02TSFsbirka:Kapitola7: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{02TSFsbirka} \chapter{Fluktuace} \bc Dokažte, ze v kanonickém souboru platí vztah $$ \left(\Delta U\right)^2 = kT^2 C. $$ \ec \navod $$ \left(\Delta U\r...) |
|||
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze od stejného uživatele.) | |||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{02TSFsbirka} | %\wikiskriptum{02TSFsbirka} | ||
− | \chapter{ | + | \chapter{Statistické soubory -- diskrétní hladiny} |
− | + | ||
+ | |||
\bc | \bc | ||
− | + | Soubor $N$ kvantových jednorozměrných harmonických oscilátorů je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Určete kanonickou partiční sumu souboru a vnitřní energii. | |
− | $$ | + | \ec |
− | \left(\ | + | \vysl |
− | $$ | + | \begin{eqnarray} |
+ | \nonumber E_n & = & \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\quad z = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta E_n} = \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\\ | ||
+ | \nonumber Z_K & = & \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}N}}{\left(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\right)^N},\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = N\left(\frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega e^{-\beta\hbar\omega}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\right). | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | |||
+ | \bc | ||
+ | \label{spin} | ||
+ | \textbf{Model paramagnetické soli}\\ | ||
+ | $N$ částic se spinem $1/2$ a velikostí magnetického momentu $\mu_B$ je pevně umístěno v homogenním magnetickém poli s intenzitou $B$. Soustava je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Každý spin může být orientován paralelně s magnetickým polem (energie $\varepsilon_+ = -\mu_B B$), nebo antiparalelně (energie $\varepsilon_- = +\mu_B B$). Určete celkový magnetický moment látky $M$ a její magnetickou susceptibilitu $\chi = \left.\frac{\partial M}{\partial B}\right|_{B=0}$. Najděte kanonickou partiční sumu, vnitřní energii soustavy a její tepelnou kapacitu. Vyjádřete entropii jako funkci vnitřní energie, resp. jako funkci teploty a magnetické indukce. Jak se změní teplota soli při adiabatické změně magnetického pole? | ||
\ec | \ec | ||
\navod | \navod | ||
+ | Celkový magnetický moment $M$ soustavy $N$ nezávislých spinů je úměrný střednímu magnetickému momentu jednoho spinu, tj. | ||
$$ | $$ | ||
− | \left | + | M = \left\langle\sum_i m_i \right\rangle = N\langle m\rangle = N(\mu_B p_+ - \mu_B p_-). |
$$ | $$ | ||
− | + | Pravděpodobnost, že je spin natočen ve směru nebo proti směru pole, je rovna | |
− | + | ||
− | + | ||
$$ | $$ | ||
− | \ | + | p_\pm = \frac{1}{z} e^{-\beta\varepsilon_\pm}, |
$$ | $$ | ||
− | + | kde $z$ je jednočásticová partiční suma | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
$$ | $$ | ||
− | \ | + | z = e^{-\beta\varepsilon_+} + e^{-\beta\varepsilon_-} = 2\cosh(\beta \mu_B B). |
$$ | $$ | ||
− | + | Magnetický moment látky je tedy roven | |
+ | $$ | ||
+ | M = N \mu_B\tanh(\beta\mu_B B). | ||
+ | $$ | ||
+ | Pro slabé magnetické pole $B\ll \frac{kT}{\mu_B}$ roste magnetizace látky lineárně s jeho intenzitou | ||
+ | $$ | ||
+ | M \approx N B \frac{\mu_B^2}{kT}. | ||
+ | $$ | ||
+ | Naopak, v silném magnetickém poli $B\gg \frac{kT}{\mu_B}$ je většina spinů orientována ve stejném směru a magnetizace se blíží hodnotě | ||
+ | $$ | ||
+ | M \longrightarrow N\mu_B. | ||
+ | $$ | ||
+ | Průběh závislosti magnetizace látky na podílu $B/T$ se nazývá Brillouinova saturační křivka (viz. obr. \ref{fig:spin:M}). Magnetická susceptibilita je nepřímo úměrná absolutní teplotě (Curieho zákon) | ||
+ | $$ | ||
+ | \chi = \left.\frac{\partial M}{\partial B}\right|_{B=0} = \frac{N\mu_B^2}{k T}. | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | \begin{center} | ||
+ | \begin{figure}[h] | ||
+ | \includegraphics[width=0.7\textwidth]{spin_M.pdf} | ||
+ | \caption{Brillouinova saturační křivka.} | ||
+ | \label{fig:spin:M} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | \end{center} | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | |||
+ | Kanonická partiční suma souboru $N$ spinů je rovna | ||
+ | $$ | ||
+ | Z_K = z^N = 2^N\cosh^N(\beta \mu_B B). | ||
+ | $$ | ||
+ | Udtud dostaneme vnitřní energii | ||
+ | $$ | ||
+ | U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = - N\mu_B B\tanh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right), | ||
+ | $$ | ||
+ | a tepelnou kapacitu paramagnetické soli | ||
+ | $$ | ||
+ | C = \frac{\partial U}{\partial T} = N k \left(\frac{\mu_B B}{k T \cosh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right)}\right)^2 = N k\frac{\Theta^2}{T^2\cosh^2\left(\frac{\Theta}{T}\right)},\quad \Theta = \frac{\mu_B B}{k}. | ||
+ | $$ | ||
+ | Průběh tepelné kapacity je znázorněn v obr. \ref{fig:spin:C}. Pro $T\rightarrow 0$ a pro $T\gg \Theta$ se tepelná kapacita blíží nule. Maximum nabývá pro $T\approx 0.8\Theta$. Charakteristická teplota $\Theta$ je velmi nízká $(\Theta \sim 1 K)$ i pro silná magnetická pole $(B\sim 1$ Tesla) | ||
+ | |||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | \begin{center} | ||
+ | \begin{figure}[h] | ||
+ | \includegraphics[width=0.7\textwidth]{spin_C.pdf} | ||
+ | \caption{Tepelná kapacita paramagnetické soli.} | ||
+ | \label{fig:spin:C} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | \end{center} | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | |||
+ | Entropie nejpravděpodobnějšího rozdělení je z definice rovna | ||
+ | $$ | ||
+ | S = -Nkp_+\ln{p_+} - Nkp_-\ln{p_-}. | ||
+ | $$ | ||
+ | Pravděpodobnosti $p_\pm$ můžeme zapsat pomocí vnitřní energie; platí totiž vztahy | ||
+ | $$ | ||
+ | U = -N\mu_B B (p_+ -p_-),\qquad p_+ + p_- = 1. | ||
+ | $$ | ||
+ | Odtud snadno získáme | ||
+ | $$ | ||
+ | p_\pm = \frac{1}{2}\left(1\mp\frac{U}{N\mu_B B}\right). | ||
+ | $$ | ||
+ | Entropie jako funkce vnitřní energie má následující tvar | ||
+ | $$ | ||
+ | S = -\frac{Nk}{2}\left(1-\frac{U}{N\mu_B B}\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(1-\frac{U}{N\mu_B B}\right)\right) -\frac{Nk}{2}\left(1+\frac{U}{N\mu_B B}\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{U}{N\mu_B B}\right)\right) | ||
+ | $$ | ||
+ | Průběh entropie je znázorněm v obr. \ref{fig:spin:S}). Nejnižší hodnotě vnitřní energie $U = -N\mu_B B$ (odpovídá teplotě $T\rightarrow 0^+$, resp. $\beta\l\rightarrow +\infty$) prísluší pouze jeden stav soustavy (všechny spiny jsou orientovány ve směru pole - $p_+=1$) a entropie je tak rovna nule. S rostoucí vnitřní energií (rostoucí teplotou, klesající $\beta$) roste i entropie, až do bodu $U=0$ ($T\rightarrow +\infty$, resp. $\beta\rightarrow 0^+$). V tomto bodě je $p_\pm=1/2$ a entropie nabývá maximální možné hodnoty. Při dalším růstu vnitřní energie začne entropie klesat. Ve stavu s kladnou vnitřní energií je víc spinů orientováno proti směru magnetického pole ($p_->p_+$) - dochází k populační inverzi, kdy je preferován stav s vyšší energií. Při kladné vnitřní energii má systém zápornou absolutní teplotu. | ||
+ | |||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | \begin{center} | ||
+ | \begin{figure}[h] | ||
+ | \includegraphics[width=0.7\textwidth]{spin_S.pdf} | ||
+ | \caption{Entropie jako funkce vnitřní energie.} | ||
+ | \label{fig:spin:S} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | \end{center} | ||
+ | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | ||
+ | |||
+ | Entropie jako funkce teploty a magnetické indukce je rovna | ||
+ | $$ | ||
+ | S = k\ln Z_K + k\beta U = Nk\left[\ln\left(2\cosh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right)\right)-\frac{\mu_B B}{kT}\tanh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right)\right]. | ||
+ | $$ | ||
+ | Při adiabatické změně magnetické indukce z $B_1$ na $B_2$ se změní teplota z $T_1$ na | ||
+ | $$ | ||
+ | T_2 = T_1 \frac{B_2}{B_1}. | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | \bc \textbf{Model organického vlákna}\\ | ||
+ | Vlákno je tvořeno $N$ molekulami, je napínáno silou $f$ a je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Ka\v zdá molekula se může nacházet ve dvou stavech - první s délkou $l-a$ a energií $E_- = -f(l-a)$, druhý s délkou $l+a$ a energií $E_+ = -f(l+a)$. Najděte střední délku vlákna $L$ v závislosti na teplotě $T$ a napínací síle $f$. | ||
\ec | \ec | ||
\navod | \navod | ||
+ | Analogicky příkladu \ref{spin} ($f\leftrightarrow B $, $L \leftrightarrow M $ ) dostaneme | ||
$$ | $$ | ||
− | \ | + | p_\pm = \frac{1}{z} e^{\beta f(l\pm a)},\quad z = 2 e^{\beta l f}\cosh(\beta a f). |
$$ | $$ | ||
− | + | Střední délka vlákna je pak rovna | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
$$ | $$ | ||
− | + | L = N(p_+ (l+a) + p_-(l-a)) = N l + N a\tanh(\beta a f). | |
$$ | $$ | ||
+ | Pro malé napětí vlákna je $\tanh(\beta a f)\approx \beta a f$ a prodloužení vlákna je pak přímo úměrné napínací síle (Hookeův zákon) | ||
+ | $$ | ||
+ | \Delta L \equiv L - Nl \approx Na^2\beta f. | ||
+ | $$ | ||
+ | V tomto přiblížení je modul pružnosti přímo úměrný teplotě | ||
+ | $$ | ||
+ | \frac{f}{\Delta L} \approx \frac{kT}{N a^2}. | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | \bc \textbf{Adsorpce plynu na stěnách nádoby}\\ | ||
+ | Uvažujte adsorbující povrch s $N$ aktivními místy. Každé aktivní místo může vázat jednu molekulu. Povrch je v kontaktu s ideálním plynem, který má chemický potenciál $\mu$, tlak $P$ a teplotu $T$. Předpokládejte, že volná molekula má vůči aktivnímu místu nulovou energii a vázaná molekula má energii $-\varepsilon$. Určete stupeň adsorbce $\Theta$, tj. počet adsorbovaných molekul $n$ v poměru k počtu aktivních míst $N$. | ||
\ec | \ec | ||
− | \navod | + | \navod Grandkanonická partiční suma pro jedno aktivní místo je |
+ | $$ | ||
+ | z_G = 1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha. | ||
+ | $$ | ||
+ | Pro $N$ aktivních míst dostaneme | ||
+ | $$ | ||
+ | Z_G = \left(1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha\right)^N. | ||
+ | $$ | ||
+ | Střední počet obsazených aktivních míst je roven | ||
+ | $$ | ||
+ | n = \frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\alpha} = \frac{N}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}}. | ||
+ | $$ | ||
+ | Stěny nádoby jsou v rovnováze s ideálním plynem, mají tedy stejnou teplotu a chemický potenciál, resp. Lagrangeovy multiplikátory $\beta$ a $\alpha$. Pro ideální plyn platí | ||
+ | $$ | ||
+ | e^\alpha = \frac{P}{(2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT}. | ||
+ | $$ | ||
+ | Celkem tedy pro koeficient adsorpce dostaneme | ||
$$ | $$ | ||
− | + | \Theta = \frac{n}{N} = \frac{1}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}} = \frac{P}{P + P_0},\quad \mathrm{kde}\ P_0 = (2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT e^{-\frac{\varepsilon}{kT}}. | |
$$ | $$ | ||
+ | Uvedený vztah se nazývá Langmuirova adsorpční izoterma. Pro danou teplotu udává počet adsorbovaných molekul plynu v závislosti na tlaku. Pro nízké teploty klesá hodnota $P_0$ k nule a koeficient adsorpce je blízký jedné - většina míst je obsazena. To vysvětluje např. kondenzaci vodních par na stěně studené nádoby. Naopak, pro vysoké teploty $T\gg \mu/k$ je $P_0\gg P$ a koeficient adsorpce klesá k nule; to je důvod proč se zahřívají stěny vakuové komory, pokud chceme vytvořit vysoké vakuum. |
Aktuální verze z 11. 2. 2013, 16:05
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TSFsbirka
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TSFsbirka | Steffy | 9. 2. 2011 | 16:06 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 12. 2. 2012 | 13:21 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Základy teorie pravděpodobnosti a matematické statistiky | Hoskoant | 22. 2. 2017 | 17:57 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Nejpravděpodobnější rozdělení | Steffy | 12. 2. 2012 | 12:58 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Termodynamické potenciály a identity | Steffy | 12. 2. 2012 | 12:59 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Ideální a neideální plyny | Kubuondr | 10. 4. 2017 | 22:25 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Statistické soubory - Hamiltonovské systémy | Admin | 16. 5. 2024 | 13:48 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Fluktuace | Steffy | 12. 2. 2012 | 13:01 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Statistické soubory - diskrétní hladiny | Steffy | 11. 2. 2013 | 16:05 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Přesné statistiky | Kubuondr | 28. 4. 2017 | 09:40 | kapitola8.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:2part_U.pdf | 2part_U.pdf |
Image:binomial.pdf | binomial.pdf |
Image:blackbody2.pdf | blackbody2.pdf |
Image:gauss2.pdf | gauss2.pdf |
Image:maxwell.pdf | maxwell.pdf |
Image:poisson.pdf | poisson.pdf |
Image:spin_C.pdf | spin_C.pdf |
Image:spin_M.pdf | spin_M.pdf |
Image:spin_S.pdf | spin_S.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFsbirka} \chapter{Statistické soubory -- diskrétní hladiny} \bc Soubor $N$ kvantových jednorozměrných harmonických oscilátorů je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Určete kanonickou partiční sumu souboru a vnitřní energii. \ec \vysl \begin{eqnarray} \nonumber E_n & = & \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega,\quad z = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta E_n} = \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\\ \nonumber Z_K & = & \frac{e^{-\beta\frac{\hbar\omega}{2}N}}{\left(1 - e^{-\beta\hbar\omega}\right)^N},\quad U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = N\left(\frac{\hbar\omega}{2} + \frac{\hbar\omega e^{-\beta\hbar\omega}}{1 - e^{-\beta\hbar\omega}}\right). \end{eqnarray} \bc \label{spin} \textbf{Model paramagnetické soli}\\ $N$ částic se spinem $1/2$ a velikostí magnetického momentu $\mu_B$ je pevně umístěno v homogenním magnetickém poli s intenzitou $B$. Soustava je v tepelné rovnováze s rezervoárem o teplotě $T$. Každý spin může být orientován paralelně s magnetickým polem (energie $\varepsilon_+ = -\mu_B B$), nebo antiparalelně (energie $\varepsilon_- = +\mu_B B$). Určete celkový magnetický moment látky $M$ a její magnetickou susceptibilitu $\chi = \left.\frac{\partial M}{\partial B}\right|_{B=0}$. Najděte kanonickou partiční sumu, vnitřní energii soustavy a její tepelnou kapacitu. Vyjádřete entropii jako funkci vnitřní energie, resp. jako funkci teploty a magnetické indukce. Jak se změní teplota soli při adiabatické změně magnetického pole? \ec \navod Celkový magnetický moment $M$ soustavy $N$ nezávislých spinů je úměrný střednímu magnetickému momentu jednoho spinu, tj. $$ M = \left\langle\sum_i m_i \right\rangle = N\langle m\rangle = N(\mu_B p_+ - \mu_B p_-). $$ Pravděpodobnost, že je spin natočen ve směru nebo proti směru pole, je rovna $$ p_\pm = \frac{1}{z} e^{-\beta\varepsilon_\pm}, $$ kde $z$ je jednočásticová partiční suma $$ z = e^{-\beta\varepsilon_+} + e^{-\beta\varepsilon_-} = 2\cosh(\beta \mu_B B). $$ Magnetický moment látky je tedy roven $$ M = N \mu_B\tanh(\beta\mu_B B). $$ Pro slabé magnetické pole $B\ll \frac{kT}{\mu_B}$ roste magnetizace látky lineárně s jeho intenzitou $$ M \approx N B \frac{\mu_B^2}{kT}. $$ Naopak, v silném magnetickém poli $B\gg \frac{kT}{\mu_B}$ je většina spinů orientována ve stejném směru a magnetizace se blíží hodnotě $$ M \longrightarrow N\mu_B. $$ Průběh závislosti magnetizace látky na podílu $B/T$ se nazývá Brillouinova saturační křivka (viz. obr. \ref{fig:spin:M}). Magnetická susceptibilita je nepřímo úměrná absolutní teplotě (Curieho zákon) $$ \chi = \left.\frac{\partial M}{\partial B}\right|_{B=0} = \frac{N\mu_B^2}{k T}. $$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} \begin{figure}[h] \includegraphics[width=0.7\textwidth]{spin_M.pdf} \caption{Brillouinova saturační křivka.} \label{fig:spin:M} \end{figure} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Kanonická partiční suma souboru $N$ spinů je rovna $$ Z_K = z^N = 2^N\cosh^N(\beta \mu_B B). $$ Udtud dostaneme vnitřní energii $$ U = -\frac{\partial\ln{Z_K}}{\partial\beta} = - N\mu_B B\tanh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right), $$ a tepelnou kapacitu paramagnetické soli $$ C = \frac{\partial U}{\partial T} = N k \left(\frac{\mu_B B}{k T \cosh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right)}\right)^2 = N k\frac{\Theta^2}{T^2\cosh^2\left(\frac{\Theta}{T}\right)},\quad \Theta = \frac{\mu_B B}{k}. $$ Průběh tepelné kapacity je znázorněn v obr. \ref{fig:spin:C}. Pro $T\rightarrow 0$ a pro $T\gg \Theta$ se tepelná kapacita blíží nule. Maximum nabývá pro $T\approx 0.8\Theta$. Charakteristická teplota $\Theta$ je velmi nízká $(\Theta \sim 1 K)$ i pro silná magnetická pole $(B\sim 1$ Tesla) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} \begin{figure}[h] \includegraphics[width=0.7\textwidth]{spin_C.pdf} \caption{Tepelná kapacita paramagnetické soli.} \label{fig:spin:C} \end{figure} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Entropie nejpravděpodobnějšího rozdělení je z definice rovna $$ S = -Nkp_+\ln{p_+} - Nkp_-\ln{p_-}. $$ Pravděpodobnosti $p_\pm$ můžeme zapsat pomocí vnitřní energie; platí totiž vztahy $$ U = -N\mu_B B (p_+ -p_-),\qquad p_+ + p_- = 1. $$ Odtud snadno získáme $$ p_\pm = \frac{1}{2}\left(1\mp\frac{U}{N\mu_B B}\right). $$ Entropie jako funkce vnitřní energie má následující tvar $$ S = -\frac{Nk}{2}\left(1-\frac{U}{N\mu_B B}\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(1-\frac{U}{N\mu_B B}\right)\right) -\frac{Nk}{2}\left(1+\frac{U}{N\mu_B B}\right)\ln\left(\frac{1}{2}\left(1+\frac{U}{N\mu_B B}\right)\right) $$ Průběh entropie je znázorněm v obr. \ref{fig:spin:S}). Nejnižší hodnotě vnitřní energie $U = -N\mu_B B$ (odpovídá teplotě $T\rightarrow 0^+$, resp. $\beta\l\rightarrow +\infty$) prísluší pouze jeden stav soustavy (všechny spiny jsou orientovány ve směru pole - $p_+=1$) a entropie je tak rovna nule. S rostoucí vnitřní energií (rostoucí teplotou, klesající $\beta$) roste i entropie, až do bodu $U=0$ ($T\rightarrow +\infty$, resp. $\beta\rightarrow 0^+$). V tomto bodě je $p_\pm=1/2$ a entropie nabývá maximální možné hodnoty. Při dalším růstu vnitřní energie začne entropie klesat. Ve stavu s kladnou vnitřní energií je víc spinů orientováno proti směru magnetického pole ($p_->p_+$) - dochází k populační inverzi, kdy je preferován stav s vyšší energií. Při kladné vnitřní energii má systém zápornou absolutní teplotu. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} \begin{figure}[h] \includegraphics[width=0.7\textwidth]{spin_S.pdf} \caption{Entropie jako funkce vnitřní energie.} \label{fig:spin:S} \end{figure} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Entropie jako funkce teploty a magnetické indukce je rovna $$ S = k\ln Z_K + k\beta U = Nk\left[\ln\left(2\cosh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right)\right)-\frac{\mu_B B}{kT}\tanh\left(\frac{\mu_B B}{kT}\right)\right]. $$ Při adiabatické změně magnetické indukce z $B_1$ na $B_2$ se změní teplota z $T_1$ na $$ T_2 = T_1 \frac{B_2}{B_1}. $$ \bc \textbf{Model organického vlákna}\\ Vlákno je tvořeno $N$ molekulami, je napínáno silou $f$ a je v tepelné rovnováze s okolím o teplotě $T$. Ka\v zdá molekula se může nacházet ve dvou stavech - první s délkou $l-a$ a energií $E_- = -f(l-a)$, druhý s délkou $l+a$ a energií $E_+ = -f(l+a)$. Najděte střední délku vlákna $L$ v závislosti na teplotě $T$ a napínací síle $f$. \ec \navod Analogicky příkladu \ref{spin} ($f\leftrightarrow B $, $L \leftrightarrow M $ ) dostaneme $$ p_\pm = \frac{1}{z} e^{\beta f(l\pm a)},\quad z = 2 e^{\beta l f}\cosh(\beta a f). $$ Střední délka vlákna je pak rovna $$ L = N(p_+ (l+a) + p_-(l-a)) = N l + N a\tanh(\beta a f). $$ Pro malé napětí vlákna je $\tanh(\beta a f)\approx \beta a f$ a prodloužení vlákna je pak přímo úměrné napínací síle (Hookeův zákon) $$ \Delta L \equiv L - Nl \approx Na^2\beta f. $$ V tomto přiblížení je modul pružnosti přímo úměrný teplotě $$ \frac{f}{\Delta L} \approx \frac{kT}{N a^2}. $$ \bc \textbf{Adsorpce plynu na stěnách nádoby}\\ Uvažujte adsorbující povrch s $N$ aktivními místy. Každé aktivní místo může vázat jednu molekulu. Povrch je v kontaktu s ideálním plynem, který má chemický potenciál $\mu$, tlak $P$ a teplotu $T$. Předpokládejte, že volná molekula má vůči aktivnímu místu nulovou energii a vázaná molekula má energii $-\varepsilon$. Určete stupeň adsorbce $\Theta$, tj. počet adsorbovaných molekul $n$ v poměru k počtu aktivních míst $N$. \ec \navod Grandkanonická partiční suma pro jedno aktivní místo je $$ z_G = 1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha. $$ Pro $N$ aktivních míst dostaneme $$ Z_G = \left(1 + e^{\beta\varepsilon} e^\alpha\right)^N. $$ Střední počet obsazených aktivních míst je roven $$ n = \frac{\partial\ln{Z_G}}{\partial\alpha} = \frac{N}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}}. $$ Stěny nádoby jsou v rovnováze s ideálním plynem, mají tedy stejnou teplotu a chemický potenciál, resp. Lagrangeovy multiplikátory $\beta$ a $\alpha$. Pro ideální plyn platí $$ e^\alpha = \frac{P}{(2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT}. $$ Celkem tedy pro koeficient adsorpce dostaneme $$ \Theta = \frac{n}{N} = \frac{1}{1 + e^{-\beta\varepsilon - \alpha}} = \frac{P}{P + P_0},\quad \mathrm{kde}\ P_0 = (2\pi mkT)^\frac{3}{2}kT e^{-\frac{\varepsilon}{kT}}. $$ Uvedený vztah se nazývá Langmuirova adsorpční izoterma. Pro danou teplotu udává počet adsorbovaných molekul plynu v závislosti na tlaku. Pro nízké teploty klesá hodnota $P_0$ k nule a koeficient adsorpce je blízký jedné - většina míst je obsazena. To vysvětluje např. kondenzaci vodních par na stěně studené nádoby. Naopak, pro vysoké teploty $T\gg \mu/k$ je $P_0\gg P$ a koeficient adsorpce klesá k nule; to je důvod proč se zahřívají stěny vakuové komory, pokud chceme vytvořit vysoké vakuum.