Aktuální verze z 6. 2. 2019, 09:05

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01FA2}
\section{Neomezené operátory}
 
Obecně $\Dom A\not=\H$, obvykle požadujeme $\uz{\Dom A}=\H$.
 
\begin{enumerate}
\item $A=B\iff\Dom A=\Dom B\wedge Ax=Bx\ \forall x\in\Dom A$,
\item $C=AB$: $\Dom C=\{x\in\Dom B|Bx\in\Dom A\}$, $Cx=ABx\ \forall
  x\in\Dom C$,
\item $C=A+B$: $\Dom C=\Dom A\cap\Dom B$.
\end{enumerate}
 
\begin{define}
  Nechť $\uz{\Dom A}=\H$. Potom $x\in \Dom A^*$, právě když existuje
  $u\in\H$ tak, že pro každé $y\in\Dom A$ je $(x,Ay)=(u,y)$. Jestliže
  $u\in\H$ existuje, pak je určeno jednoznačně: Kdyby existovalo
  $u'\in\H$ tak, že pro každé $y\in\Dom A$ $(x,Ay)=(u',y)$, pak pro
  každé $y\in\Dom A$ je $(u-u',y)=0$ a $u-u'\in\Dom A^\perp=(\uz{\Dom
    A})^\perp=\{0\}$. Pokládáme $A^*x=u$.
\end{define}
 
\begin{tvrzeni}
  Platí:
  \begin{enumerate}[(i)]
  \item $(\lambda A)^*=\uz{\lambda}A^*$ ($\lambda\not=0$);
  \item $(A+B)^*\supset A^*+B^*$, pokud je levá strana definovaná
    ($\uz{\Dom (A+B)}=\uz{\Dom A\cap \Dom B}=\H$);
  \item $(AB)^*\supset B^*A^*$, pokud je levá strana definovaná
    ($\Dom AB=\H$);
  \item $A\subset B\implies B^*\subset A^*$.
  \end{enumerate}
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item Buď $x\in\Dom A^*=\Dom(\lambda A^*)$ (platí pro
      $\lambda\not=0$). Pro $y\in\Dom(\lambda A)$ platí
      \[(x,(\lambda A)y)=(x,\lambda(Ay))=\lambda(x,Ay)=\lambda(A^*x,y)=
      (\overline\lambda A^*x,y),\] 
      z~čehož plyne $x\in\Dom (\lambda A)^*$, díky jednoznačnosti
      $\overline\lambda A^*x=(\lambda A)^*x$ a $\overline\lambda
      A^*\subset (\lambda A)^*$.
 
      Naopak buď $x\in\Dom(\lambda A)^*$, pak
      \[(\overline\lambda x,Ay)=(x,\lambda Ay)=((\lambda A)^*x,y).\]
      Proto $x\in\Dom(\overline\lambda A^*)$ a $(\lambda
      A)^*\subset\overline\lambda A^*$. Celkem
      $(\lambda A)^*=\overline\lambda A^*$.
    \item Buď $x\in\Dom(A^*+B^*)$, tedy $x\in\Dom A^*\cap\Dom B^*$,
      $y\in\Dom(A+B)$. Pak
      \[(x,(A+B)y)=(x,Ay)+(x,By)=(A^*x,y)+(B^*x,y)=((A^*+B^*)x,y).\]
    \item Buď $x\in\Dom(B^*A^*)\iff x\in\Dom B^*\wedge A^*x\in\Dom
      B^*$. Pro každé $y\in\Dom(AB)$, tj. $y\in\Dom B$, $By\in\Dom A$
      platí
      \[(x,(AB)y)=(x,A(By))=(A^*x,By)=(B^*(A^*x),y)=(B^*A^*x,y).\]
      Proto $x\in\Dom(AB)^*$, $(AB)^*x=(B^*A^*)x$ a $B^*A^*\subset
      (AB)^*$.
    \item Buď $x\in\Dom B^*$. Pro $y\in\Dom(A)\subset\Dom(B)$ platí
      \[(x,Ay)=(x,By)=(B^*x,y)\]
      a $x\in\Dom A^*$, $A^*x=B^*x\implies B^*\subset A^*$.\qed
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{tvrzeni}
 
\begin{theorem}
  Nechť $\uz{\Dom A}=\H$, $A^{-1}$ existuje ($\Ker A=0$) a
  $\uz{\Dom A^{-1}}=\H$ ($\Dom A^{-1}=\Ran A$). Potom $(A^*)^{-1}$
  existuje a platí $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$.
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item Buď $x\in\Ker A^*$. Potom pro každé $y\in\Dom A$ je
      $(x,Ay)=(0,y)=0$. Protože $Ay\subset\Ran A=\Dom A^{-1}$, který
      je hustý, je $x=0$, tj. $\Ker A^*=\{0\}$ a tedy $(A^*)^{-1}$
      existuje.
    \item Buď $y\in\Dom(A^{-1})=\Ran A$, $y=Au$, $u\in\Dom A$,
      $(x,A^{-1}y)=(x,u)$.
 
      Pro každé $u\in\Dom A$, $x\in\Dom(A^*)^{-1}$ je
      \[(x,A^{-1}Au)=(x,u)=(A^*(A^*)^{-1}x,u)=((A^*)^{-1}x,Au).\]
      Pro $y\in\Dom(A^{-1})$, $x\in\Dom(A^*)^{-1}$ je
      $(x,A^{-1}y)=((A^*)^{-1}x,y)$, tudíž $x\in\Dom(A^{-1})^*$ a
      $(A^{-1})^*x=(A^*)^{-1}x$.
    \item Buď $y\in\Dom(A^{-1})^*$, $x\in\Dom A^{-1}$. Potom
      \[((A^{-1})^*y,AA^{-1}x)=((A^{-1})^*y,x)=(y,A^{-1}x).\]
      Pro $y\in\Dom(A^{-1})^*$, $z\in\Dom A$ je
      $((A^{-1})^*y,Az)=(y,z)$. Proto $(A^{-1})^*y\in\Dom A^*$,
      $A^*(A^{-1})^*y=y\in\Ran A^*=\Dom(A^*)^{-1}$,
      $(A^*)^{-1}y=(A^{-1})^*y$ a $(A^{-1})^*\subset(A^*)^{-1}$.
      Celkem $(A^{-1})^*=(A^*)^{-1}$.\qed
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
  \begin{enumerate}
  \item $A=\uz A\implies\uz{\Ker A}=\Ker A$.
  \item Je-li $\uz{\Dom A}=\H$, potom $\Ran(A-\lambda
    I)^\perp=\Ker(A^*-\overline\lambda I)$.
    \begin{proof}
      $x\in\Ran(A-\lambda I)^\perp\iff(x,(A-\lambda I)y)=0\ \forall
      y\in\Dom A\iff x\in\Ker(A^*-\overline\lambda I)$.
    \end{proof}
  \item Jestliže $\uz{\Dom A}=\H$, $B\in\B(\H)$, pak $(A+B)^*=A^*+B^*$
    a $\Dom(A+B)=\Dom(A)$. Specielně $(A-\lambda
    I)^*=A^*-\overline\lambda I$.
  \item Je-li $A\in\B(\H)$, pak $A^{**}=A$. Je-li $A$ neomezený,
    potom $A^{**}$ existuje, právě když $\uz{\Dom A^*}=\H$; potom
    $A^{**}=\uz A$.
  \item $\Gamma(\uz A)=\uz{\Gamma(A)}$,
    $\Gamma(A)\subset\H\oplus\H$. Definujeme
    $([x,y],[x',y'])=(x,x')+(y,y')$,
    $\norm{[x,y]}=\sqrt{\norm{x}^2+\norm{y}^2}$. Označme
    $U:\H\oplus\H\mapsto\H\oplus\H:[x,y]\mapsto[y,-x]$. Zřejmě
    $U^2=-I$, $U^*=U^{-1}=-U$.
  \item Buď $M\subset \H\oplus\H$. Pak $U(M)^\perp=U(M^\perp)$:
    \[\begin{split}
    [x,y]\in U(M)^\perp&\iff\forall[u,v]\in U(\Gamma):([x,y],[u,v])=0\\
    &\iff\forall[u,v]\in\Gamma:([x,y],[v,-u])=0\\
    &\iff(x,v)-(y,u)=0,
    \end{split}\]
    \[\begin{split}
      [x,y]\in U(M^\perp)&\iff[-y,x]\in\Gamma^\perp\\
      &\iff\forall[u,v]\in M([-y,x],[u,v])=0\\
      &\iff -(y,u)+(x,v)=0.
    \end{split}\]
  \end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{lemma}
  Nechť $\uz{\Dom A}=\H$. Potom $\Gamma(A^*)=U(\Gamma(A))^\perp$.
  \begin{proof}
    \[
    \begin{split}
      [x,y]\in\Gamma(A^*)&\iff\forall u\in\Dom A:(x,Au)=(y,u)\\
      &\iff\forall[u,Au]\in\Gamma(A):
      ([x,y],\underbrace{[Au,-u]}_{U[u,Au]})=0\\
      &\iff\forall[u,v]\in\Gamma(A):([x,y],U[u,v])=0\\
      &\iff[x,y]\in U(\Gamma(A))^\perp.\qed
    \end{split}
    \]
    \noqed
  \end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{dusl}
  $A^*$ je uzavřený, neboť $\Gamma(A^*)=\uz{\Gamma(A^*)}$.
\end{dusl}
 
\begin{theorem}
  Nechť $\uz{\Dom A}=\H$. Potom $A^{**}=(A^*)^*$ existuje, právě když
  $A$ je uzavíratelný a navíc $A^{**}=\uz{A}$.
  \begin{proof}
    $A^{**}$ existuje $\iff\uz{\Dom
      A^*}=\H\iff\Dom(A^*)^\perp=\{0\}$. Dále
    \[\begin{split}
      [x,0]\in\Gamma(A^*)^\perp&\iff
      \forall[u,v]\in\Gamma(A^*):0=([x,0],[u,v])=(x,u)\\
      &\iff x\in\Dom(A^*)^\perp
    \end{split}\]
    a
    \[\begin{split}
      x\in\Dom(A^*)^\perp&\iff[x,0]\in\Gamma(A^*)^\perp=
      {U(\Gamma(A))^\perp}^\perp=\uz{U(\Gamma(A))}=U(\uz{\Gamma(A)})\\
      &\iff -U[x,0]\in\uz{\Gamma(A)}\\&\iff[0,x]\in\uz{\Gamma(A)}.
    \end{split}\]
    Z~toho plyne
    \[\begin{split}
      \exists A^{**}&\iff\uz{\Dom A^*}=\H\iff\Dom(A^*)^\perp=\{0\}\\
      &\iff\{x\in\H|[0,x]\in\uz{\Gamma(A)}\}=\{0\}\\
      &\iff\uz{\Gamma(A)}\text{ je graf}\\
      &\iff A\text{ je uzavíratelný}.
    \end{split}\]
    Konečně
    \[\Gamma(A^{**})=U(\Gamma(A^*))^\perp=U(\Gamma(A^*)^\perp)=
    U(\uz{U(\Gamma(A))})=U^2(\uz{\Gamma(A)})=
    \uz{\Gamma(A)}=\Gamma(\uz{A}).\]
    Přitom jsme využili toho, že $\uz{\Gamma(A)}$ je podprostor, takže
    $(-1)\uz{\Gamma(A)}=\uz{\Gamma(A)}$.
  \end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
  Nechť $A$ je hustě definovaný. Potom
  \begin{enumerate}
  \item $A$ je symetrický, právě když (ekvivalentní formulace)
    \begin{enumerate}
    \item $(\forall x,y\in\Dom A)((Ax,y)=(x,Ay))$,
     \item $(\forall x\in\Dom A)(x\in\Dom A^*,\ A^*x=Ax)$,
    \item $A\subset A^*$.
    \end{enumerate}
  \item $A$ je samosdružený, právě když $A^*=A$.
  \item $A$ je normální, právě když $A^*A=AA^*$ (včetně definičních
    oborů).
  \end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{theorem}
  \begin{enumerate}
  \item Symetrický operátor je uzavíratelný.
  \item Uzávěr symetrického operátoru je symetrický.
  \item Je-li $A$ symetrický a $\Dom A =\H$, potom $A$ je omezený.
  \end{enumerate}
  \begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item $A\subset A^*$, $A^*$ je uzavřený.
    \item $A\subset A^*\implies \uz{A}\subset A^*=(\uz A)^*$. Obecně
      pro každý $B:\uz{\Dom B}=\H$, uzavíratelný, platí $B^*=(\uz
      B)^*$.
      \[\Gamma(B^*)=U(\Gamma(B))^\perp=(\uz{U(\Gamma(B))})^\perp=
      (U(\uz{\Gamma(B)}))^\perp=U(\Gamma(\uz B))^\perp=\Gamma((\uz B)^*).\]
      Druhá rovnost zleva plyne ze spojitosti skalárního součinu, třetí
      z~unitarity $U$ a čtvrtá z~uzavíratelnosti $B$.
    \item $A\subset\uz A$ existuje, $\Dom A=\H$, takže $A=\uz A$ a $A$
      je omezený.\qed
    \end{enumerate}
    \noqed
  \end{proof}
\end{theorem}