01MAA4:Kapitola27: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Změna značení L, drobné úpravy.) |
(značení, pravopis) |
||
Řádka 3: | Řádka 3: | ||
\begin{lemma} | \begin{lemma} | ||
− | Nechť $\phi_0,\posl{\phi_n}\ | + | Nechť $\phi_0,\posl{\phi_n}\subset\LL$, $\abs{\phi_n}\lesssim\phi_0$. Pak |
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
\item $\alpha=\liminf_{n\to\infty}\phi_n\in\LL$ | \item $\alpha=\liminf_{n\to\infty}\phi_n\in\LL$ | ||
Řádka 38: | Řádka 38: | ||
\begin{theorem}[Lebesgue] | \begin{theorem}[Lebesgue] | ||
\label{lebesgue} | \label{lebesgue} | ||
− | Buď $\posl{\phi_n}\ | + | Buď $\posl{\phi_n}\subset\LL$, $\phi_n\to\phi$ a |
$(\exists\phi_0\in\LL)(\forall n\in\N)(\abs{\phi_n}\lesssim\phi_0)$. | $(\exists\phi_0\in\LL)(\forall n\in\N)(\abs{\phi_n}\lesssim\phi_0)$. | ||
Pak $\phi\in\LL$ a | Pak $\phi\in\LL$ a | ||
Řádka 113: | Řádka 113: | ||
\begin{theorem}[Fatou] | \begin{theorem}[Fatou] | ||
\label{Fatou} | \label{Fatou} | ||
− | Buď $\posl{\phi_n}\ | + | Buď $\posl{\phi_n}\subset\LL$, $\phi_n\to\phi$ a $\II\abs{\phi_n}\le |
c$. Pak $\phi\in\LL$ a $\II\abs{\phi}\le c$. | c$. Pak $\phi\in\LL$ a $\II\abs{\phi}\le c$. | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
Řádka 165: | Řádka 165: | ||
Prostor $ L^1$ je Banachův (úplný normovaný vektorový prostor) | Prostor $ L^1$ je Banachův (úplný normovaný vektorový prostor) | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | Vezmu posloupnost tříd $\posl{[\phi_n]}\ | + | Vezmu posloupnost tříd $\posl{[\phi_n]}\subset L^1$. Nechť |
$\posl{[\phi_n]}$ je cauchyovská, tj. | $\posl{[\phi_n]}$ je cauchyovská, tj. | ||
\[(\forall\epsilon>0)(\exists n_0)(m,n>n_0) | \[(\forall\epsilon>0)(\exists n_0)(m,n>n_0) |
Aktuální verze z 11. 4. 2016, 21:11
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Limitní přechody} \begin{lemma} Nechť $\phi_0,\posl{\phi_n}\subset\LL$, $\abs{\phi_n}\lesssim\phi_0$. Pak \begin{enumerate}[(i)] \item $\alpha=\liminf_{n\to\infty}\phi_n\in\LL$ \item $\beta=\limsup_{n\to\infty}\phi_n\in\LL$ \item \[-\II\phi_0\le\II\alpha\le\liminf_{n\to\infty}\II\phi_n\le \limsup_{n\to\infty}\II\phi_n\le\II\beta\le\II\phi_0.\] \end{enumerate} \begin{proof} Buďte \[\alpha=\liminf_{k\to\infty}\phi_k,\quad\beta=\liminf_{k\to\infty}\phi_k.\] \[-\phi_0\lesssim\alpha_m^{(n)}:=\min_{n\le k\le m}\phi_k,\quad\beta_m^{(n)}:=\max_{n\le k\le m}\phi_k\lesssim\phi_0.\] Zřejmě je $\alpha_m^{(n)}\in\LL$, $\beta_m^{(n)}\in\LL$ a \[\alpha_m^{(n)}\searrow\alpha_n=\inf_{k\ge n}\phi_k,\quad \beta_m^{(n)}\nearrow\beta_n=\sup_{k\ge n}\phi_k.\] Podle věty \ref{levi-dusledek} jsou $\alpha_n$ a $\beta_n\in\LL$ a současně $\alpha_n\nearrow\alpha\in\Lambda$, $\beta_n\searrow\beta\in\Lambda$. Protože $\II\alpha_n\le\II\phi_0$ a $\II\beta_n\ge -\II\phi_0$, jsou i $\alpha,\beta\in\LL$. Platí: $-\phi_0\lesssim\alpha_n\lesssim\phi_n\lesssim\beta_n\lesssim\phi_0$. Integrací dostaneme \[ -\II\phi_0\le\liminf_{n\to\infty}\II\alpha_n\le \liminf_{n\to\infty}\II\phi_n\le \limsup_{n\to\infty}\II\phi_n\le \limsup_{n\to\infty}\II\beta_n\le\II\phi_0. \] Protože limity \[\lim_{n\to\infty}\II\alpha_n \, \quad \mathrm{a} \, \quad \lim_{n\to\infty}\II\beta_n \] existují, vyplývá odtud již tvrzení věty. \end{proof} \end{lemma} \begin{theorem}[Lebesgue] \label{lebesgue} Buď $\posl{\phi_n}\subset\LL$, $\phi_n\to\phi$ a $(\exists\phi_0\in\LL)(\forall n\in\N)(\abs{\phi_n}\lesssim\phi_0)$. Pak $\phi\in\LL$ a \[\II\phi=\lim_{n\to\infty}\II\phi_n.\] Posloupnost integrabilních funkcí je integrabilní, jestliže existuje integrabilní majoranta. \begin{proof} Vyplývá z~minulé věty, pokud položíme $\limsup=\liminf$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} %\label{lebesgue-poznamka} \item Weierstrass: \[\sum_{n=1}^\infty f_n(x),\quad \abs{f_n(x)}\le c_n,\] analogicky \[\int\phi_n(x),\quad \abs{\phi_n(x)}\le\phi_0(x).\] % %\item % %\[ % %\text{Z}\mathfrak R\!\int_a^b f=\mathfrak{L}\!\int_a^b f % %\] % %\[ % %f_n(x)= % %\begin{cases} % %f(x)&\text{pro }x\in\left[ a,b-\frac1n\right] \cup\left[ a,a+n\right] \\ % %0&\text{jinak} % %\end{cases} % %\] % %\[\lim_{n\to\infty}\II f_n=\II f\] % %Jestliže Riemann konverguje absolutně, pak $\abs{f}=f^+ +f^-$ (obě % %konečné), tedy $f\in\LL$. % % % %Jestliže Riemann konverguje neabsolutně, pak $f=f^+ -f^-$ % %\[\text{NAZ}\mathfrak R\!\int_a^b f\implies\int_a^b f^+=\int_a^b f^-=+\infty\] % %a neexistuje Lebesgueův integrál. % % % %Lebesgue do své teorie zahrne absolutně konvergentního Riemanna, % %ale neabsolutního ne. Lze zavést zobecněného Lebesgua. \item Buď $\posl{\phi_n}\in\LL$, $\phi_n\to\phi$, $(\exists\phi_0\in\LL)(\abs{\phi}\lesssim\phi_0)$. Pak $\phi\in\LL$. \begin{proof} $\phi_n$ se oříznou pomocí $\phi_0$. $\psi_n=\max(-\phi_0,\min(\phi_0,\phi_n))\in\LL$, $\abs{\psi_n}\le\phi_0$, $\phi_n\to\phi$, $\psi_n\to\phi$, tedy podle předchozí věty $\phi\in\LL$. \end{proof} \end{enumerate} \end{remark} \begin{lemma} Nechť $\phi_n\gtrsim 0$, $\phi_n\in\LL$ a $\II\phi_n\le c$ pro každé $n$. Pak \[\alpha=\liminf_{n\to\infty}\phi_n\in\LL\] a platí \[0\le\II\alpha\le\liminf_{n\to\infty}\II\phi_n\le c.\] \begin{proof} Položme \[\alpha_m^{(n)}=\min_{n\le k\le m}\phi_k\in\LL,\] zřejmě je $\II\alpha_m^{(n)}\le c$ a platí, že \[\alpha_m^{(n)}\searrow\alpha_n=\inf_{k\ge n}\phi_k,\] podle věty \ref{levi-dusledek} je $\alpha_n\in\LL$ a $\II\alpha_n\le c$. Protože je $\alpha_n\nearrow\alpha$, podle Leviovy věty je $\alpha\in\LL$ a $\II\alpha=\lim_{n\to\infty}\II\alpha_n$. Pro $\forall n$ platí $0\lesssim\alpha_n\lesssim\phi_n$, tedy $0\le\II\alpha_n\le\II\phi_n\le c$ a $0\le\lim\II\alpha_n= \II\alpha\le \liminf\II\phi_n\le c$. \end{proof} \end{lemma} \begin{remark} Z existence integrabilní majoranty plyne omezenost $\II\phi_n$, opačně to platit nemusí. \end{remark} \begin{theorem}[Fatou] \label{Fatou} Buď $\posl{\phi_n}\subset\LL$, $\phi_n\to\phi$ a $\II\abs{\phi_n}\le c$. Pak $\phi\in\LL$ a $\II\abs{\phi}\le c$. \begin{proof} Položíme $\psi_n=\abs{\phi_n}$. Posloupnost $\psi_n$ splňuje předpoklady předchozí věty a tedy platí, že $\II\abs{\phi}\le c$. %Protože $\phi\lesssim\psi$, je $\phi\in\LL$ a$\abs{\II\phi}\le\II\psi\le c$. Z poznámky \ref{lebesgue}.2, kde bude $\phi_0:= \abs{\phi}\in \LL$ plyne, že $\phi \in \LL$ \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buď $L^1$ množina všech tříd rozkladu $\LL$ podle ekvivalence $\!\sim$ s~obvykle definovanými operacemi součtu a násobení číslem. Je-li $[\phi]\in L^1$, položme normu $\norm{[\phi]}=\II\abs{\psi}$, kde $\psi\in[\phi]$. Potom $L^1$ je normovaný lineární prostor. \begin{proof} Pro operace platí \[[\phi]+[\psi]=\left\{\chi\in L^1\left|~\chi=\phi_1+\psi_1,~\phi_1\in[\phi],\psi_1\in[\psi]\right.\right\},\] \[\alpha[\phi]=\left\{\chi\in L^1\left|~\chi=\alpha\phi_1,~\phi_1\in[\phi]\right.\right\} \quad \forall\alpha \in \R.\] Axiomy lineárního prostoru zřejmě platí. Norma je pozitivní $\norm{[\phi]}\ge 0$ a platí, že\\ $\norm{[\phi]}=0\implies[\phi]=[o]$ (nulová funkce). Norma je tedy skutečně normou splňující axiom pozitivní definitnosti. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Prostor $ L^1$ neobsahuje funkce, nýbrž třídy ekvivalence funkcí. Vzhledem k definici tedy neexistuje pojem funkční hodnota, neboť funkce v rámci třídy se od sebe liší na množině míry nula. Budeme-li tedy brát prvek z $ L^1$, budeme tím mít na mysli reprezentanta dané třídy. Ne každá třída má však spojitého reprezentanta! To platí v tzv. Sobolevově prostoru. \item Důvod zavedení tohoto prostoru tkví v tom, že jsme takto získali prostor, z němž základní integrál generuje normu. V $\LL$ sice normu můžeme zavést stejným způsobem, nesplňuje však třetí axiom normy --- nejen nulová funkce má nulovou normu. (jedná se tedy o seminormu). \end{enumerate} \end{remark} %\begin{define} %Označme symbolem $\LL_1$ lineární prostor na $\Sim\LL$ s~definovanou %normou $\norm{[\phi]}=\II\abs{\psi}$, kde $\psi\in[\phi]$. %\end{define} %\begin{proof} %Množina $\LL$, ekvivalence $\sim$; $L/\sim=\Sim\LL$ {\bf %faktormnožina}, $[\phi]\in\Sim\LL$, %$\psi_1,\psi_2\in[\phi]\iff\psi_1\sim\psi_2$. % %Třídy jsou buď totožné nebo disjunktní, %$[\phi]\cap[\psi]\not=\emptyset\implies[\phi]=[\psi]$. % %$[\phi]+[\psi]=\widehat{\phi+\psi}$ %$\alpha[\phi]=\widehat{\alpha\phi}$ jsou operace na $\Sim\LL$. %\end{proof} \begin{theorem}[Riesz, Fischer] Prostor $ L^1$ je Banachův (úplný normovaný vektorový prostor) \begin{proof} Vezmu posloupnost tříd $\posl{[\phi_n]}\subset L^1$. Nechť $\posl{[\phi_n]}$ je cauchyovská, tj. \[(\forall\epsilon>0)(\exists n_0)(m,n>n_0) \left(\norm{[\phi_n]}-[\phi_m]<\epsilon\right).\] Položme \[\epsilon=\frac1{2^k},\] tedy \[(\forall k\in\N)(\exists n_k)(\forall m>n_k) \left(\norm{[\phi_m]-[\phi_{n_k}]}<\frac1{2^k}\right).\] Vytvořím z~$n_k$ rostoucí posloupnost, stačí dokázat, že konverguje vybraná posloupnost $\phi_{n_k}$. \[\II\abs{\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}}= \norm{[\phi_{n_{k+1}}]-[\phi_{n_k}]}\le \frac1{2^k}\] a proto \[\II\sum_{k=1}^m\abs{\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}}\le 1\] pro každé $m\in\N$. Podle Leviho má řada \[\sum_{k=1}^\infty\abs{\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}}\] integrabilní součtovou funkci a proto skoro všude absolutně konverguje, a~tedy konverguje skoro všude i~řada \[\sum_{k=1}^\infty\left(\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}\right).\] Současně platí \[\sum_{k=1}^\infty\left(\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}\right)\sim \underbrace{\lim_{k\to\infty}\phi_{n_k}}_{\phi}-\phi_{n_1}. \] Posloupnost $\phi_{n_k}$ tedy skoro všude konverguje k funkci \[ \lim_{k\to\infty}\phi_{n_k} = \phi=\phi_{n_1}+ \sum_{k=1}^\infty\left(\phi_{n_{k+1}}-\phi_{n_k}\right).\] Dokážeme, že $\phi$ je integrabilní. Buď $k\in\N$ pevné, $p>k$, \[\II\abs{\phi_{n_p}-\phi_{n_k}}\le\frac1{2^k},\] \[\phi_{n_p}-\phi_{n_k}\to\underbrace{\phi-\phi_{n_k}}.\] Podle věty \ref{Fatou} je $\abs{\phi-\phi_{n_k}}\in\LL$ a tedy $\phi\in\LL$ a $[\phi]\in L^1$. Teď má smysl psát \[\norm{\phi-\phi_{n_k}}=\II\abs{\phi-\phi_{n_k}}\le\frac1{2^k}.\] Sestrojili jsme tak podposloupnost, která konverguje k~integrabilní funkci, tedy cauchyovská posloupnost konverguje. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Množina $\HH$ je v~$\LL$ hustá, tj. $\HH\subset\LL\wedge\LL\subset\uz{\HH}$. \begin{proof} Buď $\phi\in\LL$, $\phi\sim f-g$, $f,g\in\LL^+$, $h_n,k_n$ posloupnosti $h_n\nearrow f$, $k_n\nearrow g$. Sestrojím $l_n=h_n-k_n$, pak \[\norm{\Sim{l_n}-[\phi]}=\II\abs{l_n-\phi}\le \II\abs{h_n-f}+\II\abs{k_n-g}=(\II f-\II h_n)+(\II g-\II k_n)\to 0,\] tedy $\LL\subset\uz{\HH}$. \end{proof} \end{theorem}