Matematika1Priklady:Kapitola1: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
(Založena nová stránka: %\wikiskriptum{Matematika1Priklady} \section{Limity} \begin{multicols}{2} \begin{enumerate} \begin{priklad} \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x} - 2}=\fra...)
 
m (oprava preklepu)
 
(Není zobrazeno 15 mezilehlých verzí od 3 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{Matematika1Priklady}
 
%\wikiskriptum{Matematika1Priklady}
−
\section{Limity}
+
\section{Limity a spojitost}
 +
 
 +
\subsection*{\fbox{Rozcvička}}
 +
V této krátké části jsou příklady, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány.
 +
 
 +
\begin{itemize}
 +
 
 +
%\input{01}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}
 +
\end{priklad}
 +
\res{1}
 
   
 
   
−
\begin{multicols}{2}
+
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to \pi} \frac{\sin{x}}{x-\pi}
 +
\end{priklad}
 +
\res{-1}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 0} x \cot{3x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{1}{3}$}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 1} \frac{\ln{x}}{x^2-1}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{1}{2}$}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 0} \frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-1}
 +
\end{priklad}
 +
\res{2}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 5}{ 4x^2 + 3x -7}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{3}{4}$}
 +
 
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x^2+2x-15}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{3}{4}$}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{1}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 0} x \cot{x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{1}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 0} \frac{\sin{5x}}{x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{5}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 5} \frac{x^2-4x-5}{x^2-7x+10}
 +
\end{priklad}
 +
\res{2}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^3 - x^2 +3}{x^3+6x^2-4}
 +
\end{priklad}
 +
\res{5}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-2}{4x-4}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{3}{4}$}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2{x} - 1}{x^2}
 +
\end{priklad}
 +
\res{-1}
 +
 
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-1}{5x^3}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{1}{5}$}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 2} \frac{3x^3-10x-4}{4-x^2}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$- \frac{13}{2}$}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to -1} \frac{2x^2-6x-8}{2x^3+2}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$- \frac{5}{3}$}
 +
 
 +
\item \begin{priklad}
 +
\lim_{x \to a} \frac{\sin{x} - \sin{a}}{x - a}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\cos{a}$}
 +
 
 +
\end{itemize}
 +
 
 +
\subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}}
 
   
 
   
 +
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
−
  \begin{priklad}
+
 
−
    \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x} - 2}=\frac{4}{3}
+
\odstavec{l'Hôpitalovo pravidlo zakázáno}
−
  \end{priklad}
+
 
 +
\item  \bezlh
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 3} \frac{x^2+x-12}{9-3x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$ - \frac{7}{3}$}
 +
 
 +
\item  \bezlh
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 0} \frac{\cos{x} - 1}{x^2}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{$- \frac{1}{2}$}
 +
 
 +
 
 +
\item  \bezlh
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^4-16}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{3}{8}$}
 +
 
 +
\item \bezlh
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x}{8-x^3}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{$- \frac{1}{6}$}
 +
 
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=-1
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin^8 x - \sin^3 x}{\sin^5 x + 1 - \cos^2 x + \sin^7 x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{1}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
 
−
    \lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=1
 
−
  \end{priklad}
 
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x} - x = \frac{1}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\sin^2 x}+\sqrt{1-\cos^2 x}}{|x|}
 +
\end{priklad}
 +
\res{2}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{\cos{x}}}{x^2}=\frac{1}{4}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 3x^2+3x+2}{x^3+3x^2+4x+4}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac34$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to \pi} \frac{\sin{x}}{x-\pi} = -1
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{x^3+2x^2+5x}{(x^2+6)\sin x}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac56$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 2} \big( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{|x-2|} \big) ~~ neex
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tg x} - \sqrt{1+\sin x}}{x^3}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac14$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{1+x \sin{x}} - \sqrt{\cos{x}}} = \frac{4}{3}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{1}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\tan{x} - \sin{x}}{\sin^3{x}} = \frac{1}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 5} \frac{x^2 + 2x-35}{x^3-3x^2-9x-5}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac13$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 4} \big( \frac{1}{x} - \frac{1}{4} \big) \big(
+
\begin{priklad}
−
    \frac{1}{x-4} \big) = -\frac{1}{16}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2x}{x\sqrt{1-\cos^2x}}
−
  \end{priklad}
+
\end{priklad}
 +
\res{neex}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{x^2-3x}{\tan{x}}= -3
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to -2} \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2+3x+2}
 +
\end{priklad}
 +
\res{-5}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0_+} \frac{\sqrt{2}\sqrt{1-\cos{2x}}\cos{x}}{x} = 2
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{2x^2-1} - \frac{x^2}{2x+1}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac14$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} x \cot{3x} = \frac{1}{3}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+13} - 2 \sqrt{x+1}}{x^2-9}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$-\frac{1}{16}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 1} (1-x) \tan{(x \frac{\pi}{2})} = \frac{2}{\pi}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} x~\hbox{tg}{\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )}
 +
\end{priklad}
 +
\res{1}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin{(x-\frac{\pi}{3})}}{1-2\cos{x}}= \frac{\sqrt{3}}{3}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{1+x \sin x} - \sqrt{\cos x}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac43$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \tan{(2x)} \ln{(\tan{x})} = -1
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 2} \frac{x^3-4x}{x^4+x-18}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{8}{33}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\ln{\cos{x}}}{\ln{\cos{(2x)}}} = \frac{1}{4}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 2} \frac{1-\cos(x-2)}{x^3-2x^2-4x+8}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac18$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to +\infty} \ln{(1+2^x)} \ln{(1+ \frac{3}{x})} = 3 \ln{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to +\infty} \frac{\sinh x}{\cosh x + \sinh x}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac12$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-e^{2x}}{x} = -1
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to -\infty} \frac{\sinh x}{\cosh x + \sinh x}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{$-\infty$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0_+} \frac{x e^{-x^2}}{\sqrt{1-e^{-x^2}}}=1
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^2}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac14$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 1} \frac{\ln{x}}{x^2-1} = \frac{1}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x + \sin^8 x - \cos^3 x}{\sin^5 x + 1 - \cos^2 x + \sin^7 x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac12$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to \frac{\pi}{2}_-} \frac{\frac{\pi}{2} - x}{\sin{x} \cos{x}} = 1
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x} - 2}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{4}{3}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to +\infty} \sqrt[x]{\frac{3^x+(-2)^x}{x}} = 3
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}
 +
\end{priklad}
 +
\res{-1}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-1} = 2
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{1+x \sin{x}} - \sqrt{\cos{x}}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{4}{3}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to \pi} \frac{\tan{x} - \sin{x}}{\cos ^3{x}} = 0
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\tg{x} - \sin{x}}{\sin^3{x}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{1}{2}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 1} \frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-1}=3
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 4} \big( \frac{1}{x} - \frac{1}{4} \big) \big(\frac{1}{x-4} \big)
 +
\end{priklad}
 +
\res{$ -\frac{1}{16}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{1- \cos{2x} + \tan^2{x}}{x \sin{x}} = 3
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{x^2-3x}{\tg{x}}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{-3}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x}{\sqrt{x} - 1} = 2
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 1} (1-x) \tg{(x \frac{\pi}{2})}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{2}{\pi}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 5}{ 4x^2 + 3x -7} = \frac{3}{4}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin{(x-\frac{\pi}{3})}}{1-2\cos{x}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{\sqrt{3}}{3}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to +\infty} \Big(  \frac{x^3}{2x^2-1} - \frac{x^2}{2x+1}\Big) = \frac{1}{4}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}_-} \frac{\frac{\pi}{2} - x}{\sin{x} \cos{x}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{1}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^4-16} = \frac{3}{8}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to \pi} \frac{\tg{x} - \sin{x}}{\cos ^3{x}}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{0}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{6+x} - 2}{x+2} = \frac{1}{4}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 1} \frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-1}
 +
\end{priklad}
 +
\res{3}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x^2+2x-15} = \frac{3}{4}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{1- \cos{2x} + \tg^2{x}}{x \sin{x}}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{3}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^5 - (1+5x)}{x^2+x^5} = 10
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x}{\sqrt{x} - 1}
 +
\end{priklad}
 +
\res{2}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x} = 1
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to +\infty} \frac{5-2x+ 3x^2}{3x-7+ 4x^2 }  
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{3}{4}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} x \cot{x} = 1
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{6+x} - 2}{x+2}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{1}{4}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x} - x}{\sin{x} + x} = 0
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^5 - (1+5x)}{x^2+x^5}
 +
\end{priklad}
 +
\res{10}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 2} \frac{x-2}{\sqrt{x+2} - 2} = 4
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x} - x}{\sin{x} + x}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{0}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\sin{5x}}{x} = 5
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{\sqrt{x+2} - 2}
 +
\end{priklad}
 +
\res{4}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos{x} - \sin{x}}{1-\tan{x}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos{x} - \sin{x}}{1-\tg{x}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 5} \frac{x^2-4x-5}{x^2-7x+10} = 2
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + 5x^4 - x^2 +3}{4-x^3+6x^2-x^4}
 +
\end{priklad}
 +
\res{-5}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item  \bezlh
−
    \lim_{x \to +\infty} \frac{5x^3 - x^2 +3}{x^3+6x^2-4} = 5
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2}}{\sin{x}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{\sqrt{2}}{4}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2}}{x} = \frac{\sqrt{2}}{4}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\cos{x} - 1}{1-\cos^2{x}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$-\frac{1}{2}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-2}{4x-4} = \frac{3}{4}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9+2x} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{12}{5}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\cos^2{x} - 1}{x^2} = -1
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \Big( \frac{\sin{3x}}{x} + \frac{\sin{x}}{3x}\Big)
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{10}{3}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 3} \frac{x^2+x-12}{9-3x} = - \frac{7}{3}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to -1} \frac{x^2-2x-3}{x^2+x^3-2x-2}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{4}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\cos{x} - 1}{x^2} = - \frac{1}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 5} \frac{25 + x^2 -10x}{x^3  -9x- 3x^2-5}
 +
\end{priklad}
 +
\res{0}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9+2x} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2} = \frac{12}{5}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{\sqrt{10+x} - 3}
 +
\end{priklad}
 +
\res{6}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-1}{5x^3} = \frac{1}{5}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{1- \cos{x}}{\tg{x}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{0}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \Big( \frac{\sin{3x}}{x} + \frac{\sin{x}}{3x}\Big) = \frac{10}{3}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to -2} \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2+3x+2}
 +
\end{priklad}
 +
\res{-5}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to -1} \frac{x^2-2x-3}{x^3+x^2-2x-2} = 4
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 2} \frac{x^3-4x}{x^4+x-18}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{8}{33}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 5} \frac{x^2 -10x +25}{x^3 - 3x^2 -9x-5} = 0
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{\sin{x}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{1}{2}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to -1} \frac{x+1}{\sqrt{10+x} - 3} = 6
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{1}{4}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{1- \cos{x}}{\tan{x}} = 0
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sin{4x}}{\sqrt{x+1}-1}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{8}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh 
−
    \lim_{x \to -2} \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2+3x+2} = -5
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos^2{x}}{x(1+\cos{x})}
 +
\end{priklad}
 +
\res{0}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x}{8-x^3} = - \frac{1}{6}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{\sqrt{3x} - 3}
 +
\end{priklad}
 +
\res{-12}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 2} \frac{3x^3-10x-4}{4-x^2} = - \frac{13}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x} - \cos{x}}{\cos{2x}}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{$-\frac{\sqrt{2}}{2}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to -1} \frac{2x^2-6x-8}{2x^3+2} = - \frac{5}{3}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to \pi} \frac{\sqrt{1-\tg{x}} - \sqrt{1+\tg{x}}}{\sin{2x}}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{$- \frac{1}{2}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 2} \frac{x^3-4x}{x^4+x-18} = \frac{8}{33}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to a} \frac{\sin{x} - \sin{a}}{x^2 - a^2}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{\cos{a}}{2a}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+3x-1} - x = \frac{3}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \Big( \frac{1}{\sin{x}} - \frac{1}{\tg{x}}\Big)
 +
\end{priklad}
 +
\res{0}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+1} - \sqrt{x} = 0
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \Big( \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} - \tg^2{x} \Big)
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{1}{2}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{1}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{2}{3}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1} = \frac{1}{4}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x}}{x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{2}{3}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 1} \frac{(x-1) \sqrt{2-x}}{x^2-1} = \frac{1}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+1} -1}{\sqrt{x^2+16} -4}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{4}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\sin{4x}}{\sqrt{x+1}-1} = 8
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{3}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos^2{x}}{x(1+\cos{x})} = 0
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x} - \tg{x}}{\sin^3{x}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$-\frac{1}{2}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 1} \Big( \frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3}\Big) = -1
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt[3]{1+2x} + 1}{ \sqrt[3]{2+x} + \sqrt[3]{x}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$1$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{\sqrt{3x} - 3} = -12
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to -8} \frac{\sqrt{1-x} - 3}{2+\sqrt[3]{x}}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{-2}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x} - \cos{x}}{\cos{2x}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x}}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{3}{2}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to \pi} \frac{\sqrt{1-\tan{x}} - \sqrt{1+\tan{x}}}{\sin{2x}} = - \frac{1}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt[3]{x^3-2x^2}}{x+1}  
 +
\end{priklad}
 +
\res{1}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to a} \frac{\sin{x} - \sin{a}}{x - a} = \cos{a}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$6$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item \bezlh
−
    \lim_{x \to 0} \Big( \frac{1}{\sin{x}} - \frac{1}{\tan{x}}\Big) = 0
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-\cos(x^2)}}{1-\cos{x}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\sqrt{2}$}
 +
 
 +
\item \bezlh
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{1}{2}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
 
−
    \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} - \tan^2{x} = \frac{1}{2}
 
−
  \end{priklad}
 
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\odstavec{l'Hôpitalovo pravidlo povoleno}
−
    \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2}{3}
+
−
  \end{priklad}
+
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x}}{x} = \frac{2}{3}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\ln\cos x}{\ln\cos(\pi x)}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{1}{\pi^2}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+1} -1}{\sqrt{x^2+16} -4} = 4
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\cosh{x}-1}{\cos{x}-1}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$-1$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item
−
    \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} = 3
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0} \frac{\sinh(x)}{\sin{x}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$1$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sqrt{x+2} - \sqrt{\sqrt2}} = 6 \sqrt{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x - e^{-x}}{x+\frac{1}{x}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$+\infty$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x} - \tan{x}}{\sin^3{x}} = -\frac{1}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 1} ~(1-x)\tg\left(x\frac{\pi}{2}\right)
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{2}{\pi}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item
−
    \lim_{x \to -1} \frac{\sqrt[3]{1+2x} + 1}{ \sqrt[3]{2+x} + x} = \frac{1}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(4e^{-x})}{x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{-1}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item
−
    \lim_{x \to -8} \frac{\sqrt{1-x} - 3}{2+\sqrt[3]{x}} = -2
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}
 +
\end{priklad}
 +
\res{1}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x}} = \frac{3}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2-x+1}
 +
\end{priklad}
 +
\res{-1}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item
−
    \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt[3]{x^3-2x^2}}{x+1} = 1
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x} - x
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{1}{2}$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item
−
    \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2} = 1
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2+x} - x
 +
\end{priklad}
 +
\res{$+\infty$}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item
−
    \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\tan{x}} - \sqrt{1+\sin{x}}}{x^3} = \frac{1}{4}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 2} \big( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{|x-2|} \big)
 +
\end{priklad}
 +
\res{neex}
 
   
 
   
−
  \begin{priklad}
+
\item
−
    \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos{(x)} \cdot \sqrt{\cos{2x}}}{x^2} = \frac{3}{2}
+
\begin{priklad}
−
  \end{priklad}
+
\lim_{x \to 0_-} \frac{\cos{x}\sqrt{1-\cos{2x}}}{x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$-\sqrt{2}$}
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-\cos{3x}}}{\sqrt{1-\cos^2{x}}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{3}{\sqrt{2}}$}
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \tg{(2x)} \ln{(\tg{x})}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$-1$}
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 0} \frac{\ln{\cos{x}}}{\ln{\cos{(2x)}}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{1}{4}$}
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-e^{2x}}{x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{-1}
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+3x-1} - x
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{3}{2}$}
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+1} - \sqrt{x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{0}
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{4x^2-5x-x^3+2}}{x^2-1}
 +
\end{priklad}
 +
\res{neex}
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 1} \Big( \frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3}\Big)
 +
\end{priklad}
 +
\res{-1}
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to +\infty} \frac{(1-x)(1-2x)(1-3x)(1-4x)(1-5x)}{(x-1)^5}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$-5!$}
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2x^2-1}{2x^2+1} \right)^{\frac{x+2}{x+1}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$1$}
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{3x^2-1}{2x^2+1} \right)^{\frac{1+2x}{x+1}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac94$}
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to +\infty} x \left(\ln(x+1)-\ln x \right)
 +
\end{priklad}
 +
\res{$1$}
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to +\infty} \arctg \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{\pi}{4}$}
 +
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to -\infty} \arctg \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$-\frac{\pi}{4}$}
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to 1_-} \arctg \frac{1}{1-x}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{\pi}{2}$}
 +
 +
 +
\item
 +
\begin{priklad}
 +
\lim_{x \to +\infty} \arcsin\frac{x}{x+1}
 +
\end{priklad}
 +
\res{$\frac{\pi}{2}$}
 +
 +
\odstavec{Spojitost}
 +
 
 +
\item Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce
 +
\begin{priklad}
 +
f(x) = \arctg\frac{x^2-1}{x}
 +
\end{priklad}
 +
 +
\res{v 0 skoková nespojitost}
 +
 
 +
 
 +
\item Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce
 +
\begin{priklad}
 +
f(x) = \sqrt{|x|}\arctg\frac{1}{x}
 +
\end{priklad}
 +
 +
\res{v 0 odstranitelná nespojitost}
 +
 
 +
\item Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce
 +
\begin{priklad}
 +
f(x) = x\sin\frac{1}{x}
 +
\end{priklad}
 +
 +
\res{v 0 odstranitelná nespojitost}
 +
 
 +
\item Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce
 +
\begin{priklad}
 +
f(x) = \frac{1}{\arcctg\frac{1}{x}}
 +
\end{priklad}
 +
 +
\res{v 0 podstatná nespojitost}
 
   
 
   
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
−
\end{multicols}
 

Aktuální verze z 25. 10. 2016, 08:25

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1Priklady

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1PrikladyFucikrad 18. 9. 201107:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:44
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 27. 4. 202208:11 header.tex
Kapitola1 editovatLimity a spojitostPitrazby 25. 10. 201608:25 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatDerivace, inverzní funkce, tečny, normály, asymptotyDvoraro3 4. 11. 202221:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatVyšetřování funkcíAdmin 29. 1. 202319:44 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatExtremální úlohy, konvexnost, konkávnost, inflexeAdmin 3. 4. 202410:17 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatNeurčité integrály a primitivní funkceDvoraro3 28. 11. 202222:16 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatUrčité integrályPitrazby 28. 4. 201611:29 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatAplikace integrálůFucikrad 12. 4. 202209:53 kapitola7.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1Priklady}
\section{Limity a spojitost}
 
\subsection*{\fbox{Rozcvička}}
V této krátké části jsou příklady, které pro svou nižší náročnost nebudou ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány.
 
\begin{itemize}
 
%\input{01}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}
\end{priklad}
\res{1}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to \pi} \frac{\sin{x}}{x-\pi}
\end{priklad}
\res{-1}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to 0} x \cot{3x} 
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{3}$}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to 1} \frac{\ln{x}}{x^2-1} 
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{2}$}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-1}
\end{priklad}
\res{2}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 2x + 5}{ 4x^2 + 3x -7}
\end{priklad}
\res{$\frac{3}{4}$}
 
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x^2+2x-15}
\end{priklad}
\res{$\frac{3}{4}$}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x} 
\end{priklad}
\res{1}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to 0} x \cot{x} 
\end{priklad}
\res{1}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin{5x}}{x} 
\end{priklad}
\res{5}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to 5} \frac{x^2-4x-5}{x^2-7x+10}
\end{priklad}
\res{2}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^3 - x^2 +3}{x^3+6x^2-4} 
\end{priklad}
\res{5}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-2}{4x-4}
\end{priklad}
\res{$\frac{3}{4}$}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2{x} - 1}{x^2}
\end{priklad}
\res{-1}
 
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3-1}{5x^3}
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{5}$}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to 2} \frac{3x^3-10x-4}{4-x^2} 
\end{priklad}
\res{$- \frac{13}{2}$}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to -1} \frac{2x^2-6x-8}{2x^3+2} 
\end{priklad}
\res{$- \frac{5}{3}$}
 
\item \begin{priklad}
\lim_{x \to a} \frac{\sin{x} - \sin{a}}{x - a} 
\end{priklad}
\res{$\cos{a}$}
 
\end{itemize}
 
\subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}}
 
 
\begin{enumerate}
 
\odstavec{l'Hôpitalovo pravidlo zakázáno}
 
\item  \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 3} \frac{x^2+x-12}{9-3x} 
\end{priklad}
\res{$ - \frac{7}{3}$}
 
\item  \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\cos{x} - 1}{x^2} 
\end{priklad}
\res{$- \frac{1}{2}$}
 
 
\item  \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 2} \frac{x^3-8}{x^4-16} 
\end{priklad}
\res{$\frac{3}{8}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2x}{8-x^3} 
\end{priklad}
\res{$- \frac{1}{6}$}
 
 
\item \bezlh 
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x + \sin^8 x - \sin^3 x}{\sin^5 x + 1 - \cos^2 x + \sin^7 x}
\end{priklad}
\res{1}
 
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\sin^2 x}+\sqrt{1-\cos^2 x}}{|x|}
\end{priklad}
\res{2}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 3x^2+3x+2}{x^3+3x^2+4x+4}
\end{priklad}
\res{$\frac34$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{x^3+2x^2+5x}{(x^2+6)\sin x} 
\end{priklad}
\res{$\frac56$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \tg x} - \sqrt{1+\sin x}}{x^3}
\end{priklad}
\res{$\frac14$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x}
\end{priklad}
\res{1}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 5} \frac{x^2 + 2x-35}{x^3-3x^2-9x-5}
\end{priklad}
\res{$\frac13$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2x}{x\sqrt{1-\cos^2x}}
\end{priklad}
\res{neex}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to -2} \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2+3x+2}
\end{priklad}
\res{-5}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{2x^2-1} - \frac{x^2}{2x+1}
\end{priklad}
\res{$\frac14$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x+13} - 2 \sqrt{x+1}}{x^2-9}
\end{priklad}
\res{$-\frac{1}{16}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} x~\hbox{tg}{\left ( \frac{\pi}{2}-x \right )}
\end{priklad}
\res{1}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{1+x \sin x} - \sqrt{\cos x}}
\end{priklad}
\res{$\frac43$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 2} \frac{x^3-4x}{x^4+x-18}
\end{priklad}
\res{$\frac{8}{33}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 2} \frac{1-\cos(x-2)}{x^3-2x^2-4x+8}  
\end{priklad}
\res{$\frac18$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \frac{\sinh x}{\cosh x + \sinh x} 
\end{priklad}
\res{$\frac12$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to -\infty} \frac{\sinh x}{\cosh x + \sinh x} 
\end{priklad}
\res{$-\infty$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{1-\sqrt{\cos x}}{x^2}
\end{priklad}
\res{$\frac14$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\cos^2 x + \sin^8 x - \cos^3 x}{\sin^5 x + 1 - \cos^2 x + \sin^7 x}
\end{priklad}
\res{$\frac12$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x} - 2}
\end{priklad}
\res{$\frac{4}{3}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to -\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}
\end{priklad}
\res{-1}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sqrt{1+x \sin{x}} - \sqrt{\cos{x}}}
\end{priklad}
\res{$\frac{4}{3}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\tg{x} - \sin{x}}{\sin^3{x}}
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{2}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 4} \big( \frac{1}{x} - \frac{1}{4} \big) \big(\frac{1}{x-4} \big)
\end{priklad}
\res{$ -\frac{1}{16}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{x^2-3x}{\tg{x}} 
\end{priklad}
\res{-3}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 1} (1-x) \tg{(x \frac{\pi}{2})} 
\end{priklad}
\res{$\frac{2}{\pi}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to \frac{\pi}{3}} \frac{\sin{(x-\frac{\pi}{3})}}{1-2\cos{x}}
\end{priklad}
\res{$\frac{\sqrt{3}}{3}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}_-} \frac{\frac{\pi}{2} - x}{\sin{x} \cos{x}}
\end{priklad}
\res{1}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to \pi} \frac{\tg{x} - \sin{x}}{\cos ^3{x}} 
\end{priklad}
\res{0}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 1} \frac{x^3+2x^2-x-2}{x^2-1}
\end{priklad}
\res{3}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{1- \cos{2x} + \tg^2{x}}{x \sin{x}} 
\end{priklad}
\res{3}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x}{\sqrt{x} - 1}
\end{priklad}
\res{2}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \frac{5-2x+ 3x^2}{3x-7+ 4x^2 } 
\end{priklad}
\res{$\frac{3}{4}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{6+x} - 2}{x+2} 
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{4}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^5 - (1+5x)}{x^2+x^5}
\end{priklad}
\res{10}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x} - x}{\sin{x} + x} 
\end{priklad}
\res{0}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{\sqrt{x+2} - 2}
\end{priklad}
\res{4}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\cos{x} - \sin{x}}{1-\tg{x}}
\end{priklad}
\res{$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 + 5x^4 - x^2 +3}{4-x^3+6x^2-x^4}
\end{priklad}
\res{-5}
 
\item  \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2}}{\sin{x}}
\end{priklad}
\res{$\frac{\sqrt{2}}{4}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\cos{x} - 1}{1-\cos^2{x}}
\end{priklad}
\res{$-\frac{1}{2}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9+2x} - 5}{\sqrt[3]{x} - 2} 
\end{priklad}
\res{$\frac{12}{5}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \Big( \frac{\sin{3x}}{x} + \frac{\sin{x}}{3x}\Big)
\end{priklad}
\res{$\frac{10}{3}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to -1} \frac{x^2-2x-3}{x^2+x^3-2x-2} 
\end{priklad}
\res{4}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 5} \frac{25 + x^2 -10x}{x^3  -9x- 3x^2-5}
\end{priklad}
\res{0}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{\sqrt{10+x} - 3}
\end{priklad}
\res{6}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{1- \cos{x}}{\tg{x}}
\end{priklad}
\res{0}
 
\item \bezlh 
\begin{priklad}
\lim_{x \to -2} \frac{x^3+2x^2+x+2}{x^2+3x+2}
\end{priklad}
\res{-5}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 2} \frac{x^3-4x}{x^4+x-18}
\end{priklad}
\res{$\frac{8}{33}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} - 1}{\sin{x}}
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{2}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1}
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{4}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin{4x}}{\sqrt{x+1}-1} 
\end{priklad}
\res{8}
 
\item \bezlh  
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos^2{x}}{x(1+\cos{x})}
\end{priklad}
\res{0}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 3} \frac{9-x^2}{\sqrt{3x} - 3}
\end{priklad}
\res{-12}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{\sin{x} - \cos{x}}{\cos{2x}} 
\end{priklad}
\res{$-\frac{\sqrt{2}}{2}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to \pi} \frac{\sqrt{1-\tg{x}} - \sqrt{1+\tg{x}}}{\sin{2x}} 
\end{priklad}
\res{$- \frac{1}{2}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to a} \frac{\sin{x} - \sin{a}}{x^2 - a^2} 
\end{priklad}
\res{$\frac{\cos{a}}{2a}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \Big( \frac{1}{\sin{x}} - \frac{1}{\tg{x}}\Big)
\end{priklad}
\res{0}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \Big( \frac{\sin{x}}{\cos^2{x}} - \tg^2{x} \Big)
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{2}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}
\end{priklad}
\res{$\frac{2}{3}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x}}{x}
\end{priklad}
\res{$\frac{2}{3}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^2+1} -1}{\sqrt{x^2+16} -4} 
\end{priklad}
\res{4}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} 
\end{priklad}
\res{3}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x} - \tg{x}}{\sin^3{x}}
\end{priklad}
\res{$-\frac{1}{2}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to -1} \frac{\sqrt[3]{1+2x} + 1}{ \sqrt[3]{2+x} + \sqrt[3]{x}}
\end{priklad}
\res{$1$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to -8} \frac{\sqrt{1-x} - 3}{2+\sqrt[3]{x}} 
\end{priklad}
\res{-2}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{\sqrt[3]{1+x} - \sqrt[3]{1-x}} 
\end{priklad}
\res{$\frac{3}{2}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt[3]{x^3-2x^2}}{x+1} 
\end{priklad}
\res{1}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}
\end{priklad}
\res{$6$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-\cos(x^2)}}{1-\cos{x}}
\end{priklad}
\res{$\sqrt{2}$}
 
\item \bezlh
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{2}$}
 
 
\odstavec{l'Hôpitalovo pravidlo povoleno}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\ln\cos x}{\ln\cos(\pi x)}
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{\pi^2}$}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\cosh{x}-1}{\cos{x}-1}
\end{priklad}
\res{$-1$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sinh(x)}{\sin{x}}
\end{priklad}
\res{$1$}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x - e^{-x}}{x+\frac{1}{x}}
\end{priklad}
\res{$+\infty$}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to 1} ~(1-x)\tg\left(x\frac{\pi}{2}\right)
\end{priklad}
\res{$\frac{2}{\pi}$}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(4e^{-x})}{x}
\end{priklad}
\res{-1}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}
\end{priklad}
\res{1}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2-x+1}
\end{priklad}
\res{-1}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x} - x 
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{2}$}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to -\infty} \sqrt{x^2+x} - x 
\end{priklad}
\res{$+\infty$}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to 2} \big( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{|x-2|} \big) 
\end{priklad}
\res{neex}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0_-} \frac{\cos{x}\sqrt{1-\cos{2x}}}{x} 
\end{priklad}
\res{$-\sqrt{2}$}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1-\cos{3x}}}{\sqrt{1-\cos^2{x}}}
\end{priklad}
\res{$\frac{3}{\sqrt{2}}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \tg{(2x)} \ln{(\tg{x})}
\end{priklad}
\res{$-1$}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{\ln{\cos{x}}}{\ln{\cos{(2x)}}}
\end{priklad}
\res{$\frac{1}{4}$}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-e^{2x}}{x}
\end{priklad}
\res{-1}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+3x-1} - x
\end{priklad}
\res{$\frac{3}{2}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+1} - \sqrt{x}
\end{priklad}
\res{0}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{4x^2-5x-x^3+2}}{x^2-1}
\end{priklad}
\res{neex}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to 1} \Big( \frac{1}{1-x} - \frac{3}{1-x^3}\Big)
\end{priklad}
\res{-1}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \frac{(1-x)(1-2x)(1-3x)(1-4x)(1-5x)}{(x-1)^5}
\end{priklad}
\res{$-5!$}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{2x^2-1}{2x^2+1} \right)^{\frac{x+2}{x+1}}
\end{priklad}
\res{$1$}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{3x^2-1}{2x^2+1} \right)^{\frac{1+2x}{x+1}}
\end{priklad}
\res{$\frac94$}
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} x \left(\ln(x+1)-\ln x \right)
\end{priklad}
\res{$1$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \arctg \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
\end{priklad}
\res{$\frac{\pi}{4}$}
 
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{x \to -\infty} \arctg \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
\end{priklad}
\res{$-\frac{\pi}{4}$}
 
\item
\begin{priklad}
\lim_{x \to 1_-} \arctg \frac{1}{1-x}
\end{priklad}
\res{$\frac{\pi}{2}$}
 
 
\item 
\begin{priklad}
\lim_{x \to +\infty} \arcsin\frac{x}{x+1}
\end{priklad}
\res{$\frac{\pi}{2}$}
 
\odstavec{Spojitost}
 
\item Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce
\begin{priklad}
f(x) = \arctg\frac{x^2-1}{x}
\end{priklad}
 
\res{v 0 skoková nespojitost}
 
 
\item Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce
\begin{priklad}
f(x) = \sqrt{|x|}\arctg\frac{1}{x}
\end{priklad}
 
\res{v 0 odstranitelná nespojitost}
 
\item Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce
\begin{priklad}
f(x) = x\sin\frac{1}{x}
\end{priklad}
 
\res{v 0 odstranitelná nespojitost}
 
\item Vyšetřete charakter bodů nespojitosti funkce
\begin{priklad}
f(x) = \frac{1}{\arcctg\frac{1}{x}}
\end{priklad}
 
\res{v 0 podstatná nespojitost}
 
\end{enumerate}

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=Matematika1Priklady:Kapitola1&oldid=6828“