru $X$ je kompaktní. |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Nechť $\G \in \tau $ tak, že $A \subset \displaystyle \bigcup_{G \in \G}G$. Pak ale $\left(\displaystyle \bigcup_{G \in \G}G \right)\cup\left(X\backslash A\right) $ je otevřené pokrytí $X$. | Nechť $\G \in \tau $ tak, že $A \subset \displaystyle \bigcup_{G \in \G}G$. Pak ale $\left(\displaystyle \bigcup_{G \in \G}G \right)\cup\left(X\backslash A\right) $ je otevřené pokrytí $X$. | ||
Řádka 304: | Řádka 304: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
{\it Sporem:} Buď $S\subset X$ nekonečná množina nemající hromadný bod (pro spor). Položme $\{x_k | k \in \mathbb{N} \} \subset S$ spočetná (očíslovatelná) podmnožina. Položme dále | {\it Sporem:} Buď $S\subset X$ nekonečná množina nemající hromadný bod (pro spor). Položme $\{x_k | k \in \mathbb{N} \} \subset S$ spočetná (očíslovatelná) podmnožina. Položme dále | ||
− | $\forall n \in \mathbb{N}$ množinu $X_n = \{x_k | k \in \mathbb{N} \ \land \ k \leq n \}$. Jedná se o posloupnost množin do sebe vnořených a žádná z množin $ | + | $\forall n \in \mathbb{N}$ množinu $X_n = \{x_k | k \in \mathbb{N} \ \land \ k \leq n \}$. Jedná se o posloupnost množin do sebe vnořených a žádná z množin $X_i$ nemá hromadný bod. |
Dle poznámky je tedy každá uzavřená v $X$. Zároveň $\forall m \in \mathbb{N}$ platí, že $\displaystyle \bigcap^m_{n=1} X_n = X_m \neq \emptyset$. Všechny konečné průniky jsou tedy neprázdné | Dle poznámky je tedy každá uzavřená v $X$. Zároveň $\forall m \in \mathbb{N}$ platí, že $\displaystyle \bigcap^m_{n=1} X_n = X_m \neq \emptyset$. Všechny konečné průniky jsou tedy neprázdné | ||
a $X$ je kompaktní, tedy dle věty $\ref{hnus}$ je $\displaystyle \bigcap^{+ \infty}_{n=1} X_n \neq \emptyset $. Zároveň je ale dle naší konstrukce posloupnosti | a $X$ je kompaktní, tedy dle věty $\ref{hnus}$ je $\displaystyle \bigcap^{+ \infty}_{n=1} X_n \neq \emptyset $. Zároveň je ale dle naší konstrukce posloupnosti | ||
− | $\displaystyle \bigcap^{+ \infty}_{n=1} X_n = \emptyset $ (vyplývá z toho, že $\forall n, k \in \mathbb{N}$ | + | $\displaystyle \bigcap^{+ \infty}_{n=1} X_n = \emptyset $ (vyplývá z toho, že $\forall n, k \in \mathbb{N}$ taková, že $n>k$, je $x_k \notin X_n$ ). Tímto jsme došli ke sporu. |
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 360: | Řádka 360: | ||
Je zřejmé, že tuto definici lze rozšířit indukcí na konečné součiny. Dokonce je možné provést rozšíření na libovolné součiny, ale těmi se nebude zabývat a nebudeme je potřebovat. | Je zřejmé, že tuto definici lze rozšířit indukcí na konečné součiny. Dokonce je možné provést rozšíření na libovolné součiny, ale těmi se nebude zabývat a nebudeme je potřebovat. | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{lemma}[o součinu toplogií] | ||
+ | Buďte $(X,\tau_X), (Y,\tau_Y)$ topologické prostory, $\B = \{U\times V \ | \ U\in \tau_X \ \land V \in \tau_Y \}$ báze $\tau_{X\times Y}$. Buďte navíc zobrazení | ||
+ | $$ p_x: X\times Y \longrightarrow X: (x,y)\longmapsto x; $$ | ||
+ | $$ p_y: X\times Y \longrightarrow Y: (x,y)\longmapsto y. $$ | ||
+ | Pak $\tau_{X\times Y}$ je nejhrubší (nejslabší) topologie na $X\times Y$ taková, že $p_x,p_y$ jsou spojité. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Buď $U\in \tau_X$, $V\in \tau_Y$. Pak $p^{-1} _x (U) = U\times Y$ a $p^{-1} _y (V) = X\times V$. Aby zobrazení byla spojitá, musí být množiny $U\times Y$ a $X\times V$ otevřené. Jelikož ale | ||
+ | $U\times V = (U\times Y)\cap (X\times V)$ je prvkem topologie a je tudíž otevřená množina, musí být rovněž množiny, k jejichž průniku dochází otevřené (v tomto případě). Tímto je vynucena spojitost projektorů $p_x$ a $p_y$. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{lemma} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Kartézský součin konečného počtu kompaktních topologických prostorů je kompaktní. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | K důkazu využijeme dvojice lemmat, která nejprve vyslovíme a dokážeme: | ||
+ | \begin{lemma} | ||
+ | Buďte $X,Y$ topologické prostory, $x_0\in X$. Pak zobrazení $f:Y\to X\times Y:y \longmapsto (x_0,y)$ je spojité | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Buď $W \subset X\timesY$ otevřená množina a nechť $y\in f^{-1}(W)$ libovolný. Máme ukázat, že existuje $V\subset Y$ otevřená taková, že $y\in V\subset f^{-1}(W)$, co že je ekvivalentní s tvrzením, že | ||
+ | $y\in V \land \{x_0\} \times V \subset W$. Ale my bereme $y\in f^{-1}(W)$. Odtud plyne, že $(x_0,y) = f(y) \in W$, což implikuje, že $\exists U\subset X, V\subset Y (x_0,y)\in U\times V \subset W$. | ||
+ | V tuto chvíli jsme využili definici součinové topolgie. Nakonec tedy dostáváme, že $y\in V \land \{x_0\} \times V \subset W$, což jsme chtělii ukázat. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{lemma} | ||
+ | \begin{lemma} | ||
+ | Buďte $X,Y$ topologické prostory, $K\subset Y$ kompaktní a $W\subset X\times Y$ otevřená. Jestliže $\exists x_0 \in X$ takový bod, že $\{x_0\}\times K \subset W$, pak existuje okolí $U$ bodu $x_0$ takové, že | ||
+ | $U\times K \subset W$. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Z předešlého lemmatu víme, že zobrazení $f:Y\to X\times Y:y \longmapsto (x_0,y)$ je spojité. Přitom navíc víme, že $\forall y \in K $ existuje otevřené okolí $U_y$ bodu $x_0$, tj $x_0 \in U_y \subset X$. | ||
+ | Zároveň je $y\in V_y \subset Y$ takové okolí, že $U_y \times V_y \subset W$ (zde jsme využili opět zavedenou součinovou topologii). Odtud plyne, že jsme nalezli otevřené pokrytí $K$, neboť | ||
+ | $K \subset \displaystyle \bigcup_{y\in K}V_y$. Z kompaktnosti $K$ plyne existence konečného podpokrytí, tj. $\exists n \in \mathbb{N}$ a $\{y_1,\ y_2,\ \dots ,\ y_n\}\subset K$ takový systém, že $K \subset \displaystyle \bigcup_{k=0}^n V_{y_k}$. | ||
+ | Položme nyní $U:= \displaystyle \bigcap_{k=1}^{n} U__{y_k} $. tato množina je otevřená a $x_0 \in U \neq \emptyset$. Pak již ale $U \times K \subset W$, | ||
+ | neboť pro libovolné $x\in U$ a $y\in K$ existuje $k \in \hat{n}$ tak, že $y\in V_{y_k}$ a zároveň $x\in U_{y_k}$ (protože $x\in U$ a to je průnik všech $U_{y_k}$). | ||
+ | To ale znamená, že $(x,y)\in U_{y_k} \times V_{y_k} \subset W$. A tedy jsme ukázali, že s každým bodem leží ve W i jeho okolí, které je podmnožinou W. Tímto jsme dokázali toto lemma. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{lemma} | ||
+ | Nyní přistupme k samotnému důkazu věty: | ||
+ | |||
+ | Dokážeme ji pro dva prostory $X,Y$, což stačí. Předpokládejme tedy, že $X,Y$ jsou kompaktní. Buď dále $X \times Y = \bigcup_{\alpha \in \mathsrc{A}}W_{\alpha}$ otevřené pokrytí. | ||
+ | Zvolme $x_0 \in X$ libovolně. Pak dle prvního lemmatu je $f:Y\to X\times Y:y \longmapsto (x_0,y)$ spojité a tedy $f(Y) = \{x_0\} \times Y \subset X\times Y $ je kompaktní. Toto plyne z kompaktnosti $Y$. | ||
+ | Proto existuje $\mathscr{A}(x_0) \subset \mathscr{A}$ konečná indexová množina taková, že $\{ x_0 \} \times Y \subset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \mathsrc{A}(x_0)}W_{\alpha}$. | ||
+ | Nyní ale podle druhého lemmatu existuje otevřené okolí takové, že $x_0 \in U_{x_0}\subset X$ tak, že $U_{x_0} \times Y \subset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \mathsrc{A}(x_0)}W_{\alpha}$. | ||
+ | Z kompaktnosti $X$ plyne, že pokud $\displaystyle \bigcup_{x\in X}U_x = X$ je otevřené pokrytí, pak existuje $m\in \mathbb{N}$ takové, že $\{x_1,\ x_2,\ \dots ,\ x_m\}\subset X$ splňuje | ||
+ | $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{m}U_{x_k} = X$. Pak ale $X\times Y = \displaystyle \bigcup_{j=1}^{m}(\underbrace{U_{x_j} \times Y}_{\mbox{\scriptsize má }\forall j \mbox{ končené podpokrytí}} $. | ||
+ | Tedy $X\times Y$ má končené podpokrytí a je tudíž kompaktní. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} |
Aktuální verze z 18. 1. 2017, 19:27
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01FA1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01FA1 | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 18:00 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 19:10 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 21:20 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 5. 10. 2016 | 17:40 | uvod.tex | |
Kapitola1 | editovat | Značení a úvod | Mazacja2 | 5. 10. 2016 | 18:33 | znaceni.tex | |
Kapitola2 | editovat | Topologie | Mazacja2 | 18. 1. 2017 | 19:27 | topologie.tex | |
Kapitola3 | editovat | Metrické prostory | Mazacja2 | 19. 1. 2017 | 23:20 | metrika.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA1} \chapter {Opakování pojmů z topologie} V téhle kapitole připomene pojmy z topologie, které by měly být známé z MAA3. Je možné, že některé pojmy budou nové, jiné jinak zavedeny, proto doporučuji tuhle kapitolu nevynechávat. \section{Základní pojmy} \begin{define} Buď $X$ množina. Množinu $\Pc(X) :=\{ A \vert A \subset X \}$ nazýváme {\bf potenční množinou množiny $X$}. \end{define} \begin{remark} Někdy se stkáme se značením $\Pc(X) = 2^X$. Toto značení vychází z algebry, kde je definován objekt $Y^X := \{ f: X \rightarrow Y \}$, tj. množina všech zobrazení z X do Y. Ztotožníme-li dvouprvkovou množinu $\{0,\ 1 \}$ s označením 2, pak máme $\{0,\ 1 \}^X = 2^X$. Pokud nyní máme $M\in \Pc (X)$, pak charakteristická funkce množiny $\chi_M \in 2^X$ je bijekcí. Odtud můžeme pochopit, odkud se vzala tahle na první pohled nezvyká notace. \end{remark} \begin{remark} $\Pc(\emptyset) = \{\emptyset \}$ \end{remark} \begin{define} Buď $X$ množina, $\tau \subset \Pc(X)$. Pak $\tau$ nazýváme {\bf topologií na $X$} $\Leftrightarrow$ \begin{enumerate} \item $\emptyset$, $X \in \tau$; \item $\forall \G \subset \tau$ systém podmonžin, $\displaystyle \bigcup _{G\in\G} G \in \tau$; \item $\forall \G \subset \tau$ konečný systém podmonžin, $\displaystyle \bigcap _{G\in\G} G \in \tau$. \end{enumerate} Prvky $\tau$ nazývme {\bf otevřené množiny} a jejich doplňky {\bf uzavřené množiny}, tj. $A \subset X$ je uzavřená $\Leftrightarrow X \backslash A \in \tau$ \end{define} \begin{remark} Je-li $A$ konečná, pak označme $\vert A \vert$ počet prvků množiny $A$. Vlastnost 3 stačí ověřit pro $\vert \G \vert = 2$ a dále matematickou indukcí. \end{remark} \begin{theorem}[o~uzavřených množinách] Buď $X$ množina. Pak platí: \begin{enumerate} \item $\emptyset, \ X$ jsou uzvařené; \item průnik libovolného systému uzavřených množin je uzavřená množina; \item konečné sjednocení uzavřených množin je uzavřená množina. \end{enumerate} \begin{proof} Trivální pomocí de-Morganových pravidel a z definice topologie a uzavřené množiny, vizte MAA3. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Pojmy \uv{nejmenší}, \uv{největší} pro množiny budeme uvažovat ve smyslu inkluze. \end{remark} \begin{define} Buď $M \subset X$. \begin{enumerate} \item Nejmenší uzavřenou množinu $A\subset X$ takovou, že $M\subset A$, nazýváme {\bf uzávěrem množiny $M$}. Označujeme $\overline{M} = A$ \item Největší otevřenou množinu $G\subset X$ takovou, že $G\subset M$, nazýváme {\bf vnitřkem množiny $M$}. Označujeme $M^o = G$ \end{enumerate} \end{define} S touto znalostí pak můžeme snadno přeformulovat definici uzavřenosti a otevřenosti množin. \begin{remark} Množina $M$ je uzavřená, právě když $M = \overline{M}$ a je otevřená, právě když $M = M^o$. \end{remark} \begin{theorem}[o~uzávěru a~vnitřku] Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $M\subset X$ libovolná. Pak v $X$ existuje uzávěr a vnitřek $M$. \befin{proof} \begin{enumerate} \item {\it Uzávěr}: Víme, že X je uzavřená množina. Pak uvažujme všechny uzavřené množiny, které obsahují $M$. Jejich průnikem je uzavřená množina, která obsahuje $M$ a~je s~touto vlastností nejmenší možná. \item {\it Vnitřek}: Víme, že $\emptyset$ je otevřená množina. Uvažujme tentokrát všechny otevřené podmnožiny $M$. Jejich sjednocením je otevřená množina, která je obsažena v $M$ a~je největší možná s~touto vlastností. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $x\in X$. Řekneme, že $U \subset X$ je {\bf okolím} bodu $x$, právě když $x \in U^o$. $U$ je {\bf otevřené okolí}, jestliže $x \in U \in \tau$. \end{define} Uveďme nyní některé příklady topologií na neprázdné množině $X$. Jako nejjednodušší se jeví zvolit do systému oněch množin jen prázdnou množinu a množinu $X$, tedy $\tau_1 = \{ \emptyset, \ X \}$. Tuhle topologii nazýváme {\it nejslabší (nejhrubší) topologií na X}. Další možností je zvolit za topologii potenční množinu, tj. $\tau_2 = \Pc(X)$. Tuhle topologii označujeme jako {\it diskrétní}. \begin{theorem}[o~doplňku uzávěru a~vnitřku] Buď $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $M \subset X$. Pak platí: \begin{enumerate} \item $X \backslash M^o = \overline{X \backslash M}$; \item $X \backslash \overline{M} = \left(X \backslash M \right)^o$. \end{enumerate} \begin{proof} cvičení \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Mějme $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor. Řekneme, že systém množin $\G \subset \tau$ je {\bf bází topologie $\tau$}, jestliže $$ \left(\forall U\in\tau\right) \left(\exists\G' \subset\G \right) (U = \bigcup _{G\in\G'} G).$$ \end{define} Následující věta nám ukáže, co musí splňovat systém množin, aby jej bylo možné považovat za bázi topologie. \begin{theorem} Buďte $X$ množina, $\G \subset \Pc(X) \backslash \{\emptyset \}$. Pak $\G$ je bází topologie $\tau$, právě když \begin{enumerate} \item $\displaystyle \bigcup _{G\in\G} G = X$; \item $(\forall G_1,G_2 \in \G) (\forall x \in G_1 \cap G_2) (\exists G_3 \in \G) (x \in G_3 \subset G_1 \cap G_2)$. \end{enumerate} V kladném případě je topologie $\tau = \tau(\G)$ určena jednoznačně a nazývá se {\bf topologie generovaná systémem $\G$}. \begin{proof} {\it Jednoznačnost}: $U \in \tau(\G) \Letfrightarrow (\exists \G' \subset \G) (U = \displaystyle \bigcup_{G \in \G'}G)$ Tímto jsme ukázali, že každý prvek z~topologie generované systémem je jednoznačně vyjádřitelný pomocí báze. {\it Nutná podmínka $(\Rightarrow)$ }: Nyní předpokládáme, že $\G$ je bází nějaké topologie. Pak z toho plyne, že sjednocením všech těchto prvků musí být největší otevřená množina v $X$, což je $X$ samotná. Víme dále, že průnikem otevřených množin je otevřená množina, tj. pokud vezmu libovolný bod z~průniku, leží v~průniku i~nějaké jeho otevřené okolí, což je otevřená množina a~pro tu musí existovat nějaké sjednocení množin z~$\G$ pokrývající tento průnik. Tím je dokázána druhá část tvrzení. {\it Postačující podmínky $(\Leftarrow)$}: Předpokládáme nyní platnost podmínek~1~a~2 a~topologii zavedeme tak, jak byla definovaná v~části o~jednoznačnosti. Pak nám stačí ověřit, jestli tyhle podmínky stačí k~tomu, aby byly splněny tři axiomy topologie. První z~nich je jasný. Nyní ukážeme, že libovolné sjednocení (přes libovolnou indexovou množinu $A$) lze zapsat jako jediné sjednocení, čímž ukážeme, že je sjednocení otevřené a~tedy leží v~topologii: $$ \displaystyle \bigcup_{\alpha \in A} \left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G_{\alpha}} G \right) = \dispalystyle \bigcup_{G \in \bigcup_{\alpha \in A} \G_{\alpha}} G. $$ Poslední axiom, tj. požadavek na otevřenost libovolného konečného průniku, stačí ukázat pro 2~prvky topologie (dle poznámky pod definicí topologie to stačí): $$\left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G'} G \right) \cap \left( \displaystyle \bigcup_{G\in \G'{}'}\right) = \displaystyle \bigcup_{G' \in \G', \ G'{}' \in \G'{}'} G' \cap G'{}'$$ Tímto je tvrzení dokázáno, protože dle 2. předpokladu je $G' \cap G'{}' \in \tau (\G)$ a~dle předešlého je tedy průnik těchto množin prvkem $\tau (\G)$ a~tedy je dokázáno, že $\tau (\G)$ je topologií na množině X. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem}[o~bázi topologie] Buďte $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $\G \subset \tau$. Pak $\G$ je bází topologie~$\tau$, právě když $$ \left( \forall U\in \tau \right) \left( \forall x \in U \right) \left( \exists G \in \G \right) \left( x \in G \subset U \right) . $$ \begin{remark} Tahle věta a podmínka v~ní vyjadřuje jen ten fakt, že libovolnou otevřenou množinu~$U$~lze zapsat jako sjednocení podsystémů množin $G \in \G $. \end{remark} \begin{proof} Zřejmý, s využitím předešlé věty a poznámky výše. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Buď $x\in X$, $\B \subset \tau$, pak $\B$ je {\it bází okolí} (též {\it lokální báze}) v~bodě $x$, právě když $\left( \forall U_x \right) \left( \exists B \in \B \right) \left( x \in B \subset U \right)$. \end{remark} \begin{define} Topologický prostor $\left(X,\ \tau \right)$ splňuje {\bf II. axiom spočetnosti}, jestliže má topologie~$\tau$ spočetnou bázi. Řekneme, že je {\bf separabilní}, jestliže $\exists S \subset X$, taková, že $S$ je spočetná a $\overline{S} = X$, tj. $S$ je hustá v $X$. \end{define} \noindent Pro účely následující věty bude vhodné připomenout jednu alternativní definici husté množiny. O~tom, že je tato definice korektní, se přesvědčíme v následujícím lemmatu: \begin{lemma} $$ \overline{S} = X \Leftrightarrow \left( \forall G \in \tau \backslash \{ \emptyset \} \right) \left( S \cap G \neq \emptyset \right) $$ \begin{proof} \begin{enumerate} \item[$\Leftarrow )$] Nechť platí pravá strana. Kdyby pak $X \backslash \overline{S} \neq \emptyset$, tak by odtud plynulo, že $G = X \backslash \overline{S} $ je otevřená množina a zároveň $S \cap G = \emptyset$, což je spor. \item[$\Rightarrow )$] Nechť $X = \overline{S}$, $\emptyset \neq G \in \tau$. Pak $X \backslash G \neq X$ je uzavřená množina, která nemůže obsahovat S. Kdyby jej obsahovala, tak $S \subset G \Rightarrow \overline{S} \subset X \backslash G \neq X$, což je spor s předpokladem. Proto tedy $S \cap G \neq \emptyset$. \end{enumerate} \end{proof} \end{lemma} \noindent Cítíme, že vlastnost II. axiomu spočetnosti je silnější než vlastnost separability. Následující věta tento vztah dokazuje. \begin{theorem}[o~separabiltě] Jestliže topologický prostor $\left(X,\ \tau \right)$ splňuje II. axiom spočetnosti, pak je separabilní. \begin{proof} Ze druhého axiomu spočetnosti plyne existence spočetné báze $\G = \{ G_k \vert k\in \mathbb{N}\}$, přičemž pro všechna $k \in \mathbb{N}$ platí $G_k \neq \emptyset$. Zvolme $s_k \in G_k$ pro všechna $k\in \mathbb{N}$. Položme $S = \{ s_k \vert k \in \mathbb{N}$. Nyní už víme, že S je díky konstrukci hustá~v~X, protože má neprázdný průnik s~každou neprázdnou otevřenou množinou, tj. $\forall B \in \tau \backslash \{ \emptyset \}$ a~$B \cap S \neq \emptyset$. \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Buďte $\left(X,\ \tau \right)$ topologický prostor, $S\subset X$, $x\in X$. Řekneme, že $x$ je {\bf hromadným bodem S}, právě když pro každé okolí~$U$ bodu~$x$ průnik $S \cap U$ obsahuje bod různý od~$x$. \end{define} \begin{define} Nechť $\left(X,\ \tau \right)$ je topologický prostor, $M\subset X$. Pak $\tau_M :=\{ G \cap M \vert G\in \tau$ je topologie na M. Říkáme, že $\left(M,\ \tau_m \right)$ je {\bf toplogický podprostor} a $\left(X,\ \tau \right)$. \end{define} \begin{remark} To, že $\tau_M$ je skutečně topologií, je jasné, ale je nutné to ověřit. \end{remark} \begin{remark} Uvažujme nyní $A \subset M \subset X$. Pak je důležité rozlišovat, vzhledem ke které z topologií provádíme topologické operace a zkoumáme topologické vlastnosti, neboť ty nejsou vždy shodné. \end{remark} Abychom tuhle vlastnost ilustrovali, uvažujme $X=\left[0,1\right]$ s~běžnou topologií, $M=\left(0,1\right)$. Zkoumejme nyní uzávěr množiny $A=M$ vzhledem k různým topologiím. $\overline{A} = \left[0,1\right] $ v $X$, ale $\overline{A} = \left(0,1\right)$ v $M$. \section{Spojitost} \begin{define} Buďte $\left(X_1,\ \tau_1 \right)$, $\left(X_2,\ \tau_2 \right)$ topologické prostory a~$f:X_1\longrightarrow X_2$. Řekneme, že $f$ je {\bf spojité zobrazení $X_1$ do $X_2$}, právě když $\left( \forall G \in \tau_2 \right) \left( f^{-1}(G) \in \tau_1 \right). \\ Je-li $x\in X_1$, řekneme, že zobrazení $f$ je {\bf spojité v bodě $x$}, právě když pro $y= f(x)$ platí: $$ \left( \forall V \in \tau_2 ,\ y \in V \right) \left( \exists U \in \tau_1 , \ x\in U \right) \left( f(U) \subset V \right). $$ \end{define} \begin{remark} Definice je ekvivalentní s~touto: $ \left( \forall V \in \tau_2 ,\ y \in V \right) \left( \exists U \in \tau_1 , \ x\in U \right) \left( U \subset f^{-1}(V) \right) $ \end{remark} \begin{theorem} Buďte $\left(X_1,\ \tau_1 \right)$, $\left(X_2,\ \tau_2 \right)$ topologické prostory. Pak $f:X_1\longrightarrow X_2$ je spojité, právě když $f$ je spojité v každém bodě $x\in X_1$. \begin{proof} cvičení \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Buď $f:X\longrightarrow Y$ bijekce, $f,\ f^{-1}$ spojitá. Pak $f$ nazýváme {\it homeomerfismem}. \item Buďte $f:X\longrightarrow Y$, $g:Y\longrightarrow Z$ spojitá zobrazení. Pak $h = g \circ f : X\longrightarrow Z$ je spojité zobrazení. \end{enumerate} \end{remark} \section{Axiomy oddělování} \begin{define} Buď $\left(X,\tau \right)$ topologický prostor. Řekneme, že $\left(X,\tau \right)$ je \begin{enumerate} \item {\bf $T_1$ prostor}, právě když $$\left(\forall x,y \in X,\ x \neq y \right) \left(\exists U \in \tau \ \land \ y \notin U \right);$$ \item {\bf $T_2$ prostor (Hausdorffův)}, právě když $$\left(\forall x,y \in X,\ x \neq y \right) \left(\exists U \in \tau \right) \left(\exists V \in \tau \right) \left(x\in U \ \land \ y\in V \ \land \ U\cap V = \emptyset \right);$$ \item {\bf $T_3$ prostor (regulární)}, právě když je $T_1$ a když $$\left(\forall x \in X \right) \left( \forall A \subset X,\ X\backslash A \in \tau, \ x\notin A \right) \left( \exists U, V \in \tau \right) \left(x \in U \ \land \ A\subset V \ \land \ U\cap V = \emptyset \right) ;$$ \item {\bf $T_4$ prostor (normální)}, právě když je $T_1$ a když $$\left( \forall A,B\subset X,\ A\cap B = \emptyset, \ X\backslash A \in \tau, \ X\backslash B \in \tau \right) \left( \exists U, V \in \tau \right) \left( A \subset U \ \land \ B\subset U \ \land \ U\cap V = \emptyset \right).$$ \end{define} \begin{remark} Axiomy výše se nazývají axiomy oddělitelnosti, neboť vyjadřují fakt, že je možné v prostoru \begin{enumerate} \item[$T_1$] oddělit jeden bod od druhého otevřenou množinou; \item[$T_2$] oddělit dva body od sebe dvěma otevřenými množinami; \item[$T_3$] oddělit bod od uzavřené množiny dvěma otevřenými množinami; \item[$T_4$] oddělit dvě uzavřené množiny dvěma otevřenými množinami. \end{enumerate} \end{remark} \begin{remark} $T_4 \Rightarrow T_3 \Rightarrow T_2 \Rightarrow T_1$ a tyhle implikace nelze obecně obrátit. Většinou budeme pracovat s minimálně Hausdorffovým prostorem. \end{remark} \begin{theorem} Toplogický prostor $X$ je $T_1$ prostor, právě když každá jednoprvková množina je v $X$ uzavřená. \begin{proof} Cvičení \end{proof} \end{theorem} \section{Kompaktnost} \begin{define} Topologický prostor $\left(X, \tau \right)$ je {\bf kompaktní}, právě když z každého otevřeného pokrytí prostoru $X$ lze vybrat konečné podpokrytí. \end{define} \begin{remark} Matematicky korektně formulováno nám to říká, že prosotr je kompaktní pokud pro pokrytí $\G \subset \tau $, $\displaystyle \bigcup _{G\in \G}G = X$ existuje $\G' \subset \G$ konečná taková, že $\displaystyle \bigcup_{G\in \G'}G = X$. \end{remark} \begin{remark} Buď $\left(X, \tau \right)$ topologický prostor, $K\subset X$. Řekneme, že {\it $K$ je kompaktní v $X$ }, právě když je $K$ kompaktní v relativní topologii, což znamená, že je-li $\G \subset \tau$, $K\subset \displaystyle \bigcup _{G\in \G}G $, pak existuje $\G'\subset \G$ konečná taková, že $K \subset \displaystyle \bigcup _{G\in \G'}G. $ \end{remark} \begin{theorem} \label{hnus} Toplogický prostor $X$ je kompaktní, právě když každý systém uzavřených množin $\{A_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathscr{A}}$, který splňuje $\forall \B \subset \mathscr{A}$ konečné $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \B} A_{\alpha} \neq \emptyset $, má neprázdný průnik. \begin{proof} Abychom dokázali toto tvrzení, bude potřeba dokázat dvě implikace. Místo nic ale dokážeme obměněné implikace, takže budeme dokazovat obměněné tvrzení: \noindent $X$ není kompaktní $\Leftrightarrow$ Existuje systém uzavřených množin $\{A_{\alpha} \}_{\alpha \in \mathscr{A}}$ takový, že libovolný podsystém $\{A_{\alpha} \}_{\alpha \in \B}$, kde $\B \subset \mathscr{A}$ je končená množina má neprázdný průnik a zároveň systém $\{A_{\alpha} \}_{\alpha \in \mathscr{A}}$ má prázdný průnik. \noindent Tyto dvě vlastnosti nám říkají, že $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \B} A_{\alpha} \neq \emptyset $, což znamená, že $X \backslash \displaystyle \bigcap_{\alpha \in \B} A_{\alpha} \neq X$. \noindent Toto ale jen říká, že $X\neq \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \B} \underbrace{\left(X \backslash A_{\alpha} \right)}_{\mbox{\scriptsize otevřená množina}}$. Toto ale říká, že není možné zapsat $X$ jako sjednocení konečného počtu otevřených množin. \noindent Zároveň z faktu, že $\displaystyle \bigcap_{\alpha \in \B} A_{\alpha} = \emptyset $ plyne, že $X = \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}} (X \backslash A_\alpha ) $. Toto je ale otevřené pokrytí $X$, jehož žádná konečná podmmnožina nepokrývá $X$. Proto $X$ není kompaktní. Pokud bychom nyní šli odzadu, dostaneme implikaci zleva doprava. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Uzavřená podmnožina $A$ kompaktního topologického prostoru $X$ je kompaktní. \begin{proof} Nechť $\G \in \tau $ tak, že $A \subset \displaystyle \bigcup_{G \in \G}G$. Pak ale $\left(\displaystyle \bigcup_{G \in \G}G \right)\cup\left(X\backslash A\right) $ je otevřené pokrytí $X$. Víme, že $X$ je kompakt, tedy existuje koneečné podpokrytí $\G' \subset \G$, tj. $\left(\displaystyle \bigcup_{G \in \G'}G \right)\cup\left(X\backslash A\right) = X = A \dot{\cup}\left(X\backslash A\right) $. Tedy vidíme, že $A$ je pokryta $\displaystyle \bigcup_{G \in \G'}G$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Množina $M\subset X$ je uzavřená, právě když veškeré její hromadné body leží v $M$. Speciálně množina bez hromadných bodů je uzavřená. \end{remark} \begin{theorem} V kompaktním prostoru $X$ má každá nekonečná množina hromadný bod. \begin{proof} {\it Sporem:} Buď $S\subset X$ nekonečná množina nemající hromadný bod (pro spor). Položme $\{x_k | k \in \mathbb{N} \} \subset S$ spočetná (očíslovatelná) podmnožina. Položme dále $\forall n \in \mathbb{N}$ množinu $X_n = \{x_k | k \in \mathbb{N} \ \land \ k \leq n \}$. Jedná se o posloupnost množin do sebe vnořených a žádná z množin $X_i$ nemá hromadný bod. Dle poznámky je tedy každá uzavřená v $X$. Zároveň $\forall m \in \mathbb{N}$ platí, že $\displaystyle \bigcap^m_{n=1} X_n = X_m \neq \emptyset$. Všechny konečné průniky jsou tedy neprázdné a $X$ je kompaktní, tedy dle věty $\ref{hnus}$ je $\displaystyle \bigcap^{+ \infty}_{n=1} X_n \neq \emptyset $. Zároveň je ale dle naší konstrukce posloupnosti $\displaystyle \bigcap^{+ \infty}_{n=1} X_n = \emptyset $ (vyplývá z toho, že $\forall n, k \in \mathbb{N}$ taková, že $n>k$, je $x_k \notin X_n$ ). Tímto jsme došli ke sporu. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Každá kompaktní podmnožina Hausdorffova prostoru $X$ je uzavřena. \begin{proof} Zvolme kompaktní podmnožinu $K\subset X$. Buď nyní $y\in x \backslash K$ libovolný a $\forall x\in K $ zvolme $U_x$ a $V_x$ otevřené množiny tak, že $x\in U_x$ a $y \in V_x$ a navíc $U_x \cap V_x = \emptyset$. Toto je možné díky tomu, že se pohybujeme v Hausdorffově prostoru. Pak je ale $K\subset \displaystyle \bigcup_{x\in K} U_x$ otevřené pokrytí. Vzhledem ke kompaktnosti $K$ existuje $\{x_1, \ x_2, \ \dots ,\ x_n\} \subset K$. Pro jednoduchost značení nyní pišme $U_{x_j} = U_j$ a obdobně tak $V_j$. Označme $V= \displaystyle \bigcap^n_{j=1} V_j$. Je zřejmé, že $y\in V$ a $V$ je otevřené okolí $y$. Zároveň $K\subset \displaystyle \bigcup^n_{j=1} U_j$. Z disjunktnosti $U_j$ a $V_j$ plyne, že $V\cap K = \emptyset$ a toto znamená, že $y \in V\subset (X\backslash K)$. Toto ale říká, že každý bod doplňku v něm leží i se svým okolím. Pak je ale $X \backslash K$ otevřená množina a tudíž je $K$ uzavřená množina v $X$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Spojitý obraz kompaktního prostoru $X$ je kompaktní. \begin{proof} Buďte $X, Y$ topologické prostory, $X$ kompaktnní a $f:X\longrightarrow Y$ spojité zobrazení. Buď $\displaystyle \bigcup_{G\in\G} G\supset f(X)$ otevřené pokrytí v $Y$. Pak je ale díky spojitosti $\forall G\in \G$ množina $f^{-1}(G) \subset X$ otevřená. Navíc $\displaystyle \bigcup_{G\in\G} f^{-1}(G) = X$. Z kompaktnosti $X$ plyne existence konečného podpokyrtí $\G' \subset \G$. Pak již ale víme, že $f(X) \subset \displaystyle \bigcup_{G\in\G} G $ je konečné otevřené podpokrytí $f(X)$ a tedy $f(X)$ je kompaktní. \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Topologický prostor nazýváme {\bf lokálně kompaktní}, právě když každý bod $x\in X$ má kompaktní okolí. \end{define} \begin{define} Posloupnost $\{x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ v topologickém prostoru X konverguje k $x_0 \in X$, právě když každé okolí bodu $x_0$ obsahuje všechny členy posloupnosti $\{x_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ až na konečně mnoho. Zapisujeme $x_n \to x_0$ pro $n \to + \infty$. \end{define} \begin{define} Topologický prostor $X$ je {\bf sekvenciálně separabilní}, právě když z každé posloupnosti v $X$ lze vybrat podposloupnost konvergentní v $X$. \end{define} \begin{remark} V metrických prostorech tyto dva pojmy splývají. V obecných toplogických prostorech se ale jedná o dva zcela nezávislé pojmy. \end{remark} \begin{remark} {\it Součinem topologií} je myšlen kartézský součin topologií, tj. mějme $\left( X, \tau_X \right), \left( Y, \tau_Y \right)$ topologické prostory. Položme $\B = \{U\times V \ | \ U\in \tau_X \ \land V \in \tau_Y \}$. Toto je báze jisté topologie $\tau_{X\times Y}$ na $X \times Y$. Že je tímto topologie určena (jednoznačně) se dozvíte na cvičeních. Navíc platí, že pokud mám $\mathscr{F}, \G$ po řadě báze topologií $\tau_X$ a $\tau_Y$, pak $\mathscr{H} = \{U \times V | U \in \mathscr{F} \ \land \ V \in \G \}$ je báze topologie $\tau_{X \times Y}$. To znamená, že množina $W \subset X\times Y$ je otevřená, právě když $\forall (x,y) \in W$ existují $U \in \mathscr{F}$ a $V \in \G $ takové, že $(x,y) \in U \times V \subset W $. Je zřejmé, že tuto definici lze rozšířit indukcí na konečné součiny. Dokonce je možné provést rozšíření na libovolné součiny, ale těmi se nebude zabývat a nebudeme je potřebovat. \end{remark} \begin{lemma}[o součinu toplogií] Buďte $(X,\tau_X), (Y,\tau_Y)$ topologické prostory, $\B = \{U\times V \ | \ U\in \tau_X \ \land V \in \tau_Y \}$ báze $\tau_{X\times Y}$. Buďte navíc zobrazení $$ p_x: X\times Y \longrightarrow X: (x,y)\longmapsto x; $$ $$ p_y: X\times Y \longrightarrow Y: (x,y)\longmapsto y. $$ Pak $\tau_{X\times Y}$ je nejhrubší (nejslabší) topologie na $X\times Y$ taková, že $p_x,p_y$ jsou spojité. \begin{proof} Buď $U\in \tau_X$, $V\in \tau_Y$. Pak $p^{-1} _x (U) = U\times Y$ a $p^{-1} _y (V) = X\times V$. Aby zobrazení byla spojitá, musí být množiny $U\times Y$ a $X\times V$ otevřené. Jelikož ale $U\times V = (U\times Y)\cap (X\times V)$ je prvkem topologie a je tudíž otevřená množina, musí být rovněž množiny, k jejichž průniku dochází otevřené (v tomto případě). Tímto je vynucena spojitost projektorů $p_x$ a $p_y$. \end{proof} \end{lemma} \begin{theorem} Kartézský součin konečného počtu kompaktních topologických prostorů je kompaktní. \begin{proof} K důkazu využijeme dvojice lemmat, která nejprve vyslovíme a dokážeme: \begin{lemma} Buďte $X,Y$ topologické prostory, $x_0\in X$. Pak zobrazení $f:Y\to X\times Y:y \longmapsto (x_0,y)$ je spojité \begin{proof} Buď $W \subset X\timesY$ otevřená množina a nechť $y\in f^{-1}(W)$ libovolný. Máme ukázat, že existuje $V\subset Y$ otevřená taková, že $y\in V\subset f^{-1}(W)$, co že je ekvivalentní s tvrzením, že $y\in V \land \{x_0\} \times V \subset W$. Ale my bereme $y\in f^{-1}(W)$. Odtud plyne, že $(x_0,y) = f(y) \in W$, což implikuje, že $\exists U\subset X, V\subset Y (x_0,y)\in U\times V \subset W$. V tuto chvíli jsme využili definici součinové topolgie. Nakonec tedy dostáváme, že $y\in V \land \{x_0\} \times V \subset W$, což jsme chtělii ukázat. \end{proof} \end{lemma} \begin{lemma} Buďte $X,Y$ topologické prostory, $K\subset Y$ kompaktní a $W\subset X\times Y$ otevřená. Jestliže $\exists x_0 \in X$ takový bod, že $\{x_0\}\times K \subset W$, pak existuje okolí $U$ bodu $x_0$ takové, že $U\times K \subset W$. \begin{proof} Z předešlého lemmatu víme, že zobrazení $f:Y\to X\times Y:y \longmapsto (x_0,y)$ je spojité. Přitom navíc víme, že $\forall y \in K $ existuje otevřené okolí $U_y$ bodu $x_0$, tj $x_0 \in U_y \subset X$. Zároveň je $y\in V_y \subset Y$ takové okolí, že $U_y \times V_y \subset W$ (zde jsme využili opět zavedenou součinovou topologii). Odtud plyne, že jsme nalezli otevřené pokrytí $K$, neboť $K \subset \displaystyle \bigcup_{y\in K}V_y$. Z kompaktnosti $K$ plyne existence konečného podpokrytí, tj. $\exists n \in \mathbb{N}$ a $\{y_1,\ y_2,\ \dots ,\ y_n\}\subset K$ takový systém, že $K \subset \displaystyle \bigcup_{k=0}^n V_{y_k}$. Položme nyní $U:= \displaystyle \bigcap_{k=1}^{n} U__{y_k} $. tato množina je otevřená a $x_0 \in U \neq \emptyset$. Pak již ale $U \times K \subset W$, neboť pro libovolné $x\in U$ a $y\in K$ existuje $k \in \hat{n}$ tak, že $y\in V_{y_k}$ a zároveň $x\in U_{y_k}$ (protože $x\in U$ a to je průnik všech $U_{y_k}$). To ale znamená, že $(x,y)\in U_{y_k} \times V_{y_k} \subset W$. A tedy jsme ukázali, že s každým bodem leží ve W i jeho okolí, které je podmnožinou W. Tímto jsme dokázali toto lemma. \end{proof} \end{lemma} Nyní přistupme k samotnému důkazu věty: Dokážeme ji pro dva prostory $X,Y$, což stačí. Předpokládejme tedy, že $X,Y$ jsou kompaktní. Buď dále $X \times Y = \bigcup_{\alpha \in \mathsrc{A}}W_{\alpha}$ otevřené pokrytí. Zvolme $x_0 \in X$ libovolně. Pak dle prvního lemmatu je $f:Y\to X\times Y:y \longmapsto (x_0,y)$ spojité a tedy $f(Y) = \{x_0\} \times Y \subset X\times Y $ je kompaktní. Toto plyne z kompaktnosti $Y$. Proto existuje $\mathscr{A}(x_0) \subset \mathscr{A}$ konečná indexová množina taková, že $\{ x_0 \} \times Y \subset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \mathsrc{A}(x_0)}W_{\alpha}$. Nyní ale podle druhého lemmatu existuje otevřené okolí takové, že $x_0 \in U_{x_0}\subset X$ tak, že $U_{x_0} \times Y \subset \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \mathsrc{A}(x_0)}W_{\alpha}$. Z kompaktnosti $X$ plyne, že pokud $\displaystyle \bigcup_{x\in X}U_x = X$ je otevřené pokrytí, pak existuje $m\in \mathbb{N}$ takové, že $\{x_1,\ x_2,\ \dots ,\ x_m\}\subset X$ splňuje $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{m}U_{x_k} = X$. Pak ale $X\times Y = \displaystyle \bigcup_{j=1}^{m}(\underbrace{U_{x_j} \times Y}_{\mbox{\scriptsize má }\forall j \mbox{ končené podpokrytí}} $. Tedy $X\times Y$ má končené podpokrytí a je tudíž kompaktní. \end{proof} \end{theorem}