01MAA4:Kapitola29: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01MAA4} \section{Měřitelné množiny} \begin{define} Buď $M\subset X$. Položme \[ \chi_M(x)= \begin{cases} 1 & x\in M\\ 0 & x\in X\sm M \end{cases} \] ...) |
m |
||
(Není zobrazeno 5 mezilehlých verzí od 2 dalších uživatelů.) | |||
Řádka 49: | Řádka 49: | ||
\[\chi_N(x)=\inf_k\chi_{M_k}(x),\] | \[\chi_N(x)=\inf_k\chi_{M_k}(x),\] | ||
kde $\sup$ a $\inf$ jsou měřitelné funkce podle definice měřitelnosti množiny a z věty \ref{uzavrenost} | kde $\sup$ a $\inf$ jsou měřitelné funkce podle definice měřitelnosti množiny a z věty \ref{uzavrenost} | ||
− | \[\chi_{M_1\sm M_2}=\chi_{M_1}\sm\chi_{M_1\cap M_2} | + | \[\chi_{M_1\sm M_2}=\chi_{M_1}\sm\chi_{M_1\cap M_2},\] |
− | \[\ | + | protože |
+ | \[\chi_{M_1\sm M_2}(x) =\max(\chi_{M_1}-\chi_{M_2},0)(x).\] | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
Řádka 60: | Řádka 61: | ||
Buď $A=\vn{A}$. Víme, že $\I\in\M$. Ke každému bodu $\in A$ najdu | Buď $A=\vn{A}$. Víme, že $\I\in\M$. Ke každému bodu $\in A$ najdu | ||
interval $\I_r$ s~racionálním středem a délkou hrany. Intervaly tvoří | interval $\I_r$ s~racionálním středem a délkou hrany. Intervaly tvoří | ||
− | spočetný systém, takže podle předchozí věty $A$ | + | spočetný systém, takže podle předchozí věty je $A$ |
měřitelná. Kompaktní interval je měřitelný a $A=\bigcup\I$. | měřitelná. Kompaktní interval je měřitelný a $A=\bigcup\I$. | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
Řádka 111: | Řádka 112: | ||
\[\chi_{M_k}\nearrow\chi_M,\quad \II\chi_{M_1}\ge 0>-\infty\] | \[\chi_{M_k}\nearrow\chi_M,\quad \II\chi_{M_1}\ge 0>-\infty\] | ||
− | Z rozšíření | + | Z rozšíření Leviovy věty plyne |
\[\mu(M)=\II\chi_M=\lim_{k\to\infty}\II\chi_{M_k}\] | \[\mu(M)=\II\chi_M=\lim_{k\to\infty}\II\chi_{M_k}\] | ||
\item | \item | ||
Řádka 129: | Řádka 130: | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
− | Buď $\system{k=1}{n,\infty}{M_k}$ systém měřitelných množin | + | Buď $\system{k=1}{n,\infty}{M_k}$ nejvýše spočetný systém měřitelných množin |
$M=\bigcup_k M_k$. Platí | $M=\bigcup_k M_k$. Platí | ||
\[ | \[ | ||
Řádka 136: | Řádka 137: | ||
\begin{proof} | \begin{proof} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item Konečný případ: indukcí: $M=M_1\cup M_2=M_1\cup( | + | \item Konečný případ: indukcí: $M=M_1\cup M_2=M_1\cup(M_2\sm M_1)$;\\ |
− | $\mu(M)=\mu(M_1)+\mu( | + | $\mu(M)=\mu(M_1)+\mu(M_2\sm M_1)\le\mu(M_1)+\mu(M_2)$. |
\item Spočetný případ: | \item Spočetný případ: | ||
\[\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le\sum_{k=1}^n\mu(M_k),\] | \[\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le\sum_{k=1}^n\mu(M_k),\] | ||
z 1. bodu minulé věty plyne | z 1. bodu minulé věty plyne | ||
− | \[\mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty | + | \[\mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty M_k\right)= |
\lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\mu(M_k) = \sum_{k=1}^\infty\mu(M_k),\] | \lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\mu(M_k) = \sum_{k=1}^\infty\mu(M_k),\] | ||
neboť | neboť |
Aktuální verze z 2. 6. 2017, 09:01
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Měřitelné množiny} \begin{define} Buď $M\subset X$. Položme \[ \chi_M(x)= \begin{cases} 1 & x\in M\\ 0 & x\in X\sm M \end{cases} \] $\chi_H$ nazveme {\bf charakteristickou funkcí množiny $M$}. \end{define} \begin{define} Buď $M\subset X$, $\chi_M(x)$. Pak $M$ je {\bf měřitelná}, právě když $\chi_M$ je měřitelná. \end{define} \begin{remark} $\chi_M\in\M$, právě když $\chi_M\in\Lambda$ ($\chi$ je nezáporná). \end{remark} \begin{define} Buď $M$ měřitelná množina, pak míru množiny $M$ definujeme $\mu(M)=\II\chi_M$. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item $\mu(Z)=0$ $\iff$ $Z$ je nulové míry $\iff$ $\chi_Z\sim 0$ $\iff$ $\chi_Z$ je nulová skoro všude, nenulová na množině nulové míry $\iff$ $Z$ je množina nenulových bodů. \item Pomocí axiomu výberu lze zkonstruovat neměřitelnou množinu a tedy i neměřitelnou funkci. (Vrána skripta str. 59) %\item $\mu(\I)=\V(\I)=\II\chi_\I$, neboť $\chi_\I$ je stupňovitá. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Buď $\posloupnost{k=1}{n,\infty}{M_k}$ nějaký spočetný systém měřitelných množin. Pak platí: \begin{enumerate}[(i)] \item $M=\bigcup_k M_k$ je měřitelná, \item $N=\bigcap_k M_k$ je měřitelná, \item $M_1\sm M_2$ je měřitelná. \end{enumerate} \begin{proof} \[\chi_M(x)=\sup_k\chi_{M_k}(x),\] \[\chi_N(x)=\inf_k\chi_{M_k}(x),\] kde $\sup$ a $\inf$ jsou měřitelné funkce podle definice měřitelnosti množiny a z věty \ref{uzavrenost} \[\chi_{M_1\sm M_2}=\chi_{M_1}\sm\chi_{M_1\cap M_2},\] protože \[\chi_{M_1\sm M_2}(x) =\max(\chi_{M_1}-\chi_{M_2},0)(x).\] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item V~$\R^n$ jsou prvky topologie (tj. otevřené množiny) měřitelné. \begin{proof} Buď $A=\vn{A}$. Víme, že $\I\in\M$. Ke každému bodu $\in A$ najdu interval $\I_r$ s~racionálním středem a délkou hrany. Intervaly tvoří spočetný systém, takže podle předchozí věty je $A$ měřitelná. Kompaktní interval je měřitelný a $A=\bigcup\I$. \end{proof} \item Uzavřené množiny jsou též měřitelné. \begin{proof} Buď $A=\uz{A}$, pak $A=\R^n\sm B$, kde $B=\vn{B}$, takže podle předchozí věty je $A$ měřitelná. \end{proof} \item Množiny typu $G_\delta$ (spočetný průnik otevřených množin) a $F_\sigma$ (spočetné sjednocení uzavřených množin) jsou měřitelné. Díky tomu jsou měřitelné i~polouzavřené intervaly. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Buď $\system{k=1}{n,\infty}{M_k}$ systém měřitelných množin, $M=\bigcup_k M_k$ a nechť $M_j\cap M_i=\emptyset$ pro navzájem různá $i,j$. Pak \[\mu(M)=\mu\left(\bigcup_k M_k\right)= \sum_{i=1}^{n,\infty}\mu(M_i).\] \begin{proof} Díky disjunktnosti $M_k$ platí \[\chi_M=\sum_k\chi_{M_k}.\] \begin{enumerate} \item konečný případ: aditivita integrálu \[\II\chi=\sum_{i=1}^n\II\chi_{M_i}.\] \item spočetný případ: Leviova věta \[\II\chi=\sum_{i=1}^\infty\II\chi_{M_i}.\] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Lebesgueova míra je $\sigma$-aditivní (spočetně aditivní). \end{remark} \begin{theorem} Buď $\system{k=1}{\infty}{M_k}$ systém měřitelných množin, buďte \[M=\bigcup_{k=1}^\infty M_k,\quad N=\bigcap_{k=1}^\infty M_k.\] Pak platí: \begin{enumerate}[(i)] \item Je-li $M_k\subset M_{k+1}$, pak $\mu(M)=\lim_{k\to\infty}\mu(M_k)$. \item Je-li $M_{k+1}\subset M_k$ a $\exists n \in \N$, že $\mu(M_n)<+\infty$, pak $\mu(N)=\lim_{k\to\infty}\mu(M_k)$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] \item \[\chi_M=\sup_{k\in\N}\chi_{M_k}=\lim_{m\to\infty}\max_{1\le k\le m}\chi_{M_k}=\lim_{k\to\infty}\chi_{M_k}\] \[\chi_{M_k}\nearrow\chi_M,\quad \II\chi_{M_1}\ge 0>-\infty\] Z rozšíření Leviovy věty plyne \[\mu(M)=\II\chi_M=\lim_{k\to\infty}\II\chi_{M_k}\] \item \[\chi_M=\inf_{k\in\N}\chi_{M_k}= \lim_{m\to\infty}\min_{1\le k\le m}\chi_{M_k}=\lim_{k\to\infty}\chi_{M_k}\] \[\chi_{M_k}\searrow\chi_M,\quad \II\chi_{M_1}<+\infty\] \[\mu(N)=\II\chi_N=\lim_{k\to\infty}\II\chi_{M_k}\] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{example} $(-\infty,-n)\cup(n,+\infty)=A_n$, $\mu(A_n)=+\infty$, $\bigcap_{k=1}^\infty A_k=\emptyset$; bez podmínky $\mu(M_i)\le+\infty$ to nejde. \end{example} \begin{theorem} Buď $\system{k=1}{n,\infty}{M_k}$ nejvýše spočetný systém měřitelných množin $M=\bigcup_k M_k$. Platí \[ \mu(M)\le\sum_k\mu(M_k). \] \begin{proof} \begin{enumerate} \item Konečný případ: indukcí: $M=M_1\cup M_2=M_1\cup(M_2\sm M_1)$;\\ $\mu(M)=\mu(M_1)+\mu(M_2\sm M_1)\le\mu(M_1)+\mu(M_2)$. \item Spočetný případ: \[\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le\sum_{k=1}^n\mu(M_k),\] z 1. bodu minulé věty plyne \[\mu\left(\bigcup_{k=1}^\infty M_k\right)= \lim_{n\to\infty}\mu\left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right)\le \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\mu(M_k) = \sum_{k=1}^\infty\mu(M_k),\] neboť \[ \left(\bigcup_{k=1}^n M_k\right) \subset\left(\bigcup_{k=1}^{n+1}M_k\right) \] množinově \uv{roste}. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Buď $M\subset N$. Pak $\mu(M)\le\mu(N)$ a dokonce $\mu(M)<+\infty\implies\mu(N)-\mu(M)=\mu(N\sm M)$. \begin{proof} $N=M\cup(N\sm M)$, proto $\mu(N)=\mu(M)+\mu(N\sm M)\ge\mu(M)$. \end{proof} \end{remark}