02TSFA:Kapitola13: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
(oprava drobne chyby: F=F(T,V,N)) |
||
Řádka 174: | Řádka 174: | ||
\index{vztahy, Maxwellovy, druhá serie} | \index{vztahy, Maxwellovy, druhá serie} | ||
− | $$\pderivxy{F}{ | + | $$\pderivxy{F}{T}{V} =- \termderiv{S}{V}{T} = - \termderiv{p}{T}{V} \quad |
\pderivxy{H}{S}{p} = \termderiv{T}{p}{S} = \termderiv{V}{S}{p}$$ | \pderivxy{H}{S}{p} = \termderiv{T}{p}{S} = \termderiv{V}{S}{p}$$ | ||
$$\pderivxy{G}{p}{V} = -\termderiv{S}{p}{T} = \termderiv{V}{T}{p} \qquad | $$\pderivxy{G}{p}{V} = -\termderiv{S}{p}{T} = \termderiv{V}{T}{p} \qquad |
Aktuální verze z 30. 8. 2011, 15:22
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TSFA
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TSFA | Admin | 1. 8. 2010 | 11:52 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 27. 1. 2011 | 21:47 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Matematický aparát | Kunzmart | 25. 8. 2021 | 12:16 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Statistický popis složitých soustav | Krasejak | 27. 6. 2014 | 13:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Statistický soubor a rozdělovací funkce | Krasejak | 27. 6. 2014 | 14:15 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Nejpravděpodobnější rozdělení | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:23 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Partiční funkce systému a jeho podsystémů | Krasejak | 29. 3. 2014 | 04:02 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Mikrokanonický soubor | Kunzmart | 26. 8. 2021 | 10:10 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Kanonický soubor | Maresj23 | 5. 1. 2014 | 12:23 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Grandkanonický soubor | Godalale | 7. 6. 2023 | 22:04 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Ekvivalence statistických souborů | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 01:40 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Principy termodynamiky | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:29 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Termodynamické potenciály | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 04:41 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Závislost termodynamických potenciálů na látkovém množství | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:33 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Vztahy mezi derivacemi termodynamických veličin | Batysfra | 30. 8. 2011 | 15:22 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Další termodynamické veličiny | Tomas | 7. 9. 2010 | 15:53 | kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Kvantověmechanický harmonický oscilátor | Kubuondr | 29. 5. 2017 | 14:21 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Měření Poissonovy konstanty | Admin | 1. 8. 2010 | 11:47 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Termodynamika směsí různých látek | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:38 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vratné a nevratné procesy | Kubuondr | 26. 5. 2017 | 13:32 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Ustálení dynamické rovnováhy | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:40 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Důsledky podmínek rovnováhy | Kubuondr | 15. 4. 2017 | 09:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Rovnováha systému o více fázích | Tomas | 7. 9. 2010 | 15:23 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Klasifikace fázových přechodů | Chladjar | 14. 9. 2020 | 15:32 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Joule-Thompsonův pokus | Tomas | 7. 9. 2010 | 19:43 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Termodynamické nerovnosti | Karel.brinda | 6. 2. 2011 | 21:44 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Narušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip) | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:46 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Statistická rozdělení soustavy volných částic | Chladjar | 15. 9. 2020 | 11:40 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Odvození termodynamiky IP statistickými metodami | Admin | 25. 4. 2024 | 12:36 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa | Groveond | 1. 7. 2014 | 21:35 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Modely krystalů | Chladjar | 17. 9. 2020 | 18:19 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Jiný statistický přístup — kinetická teorie | Tomas | 15. 2. 2011 | 00:22 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Otázky ke zkoušce z TSF | Admin | 1. 8. 2010 | 11:51 | kapitola31.tex | |
Kapitola32 | editovat | Reference | Tomas | 7. 9. 2010 | 13:54 | reference.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fcel1.pdf | fcel1.pdf |
Image:2krabab.pdf | 2krabab.pdf |
Image:Transw.pdf | transw.pdf |
Image:Syst.pdf | syst.pdf |
Image:3pt.pdf | 3pt.pdf |
Image:Cholesctv.pdf | Cholesctv.pdf |
Image:Oscpot.pdf | Oscpot.pdf |
Image:Spins.pdf | spins.pdf |
Image:Spins2.pdf | spins2.pdf |
Image:Spins3.pdf | spins3.pdf |
Image:Spins4.pdf | spins4.pdf |
Image:Ptdiag.pdf | ptdiag.pdf |
Image:Joulthom.pdf | joulthom.pdf |
Image:Trirozd.pdf | trirozd.pdf |
Image:FD_e_mu.jpg | FD_e_mu.jpg |
Image:Krystal.pdf | krystal.pdf |
Image:Krystal2.pdf | krystal2.pdf |
Image:Procesyr.pdf | procesyr.pdf |
Image:Hgraf.pdf | hgraf.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA} \section{Vztahy mezi derivacemi termodynamických veličin} V této kapitole si uvedeme důležité vztahy mezi termodynamickými veličinami a způsoby, jak si odvodit další. Nejprve si napišme přehledně všechny diferenciály a rovnosti, které z nich plynou. \bigskip \begin{center} \begin{tabular}[p]{rcccl} $dU$ & $=$ & $ \quad T dS - p dV + \mu dn$ & $=$ & $\termderiv{U}{S}{V,n} dS \+ \termderiv{U}{V}{S,n} dV \+ \termderiv{U}{n}{S,V}dn$ \\ $dF$ & $=$ & $-S dT - p dV + \mu dn $ & $=$ & $\termderiv{F}{T}{V, n} dT \+ \termderiv{F}{V}{T, n} dV \+ \termderiv{F}{n}{T,V}dn$ \\ $dH$ & $=$ & $\quad T dS + V dp + \mu dn$ & $=$ & $\termderiv{H}{S}{p,n}dS + \termderiv{H}{p}{S, n} dp \+ \termderiv{H}{n}{S,p}dn$ \\ $dG$ & $=$ & $- S dT + V dp + \mu dn$ & $=$ & $\termderiv{G}{T}{p,n} dT + \termderiv{G}{p}{T,n} dp \+ \termderiv{G}{n}{T,p}dn$ \\ $d\Omega$ & $=$ & $- S dT - p dV - n d\mu$ & $=$ & $\termderiv{\Omega}{T}{V,\mu} dT \+ \termderiv{\Omega}{V}{T,\mu}dV + \termderiv{\Omega}{\mu}{T,V} d \mu $ \\ \end{tabular} \end{center} \index{vztahy, Maxwellovy, první série}\subsection{I. serie Maxwellových vztahů} Z předchozích řádků plyne platnost následujících rovností: \bigskip \begin{center} \begin{tabular}[p]{rcccccccl} $p$ & $=$ & $-\termderiv{U}{V}{S,n}$ & $=$ & $ -\termderiv{F}{V}{T,n}$ & $=$ & $-\termderiv{\Omega}{T}{V,\mu}$ \\ $T$ & $=$ & $ \quad \termderiv{H}{S}{p,n}$ & $=$ & $ \quad \termderiv{U}{S}{V,n}$ & & \\ $V$ & $=$ & $ \quad \termderiv{H}{p}{S,n}$ & $=$ & $ \quad \termderiv{G}{p}{T,n}$ & & \\ $S$ & $=$ & $-\termderiv{G}{T}{p,n}$ & $=$ & $ -\termderiv{F}{T}{V,n}$ & $=$ & $-\termderiv{\Omega}{T}{V, \mu}$ \\ $\mu$ & $=$ & $\quad\termderiv{G}{n}{T,p}$ & $=$ & $ \quad\termderiv{U}{n}{S,V}$ & $=$ & $ \quad\termderiv{H}{n}{S,p}$ & $=$ & $ \quad\termderiv{F}{n}{T,V}$ \\ $n$ & $=$ & $-\termderiv{\Omega}{\mu}{T, V}$ & & & & \\ \end{tabular} \end{center} \subsection{Vztahy plynoucí ze záměnnosti druhých derivací} Mějme totální diferenciál vnitřní energie $dU = T dS - p dV$ (pro zjednodušení uvažujeme výraz za konstantního počtu částic). Z něj si vyjádřeme diferenciál entropie a rozepišme vnitřní energii v proměnných $T$ a $V$: $$dS = \frac{1}{T}dU + \frac{p}{T}dV = \frac{1}{T}\left[ \termderiv{U}{T}{V}dT + \termderiv{U}{V}{T}dV \right] + \frac{p}{T}dV$$ $$dS = \frac{1}{T}\termderiv{U}{T}{V}dT + \left[ \frac{p}{T} + \frac{1}{T}\termderiv{U}{V}{T} \right]dV = \termderiv{S}{T}{V}dT + \termderiv{S}{V}{T}dV$$ \bigskip Nyní využijme toho, že $dS$ je totální diferenciál a jeho druhé smíšené derivace musí být záměnné: $$ \termderiv{S}{T}{V} = \frac{1}{T}\termderiv{U}{T}{V} \qquad \qquad \termderiv{S}{V}{T} = \frac{p}{T} + \frac{1}{T}\termderiv{U}{V}{T}$$ $$\pderivxy{S}{V}{T} = \pderivx{}{V}\termderiv{S}{T}{V} = \left(\pderivx{}{V}\frac{1}{T}\termderiv{U}{T}{V}\right)_T$$ $$\pderivxy{S}{T}{V} = \pderivx{}{T}\termderiv{S}{V}{T} = \pderivx{}{T}\left[ \frac{p}{T} + \frac{1}{T}\termderiv{U}{V}{T} \right]_V$$ \bigskip Platí $$\pderivxy{S}{V}{T} = \pderivxy{S}{T}{V}$$ \bigskip a tudíž $$\pderivx{}{V}\frac{1}{T}\termderiv{U}{T}{V} = \pderivx{}{T}\left( \frac{p}{T} + \frac{1}{T}\termderiv{U}{V}{T} \right)$$ $$\frac{1}{T}\pderivxy{U}{V}{T} = \frac{1}{T}\termderiv{p}{T}{V} - \frac{p}{T^2} - \frac{1}{T^2}\termderiv{U}{V}{T} + \frac{1}{T}\pderivxy{U}{T}{V}$$ \bigskip Víme, že $dU$ je totální diferenciál. Jeho druhé smíšené derivace jsou tedy záměnné a na obou stranách rovnice se zruší. Vynásobíme-li vše ještě $T^2$, dostáváme $$ \termderiv{U}{V}{T} = T\termderiv{p}{T}{V} - p$$ \bigskip Což je takzvaný \index{vztah, čtyřhvězdičkový}\emph{čtyřhvězdičkový vztah}, nesmírně užitečný (zejména v písemkách). Analogickým postupem lze dostat například vztahy $$\termderiv{U}{T}{p} = C_p - p\termderiv{V}{T}{p}$$ $$\termderiv{H}{T}{V} = C_V + V\termderiv{P}{T}{V}$$ $$\termderiv{H}{V}{T} = T\termderiv{p}{T}{V} + V\termderiv{p}{V}{T}$$ $$\termderiv{H}{p}{T} = V - T\termderiv{V}{T}{p}$$ \bigskip a další. Tepelné kapacity definované v kapitole \ref{chap:TepKap}. Proto zde uvedeme bez odvození jen následující vztahy $$C_V = \termderiv{Q}{T}{V} = T\termderiv{S}{T}{V} = \termderiv{U}{T}{V}$$ $$C_p = \termderiv{Q}{T}{p} = T\termderiv{S}{T}{p} = \termderiv{H}{T}{p}$$ \bigskip Ke složitějším transformacím je dobré využívat jakobiány. Parciální derivace $\termderiv{X}{Y}{Z}$ lze pomocí jakobiánů zapsat jako $$\termderiv{X}{Y}{Z} = \djac{X}{Z}{Y}{Z}$$ \bigskip a potom můžeme dělat například takováto kouzla: $$\termderiv{T}{V}{S} = \djac{T}{S}{V}{S} . \underbrace{ \djac{p}{T}{V}{T} \djac{V}{T}{p}{T} }_{= 1} . \underbrace{ \djac{T}{S}{p}{S} \djac{p}{S}{T}{S} }_{= 1} =$$ $$=\termderiv{p}{V}{T}\termderiv{T}{p}{S} \djac{V}{T}{V}{S}\djac{p}{S}{p}{T}=$$ $$=\termderiv{p}{V}{T}\termderiv{T}{p}{S} \frac{T \djac{S}{p}{T}{p}}{T \djac{S}{V}{T}{V}}$$ \bigskip a odtud plyne vzorec pro závislost teploty na objemu při adiabatickém procesu. $$\termderiv{T}{V}{S} = \frac{C_p}{C_V}\termderiv{p}{V}{T}\termderiv{T}{p}{S}$$ \bigskip Tímto způsobem se dá odvodit či dokázat nepřeberné množství termodynamických vztahů. \subsection{Magický čtverec} \index{čtverec, magický} Ke snadným převodům pomocí první sady Maxwellových vztahů slouží následující mnemotechnická pomůcka: \bigskip \begin{center} \includegraphics{Cholesctv.pdf} \end{center} \bigskip Použití je jednoduché. Uprostřed každé strany čtverce je zapsán nějaký potenciál a od něho nalevo a napravo (nahoru a dolů) jsou v rozích čtverce umístěny jeho přirozené proměnné. Derivujeme-li potenciál podle jedné z nich (při druhé konstantní), vyjde nám veličina z protějšího rohu. Jdeme-li po směru šipky, bude kladná, jdeme-li proti směru, bude záporná. Tedy například $$\termderiv{H}{S}{p} = \quad T \qquad \qquad \termderiv{U}{S}{V} = \quad T$$ $$\termderiv{G}{T}{p} = -S \qquad \qquad \termderiv{F}{T}{V} = -S$$ \bigskip a tak dále. Podobně se dají z magického čtverce odečítat i přímé vztahy mezi potenciály --- zvolíme, co chceme vyjádřit, přejdeme přes úhlopříčku (první člen) a přičteme součin proměnných na úhlopříčce se znaménkem podle směru šipky. Řekněme, že nás zajímají vztahy pro $F$. Přes úhlopříčku od $F$ jsou $U$ nebo $G$. V prvním případě dostaneme $F$ rovná se $U$ minus (šli jsme \emph{proti} šipce) $T \cdot S$, v druhém $F=G-V p$. Analogicky odečteme například $H = U + p V$. \subsection{II. série Maxwellových vztahů} Sestává z následujících výrazů: \index{vztahy, Maxwellovy, druhá serie} $$\pderivxy{F}{T}{V} =- \termderiv{S}{V}{T} = - \termderiv{p}{T}{V} \quad \pderivxy{H}{S}{p} = \termderiv{T}{p}{S} = \termderiv{V}{S}{p}$$ $$\pderivxy{G}{p}{V} = -\termderiv{S}{p}{T} = \termderiv{V}{T}{p} \qquad \pderivxy{U}{S}{V} = \termderiv{T}{V}{S} = -\termderiv{p}{S}{V}$$ \bigskip Vhodný potenciál vybereme vždy pomocí proměnné podle které se derivuje a podle té co zůstává konstantní. Jako mnemotechnická pomůcka může sloužit zápis $$\pderivx{ (X,Y)}{(p, V)} = \pderivx{ (X,Y) }{ (T,S)}$$ \bigskip kde za $X, Y$ dosadíme některé z veličin $S, V, T, p$ a patřičně upravíme oba jakobiány (prohazujeme-li proměnné v jednom jakobiánu, nesmíme zapomenout změnit znaménko). Tato pomůcka je zvláštním případem zajímavého obecnějšího vztahu $$\pderivx{(T,S)}{(p, V)} = 1$$ který je vlastně libovolným z Maxwellových vztahů II. série dokázán.