01MAA4:Kapitola39: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založení kapitoly Vnější algebra.) |
m (stejné, jako předchozí úprava.) |
||
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze od stejného uživatele.) | |||
Řádka 32: | Řádka 32: | ||
\left| | \left| | ||
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
− | \covec e^{i_1}(\vec | + | \covec e^{i_1}(\vec x_1) & \hdots & \covec e^{i_1}(\vec x_{k}) \\ |
\vdots & & \vdots\\ | \vdots & & \vdots\\ | ||
− | \covec e^{i_k}(\vec x_{ | + | \covec e^{i_k}(\vec x_{1}) & \hdots & \covec e^{i_k}(\vec x_{k}) |
\end{matrix} | \end{matrix} | ||
\right| | \right| | ||
Řádka 46: | Řádka 46: | ||
\[ | \[ | ||
\covec e^{\lambda}(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k})= | \covec e^{\lambda}(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k})= | ||
− | \sum_{\pi \in S_{\lambda}} \sgn \pi ~ \covec e^{\pi (i_1)}(\vec x_{ | + | \sum_{\pi \in S_{\lambda}} \sgn \pi ~ \covec e^{\pi (i_1)}(\vec x_{1}) \dots \covec e^{\pi (i_k)}(\vec x_{k}). |
\] | \] | ||
\end{enumerate} | \end{enumerate} |
Aktuální verze z 3. 5. 2017, 21:13
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Vnější algebra} %\begin{remark} Z této kapitoly Vrána zmiňuje pouze útržky nutné pro příští kapitolu. To však neznamená, že byste této kapitole neměli věnovat pozornost, spíše naopak. Významně totiž abstrahuje dosavadní poznatky z fyzikálních předmětů a dává jim nutný matematický podklad. Matematičtí fyzici by této kapitole měli věnovat zvláštní pozornost. %\end{remark} \begin{define} Množinu všech $k$-lineárních antisymetrických forem definovaných na $V^n$ budeme značit $\Lambda^k(V^n)$. Říkáme, že $\Lambda^k(V^n)$ je {\bf $k$-tá vnější mocnina prostoru $V^n$}. \end{define} \begin{theorem} $\Lambda^k(V^n)$ tvoří lineární prostor nad $\R$. Speciálně platí $\Lambda^0(V^n)=\R$, $\Lambda^1(V^n)=V^n$. \end{theorem} \begin{define} Buď $k \in \n, n \in \N$. Symbolem $n \nad k$ budeme značit množinu všech uspořádaných $k$-tic \[\lambda = (i_1, \dots,i_k),\] pro něž $(\forall p \in \hat k)(i\in \n)$ a $i_1<\dots <i_k$. \end{define} \begin{remark} Symbol $n \nad k$ pro tuto kapitolu tedy bude znamenat {\bf množinu} rostoucích $k$-tic, nikoli kombinační číslo. Počet prvků této množiny budeme značit $$\abs{n \nad k}=\frac{n!}{k!(n-k!)}$$ \end{remark} \begin{define} Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec x_{i_1}, \dots,\vec x_{i_k}) \in V^n$. Potom klademe $\vec x_{\lambda}=(\vec x_{i_1}, \dots,\vec x_{i_k})$. \end{define} \begin{define} Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$, soubor $(\covec e^{i_1}, \dots,\covec e^{i_k})$ k ní duální báze $V_n$. Potom symbolem $\covec e^{\lambda}$ budeme značit k-lineární antisymetrickou formu definovanou vztahem \[ \covec e^{\lambda}(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k}) = \left| \begin{matrix} \covec e^{i_1}(\vec x_1) & \hdots & \covec e^{i_1}(\vec x_{k}) \\ \vdots & & \vdots\\ \covec e^{i_k}(\vec x_{1}) & \hdots & \covec e^{i_k}(\vec x_{k}) \end{matrix} \right| .\] \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Platí $\covec e^{\lambda}(\vec e_{\lambda})=1$. \item Označíme-li $S_{\lambda}$ množinu všech permutací $k$-tice $\lambda$, pak lze z definice determinantu psát \[ \covec e^{\lambda}(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k})= \sum_{\pi \in S_{\lambda}} \sgn \pi ~ \covec e^{\pi (i_1)}(\vec x_{1}) \dots \covec e^{\pi (i_k)}(\vec x_{k}). \] \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Nechť ${n \nad k}=\left\lbrace \lambda_1, \dots, \lambda_p\right\rbrace,$ kde $p=\abs{n \nad k}$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$. Potom soubor forem \[(\covec e^{\lambda_1}, \dots , \covec e^{\lambda_p})\] tvoří bázi $\Lambda^k(V^n)$ a $\dim \Lambda^k(V^n)=\abs{n \nad k}$. \end{theorem} \begin{define} \label{wedge} Označme $\Lambda(V^n)$ direktní součet prostorů $\Lambda^0(V^n) \oplus \Lambda^1(V^n) \oplus \dots \oplus \Lambda^n(V^n)$ a definujme zobrazení $\wedge : \Lambda(V^n) \times \Lambda(V^n) \mapsto \Lambda(V^n)$ bodově vztahem \[ (\sigma \wedge \varrho)(\vec x_{1}, \dots,\vec x_{k+l})=\frac{1}{k!~l!} \sum_{\pi \in S_{k+l}} \sgn \pi ~ \sigma(\vec x_{\pi (1)} \dots \vec x_{\pi (k)}) ~ \varrho(\vec x_{\pi (k+1)} \dots \vec x_{\pi (k+l)}) \] pro všechna $\sigma \in \Lambda^k(V^n), \varrho \in \Lambda^l(V^n), (\vec x_1,\dots \vec x_{k+l}) \in V^n$. Potom \begin{enumerate}[(I)] \item dvojici $(\Lambda(V^n), \wedge)$ nazýváme {\bf vnější algebra} prostoru $V^n$, \item operaci $\wedge$ nazýváme {\bf vnější násobení}, \item prvek $\sigma \wedge \varrho \in \Lambda(V^n)$ nazýváme {\bf vnější součin} prvků $\sigma, \varrho$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark}Operace vnějšího násobení je bilineární zobrazení s následujícími vlastnostmi: \begin{enumerate} \item Asociativita \item Antikomutativita: ($\forall \sigma\in \Lambda^k(V^n), \varrho \in \Lambda^l(V^n))(\sigma\wedge\varrho=(-1)^{kl}\varrho\wedge\sigma)$ \end{enumerate} \end{remark} \begin{remark}Důležitým důsledkem antikomutativity je antisymetrie. Pro $k=1$, resp. $ l=1$ při označení z předchozí poznámky platí \begin{enumerate} \item $(\forall \vec x, \vec y \in V^n)(\vec x\wedge \vec y = -\vec y\wedge \vec x)$ \item $(\forall \covec x, \covec y \in V_n)(\covec x\wedge \covec y = -\covec y\wedge \covec x)$ \end{enumerate} Neboť z poznámky \ref{dx} plyne označení $\covec e^i=\d x^i$, plynou odtud tyto nejčastěji užívané vlastnosti \begin{enumerate} \item $\d x^i \wedge \d x^j=-\d x^j \wedge \d x^i$ \item $\d x^i \wedge \d x^i=0$ \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} \label{k-vektor} Nechť $k\in\N,x^1,\dots,x^k \in \Lambda(V^n),\pi\in S_k$. Potom klademe \[ x^{\pi(1)\dots\pi(k)}=x^{\pi(1)}\wedge\dots\wedge x^{\pi(k)}. \] \end{define} \begin{remark} Následující pozorování můžeme učinit na základě předchozích definic. \begin{enumerate} \item Nechť $\lambda \in {n \nad k}$, soubor $(\vec e_{1}, \dots,\vec e_{n})$ báze $V^n$, soubor $(\covec e^{1}, \dots,\covec e^{n})$ k ní duální báze $V_n$. Potom platí $\covec e^{\lambda}=\covec e^{i_1}\wedge\dots\wedge \covec e^{i_k}$. \item Nechť ${n \nad 1}\cup\dots\cup{n \nad n}=\left\lbrace \lambda_1, \dots, \lambda_p\right\rbrace$, kde $p=\abs{{n \nad 1}\cup\dots\cup{n \nad n}}=2^n-1$, soubor $(\vec e_{i_1}, \dots,\vec e_{i_k})$ báze $V^n$. Potom soubor prvků \[(1, \covec e^{\lambda_1}, \dots , \covec e^{\lambda_p})\] tvoří bázi $\Lambda(V^n)$ a $\dim \Lambda(V^n)=2^n$. \item $(\Lambda^k(V^n))^\#=\Lambda^k(V_n)$, obdobně $(\Lambda(V_n))^\#=\Lambda(V^n)$ \item Pro libovolné $k\in\n_0$ platí $\dim \Lambda^k(V^n)=\dim \Lambda^{n-k}(V^n)$, tedy $\Lambda^k(V^n) \cong \Lambda^{n-k}(V^n)$ (prostory jsou izomorfní). Zkonstruujeme mezi nimi izomorfismus zvaný Hodgeův operátor. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} \label{orientace} Nechť $(\vec e_1,\dots, \vec e_n)$ báze $V^n$. Libovolnou nenulovou $n$-lineární antisymetrickou formu $\sigma$ definovanou na $V^n$ nazýváme {\bf orientací prostoru} $V^n$. Řekneme, báze $V^n$ je \begin{enumerate} \item {\bf kladně orientovaná} $\iff \sigma (\vec e_1,\dots, \vec e_n) > 0$ \item {\bf záporně orientovaná} $\iff \sigma (\vec e_1,\dots, \vec e_n) < 0$ \end{enumerate} \end{define} \begin{define} \label{hodge} Nechť $(\vec e_1,\dots, \vec e_n)$ kladně orientovaná ortonormální báze $(V^n, \la\cdot,\cdot\ra)$ se zvolenou orientací $\sigma$. Potom pro každý totálně antisymetrický tenzor $x\in \Lambda^k(V^n)$ definujeme duální tenzor $\star x\in \Lambda^{n-k}(V^n)$ vztahem \[ x\wedge y = \la \star x,y \ra ~\vec e_1 \wedge \dots \wedge \vec e_n \] pro každé $y\in \Lambda^{n-k}(V^n)$. Izomorfismus $\star : \Lambda^{k}(V^n) \mapsto \Lambda^{n-k}(V^n)$ nazýváme {\bf Hodgeův operátor}. Výsledek operace Hodgeova operátoru nazýváme Hodgeův duál, resp. Hodgeův sdružený tensor. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item $(\forall x, y \in \Lambda^{k}(V^n))(\la \star x,\star y \ra=\la x,y \ra)$ \item Z Riezsovy věty vyplývá, že při zvolené orientaci existuje ke každému antisymetrickému tenzoru právě jeden tenzor duální. Záleží však na orientaci báze! Proto se duální tenzor nazývá {\bf pseudotenzor} (popř. pseudoskalár, pseudovektor) a mění znaménko při změně orientace. \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} Zobrazení, které každému bodu z afinního prostoru $\R^n$ přiřadí tenzor, nazveme \item {\bf tenzorovým polem} $\boldsymbol\omega$ na prostoru $\R^n$, zobrazuje-li $\boldsymbol\omega:\R^n\mapsto \Lambda^k(V_n)$. \end{define} \begin{define} \label{difkform} Nechť $(\covec e^{1}, \dots,\covec e^{n})$ báze $(V^n)^\#$ a $\omega_{\lambda}: \R^n\mapsto\R$. {\bf Diferenciální $k$-formou} (resp. diferenciální formou stupně $k$) rozumíme tenzorové pole $\boldsymbol\omega$, jehož složky jsou skalárními poli $\omega_{\lambda}$, tj. \[\boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}}\omega_{\lambda}\covec e^{\lambda}.\] \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Z \ref{omega} víme, že obecnou diferenciální 1-formu $\boldsymbol\omega$ můžeme zapsat ve tvaru \[\boldsymbol\omega=\sum_{i=1}^n\omega_i\d x^i.\] \item Obdobně diferenciální $k$-formu $\boldsymbol\omega$ můžeme s užitím poznámky \ref{k-vektor}.1 zapsat ve tvaru \[\boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda\, \d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\] \item Hodnota diferenciální $k$-formy $\boldsymbol\omega$ v bodě $x$ se obvykle zapisuje ve tvaru \[\omega(x)=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \omega_\lambda(x)~ \d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\] \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} \label{axiomyextdif} {\bf Vnější derivace} je zobrazení $\d$ přiřazující $k$-formě $(k+1)$-formu, které splňuje následující vlastnosti. \begin{enumerate}[(I)] \item totální diferenciál: ($\forall f\in \c{1}) (\d f=f')$ \item nilpotentnost: Pro každou $k$-formu $\boldsymbol\omega$ platí $\d(\d \boldsymbol\omega)=\d^2\boldsymbol\omega=0$. \item derivační vlastnost: Pro každou $k$-formu $\boldsymbol\omega$ platí $\d(\boldsymbol\omega\wedge\boldsymbol\zeta)=\d\boldsymbol\omega\wedge\boldsymbol\zeta+(-1)^k(\boldsymbol\omega\wedge\d\boldsymbol\zeta)$ \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Vnější derivace je těmito vlastnostmi dána jednoznačně. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Vnější derivací diferenciální $k$-formy je diferenciální $(k+1)$-forma \[\d \boldsymbol\omega=\sum_{\lambda\in {n\nad k}} \d\omega_\lambda\wedge \d x^{i_1}\wedge\d x^{i_2}\wedge\dots\wedge\d x^{i_k}.\] \end{theorem} \begin{define} Diferenciální $k$-forma $\boldsymbol\omega$ je {\bf třídy $\c{q}$}, právě když $\omega_\lambda$ jsou třídy $\c{q}$ pro všechna $\lambda\in {n\nad k}$. \end{define} \begin{define} Diferenciální $k$-forma $\boldsymbol\omega$ se nazývá \begin{enumerate}[(I)] \item {\bf uzavřená}, jestliže $\d \boldsymbol\omega=0$, \item {\bf exaktní}, jestliže existuje $(k-1)$-forma $\boldsymbol\xi$ taková, že $\d \boldsymbol\xi=\boldsymbol\omega$. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Ze axiomu (II) vnější derivace platí: exaktnost $\implies$ uzavřenost. \item K opačné implikaci již nestačí jen jednoduchá souvislost, ale další podmínky (jako např. konvexnost). \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} \label{findhodge} Buď $(\covec e^1,\dots\covec e^n)$ ON báze $V_n$, $\boldsymbol\omega=\covec e^n\wedge\dots\wedge \covec e^n$ diferenciální $n$-forma. Potom platí \[ \star(\covec e^1 \wedge \dots \wedge \covec e^k)=\covec e^{k+1} \wedge \dots \wedge \covec e^n. \] \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item V $\R^3$ můžeme z předchozí věty vyjádřit příslušné ortonormální kovektory (1-formy) jako diferenciální 2-formy, neboť dle platí ${3\choose 1}={3\choose 2}$, tj. 2 forma je izomorfní s 1-formou a \[ \begin{split} \star\d x &=\d y \wedge \d z, \\ \star\d y&=\d z \wedge \d x=-\d x \wedge \d z, \\ \star\d z&=\d x \wedge \d y. \\ \end{split} \] Vidíme, že Hodgeův operátor souvisí vektorovým součinem. Pro každé $\vec x, \vec y \in \R^3$ platí \begin{enumerate} \item $\vec x \times \vec y=\star(\vec x \wedge \vec y)\in\R^3,$ \item $\vec x \wedge \vec y=\star(\vec x \times \vec y)\in\R^3.$ \end{enumerate} Zároveň si můžeme všimnout, že smíšený součin $(\vec x \times \vec y)\cdot \vec z$ dává číslo z tělesa (skalár). Platí ${3\choose 0}={3\choose 3}$, tj. 0-forma (skalár) je izomorfní s 3-formou a \[ (\vec x \times \vec y)\cdot \vec z=\vec x \wedge \vec y \wedge \vec z\in \R. \] %Následující tvrzení pouze v \R^3, dopsat do lepší podoby!: \item Každé diferenciální 1-formě $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ jednoznačně přísluší vektorová funkce $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ (vektorové pole). Platí-li navíc $\boldsymbol\omega=\d f$, tj. exaktní, je vektorové pole přímo rovno gradientu, tedy $\vec F=\grad f$. \item Každé diferenciální 1-formě $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ jednoznačně přísluší diferenciální 2-forma $\star\boldsymbol\omega=F_1~\d y\wedge\d z+F_2~\d z\wedge \d x+F_3~\d x\wedge \d y$ \end{enumerate} \end{remark} \begin{define} \label{grad} {\bf Gradient} ($\grad$) je zobrazení z 0-formy na 1-formu. Buď $\boldsymbol\omega=f(x,y,z)$ 0-forma a $\d \boldsymbol\omega$ její vnější derivace. Složky $\d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené kovektory $(\d x,\d y,\d z)$ ztotožňujeme se složkami vektoru $\grad f$. \end{define} \begin{define} \label{rot} {\bf Rotace} ($\rot$) je operátor na 1-formách. Buď $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ 1-forma, $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ příslušné vektorové pole a $\star\d \boldsymbol\omega$ Hodgeův duál vnější derivace 1-formy $\boldsymbol\omega$. Složky $\star \d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené kovektory $(\d x,\d y,\d z)$ ztotožňujeme se složkami vektoru $\rot \vec F$. \end{define} \begin{define} \label{div} {\bf Divergence} ($\diverg$) je zobrazení z 1-formy na 0-formu. Buď $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ 1-forma, $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ příslušné vektorové pole a $\d \star\!\boldsymbol\omega $ vnější derivace Hodgeova duálu 1-formy $\boldsymbol\omega$. Složku $\d \star\!\boldsymbol\omega$ v bázi tvořené 3-formou ($\d x\wedge\d y\wedge\d z$) ztotožňujeme s $\diverg \vec F$. \end{define} \begin{define} \label{laplace} {\bf Laplaceův operátor} je operátor na 0-formách získaný složením zobrazení $\diverg \grad$. Buď $\boldsymbol\omega=f(x,y,z)$ 0-forma a $\d \star\!\d \boldsymbol\omega $ vnější derivace Hodgeova duálu vnější derivace 1-formy $\boldsymbol\omega$. Složku $\d \star\!\d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené 3-formou ($\d x\wedge\d y\wedge\d z$) ztotožňujeme s $\diverg \grad f$. \end{define} \begin{remark} Vidíme, že tyto operace jsou jen speciální případy vnější derivace forem na $\R^3$. Ukážeme, že se skutečně jedná o nám známé operace z fyziky. Zavádíme symbol nabla $\nabla=\left(\frac{\pd }{\pd x},\frac{\pd }{\pd y},\frac{\pd }{\pd z}\right)^T,$ který používáme pouze v $\R^3$. V jiných případech používáme abstraktní defince výše. \end{remark} \begin{theorem} \label{vgrad} Gradient skalární funkce $f=f(x,y,z)$ lze v $\R^3$ reprezentovat pomocí symbolu nabla: \[ \grad f=\nabla f=\left(\frac{\pd f}{\pd x},\frac{\pd f}{\pd y},\frac{\pd f}{\pd z}\right)^T . \] \begin{proof} Buď $\boldsymbol\omega=f(x,y,z)$ 0-forma a \[\d \boldsymbol\omega=\frac{\pd f}{\pd x}\d x+\frac{\pd f}{\pd y}\d y+\frac{\pd f}{\pd z}\d z \] její vnější derivace. Dle \ref{grad} jsou složky $\d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené $(\d x,\d y,\d z)$ rovny složkám vektoru $\grad f$. Odsud je též vidět, že $\d x,\d y,\d z$ jsou vnější derivace souřadnicových funkcionálů na $\R^3$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{vrot} Rotace vektorové funkce $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ lze v $\R^3$ reprezentovat pomocí symbolu nabla: \[ \rot \vec F=\nabla \times \vec F=\left( \frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}~;~\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}~;~\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)^T. \] \begin{proof} Buď $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ 1-forma, $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ příslušné vektorové pole dle poznámky \ref{findhodge}.2. Užijeme-li základní vlastnosti vnějšího součinu \ref{wedge}, pro vnější derivaci 1-fomy $\boldsymbol\omega$ platí \[ \begin{split} \d\boldsymbol\omega & = \d F_1\wedge\d x+\d F_2\wedge\d y+\d F_3\wedge\d z = \\ & = \underbrace{\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_1}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_1}\wedge~\d x + \underbrace{\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_2}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_2}\wedge~\d y ~+ \\ & + \underbrace{\left(\frac{\pd F_3}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_3} \wedge~\d z= \\ & =-\frac{\pd F_1}{\pd y}\d x\wedge\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\wedge\d x+\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x\wedge\d y-\frac{\pd F_2}{\pd z}\d y\wedge\d z -\frac{\pd F_3}{\pd x}\d z\wedge\d x+ \frac{\pd F_3}{\pd y}\d y\wedge\d z \\ & = \left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d y\wedge\d z+\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d z\wedge\d x+\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d x\wedge\d y. \end{split} \] Nyní k vnější derivaci $\d\boldsymbol\omega$ nalezneme Hodgeův duál. Z poznámky \ref{findhodge}.1 plyne \[ \star\d\boldsymbol\omega=\left(\frac{\pd F_3}{\pd y}-\frac{\pd F_2}{\pd z}\right)\d x+\left(\frac{\pd F_1}{\pd z}-\frac{\pd F_3}{\pd x}\right)\d y +\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}-\frac{\pd F_1}{\pd y}\right)\d z. \] Dle \ref{rot} jsou složky $\star \d \boldsymbol\omega$ v bázi tvořené $(\d x,\d y,\d z)$ rovny složkám vektoru $\rot \vec F$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{vdiv} Divergence vektorové funkce $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ je v $\R^3$ stopa matice první derivace (Jacobiho matice) a lze ji v $\R^3$ reprezentovat pomocí symbolu nabla: \[ \diverg \vec F=\mathop{\mathrm{tr}}\vec F'=\nabla \cdot \vec F=\frac{\pd F_1}{\pd x}+\frac{\pd F_2}{\pd y}+\frac{\pd F_3}{\pd z}. \] \begin{proof} Buď $\boldsymbol\omega=F_1\d x+F_2\d y+F_3\d z$ 1-forma, $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ příslušné vektorové pole dle poznámky \ref{findhodge}.2. Hodgeův duál 1-formy $\boldsymbol\omega$ je z poznámky \ref{findhodge}.1 dán \[ \star \boldsymbol\omega=F_1\d y\wedge\d z-F_2\d x\wedge \d z+F_3\d x\wedge\d y. \] Užijeme-li základní vlastnosti vnějšího součinu \ref{wedge}, pro vnější derivaci Hodgeova duálu $\star \boldsymbol\omega$ platí \[ \begin{split} \d\star\!\boldsymbol\omega & = \d F_1\wedge \d y\wedge\d z-\d F_2\wedge\d x\wedge \d z+\d F_3\wedge\d x\wedge\d y = \\ & = \underbrace{\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_1}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_1}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_1}\wedge~\d y\wedge\d z- \underbrace{\left(\frac{\pd F_2}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_2}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_2}\wedge~\d x\wedge \d z~+ \\ & + \underbrace{\left(\frac{\pd F_3}{\pd x}\d x+\frac{\pd F_3}{\pd y}\d y+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\right)}_{\d F_3} \wedge~\d x\wedge\d y= \\ & = \frac{\pd F_1}{\pd x}\d x\wedge\d y\wedge\d z+\frac{\pd F_2}{\pd y}\d y\wedge\d z\wedge\d x+\frac{\pd F_3}{\pd z}\d z\wedge\d x\wedge\d y= \\ & =\left(\frac{\pd F_1}{\pd x}+ \frac{\pd F_2}{\pd y}+ \frac{\pd F_3}{\pd z}\right)\,\d x\wedge\d y\wedge\d z. \end{split} \] Dle \ref{div} je jediná složka $\d\star\!\boldsymbol\omega$ v bázi tvořené 3-formou ($\d x\wedge\d y\wedge\d z$) rovna přímo $\diverg \vec F$. Navíc, protože 3-forma je izomorfní s 0-formou, platí dokonce \[ \star\d\star\! \boldsymbol\omega=\frac{\pd F_1}{\pd x}+\frac{\pd F_2}{\pd y}+\frac{\pd F_3}{\pd z}=\diverg \vec F. \] Zároveň z definice stopy a tvaru Jacobiho matice $\vec F$ platí zřejmě i rovnost $\diverg \vec F=\mathop{\mathrm{tr}}\vec F'$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{vlaplace} Laplaceův operátor skalární funkce $f=f(x,y,z)$ je v $\R^3$ stopa matice druhé derivace (Hessova matice) a lze jej v $\R^3$ reprezentovat pomocí symbolu $\Delta=\nabla^2$, tj. \[ \diverg \grad f=\mathop{\mathrm{tr}}f''=\nabla \cdot \nabla f=\nabla^2 f=\Delta f=\frac{\pd^2 f}{\pd x^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd y^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd z^2}. \] \begin{proof} Laplaceův operátor je z definice složení dvou zobrazení $\diverg \grad$. Buď $f=f(x,y,z)$ 0-forma. Pak je $\grad f$ dle \ref{vgrad} roven $\left(\frac{\pd f}{\pd x},\frac{\pd f}{\pd y},\frac{\pd f}{\pd z}\right)^T$ To je však z \ref{findhodge}.2 vektorové pole příslušící 1-formě $\d f$, která je východiskem pro výpočet divergence. Nyní stačí dosadit $\d f$ za $\boldsymbol\omega$ a $\left(\frac{\pd f}{\pd x},\frac{\pd f}{\pd y},\frac{\pd f}{\pd z}\right)^T$ za $\vec F=(F_1,F_2,F_3)^T$ do důkazu \ref{vdiv}. \[ \begin{split} \d\star\!\d f & = \d \left(\frac{\pd f}{\pd x}\right) \wedge \d y\wedge\d z-\d \left(\frac{\pd f}{\pd y}\right)\wedge\d x\wedge \d z+\d \left(\frac{\pd f}{\pd z}\right)\wedge\d x\wedge\d y = \dots = \\ & = \left[ \frac{\pd }{\pd x}\left(\frac{\pd f}{\pd x}\right)+ \frac{\pd }{\pd y}\left(\frac{\pd f}{\pd x}\right)+ \frac{\pd }{\pd z}\left(\frac{\pd f}{\pd x}\right)\right] \,\d x\wedge\d y\wedge\d z. \\ & =\left( \frac{\pd^2 f}{\pd x^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd y^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd z^2}\right) \,\d x\wedge\d y\wedge\d z. \end{split} \] Dle \ref{laplace} je jediná složka $\d\star\!\d f$ v bázi tvořené 3-formou ($\d x\wedge\d y\wedge\d z$) rovna přímo $\diverg \grad f$. Analogicky k důkazu \ref{vdiv} díky izomorfismu 0-forem k 3-formám platí \[ \star\d\star\!\d f=\frac{\pd^2 f}{\pd x^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd y^2}+\frac{\pd^2 f}{\pd z^2}=\diverg \grad f. \] Zároveň z definice stopy a tvaru Hessovy matice $f$ platí zřejmě i rovnost $\diverg \grad f=\mathop{\mathrm{tr}}f''$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Z definice vnější derivace \ref{axiomyextdif} víme, že $\d^2\boldsymbol\omega=0$. Z této vlastnosti okamžitě vyplývají dvě užitečné identity $\rot \grad f=0$ a $\diverg \rot \vec F=0$. \end{remark}