01MAA4:Kapitola38: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Doplnění důkazu reziduové věty) |
(Smazána poznámka v důkazu reziduové věty. byla špatně : Laurentův rozvoj nejde použít, f není holomorfní.) |
||
(Není zobrazeno 11 mezilehlých verzí od 6 dalších uživatelů.) | |||
Řádka 4: | Řádka 4: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Buď $a_n\in\C$ pro $n\in\Z$. Potom řadu | Buď $a_n\in\C$ pro $n\in\Z$. Potom řadu | ||
− | \[\sum_{-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n\] | + | \[ |
− | nazveme { | + | \sum_{n = -\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n |
− | \[\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n+ | + | \] |
− | \sum_{n=1}^{+\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n} | + | nazveme \textbf{Laurentovou} [Loránovou] \textbf{řadou} a její součet definujeme jako |
+ | \[ | ||
+ | \sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n + \sum_{n=1}^{+\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n} | ||
+ | \] | ||
+ | v těch bodech, v nichž obě uvedené sumy konvergují. První sumu nazýváme \textbf{regulární} a druhou \textbf{hlavní částí} Laurentova rozvoje. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | + | První suma je mocninnou řadou a konverguje na nějakém kruhu, řekněme o poloměru $R$. Druhá suma je \uv{převrácenou mocninnou řadou} a není těžké si rozmyslet, že konverguje na doplňku nějakého kruhu, řekněme o poloměru $r$. Pokud je $r>R$, nekonverguje Laurentova řada nikde. V~případě, že $r<R$, konverguje na mezikruží $B(z_0,r,R)$, tj. pro všechna $z$ splňující $\abs{z-z_0}<R$ a $\abs{z-z_0}>r$. (Vyšetřit, jak se chová na hranici onoho mezikruží, může být obtížné.) | |
− | $\abs{z-z_0}>r$. | + | |
\end{remark} | \end{remark} | ||
\begin{theorem}[Laurent] | \begin{theorem}[Laurent] | ||
Nechť funkce $f$ je holomorfní na mezikruží | Nechť funkce $f$ je holomorfní na mezikruží | ||
− | \[P(z_0,r,R)=\{z\in\C | + | \[P(z_0,r,R)=\{z\in\C \mid r<\abs{z-z_0}<R\}.\] |
Pak pro každé $z\in P$ platí | Pak pro každé $z\in P$ platí | ||
\[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n,\] | \[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n,\] | ||
kde | kde | ||
\[a_n=\frac{\ind_\vartheta z_0}{2\pi\im} | \[a_n=\frac{\ind_\vartheta z_0}{2\pi\im} | ||
− | \ | + | \oint_\vartheta\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi,\] |
− | + | pro libovolnou Jordanovu dráhu $\vartheta$ takovou, že $\la\vartheta\ra \subset P$ a $z_0\in\intd\vartheta$. | |
+ | \end{theorem} | ||
\begin{figure}[h] | \begin{figure}[h] | ||
Řádka 32: | Řádka 36: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | Buď $z\in P$, $r<r_1\le\abs{z-z_0}<r_2<R$, | + | Buď $z\in P$. Zvolme $r_1$ a $r_2$ tak, aby $r<r_1\le\abs{z-z_0}<r_2<R$, a příslušné kružnice probíhané v kladném smyslu označme $\psi_1$, $\psi_2$. Spojme je pomocnými úsečkami a vytvořme tak dráhy $\phi_1$ a $\phi_2$, viz obrázek. Pišme |
− | + | ||
\[ | \[ | ||
\begin{split} | \begin{split} | ||
Řádka 43: | Řádka 46: | ||
\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n+ | \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n+ | ||
\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1} | \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1} | ||
− | \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}\right)(z-z_0)^{-n} | + | \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}\right)(z-z_0)^{-n}. |
\end{split} | \end{split} | ||
\] | \] | ||
− | + | V první rovnosti jsme funkční hodnotu v bodě $z$ vyjádřili pomocí Cauchyho integrálního vzorce jako integrál přes dráhu $\phi_2$. K ní přičítáme integrál přes dráhu $\phi_1$, který je nulový, protože funkce je na vnitřku dráhy holomorfní. Druhé rovnítko znamená jen to, že jsme sečtením drah $\phi_{1,2}$ dostali kružnice $\psi_{1,2}$. Ve třetí rovnosti jsme první integrál rozepsali přesně stejným způsobem jako v důkazu Cauchyho integrální věty a druhý integrál přepsali takto: | |
\[ | \[ | ||
\begin{split} | \begin{split} | ||
Řádka 56: | Řádka 59: | ||
\frac{f(\xi)}{z-z_0}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n\d\xi=\\ | \frac{f(\xi)}{z-z_0}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n\d\xi=\\ | ||
&=\sum_{n=1}^\infty\int_{\psi_1} | &=\sum_{n=1}^\infty\int_{\psi_1} | ||
− | \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}(z-z_0)^{-n}\,\d\xi | + | \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}(z-z_0)^{-n}\,\d\xi. |
\end{split} | \end{split} | ||
\] | \] | ||
+ | Všimněme si, že obě geometrické řady, jejichž součty jsme využili, opravdu mají kvocient menší než jedna (každá na své kružnici). Záměnu sumy a integrálu lze opět ospravedlnit nalezením majoranty. Zde je vhodné si uvědomit, že počítáme integrál přes kružnici, tedy přes uzavřenou množinu, a následně využít holomorfnosti funkce. | ||
+ | |||
+ | Na závěr je potřeba zdůvodnit, proč lze při výpočtu každého koeficientu $a_n$ využít libovolnou dráhu $\vartheta$, ne jen kružnice $\psi_1$, resp. $\psi_2$. To ale hned plyne z principu deformace dráhy, protože žádný z~počítaných integrálů už na $z$ nijak nezávisí a integrandy jsou tedy holomorfní na celém mezikruží. Je vhodné si tuto věc uvědomit již na začátku důkazu: požadujeme totiž aby to fungovalo pro každou dráhu splňující předpoklady věty. Proto tuto dráhu můžeme obklopit dvěma kružnicemi (to skutečně lze díky otevřenosti mezikruží) a dráhu na tyhle dvě kružnice zdeformovat. | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | + | ||
− | + | Zároveň platí, že Laurentův rozvoj funkce je jednoznačně daný. | |
+ | |||
\begin{define} | \begin{define} | ||
$P(z_0,R)$ bude značit $P(z_0,0,R)$. | $P(z_0,R)$ bude značit $P(z_0,0,R)$. | ||
Řádka 67: | Řádka 74: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Bod $z_0$ se nazývá | + | Bod $z_0$ se nazývá \textbf{izolovaným singulárním bodem} funkce $f$, jestliže $f$ |
− | je holomorfní na $P(z_0,R)$ a v~$z_0$ není. | + | je holomorfní na $P(z_0,R)$ pro nějaké $R\in\R^+$ a v~$z_0$ není. |
\end{define} | \end{define} | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
− | Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$. | + | Buď $z_0$ izolovaný singulární bod funkce $f$. |
\begin{enumerate}[(i)] | \begin{enumerate}[(i)] | ||
− | \item Řekneme, že singularita je {\bf odstranitelná}, jestliže v~její | + | \item Řekneme, že singularita je {\bf odstranitelná}, jestliže v~její Laurentově řadě se středem $z_0$ je $a_n=0$ pro všechna záporná $n$. |
− | Laurentově řadě se středem $z_0$ je $a_n=0$ pro $n | + | \item Řekneme, že singularita je {\bf $p$-tého řádu} (pól $p$-tého stupně), jestliže $a_{-p}\neq 0$ a $a_n=0$ |
− | \item Řekneme, že singularita je {\bf $p$-tého řádu} (pól p-tého stupně), jestliže $a_n=0$ | + | |
pro $n<-p$. | pro $n<-p$. | ||
\item Řekneme, že singularita je {\bf podstatná}, jestliže pro | \item Řekneme, že singularita je {\bf podstatná}, jestliže pro | ||
Řádka 85: | Řádka 91: | ||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$ a | Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$ a | ||
− | \[\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n\] | + | \[ |
− | její Laurentova řada. Pak číslo $a_{-1}=\rez_{z_0}f$ nazýváme { | + | \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n |
− | reziduum funkce v~bodě $z_0$}. | + | \] |
+ | její Laurentova řada. Pak číslo $a_{-1}=\rez_{z_0}f$ nazýváme \textbf{reziduum funkce v~bodě $z_0$}. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
\begin{theorem}[reziduová] | \begin{theorem}[reziduová] | ||
− | Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $G\sm M$, $M\subset G$ je | + | Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $G\sm M$, $M\subset G$ je množina jejích izolovaných singulárních bodů, nechť $\phi$ je po částech hladká Jordanova dráha neprocházející žádným singulárním bodem, $\uz{\intd\phi}\subset G$. Pak |
− | množina jejích singulárních bodů, nechť $\phi$ je po částech hladká | + | \[ |
− | Jordanova dráha, $\intd\phi\subset G$. Pak | + | \oint_\phi f(z)\,\d z = \sum_{a\in M\cap\intd\phi} 2\pi\im\,\rez_a f\,\ind_\phi a. |
− | \[\ | + | \] |
− | 2\pi\im\,\rez_a f\,\ind_\phi a.\] | + | \end{theorem} |
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
− | Vezmu $a\in M\cap\intd\phi$ a udělám rozvoj | + | %starý důkaz: |
− | $f(z)=H_a(z)+R_a(z)$. Vytvořím | + | %Vezmu $a\in M\cap\intd\phi$ a udělám rozvoj |
− | \[f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\] | + | %$f(z)=H_a(z)+R_a(z)$. Vytvořím |
− | a to je holomorfní funkce, z~Cauchyho pak vyplývá, že | + | %\[f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\] |
− | \[\int_\phi\left(f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\right)=0.\]\\ | + | %a to je holomorfní funkce, z~Cauchyho pak vyplývá, že |
− | + | %\[\int_\phi\left(f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\right)=0.\]\\ | |
− | \[a_{-1}=\frac{ | + | Předpokládejme, že v~$\intd\phi$ leží pouze jeden singulární bod $z_0$, potom z~Laurentovy věty je |
− | Pro jeden singulární bod tedy věta platí | + | \[ |
− | + | a_{-1}=\frac{\ind_\phi z_0}{2\pi \im}\oint_{\phi}f(\xi) \d \xi\,. | |
+ | \] | ||
+ | Pro jeden singulární bod tedy věta platí. Obecné znění věty dokážeme indukcí. Nechť věta platí pro dráhu obsahující ve vnitřku $n$ singulárních bodů a nechť uvnitř dráhy $\phi$ leží $n+1$ singularit. Vnitřek můžeme\footnote{Kdybychom chtěli být precizní, bylo by potřeba zdůvodnit, že je to opravdu možné. Ale Vrána se na to neptá.} rozdělit pomocnou dráhou $\psi$ na dvě části, z nichž každá obsahuje alespoň jeden singulární bod. Potom můžeme integrál přes $\phi$ roztrhnout na dva integrály, z nichž oba splňují indukční předpoklad. Jejich součet je proto opravdu roven $\sum_{a\in M\cap\intd\phi} 2\pi\im\,\rez_a f\,\ind_\phi a$. | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
− | + | ||
− | + | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | + | Představme si, že chceme spočítat reziduum v bodě $z_0$, v němž je singularita $p$-tého řádu. Když funkci $f$ vynásobíme $(z-z_0)^p$, získáme funkci, kterou lze vyjádřit jako mocninnou řadu (pouze v bodě $z_0$ není definována), přičemž koeficientem před $(z-z_0)^0$ je $a_{-p}$. Proto platí $a_{-p} = \lim_{z \to z_0} f(z)(z-z_0)^p$. Abychom místo $a_{-p}$ spočítali reziduum $a_{-1}$, musíme součin před provedením limity zderivovat. | |
− | + | \begin{align*} | |
− | + | f(z) &= \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n \\ | |
− | + | f(z)(z-z_0)^p &= \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+p} \\ | |
− | + | \frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\left( f(z)(z-z_0)^p \right) &= (p-1)!\sum_{n=-1}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+1} \\ | |
− | + | a_{-1} &= \lim_{z\to z_0}\frac{1}{(p-1)!}\frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\bigl( f(z)(z-z_0)^p \bigr) | |
− | + | \end{align*} | |
+ | Tuto limitu jde dobře vypočítat pomocí l'Hospitalova pravidla. | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
\newpage | \newpage |
Aktuální verze z 5. 6. 2017, 11:01
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Laurentovy řady} \begin{define} Buď $a_n\in\C$ pro $n\in\Z$. Potom řadu \[ \sum_{n = -\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n \] nazveme \textbf{Laurentovou} [Loránovou] \textbf{řadou} a její součet definujeme jako \[ \sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n + \sum_{n=1}^{+\infty}a_{-n}(z-z_0)^{-n} \] v těch bodech, v nichž obě uvedené sumy konvergují. První sumu nazýváme \textbf{regulární} a druhou \textbf{hlavní částí} Laurentova rozvoje. \end{define} \begin{remark} První suma je mocninnou řadou a konverguje na nějakém kruhu, řekněme o poloměru $R$. Druhá suma je \uv{převrácenou mocninnou řadou} a není těžké si rozmyslet, že konverguje na doplňku nějakého kruhu, řekněme o poloměru $r$. Pokud je $r>R$, nekonverguje Laurentova řada nikde. V~případě, že $r<R$, konverguje na mezikruží $B(z_0,r,R)$, tj. pro všechna $z$ splňující $\abs{z-z_0}<R$ a $\abs{z-z_0}>r$. (Vyšetřit, jak se chová na hranici onoho mezikruží, může být obtížné.) \end{remark} \begin{theorem}[Laurent] Nechť funkce $f$ je holomorfní na mezikruží \[P(z_0,r,R)=\{z\in\C \mid r<\abs{z-z_0}<R\}.\] Pak pro každé $z\in P$ platí \[f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n,\] kde \[a_n=\frac{\ind_\vartheta z_0}{2\pi\im} \oint_\vartheta\frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\,\d\xi,\] pro libovolnou Jordanovu dráhu $\vartheta$ takovou, že $\la\vartheta\ra \subset P$ a $z_0\in\intd\vartheta$. \end{theorem} \begin{figure}[h] \center \includegraphics{01MAA4_lauren.pdf} \caption{K důkazu Laurentovy věty} \end{figure} \begin{proof} Buď $z\in P$. Zvolme $r_1$ a $r_2$ tak, aby $r<r_1\le\abs{z-z_0}<r_2<R$, a příslušné kružnice probíhané v kladném smyslu označme $\psi_1$, $\psi_2$. Spojme je pomocnými úsečkami a vytvořme tak dráhy $\phi_1$ a $\phi_2$, viz obrázek. Pišme \[ \begin{split} f(z)&=\frac{1}{2\pi\im}\int_{\varphi_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi+ \frac{1}{2\pi\im}\int_{\varphi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi= \frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_2}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi- \frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi=\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_2} \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\right)(z-z_0)^n+ \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2\pi\im}\int_{\psi_1} \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}\right)(z-z_0)^{-n}. \end{split} \] V první rovnosti jsme funkční hodnotu v bodě $z$ vyjádřili pomocí Cauchyho integrálního vzorce jako integrál přes dráhu $\phi_2$. K ní přičítáme integrál přes dráhu $\phi_1$, který je nulový, protože funkce je na vnitřku dráhy holomorfní. Druhé rovnítko znamená jen to, že jsme sečtením drah $\phi_{1,2}$ dostali kružnice $\psi_{1,2}$. Ve třetí rovnosti jsme první integrál rozepsali přesně stejným způsobem jako v důkazu Cauchyho integrální věty a druhý integrál přepsali takto: \[ \begin{split} -\int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{\xi-z}\,\d\xi&= \int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{z-\xi}\,\d\xi= \int_{\psi_1}\frac{f(\xi)}{z-z_0} \frac{\d\xi}{1-\frac{\xi-z_0}{z-z_0}}= \int_{\psi_1}\sum_{n=0}^\infty \frac{f(\xi)}{z-z_0}\left(\frac{\xi-z_0}{z-z_0}\right)^n\d\xi=\\ &=\sum_{n=1}^\infty\int_{\psi_1} \frac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{-n+1}}(z-z_0)^{-n}\,\d\xi. \end{split} \] Všimněme si, že obě geometrické řady, jejichž součty jsme využili, opravdu mají kvocient menší než jedna (každá na své kružnici). Záměnu sumy a integrálu lze opět ospravedlnit nalezením majoranty. Zde je vhodné si uvědomit, že počítáme integrál přes kružnici, tedy přes uzavřenou množinu, a následně využít holomorfnosti funkce. Na závěr je potřeba zdůvodnit, proč lze při výpočtu každého koeficientu $a_n$ využít libovolnou dráhu $\vartheta$, ne jen kružnice $\psi_1$, resp. $\psi_2$. To ale hned plyne z principu deformace dráhy, protože žádný z~počítaných integrálů už na $z$ nijak nezávisí a integrandy jsou tedy holomorfní na celém mezikruží. Je vhodné si tuto věc uvědomit již na začátku důkazu: požadujeme totiž aby to fungovalo pro každou dráhu splňující předpoklady věty. Proto tuto dráhu můžeme obklopit dvěma kružnicemi (to skutečně lze díky otevřenosti mezikruží) a dráhu na tyhle dvě kružnice zdeformovat. \end{proof} Zároveň platí, že Laurentův rozvoj funkce je jednoznačně daný. \begin{define} $P(z_0,R)$ bude značit $P(z_0,0,R)$. \end{define} \begin{define} Bod $z_0$ se nazývá \textbf{izolovaným singulárním bodem} funkce $f$, jestliže $f$ je holomorfní na $P(z_0,R)$ pro nějaké $R\in\R^+$ a v~$z_0$ není. \end{define} \begin{define} Buď $z_0$ izolovaný singulární bod funkce $f$. \begin{enumerate}[(i)] \item Řekneme, že singularita je {\bf odstranitelná}, jestliže v~její Laurentově řadě se středem $z_0$ je $a_n=0$ pro všechna záporná $n$. \item Řekneme, že singularita je {\bf $p$-tého řádu} (pól $p$-tého stupně), jestliže $a_{-p}\neq 0$ a $a_n=0$ pro $n<-p$. \item Řekneme, že singularita je {\bf podstatná}, jestliže pro nekonečně mnoho $a_n$, $n<0$ platí, že $a_n\not=0$. \end{enumerate} \end{define} \begin{define} Buď $z_0$ singulární bod funkce $f$ a \[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n \] její Laurentova řada. Pak číslo $a_{-1}=\rez_{z_0}f$ nazýváme \textbf{reziduum funkce v~bodě $z_0$}. \end{define} \begin{theorem}[reziduová] Nechť $f$ je holomorfní na otevřené množině $G\sm M$, $M\subset G$ je množina jejích izolovaných singulárních bodů, nechť $\phi$ je po částech hladká Jordanova dráha neprocházející žádným singulárním bodem, $\uz{\intd\phi}\subset G$. Pak \[ \oint_\phi f(z)\,\d z = \sum_{a\in M\cap\intd\phi} 2\pi\im\,\rez_a f\,\ind_\phi a. \] \end{theorem} \begin{proof} %starý důkaz: %Vezmu $a\in M\cap\intd\phi$ a udělám rozvoj %$f(z)=H_a(z)+R_a(z)$. Vytvořím %\[f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\] %a to je holomorfní funkce, z~Cauchyho pak vyplývá, že %\[\int_\phi\left(f(z)-\sum_{a\in M\cap\intd\phi}H_a(z)\right)=0.\]\\ Předpokládejme, že v~$\intd\phi$ leží pouze jeden singulární bod $z_0$, potom z~Laurentovy věty je \[ a_{-1}=\frac{\ind_\phi z_0}{2\pi \im}\oint_{\phi}f(\xi) \d \xi\,. \] Pro jeden singulární bod tedy věta platí. Obecné znění věty dokážeme indukcí. Nechť věta platí pro dráhu obsahující ve vnitřku $n$ singulárních bodů a nechť uvnitř dráhy $\phi$ leží $n+1$ singularit. Vnitřek můžeme\footnote{Kdybychom chtěli být precizní, bylo by potřeba zdůvodnit, že je to opravdu možné. Ale Vrána se na to neptá.} rozdělit pomocnou dráhou $\psi$ na dvě části, z nichž každá obsahuje alespoň jeden singulární bod. Potom můžeme integrál přes $\phi$ roztrhnout na dva integrály, z nichž oba splňují indukční předpoklad. Jejich součet je proto opravdu roven $\sum_{a\in M\cap\intd\phi} 2\pi\im\,\rez_a f\,\ind_\phi a$. \end{proof} \begin{remark} Představme si, že chceme spočítat reziduum v bodě $z_0$, v němž je singularita $p$-tého řádu. Když funkci $f$ vynásobíme $(z-z_0)^p$, získáme funkci, kterou lze vyjádřit jako mocninnou řadu (pouze v bodě $z_0$ není definována), přičemž koeficientem před $(z-z_0)^0$ je $a_{-p}$. Proto platí $a_{-p} = \lim_{z \to z_0} f(z)(z-z_0)^p$. Abychom místo $a_{-p}$ spočítali reziduum $a_{-1}$, musíme součin před provedením limity zderivovat. \begin{align*} f(z) &= \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n \\ f(z)(z-z_0)^p &= \sum_{n=-p}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+p} \\ \frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\left( f(z)(z-z_0)^p \right) &= (p-1)!\sum_{n=-1}^{+\infty}a_n(z-z_0)^{n+1} \\ a_{-1} &= \lim_{z\to z_0}\frac{1}{(p-1)!}\frac{\d^{p-1}}{\d z^{p-1}}\bigl( f(z)(z-z_0)^p \bigr) \end{align*} Tuto limitu jde dobře vypočítat pomocí l'Hospitalova pravidla. \end{remark} \newpage