01MAA4:Kapitola25: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{01MAA4} \section{Třída $\Lambda^+$ ($\LL^+$)} \begin{define} \label{def_trida_l} Řekneme, že funkce $f:X\mapsto\RR$ je {\bf třídy $\Lambda^+(X)$}, ex...) |
m |
||
(Není zobrazeno 6 mezilehlých verzí od 2 dalších uživatelů.) | |||
Řádka 72: | Řádka 72: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Pro všechna $f \in \Lambda^+$ platí $-\infty < \II f \leq +\infty$. | ||
\item $f\in\LL^+$, právě když $f\in\Lambda^+$ a $\II f<+\infty$. | \item $f\in\LL^+$, právě když $f\in\Lambda^+$ a $\II f<+\infty$. | ||
\item Aby byla předchozí definice korektní, je třeba prověřit | \item Aby byla předchozí definice korektní, je třeba prověřit | ||
Řádka 121: | Řádka 122: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Předchozí věta znamená uzavřenost tříd $\Lambda^+$ a $\LL^+$ na operaci $\nearrow$ | ||
+ | \end{remark} | ||
− | + | \begin{theorem} | |
− | + | Nechť je $\posl{g_k}$ posloupností funkcí z $\Lambda^+$ větších než 0 \textit{s.v.}. Nechť $f=\sum_{k=1}^\infty g_k$. Pak $f \in \Lambda^+$ a | |
− | + | $\II f=\sum_{k=1}^\infty \II g_k$. Existuje-li navíc $c \in \R$ tak, že $\II\sum_{k=1}^n g_k \leq c$ pro všechna $n \in \N$ pak $f \in \LL^+$ | |
+ | \begin{proof} | ||
+ | Aplikací předchozí věty na posloupnost částečných součtů. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} |
Aktuální verze z 2. 4. 2017, 09:14
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 09:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 09:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 23:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 11:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 22:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 14:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 11:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 16:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 11:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 09:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 10:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 21:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 09:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 11:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 09:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 13:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 01:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 21:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 09:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 09:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 13:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 11:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Třída $\Lambda^+$ ($\LL^+$)} \begin{define} \label{def_trida_l} Řekneme, že funkce $f:X\mapsto\RR$ je {\bf třídy $\Lambda^+(X)$}, existuje-li $(h_n)\in\HH$, $h_n\nearrow f$. Existuje-li navíc $c>0$ takové, že pro každé $n\in\N$ je $\II h_n\le c$, pak $f\in\LL^+(X)$. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Připouštíme i~\uv{zobecněné funkce} jako $f(x)=+\infty$ $\forall x\in X$. \item $\HH\subset\LL^+(X)\subset\Lambda^+(X)$. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Funkce třídy $\LL^+$ jsou skoro všude konečné. \label{konecnost_fci_L} \begin{proof} Buď $f\in\LL^+(X)$. Potom existuje $h_n\nearrow f$ taková, že $\II h_n\le\frac c2$. Definujme \[Z=\left\{ x\in X\left| \lim_{n\to\infty} h_n(x)=+\infty \right. \right\},\] dokážeme, že $\mu(Z)=0$: Buď $h_1'=h_1$, $h_n'=\max(h_n,h_{n-1}')$, $k_n=h_n'-h_1$. Protože $h_n'\sim h_n$, je $\II h_n'=\II h_n\le\frac c2$, $\II k_n\le c$. Zvolím $\epsilon>0$, pak pro každé $x\in Z$ existuje $n$ takové, že $k_n(x)\ge\frac c\epsilon$. Sestrojil jsem nezápornou posloupnost $\posl{\frac \epsilon c k_n}$ tak, že $\sup_{n\in\N}\frac \epsilon c k_n\ge 1$ a \[\lim_{n\to\infty}\II\frac \epsilon c k_n\le \epsilon,\] takže $Z$ je nulové míry. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \begin{enumerate}[(i)] \item Jsou-li $f,g\in\Lambda^+$, pak $f+g\in\Lambda^+$. \item Jsou-li $\alpha\ge 0$, $f\in\Lambda^+$, pak $\alpha f\in\Lambda^+$. \item Jsou-li $f,g\in\Lambda^+$, pak $f^+,\max(f,g),\min(f,g)\in\Lambda^+$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] \item Buďte $h_n\nearrow f$, $k_n\nearrow g$, pak $(h_n+k_n)\nearrow f+g$. $f+g$ nemusí mít smysl, ale to se může stát pouze na množině nulové míry. \item Protože $\alpha\ge 0$, platí, že $(\alpha h_n)\nearrow\alpha f$. \item $\max(h_n,k_n)\nearrow\max(f,g)$, $\min(h_n,k_n)\nearrow\min(f,g)$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Buď $f\in\Lambda^+(X)$. Pak definujeme \[\II f=\lim_{n\to\infty}\II h_n,\] kde $h_n$ je posloupnost z~definice \ref{def_trida_l}. $\II f$ je {\bf integrál funkce $f$ na $X$}. \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Pro všechna $f \in \Lambda^+$ platí $-\infty < \II f \leq +\infty$. \item $f\in\LL^+$, právě když $f\in\Lambda^+$ a $\II f<+\infty$. \item Aby byla předchozí definice korektní, je třeba prověřit nezávislost na volbě $h_n$: \begin{proof} Buď $f\in\Lambda^+(X)$, $h_n\nearrow f$, $k_n\nearrow f$. Protože $f\lesssim f$, platí \[\lim_{n\to\infty}\II h_n\le \lim_{n\to\infty}\II k_n.\] Zároveň $f\gtrsim f$, takže \[\lim_{n\to\infty}\II h_n\ge \lim_{n\to\infty}\II k_n.\] Na volbě $h_n$ proto hodnota $\II f$ nezávisí. \end{proof} \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Buďte $f,g\in\Lambda^+(X)$, $\alpha\ge 0$. Pak platí \begin{enumerate}[(i)] \item $\II(f+g)=\II f+\II g$, má-li pravá strana smysl. \item $\II(\alpha f)=\alpha\II f$, Lebesgueova konvence $0\cdot\infty=0$. \item Je-li $f\lesssim g$, pak $\II f\le\II g$. \end{enumerate} \end{theorem} \begin{theorem} Buď $\posl{f_n}\in\Lambda^+(X)$, $f_n\nearrow f$. Pak \[f\in\Lambda^+\quad\text{a}\quad \II f=\lim_{n\to\infty}\II f_n.\] \begin{proof} Buď $\posl{f_n}\in\Lambda^+(X)$, existuje posloupnost $\posloupnost{m=1}{\infty}{h_m^{(n)}}\nearrow f_n$. Definujeme \[h_m=\max_{1\le n\le m}h_m^{(n)}.\] Platí, že $h_m\nearrow$ k~nějakému $f^*\in\Lambda^+$. Buď $n\le m$, pak \[h_m^{(n)}\le h_m\lesssim\max_{1\le n\le m}f_n\sim f_m\lesssim f.\] Limitním přechodem $m\to\infty$ dostáváme \[f_n\lesssim f^*\lesssim f,\] limitním přechodem $n\to\infty$ \[f\lesssim f^*\lesssim f,\] tedy limitní funkce $f^*$ je v~$\Lambda^+$. \[h_m\lesssim f_m\lesssim f.\] Dále platí \[\II h_m\le\II f_m\le\II f,\] limitním přechodem $m\to\infty$ \[\II f^*\le\lim_{m\to\infty}\II f_m\le\II f\] \[\II f^*=\II f\] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Předchozí věta znamená uzavřenost tříd $\Lambda^+$ a $\LL^+$ na operaci $\nearrow$ \end{remark} \begin{theorem} Nechť je $\posl{g_k}$ posloupností funkcí z $\Lambda^+$ větších než 0 \textit{s.v.}. Nechť $f=\sum_{k=1}^\infty g_k$. Pak $f \in \Lambda^+$ a $\II f=\sum_{k=1}^\infty \II g_k$. Existuje-li navíc $c \in \R$ tak, že $\II\sum_{k=1}^n g_k \leq c$ pro všechna $n \in \N$ pak $f \in \LL^+$ \begin{proof} Aplikací předchozí věty na posloupnost částečných součtů. \end{proof} \end{theorem}