Aktuální verze z 18. 9. 2018, 14:09

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\chapter{Příprava stavu kvantové částice}
\label{kap:priprava}
 
 
\section{Stav kvantového systému a měření}
 
V Hamiltonově formulaci klasické mechaniky je stav částice určen její polohou a hybností. To jsou pozorovatelné veličiny, které je možné změřit v experimentu. Stav klasické částice je tedy sám o sobě přímo pozorovatelný. 
 
V kvantové mechanice už to ale neplatí. Stav částice je popsán nenulovým vektorem z nějakého Hilbertova prostoru $\Hil$, zatímco pozorovatelným veličinám odpovídají samosdružené operátory na $\Hil$. Jedná se o matematicky zcela jiné objekty. Kvantové částici musíme stav přiřadit na základě výsledků měření nějakých pozorovatelných veličin. Otázkou je, jaká měření musíme při přípravě stavu provést, aby byl určen jednoznačně. 
 
Uvažujme nyní kvantový lineární harmonický oscilátor, který jsme studovali v kapitole \ref{qho}. Víme, že spektrum hamiltoniánu, tj. možné hodnoty výsledků měření energie, je tvořeno vlastními čísly $E_n = \left(n+\half\right)\hbar\omega$. Každé vlastní hodnotě odpovídá jeden vlastní vektor $\psi_n$, přesněji, jednorozměrný podprostor komplexního Hilbertova prostoru. Jeví se tedy přirozené říci, že pokud naměříme energii oscilátoru rovnou $E_n$, jeho stav bude popsán vlnovou funkcí $\psi_n(x)$. 
 
\bc
  Jaká je hustota pravděpodobnosti nalezení \qv ého jednorozměrného oscilátoru s~energií $\hbar\omega(n+\half)$ v~bodě $x$? Spočítejte a nakreslete grafy této hustoty pro $n=0,1,2,\ldots$ a srovnejte je s~hustototu pravděpodobnosti výskytu klasického oscilátoru v~daném místě.
\ec
 
Tento princip můžeme obecněji formulovat v následujícím postulátu (pro jednoduchost se zatím omezíme na pozorovatelné s čistě bodovými spektry): 
 
\begin{post}
\ll{proj:post}
Po měření pozorovatelné $\hat{A}$ s výsledkem $a_j$ je stav kvantové částice popsán vektorem $\frac{\hat P_j \psi}{||\hat P_j \psi||}$, kde $\psi$ je normovaný stav částice před měřením a $\hat P_j$ je ortogonální projektor na podprostor odpovídající vlastní hodnotě $a_j$. Pravděpodobnost výsledku $a_j$ je rovna $||\hat P_j \psi||^2$. 
\end{post}
 
Pro pozorovatelné s prostým spektrem, kdy každé vlastní hodnotě $a_j$ odpovídá (až na fázi) jeden normovaný vlastní vektor $\psi_j$
$$
\hat A\psi_j = a_j \psi_j,
$$ 
působí ortogonální projektor $\hat P_j$ na vektor $\psi$ způsobem 
$$
\hat P_j\psi = (\psi_j,\psi) \psi_j.
$$
Stav částice po měření s výsledkem $a_j$ je pak popsán vlastním vektorem $\psi_j$, protože
$$
\frac{\hat P_j \psi}{||\hat P_j \psi||}  = \frac{(\psi_j,\psi)}{|(\psi_j,\psi)|} \psi_j = e^{i\phi}\psi_j,
$$
a fázový faktor $e^{i\phi}$ je irelevantní. Pravděpodobnost tohoto výsledku měření je 
$$
||\hat P_j \psi||^2 = |(\psi_j,\psi)|^2.
$$
 
\bc
  Je stav klasické částice na přímce určen energií jednoznačně?
\ec
 
Logickým důsledkem postulátu je to, že stav částice se může aktem měření \textbf{nevratně změnit}. Uvažujme opět LHO, který je ve stavu superpozice
\be
\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_0 + \psi_1).
\ll{lho:sup}
\ee
Tento stav není vlastní vektor hamiltoniánu, takže energie oscilátoru není jednoznačně určená. Z postulátu \ref{proj:post} pak plyne, že pokud budeme měřit energii oscilátoru ve stavu (\ref{lho:sup}), můžeme dostat pouze hodnoty $E_0 = \half\hbar\omega$, nebo $E_1 = \frac{3}{2}\hbar\omega$. Obě možnosti mají pravděpodobnost 50$\%$, protože
$$
||\hat P_n \psi||^2 = |(\psi_n,\psi)|^2 = \left\{\begin{array}{c}
\frac{1}{2},\quad  n=0,1\\ \\
0,\quad  n\neq 0,1
\end{array}\right. .
$$
Po měření musíme změnit popis stavu - podle výsledku bude stav LHO popsán buď vlastním vektorem $\psi_0$, nebo $\psi_1$. Na tomto příkladu je vidět další rozdíl mezi stavem částice v klasické a kvantové mechanice, pokud jde o výsledky měření pozorovatelných. V klasické mechanice každý stav jednoznačně určuje hodnoty všech pozorovatelných, měření pak pouze odhalí jejich objektivní hodnotu. Naproti tomu, stav kvantové částice určuje potenciální možnosti výsledků měření pozorovatelných. Pokud stav není vlastní vektor dané pozorovatelné, její hodnota není jednoznačně určená. Měření náhodně vyberu jednu z možností a popis stavu musíme změnit odpovídajícím způsobem. Kvantová mechanika nám umožní určit pravděpodobnosti jednotlivých výsledků, ale nedokáže předpovědět výsledek jednoho konkrétního měření. Jedinou vyjímkou je, pokud stav částice je vlastní vektor pozorovatelné, kterou měříme. V takovém případě je výsledkem měření s jistotou odpovídající vlastní číslo a stav částice se nezmění. 
 
\section{Kompatibilní pozorovatelné}
 
V~případě LHO jsou vlastní funkce $\psi_n$ určeny jednoznačně vlastním číslem $E_n$ (až na multiplikativní konstantu, která nemá při jejich interpretaci žádný význam). Všechny ortogonální projektory $\hat P_n$ jsou tedy jednorozměrné. To znamená, že po měření energie je stav \qv ého LHO určen jednoznačně - je popsán vlastním vektorem $\psi_n$ bez ohledu na předchozí stav oscilátoru. Pro izotropní oscilátor už to ale neplatí. Až na základní stav je spektrum energií degenerované - energii $E_N$ odpovídá $D_N=\frac{(N+1)(N+2)}{2}$ lineárně nezávislých vlastních vektorů $\psi_{n_1,n_2,n_3}$, pro které platí $n_1+n_2+n_3=N$. $D_N$ je i dimenze podprostoru, na který projektuje ortogonální projektor $\hat P_N$, jenž odpovídá hodnotě měření energie s výsledkem $E_N$. Projektor $\hat P_N$ působí na vektor $\psi$ způsobem
$$
\hat P_N\  \psi = \sum\limits_{\small{\begin{array}{c}
n_1,n_2,n_3\\
n_1+n_2+n_3=N
\end{array}}} (\psi_{n_1,n_2,n_3},\psi)\ \psi_{n_1,n_2,n_3}.
$$
Stav izotropního oscilátoru po měření energie ale stále částečně závisí na jeho stavu před měřením, který obecně neznáme.
Pro určení stavu \qv é \cc e ve více rozměrech musíme měřit více fyzikálních veličin.
Při jejich výběru je však třeba být opatrnější než u částice klasické.
Je představitelné, že i
minimální interakce mikroobjektu s přístroji nutná pro měření
může změnit jeho stav, který byl vyhodnocen z měření předchozích.
Výsledky měření tedy mohou záležet na pořadí, v jakém měření
jednotlivých veličin provedeme, což je z hlediska popisu stavu nepřípustné.
 
 
Aby byla příprava stavu kvantové částice s více stupni volnosti jednoznačná (tj. nezávislá na stavu před měřením), musíme měřit více fyzikálních veličin. Při jejich výběru je třeba být opatrnější
než u~částice klasické. V~analogii s~klasickou mechanikou by přirozeným postupem při kinematickém popisu \qv é částice, např.~elektronu, bylo zjistit, jakou vlnovou funkcí popsat stav s~danou polohou a hybností. Ač se to na první pohled bude zdát podivné, nepochopitelné ba protiřečící zdravému rozumu (ve skutečnosti však pouze naší makroskopické zkušenosti), takový kvantově mechanický stav neexistuje. Důvod je zhruba řečeno ten, že měření hybnosti změní podstatně polohu \qv é částice a měření polohy její hybnost (což odpovídá např.~experimentálně potvrzené difrakci elektronů).
 
Pro přípravu stavu \qv ého systému je proto třeba napřed zjistit, měření kterých veličin lze provést, aniž by výsledek jednoho
znehodnotil platnost předchozích měření ostatních. Fyzikální veličiny --- pozorovatelné, pro které je toto splněno, nazýváme \emph{kompatibilní}. Výsledky jejich měření, provedené v~jednom časovém okamžiku (či aspoň krátkém sledu časů), pak lze použít k~ popisu stavu.
 
Přibližme si kompatibilitu na příkladu dvou pozorovatelných $\hat A$ a $\hat B$ s čistě bodovými spektry. Řekněme, že změříme pozorovatelnou $\hat A$ a dostaneme nějakou vlastní hodnotu $a_i$. Poté změříme pozorovatelnou $\hat B$ a dostaneme hodnotu $b_j$. Pozorovatelné budou kompatibilní, pokud při opakování měření $\hat A$ nebo $\hat B$ dostaneme vždy tytéž hodnoty $a_i$ a $b_j$. To zjevně platí, pokud $\hat A$ a $\hat B$ mají společné vlastní vektory
\begin{eqnarray}
\ll{komp:a} \hat A \psi_{m,n} & = & a_m \psi_{m,n},\\ 
\ll{komp:b} \hat B \psi_{m,n} & =  & b_n \psi_{m,n}, 
\end{eqnarray}
které jsou pro každou dvojici vlastních čísel $a_m$ a $b_n$ určeny jednoznačně a tvoří ortonormální bázi stavového prostoru. Po první sadě měření $\hat A$ a $\hat B$ s výsledky $a_i$ a $b_j$ je stav částice podle postulátu \ref{proj:post} popsán společným vlastním vektorem $\psi_{i,j}$. Opakování měření $\hat A$ nebo $\hat B$ vždy zreprodukuje původní výsledek a stav částice se nezmění. Lze tedy říci, že kompatibilní pozorovatelné mají současně dobře definované (\uv{ostré}) hodnoty - ve stavu $\psi_{i,j}$ má pozorovatelná $\hat A$ hodnotu $a_i$ a pozorovatelná $\hat B$ hodnotu $b_j$. V tomto smyslu je můžeme \uv{měřit současně}.
 
Zatím jsme uvažovali pozorovatelné s čistě bodovými spektry, pro které kompatibilita znamená existenci ortonormální báze tvořené jejich společnými vlastní vektory. Snadno to ale převedeme na ekvivalentní podmínku, kterou lze použít i pro pozorovatelné se spojitým spektrem. Pokud na rovnici \rf{komp:a} aplikujeme operátor $\hat B$, na rovnici \rf{komp:b} aplikujeme operátor $\hat A$, pak jejich odečtením dostaneme identitu
\be
\left(\hat A\hat B - \hat B \hat A\right)\psi_{m,n} = 0,\quad \forall m,n.
\label{komp:op}
\ee
Protože vektory $\psi_{m,n}$ tvoří ortonormální bázi, znamená to že, operátor na levé straně \ref{komp:op} je roven nule. Kompatibilní pozorovatelné jsou tedy takové, že jim přiřazené operátory komutují
\be 
[\hat A,\hat B] = \hat A\hat B - \hat B \hat A = 0. 
\ll{komop}
\ee
 
Zatím jsme uvažovali dvě kompatibilní pozorovatelné. Rozšíření na $K$ veličin je přímočaré. Řekneme, že pozorovatelné $(A^{(1)}\ldots,A^{(K)})$ jsou kompatibilní právě tehdy když jim přiřazené operátory vzájemně komutují
\be 
[\hat A^{(j)},\hat A^{(k)}] = 0 ,\quad  j,k=1,\ldots K. 
\ee
V~klasické mechanice jsou všechny pozorovatelné kompatibilní, protože každá veličina má v každém stavu jednoznačně určenou hodnotu. V kvantové mechanice tomu tak ale není.  Například, pokud hybnostem a polohám částice přiřadíme \oper y
\rf{xoper} a \rf{poper}, pak docházíme k~závěru (který je třeba experimentálně ověřit), že měření polohy a hybnosti v~jednom směru nejsou kompatibilní, neboť
\be {\fbox{\Large $ [\hat Q_j,\hat P_k] = i\hbar\delta_{jk}. $}} \ll{xpcom} \ee
To je mimo jiné důvod, proč v~\qv é mechanice neexistuje obdoba klasického stavu částice --- stav s~danou polohou a hybností. Z~relací neurčitosti
se dozvíme, že každý \qv ý stav zaujímá \uv{fázový objem} alespoň $(2\pi\hbar)^3$.
 
Dalším příkladem nekompatibilních pozorovatelných jsou složky momentu hybnosti, pro které platí komutační relace
\be
[\hat L_i,\hat L_j] = i\hbar \varepsilon_{ijk} \hat L_k.
\ee
Složky momentu hybnosti tedy nemají společné vlastní vektory. Pokud změříme hodnotu projekce momentu hybnosti do směru osy $z$, pak hodnoty projekce do os $x$ a $y$ určené nejsou.
 
\bc
  Jsou kompatibilní složky polohy v~různých směrech?
\ec
 
Množině kompatibilních fyzikálních veličin, jejichž měření jednoznačně určí kvantový stav, říkáme \emph{úplná množina pozorovatelných} a jim odpovídající množina operátorů se nazývá \emph{úplný soubor komutujících operátorů}. Pro operátory s čistě bodovými spektry platí následující tvrzení:
 
\bt
  Operátory $(\hat A^{(1)},\ldots,\hat A^{(K)})$ s~čistě bodovými spektry tvoří úplný soubor komutujících operátorů tehdy a jen tehdy, pokud pro každou $K$-tici jejich vlastních čísel $\left(\alpha_{i_1}^{(1)},\ldots,\alpha_{i_K}^{(K)}\right)$ je rozměr
  podprostoru společných vlastních vektorů roven jedné.
 
  \begin{proof}
    Důkaz je proveden v~\cite{beh:lokf}, Věta 14.2.2.
  \end{proof}
\et
\textbf{Po změření pozorovatelných tvořící úplnou množinu s výsledky $\alpha_{i_1}^{(1)},\ldots,\alpha_{i_K}^{(K)}$ je stav částice popsán společným vlastním  vektorem $\psi_{i_1,\ldots,i_K}$ operátorů $\hat A^{(1)},\ldots,\hat A^{(K)}$, který splňuje rovnice}
\be
\hat A^{(j)}\psi_{i_1,\ldots,i_K} = \alpha_{i_j}^{(j)}\psi_{i_1,\ldots,i_K},\quad j=1,\ldots K.
\ll{spvv}
\ee
Výsledný stav nezávisí na pořadí, v jakém jsou pozorovatelné $A^{(j)}$ měřené, ani na stavu částice před měřením. Z kompatibility pozorovatelných $A^{(j)}$ totiž plyne, že ortogonální projektory $\hat P_{\alpha_{i_j}^{(j)}}$ pro různá $j$ komutují. Protože je to úplná množina, je projektor 
$$
\hat P_{\alpha_{i_1}^{(1)},\ldots,\alpha_{i_K}^{(K)}} = \hat P_{\alpha_{i_1}^{(1)}}\cdots \hat P_{\alpha_{i_K}^{(K)}},
$$
který odpovídá jejich společnému měření, jednodimenzionální.
 
Poznamenejme, že úplná množina pozorovatelných pro daný fyzikální systém (například jednu \cc i) a jí odpovídající úplný soubor komutujících
operátorů nejsou určeny jednoznačně a jejich výběr se řídí typem fyzikálního jevu, který chceme popsat. Důležitý je pak způsob přechodu od
jedné množiny ke druhé a odpovídající reinterpretace výsledků.
 
Pro experimentální účely jsou velmi důležité úplné množiny pozorovatelných obsahujících energii, neboť pro většinu mikrosystémů je to
relativně snadno měřitelná veličina. Důležitým příkladem vhodného výběru úplné množiny pozorovatelných pro popis stavu kvantové \cc e v~poli centrálních sil je energie, kvadrát
momentu hybnosti a jedna jeho složka.