Aktuální verze z 13. 6. 2018, 13:00

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN2}
 
\section{Další ekvivalentní způsoby zápisu kvantové mechaniky}
 
%==============================================
\subsection{Jiný výběr báze Hilbertova prostoru}
%==============================================
Pro jednoduchost budeme v celé kapitole předpokládat bezespinovou částici v $\real^3$, příp. $\real$. Případná zobecnění na částici se spinem, popř. systémy více částic budou zřejmá.
 
Závislost vlnové funkce $\psi(\vec{x})$ na $x$ lze psát
\begin{equation} \label{ZQM:VBHpsix}
	\psi(\vec{x}) = \int \delta^{(3)}(\vec{y} - \vec{x}) \psi(\vec{y}) d^3y = \braket{\vec{x}}{\psi}
\end{equation} 
a chápat ji jako skalární součin abstraktního vektoru $\ket{\psi}$ a zobecněného vlastního vektoru polohy $\ket{\vec{x}}$:
$\hat{\vec{X}} \ket{\vec{x}} = \vec{x} \ket{\vec{x}}$, vyjádřeného zobecněnou vlnovou funkcí
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketx}
	\psi_{\vec{x}} (\vec{y}) = \delta^{(3)}(\vec{y} - \vec{x}).
\end{equation}
 
Přestože symboly $\ket{\vec x}$ netvoří bázi Hilbertova prostoru (ani nejsou jeho prvky), v~mnoha případech s nimi lze pracovat, jako by tvořily. Například můžeme formálně psát
\begin{equation} \label{ZQM:VBHjedn}
  \int \ket{\vec{x}} \bra{\vec{x}} d^3x = \opone,
\end{equation}
což interpretujeme jako možnost vložit takový „rozklad jednotky“ na libovolné místo, kam by šel vložit jednotkový operátor, jako ku příkladu mezi vektory ve skalárním součinu:
\begin{equation*}
  \begin{aligned}
    \braket{\varphi}{\psi} &=
    \int \varphi(\vec x)^\ast \psi(\vec x) d^3x
    = \int \left( \braket{\vec{x}}{\varphi} \right)^\ast \braket{\vec{x}}{\psi} d^3x =\\
    &= \int \braket{\varphi}{\vec x} \braket{\vec{x}}{\psi} d^3x
    = \bra{\varphi} \underbrace{ \left( \int \ket{\vec{x}} \bra{\vec{x}} d^3x \right) }_{\opone} \ket{\psi}
  \end{aligned}
\end{equation*}
Aplikací rozkladu jednotky \eqref{ZQM:VBHjedn} na $\ket{\psi}$ získáváme
\begin{equation*}
\ket{\psi} = \opone\ket{\psi} = \int \ket{\vec{x}} \braket{\vec{x}}{\psi} d^3x 
= \int \psi(\vec x) \ket{\vec{x}} d^3x,
\end{equation*}
kde hodnoty $\psi(\vec x)$ zastupují funkci Fourierových koeficientů, se 
kterými se tvarem pravé strany \eqref{ZQM:VBHpsix} shodují.
 
S rovnicí \eqref{ZQM:VBHketx} se lze setkat ve tvaru
\begin{equation*}
\braket{\vec{y}}{\vec{x}} = \delta^{(3)}(\vec{y} - \vec{x}),
\end{equation*}
který vypadá jako definiční předpis ortonormální báze, ale s normalizací k $\delta$-funkci místo k jedničce. Matematicky však nelze mluvit o skalárním součinu zobecněných vlastních vektorů odpovídajícím konkrétním hodnotám $\vec{x}$ a $\vec{y}$ z důvodu $\ket{\vec{x}}, \ket{\vec{y}} \not\in \hilbert$.
 
Až dosud jsme budovali kvantovou mechaniku zapsanou v této „spojité bázi“ tvořené zobecněnými vlastními vektory operátoru polohy $\hat{\vec{X}}$ (tzv. polohová neboli $x$- nebo $q$-reprezentace kvantové mechaniky). Pochopitelně je možno pracovat i v jiných bázích. Často se lze setkat s
\begin{enumerate}[$(1)$]
	\item bází tvořenou vlastními vektory hybnosti $\ket{\vec{p}}$:
				$\hat{\vec{P}} \ket{\vec{p}} = \vec{p} \ket{\vec{p}}$
				(hybnostní neboli $p$-reprezentace),
	\item bází tvořenou ÚMP obsahující hamiltonián $\hat{H}$ (energetická reprezentace).
\end{enumerate}
 
V těchto bázích můžeme vyjadřovat nejen stavové vektory, ale i operátory, a tak se zcela od $x$-reprezentace odpoutat. Uvědomme si nejprve, jak předpis operátorů odráží $x$-reprezentaci v nám známých případech. Vezměme libovolný operátor $\hat{A}$, dva stavy $\ket{\varphi}$, $\ket{\psi} \in \hilbert$ a zkoumejme výraz $\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi}$. Pro zobecněné vektory polohy $\ket{\vec{x}}$, $\ket{\vec{y}}$ můžeme na základě \eqref{ZQM:VBHpsix}, \eqref{ZQM:VBHjedn} psát
\begin{align} \label{ZQM:VBHmatreprA1}
	\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi} &=
	\bra{\varphi} \left( \int d^3x \: \ket{\vec{x}} \bra{\vec{x}}  \right) \hat{A}
	\left( \int d^3y \: \ket{\vec{y}} \bra{\vec{y}}  \right) \ket{\psi} = \nonumber \\
	&= \int d^3x \int d^3y \: \braket{\varphi}{\vec{x}} \brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}} \braket{\vec{y}}{\psi} =
	\int d^3x \int d^3y \: \overline{\varphi(\vec{x})} \, \brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}} \, \psi(\vec{y}).
\end{align}
Zde výraz $\brapigket{\vec{x}}{\hat{A}}{\vec{y}}$ představuje maticový element operátoru $\hat{A}$ v bázi $(\ket{\vec{x}})_{\vec{x}\in\real^3}$. Zkusme určit tento element pro operátory $\hat{X}_i$, $\hat{P}_i$, jež jsme zvyklí definovat přes jejich působení na vlnovou funkci $\psi(\vec{x})$. Užitím \eqref{ZQM:VBHketx} je možno hledaný součin psát jako
\begin{align*}
	\brapigket{\vec{x}}{\hat{X}_i}{\vec{y}} &= \int d^3z \: \delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{x}) z_i \delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{y})
			= x_i \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}), \\
	\brapigket{\vec{x}}{\hat{P}_i}{\vec{y}} &= \int d^3z \: \delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{x}) \left( -i \hbar \parcder{}{z_i} \right) 
			\delta^{(3)}(\vec{z} - \vec{y}) = -i \hbar \parcder{}{x_i} \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}).		
\end{align*}
Tyto maticové elementy jakožto funkce $\vec{x}$ a $\vec{y}$ ekvivalentně vyjadřují vztahy běžně zapisované jako $\hat{X} = x\times, \hat{P} = -i\hbar \hat{\nabla}$, jak se můžeme přesvědčit. Vidíme, že se v nich objevují distribuce. Ty nabývají konkrétního fyzikálního významu až ve skalárním součinu \eqref{ZQM:VBHmatreprA1}. Například pro skalární součin s operátorem $\hat{X}_i$ platí na základě předposlední rovnosti
\[
	\brapigket{\varphi}{\hat{X}_i}{\psi} = \int d^3x \int d^3y \: \overline{\varphi(\vec{x})} 
		x_i \delta^{(3)}(\vec{x} - \vec{y}) \psi(\vec{y}) = 
	\int d^3x \: \overline{\varphi(\vec{x})} x_i \psi(\vec{x}),
\]
což je nám důvěrně známý skalární součin.
 
 
%============================
\subsubsection{Hybnostní reprezentace}
%============================
Vlastní funkcí operátoru hybnosti $\hat{\vec{P}}$ v $x$-reprezentaci je funkce $\ket{\vec{p}}$ splňující
\[
	\hat{\vec{P}} \ket{\vec{p}} = \vec{p} \ket{\vec{p}}.
\]
Této rovnici vyhovují (v $x$-reprezentaci) funkce $\ket{\vec{p}} \buildrel \wedge\over= \psi_{\vec{p}}(\vec{x})$, jež jsou číselným násobkem funkce $e^{\frac{i \vec{p} \cdot \vec{x}}{\hbar}}$, přičemž z důvodu normalizace k $\delta$-funkci se volí
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp1}
	\psi_{\vec{p}}(\vec{x}) = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \exp\left\{\frac{i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} =: \braket{\vec{x}}{\vec{p}}.
\end{equation}
Vlastní vektory $\ket{\vec{p}}$, $\ket{\vec{q}}$ operátoru hybnosti $\hat{\vec{P}}$ pak splňují
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp2}
	\int d^3p \ket{\vec{p}} \bra{\vec{p}} = \opone, \quad \braket{\vec{p}}{\vec{q}} = \delta^{(3)}(\vec{p} - \vec{q}).
\end{equation}
 
Vlnovou funkci $\psi^P(\vec{p})$ v hybnostní reprezentaci budeme zapisovat způsobem (podle vzoru zavedeného v $x$-reprezentaci)
\begin{equation} \label{ZQM:VBHketp3}
	\psi^P(\vec{p}) = \braket{\vec{p}}{\psi}.
\end{equation} 
 
Nyní se budeme věnovat otázce, jaký je vztah mezi $\psi^P(\vec{p})$ a $\psi(\vec{x})$. Zřejmě na základě \eqref{ZQM:VBHjedn},  \eqref{ZQM:VBHketp1} a \eqref{ZQM:VBHketp2} platí
\begin{align*}
	\psi^P(\vec{p}) &= \braket{\vec{p}}{\psi} = \int d^3x \: \braket{\vec{p}}{\vec{x}} \braket{\vec{x}}{\psi} =
		\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int \exp\left\{\frac{-i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} \psi(\vec{x}) d^3x, \\
	\psi(\vec{x}) &= \braket{\vec{x}}{\psi} = \int d^3p \: \braket{\vec{x}}{\vec{p}} \braket{\vec{p}}{\psi} =
		\frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3/2}} \int \exp\left\{\frac{i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} \psi^P(\vec{p}) d^3p,	
\end{align*}
převodním vztahem je tedy přímá a zpětná Fourierova transformace. Díky normalizační konstantě zvolené v \eqref{ZQM:VBHketp1} se jedná o unitární verzi Fourierovy transformace, která zachovává $L^2$ normu funkcí, tedy platí
\begin{equation*}
  \int \bigl| \psi(\vec{x}) \bigr|^2 d^3x = 1
  \quad \Leftrightarrow \quad
  \int \bigl| \psi^P(\vec{p}) \bigr|^2 d^3p = 1.
\end{equation*}
Do nové báze $(\ket{\vec{p}})$ je však třeba převést i operátory. Buď $\hat{A}$ libovolný operátor na $\hilbert$, $\ket{\varphi}$, $\ket{\psi}$ dva stavy na $\hilbert$ (v $x$-reprezentaci), $\ket{\vec{p}}$, $\ket{\vec{q}}$ zobecněné vlastní funkce operátoru $\hat{\vec{P}}$. Potom na základě \eqref{ZQM:VBHketp2}, \eqref{ZQM:VBHketp3} 
\begin{align} \label{ZQM:VBHmatreprA2}
	\brapigket{\varphi}{\hat{A}}{\psi} &= \bra{\varphi}
	\left( \int d^3p \: \ket{\vec{p}} \bra{\vec{p}}  \right) \hat{A}
	\left( \int d^3q \: \ket{\vec{q}} \bra{\vec{q}}  \right) \ket{\psi} = \nonumber \\
	&= \int d^3p \int d^3q \: \overline{\varphi^P(\vec{p})} \, \brapigket{\vec{p}}{\hat{A}}{\vec{q}} \, \psi^P(\vec{q}).
\end{align}
Opět zvolíme za $\hat{A}$ operátor $\hat{X}_i$ resp. $\hat{P}_i$, jejichž působení v $x$-reprezentaci známe. Nejprve využijeme explicitního vyjádření $\ket{\vec{p}}$ z \eqref{ZQM:VBHketp1} k určení maticového elementu operátoru $\hat{X}_i$ v bázi $(\ket{\vec{p}})_{\vec{p}\in\real^3}$
\[
	\brapigket{\vec{p}}{\hat{X}_i}{\vec{q}} =
	\int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \exp\left\{\frac{-i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} x_i 
		\exp\left\{\frac{i \vec{q}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\}.
\]
Jelikož se přes $x_i$ integruje, vyjádříme ho prostřednictvím derivace.
\begin{align*}
	\brapigket{\vec{p}}{\hat{X}_i}{\vec{q}} &= 
	\int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \exp\left\{\frac{-i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} \left( -i\hbar\parcder{}{q_i}\right) 
		\exp\left\{\frac{i \vec{q}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} = \\
	&= -i\hbar\parcder{}{q_i} \int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3}
		\exp\left\{\frac{-i}{\hbar} (\vec{p} - \vec{q})\vec{x}\right\}.
\end{align*}
Poslední integrál je na základě \eqref{ZQM:VBHketp1}, \eqref{ZQM:VBHketp2} možno vyjádřit jako $\braket{\vec{p}}{\vec{q}} = \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q})$, čímž převádíme hledaný maticový element do podoby
\begin{equation} \label{ZQM:VBHhybnx}
	\brapigket{\vec{p}}{\hat{X}_i}{\vec{q}} = -i\hbar\parcder{}{q_i} \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}) =
		i\hbar\parcder{}{p_i} \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}).
\end{equation} 
 
Stejným způsobem nalezneme maticový element operátoru $\hat{P}_i$ v bázi vlastních funkcí operátoru hybnosti. 
\begin{align} \label{ZQM:VBHhybnp}
	\brapigket{\vec{p}}{\hat{P}_i}{\vec{q}} &= 
		\int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \exp\left\{\frac{-i \vec{p}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\}
		\left( - i \hbar \parcder{}{x_i}  \right)
		\exp\left\{\frac{i \vec{q}\cdot\vec{x}}{\hbar}\right\} = \nonumber \\
		&= q_i \int d^3x \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \exp\left\{\frac{-i}{\hbar} (\vec{p} - \vec{q})\vec{x}\right\} =
		q_i \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}).
\end{align}
 
Dosazením \eqref{ZQM:VBHhybnx}, \eqref{ZQM:VBHhybnp} do \eqref{ZQM:VBHmatreprA2} získáváme podobu operátorů $\hat{X}_i^P$, $\hat{P}_i^P$ v hybnostní reprezentaci.
\begin{align*}
	\brapigket{\varphi}{\hat{X}_i^P}{\psi} &= \int d^3p \int d^3q \:
	   \overline{\varphi^P(\vec{p})} \left[i\hbar\parcder{}{p_i} \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q})\right] \psi^P(\vec{q}) = \\
	   &= \int d^3p \: \overline{\varphi^P(\vec{p})} \left[i\hbar\parcder{}{p_i}\right] \psi^P(\vec{p}), \\
	\brapigket{\varphi}{\hat{P}_i^P}{\psi} &= \int d^3p \int d^3q \:
		\overline{\varphi^P(\vec{p})} \left[ q_i \delta^{(3)}(\vec{p}-\vec{q}) \right] \psi^P(\vec{q}) = \\
		&= \int d^3p \: \overline{\varphi^P(\vec{p})} \left[p_i\right] \psi^P(\vec{p})
\end{align*}
a tedy operátor polohy, resp. hybnosti, nabývá v hybnostní reprezentaci podoby
\[
	\hat{X}_i^P = i \hbar \parcder{}{p_i}, \quad \text{resp.} \quad \hat{P}_i^P=p_i \times.
\]
 
Hybnostní reprezentace umožňuje díky triviálnímu tvaru operátoru $\hat{P}_i^P$ v jistých fyzikálních situacích přechod k jednoduššímu hamiltoniánu a tím k jednoduššímu řešení Schrödingerovy rovnice. Hamiltonián je v hybnostní reprezentaci možno zapsat
\[
	\hat{H}^P = \frac{\sum_i p_i^2 \times}{2M} + V\left( i \hbar \hat{\nabla}_p \right).
\]
V případě $V(\hat{\vec{x}}) \equiv 0$ je hamiltonián v $p$-reprezentaci triviální. Přechod k $p$-reprezentaci je výhodný i v případě závislosti $V$ na $\vec{x}$ nejvýše lineárního řádu. V ostatních případech nepřináší okamžité zjednodušení (stačí si představit hamiltonián v případě $V(\hat{\vec{x}}) \sim \frac{1}{\widehat{|\vec{x}|}}$).
 
\begin{remark}
	S $p$-reprezentací jsme se mlčky setkali již v zimě při řešení Schrödingerovy rovnice volné částice.
\end{remark}
 
 
%============================
\subsubsection{Energetická reprezentace}
%============================
Mějme dánu ÚMP obsahující $\hat{H}$. Předpokládejme čistě bodové spektrum $\hat{H}$. Nechť vlastní vektory ÚMP $(\ket{n})_{n\in\mathscr{I}}$ tvoří ortonormální bázi v $\hilbert$. Za předpokladu, že bázové vektory spadají do definičního oboru všech fyzikálně zajímavých operátorů, lze místo operátoru $\hat{A}$ počítat s příslušnou „nekonečněrozměrnou maticí“%
\footnote{V této formě kvantovou mechaniku zkoumali W. Heisenberg, M. Born a P. Jordan.}
operátoru $\hat{A}$ v~bázi $(\ket{n})_{n\in\mathscr{I}}$ 
\[
	\hat{A}_{nm} = \brapigket{n}{\hat{A}}{m}.
\]
Operátor $\hat{A}$ je tedy možno zapsat
\[
	\hat{A} = \sum_{n,m} \ket{n} \brapigket{n}{\hat{A}}{m} \bra{m} = \sum_{n,m} \ket{n} \hat{A}_{nm} \bra{m}
\]
a stejně pro operátor $\hat{A}\hat{B}$, pokud $\hat{A}\hat{B}$, $\hat{B}$ splňují stejné předpoklady jako operátor $\hat{A}$ výše
\begin{align*}
	\hat{A}\hat{B} &= \sum_{n,m} \ket{n} \brapigket{n}{\hat{A}\hat{B}}{m} \bra{m} = 
		\sum_{n,m} \ket{n} \sum_k \left( \brapigket{n}{\hat{A}}{k} \brapigket{k}{\hat{B}}{m} \right) \bra{m} = \\
	&= \sum_{n,m} \ket{n} \sum_k \left( \hat{A}_{nk} \hat{B}_{km} \right) \bra{m} =
		\sum_{n,m} \ket{n} (\hat{A} \cdot \hat{B})_{nm} \bra{m}.
\end{align*}
Skládání operátorů je v energetické reprezentaci představováno násobením matic, zobecněným na spočetnou dimenzi.
\begin{remark}
	Snadno nahlédneme, že $\hat{H}$ bude v~energetické reprezentaci představován diagonální maticí.
\end{remark}
 
Časový vývoj bazických vektorů je triviální, jak vidno ze Schrödingerovy rovnice, kde klademe $\ket{\psi} = \ket{n}$:
\[
	i \hbar \frac{\partial \ket{n}}{\partial t} = \hat{H} \ket{n} = E_n \ket{n}.
\]	
a tedy
\[
	\ket{n(t)} = \exp \left( - \frac{i}{\hbar} E_n (t-t_0) \right) \ket{n(t_0)} .
\]
 
Výhodou energetické reprezentace je snadný popis časového vývoje, neboť každý vektor $\ket{\varphi} \in \hilbert$ je možno rozložit do báze vektorů $( \ket{n} )_{n\in\mathscr{I}}$, jejichž časový vývoj známe. Netriviální tvar operátorů $\hat{X}$, $\hat{P}$ bohužel vede ke složitější konstrukci fyzikálně interpretovatelných pozorovatelných.
 
\begin{example}
$1$-rozměrný harmonický oscilátor v energetické reprezentaci.
 
Ze zimy víme, že $\hat{H}$ tvoří ÚMP jednorozměrného harmonického oscilátoru. Označme $\ket{n}$ příslušné vlastní funkce splňující 
\[
	\hat{H} \ket{n} = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) \ket{n}.
\] 
Víme, že $( \ket{n} )_{n \in \priroz_0}$ tvoří úplnou ortonormální bázi $\hilbert$.  Při popisu HO se s výhodou užije kreační $(\kreak{})$ a anihilační $(\anihilak{})$ operátor
\begin{equation} \label{ZQM:KreakAnihilak}
	\kreak{} = \sqrt{\frac{M \omega}{2 \hbar}} \left( \hat{X} - \frac{i}{M \omega} \hat{P} \right), \quad
	\anihilak{} = \sqrt{\frac{M \omega}{2 \hbar}} \left( \hat{X} + \frac{i}{M \omega} \hat{P} \right).
\end{equation}
Hamiltonián je potom možno zapsat
\[
	\hat{H} = \hbar \omega \left( \kreak{}\!\anihilak{} + \frac{1}{2} \right).
\]
Ze zimy rovněž víme
\[
	\ket{n} = \frac{1}{\sqrt{n!}} (\kreak{}) ^n \ket{0},
\]
odkud je možno odvodit
\[
	\anihilak{} \ket{n} = \sqrt{n} \ket{n-1}, \quad
	\kreak{} \ket{n} = \sqrt{n+1} \ket{n+1}, \quad
	\kreak{}\!\anihilak{} \ket{n} = n \ket{n},
\]
kde $\kreak{}\!\anihilak{}$ se nazývá operátor počtu energetických kvant. Maticové elementy kreačního operátoru $\kreak{}$
\[
	(\kreak{})_{nm} = \brapigket{n}{\kreak{}}{m} = \sqrt{m+1} \braket{n}{m+1} = \sqrt{m+1} \delta_{n,m+1},
\]
jež je možno zapsat maticově%
\footnote{Řádky a sloupce indexujeme od nuly.}
\[
\kreak{} = \begin{pmatrix}
			0  &   &   &    \\
			\sqrt{1} & 0 &  &  \\
			 & \sqrt{2} & 0 &  \\
			 &  & \ddots & \ddots \\
						\end{pmatrix}.
\]
Podobně můžeme zapsat maticově operátor $\anihilak{}$, operátor počtu energetických kvant $\kreak{}\!\anihilak{}$ či hamiltonián $\hat{H}$ (poslední dvě budou v bázi energetických stavů diagonální). Jelikož operátory $\hat{x}$ a $\hat{p}$ je možno na základě \eqref{ZQM:KreakAnihilak} zapsat jako lineární kombinaci $\kreak{}$, $\anihilak{}$, můžeme snadno obdržet také jejich maticové elementy
\begin{align*}
	\hat{P}_{nm} &= -i \sqrt{\frac{M \omega \hbar}{2}} 
		\left( \sqrt{m} \delta_{n,m-1} - \sqrt{m+1} \delta_{n,m+1}   \right),   \\
	\hat{X}_{nm} &= \sqrt{\frac{\hbar}{2 M \omega}} 
		\left( \sqrt{m} \delta_{n,m-1} + \sqrt{m+1} \delta_{n,m+1}   \right).	
\end{align*}
Ověřme v maticové reprezentaci platnost komutační relace $\komut{\hat{P}}{\hat{X}} = -i \hbar \opone$. $\komut{\hat{P}}{\hat{X}}$ v~maticové reprezentaci představuje matici. Najdeme její $i,j$-tý prvek
\begin{align*}
	\komut{\hat{P}}{\hat{X}}_{ij} &= 
				\sum_{k=0}^{\infty} \left( \hat{P}_{ik} \hat{X}_{kj} - \hat{X}_{ik}\hat{P}_{kj}  \right) = \\
			&= - \frac{i \hbar}{2} \sum_{k=0}^{+ \infty} 
			  \biggl\{ \left( \sqrt{k} \delta_{i,k-1} - \sqrt{k+1} \delta_{i,k+1} \right)
					 \left( \sqrt{j} \delta_{k,j-1} + \sqrt{j+1} \delta_{k,j+1} \right)  \\ &  \qquad -
					 \left( \sqrt{k} \delta_{i,k-1} + \sqrt{k+1} \delta_{i,k+1} \right)
					 \left( \sqrt{j} \delta_{k,j-1} - \sqrt{j+1} \delta_{k,j+1} \right)  \biggr\} = \\
			&= - i \hbar \sum_{k=0}^{\infty}  \left( \sqrt{k} \sqrt{j+1} \delta_{i,k-1} \delta_{k,j+1} - 
					\sqrt{k+1} \sqrt{j} \delta_{i,k+1} \delta_{k,j-1} \right).
\end{align*}
Výraz v poslední závorce je nenulový jedině pro $i=j$, a to pro hodnoty $k=j\pm1$. Ponecháním jediného nenulového členu z nekonečné sumy (v případě $j=0$ z druhé sumy nezůstane žádný) zůstane pro všechna $i,j \in \priroz_0$ 
\[
	\komut{\hat{P}}{\hat{X}}_{ij} = -i\hbar \left( (j+1) \delta_{ij} - j \delta_{ij} \right) = - i \hbar \delta_{ij}.
\]
Tím je komutační relace dokázána. Vyzkoušejte si však také dospět k výsledku násobením matic v jejich tabulkovém zápisu.
\end{example}
 
 
%==============================================
\subsection{Jiný popis časového vývoje}
%==============================================
Předpovědi kvantové mechaniky jsou dány skalárními součiny, v nichž vystupují pozorovatelné veličiny (operátory na $\hilbert$) a stavy (prvky $\hilbert$). Například střední hodnota pozorovatelné $\hat{A}$ ve stavu $\ket{\psi}$ je určena
\[
	\stredni{\hat{A}}_{\ket{\psi}} = \frac{\brapigket{\psi}{\hat{A}}{\psi}}{\braket{\psi}{\psi}}.
\]  
Definujme nyní unitární operátor $\hat{U}$ ($\hat{U}^\dagger = \hat{U}^{-1}$) a zkusme určit střední hodnotu operátoru $\hat{A}$ v novém stavu $\ket{\tilde{\psi}}=\hat{U}\ket{\psi}$. Zřejmě platí
\[
	\stredni{\hat{A}}_{\ket{\tilde{\psi}}} = \frac{\brapigket{\hat{U}\psi}{\hat{A}}{\hat{U}\psi}}{\braket{\hat{U}\psi}{\hat{U}\psi}}
		= \frac{\brapigket{\psi}{\hat{U}^\dagger\hat{A}\hat{U}}{\psi}}{\brapigket{\psi}{\hat{U}^\dagger\hat{U}}{\psi}}
		= \frac{\brapigket{\psi}{\hat{U}^\dagger\hat{A}\hat{U}}{\psi}}{\braket{\psi}{\psi}}.
\]
 
Protože chceme zachovat rovnost s původní střední hodnotou, musíme rovněž přejít k novému operátoru $\hat{\tilde{A}}$, který bude splňovat rovnost
\begin{equation} \label{ZQM:TransfOp}
	\hat{A}=\hat{U}^\dagger \hat{\tilde{A}} \hat{U}; \qquad
	\hat{\tilde{A}}=\hat{U} \hat{A} \hat{U}^\dagger.
\end{equation} 
Potom
\[
	\stredni{\hat{\tilde{A}}}_{\ket{\tilde{\psi}}} = \stredni{\hat{A}}_{\ket{\psi}}
\]
a předpovědi kvantové mechaniky zůstávají nezměněny.
\begin{remark}
  Jedná se o podobnostní transformaci a o té víme, že nemění spektrum operátoru.
\end{remark}
 
Získané poznatky brzy využijeme. Než však postoupíme dále, připomeňme si, jak kvantová mechanika přistupuje k popisu časového vývoje částice. Při popisu kvantového systému jsme vycházeli z hamiltoniánu klasické částice. Poté, užitím principu korespondence, jsme přešli k operátoru $\hat{H}$.  Časový vývoj kvantové částice je určen Schrödingerovou rovnicí
\begin{equation} \label{ZQM:SchrEq}
	i \hbar \frac{\partial \ket{\psi}}{\partial t} = \hat{H} \ket{\psi},
\end{equation}
která společně s počáteční podmínkou $\ket{\psi_0} = \ket{\psi(t_0)}$ jednoznačně určuje stav částice v~libovolném čase $t$. Princip superpozice implikuje, že transformaci $\ket{\psi(t_0)}$ na $\ket{\psi(t)}$ musí popisovat lineární operátor. Pro každé $t_0$, $t$ tak definujeme \textbf{evoluční operátor} $\hat{U}(t,t_0)$ splňující
\begin{equation} \label{ZQM:EvolOp}
	\ket{\psi(t)} =  \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)}.
\end{equation}
 
Podíváme se na vlastnosti tohoto operátoru. Zvolme libovolně $\ket{\varphi(t)}$, $\ket{\psi(t)}$ $\in L^2(\real^3)$ a zkusme určit časovou derivaci jejich skalárního součinu
\[
	\frac{d}{dt} \braket{\varphi(t)}{\psi(t)} =
  \left( \frac{d}{dt} \ket{\varphi(t)} \right)^\dagger \ket{\psi(t)} + \bra{\varphi(t)} \left( \frac{d}{dt} \ket{\psi(t)} \right).
\]
\noindent Dosazením za časové derivace ze Schrödingerovy rovnice \eqref{ZQM:SchrEq}
\[
  -\frac{1}{i\hbar} \left( \hat{H} \ket{\varphi(t)} \right)^\dagger \ket{\psi(t)} + \frac{1}{i\hbar} \bra{\varphi(t)} \left( \hat{H} \ket{\psi(t)} \right) =
  \frac{1}{i\hbar} \bra{\varphi(t)} \left( -\hat{H}^\dagger + \hat{H} \right) \ket{\psi(t)}
\]
\noindent a díky samosdruženosti $\hat{H}$ dostáváme
\begin{equation} \label{ZQM:EvolOpDer1}
	\frac{d}{dt} \braket{\varphi(t)}{\psi(t)} = 0.
\end{equation}
 
Stejně tak, užitím evolučního operátoru \eqref{ZQM:EvolOp}, můžeme psát
\begin{align} \label{ZQM:EvolOpDer2}
	\frac{d}{dt} \braket{\varphi(t)}{\psi(t)} &= 
	\frac{d}{dt} \left( \hat{U}(t,t_0) \ket{\varphi(t_0)} \right)^\dagger \left( \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)} \right) =
	\frac{d}{dt} \brapigket{\varphi(t_0)} {\hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{U}(t,t_0)} {\psi(t_0)} = \nonumber \\
	&= \brapigket{\varphi(t_0)} {\frac{d}{dt} \left[ \hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{U}(t,t_0) \right]} {\psi(t_0)}.
\end{align}
\noindent Tento braket však musí být na základě \eqref{ZQM:EvolOpDer1} roven nule pro všechna $\ket{\varphi(t)}$, $\ket{\psi(t)}$ $\in L^2 (\real^3)$. Operátor $\hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{U}(t,t_0)$ tedy musí být konstantní v čase. Na základě definice evolučního operátoru \eqref{ZQM:EvolOp} aplikované pro $t = t_0$ musí platit
\[
	\hat{U}(t_0,t_0) = \opone,
\]
a tedy
\[
	\hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{U}(t,t_0) = \hat{U}^\dagger(t_0,t_0) \hat{U}(t_0,t_0) = \opone,
\]
což je relace unitárnosti operátoru $\hat{U}(t,t_0)$.
 
Zvolme 3 libovolné časy $t_1$, $t_2$, $t_3$. Potom jistě pro stav $\ket{\psi}$ platí
\begin{subequations}
	\begin{align}
		\ket{\psi (t_1)} &= \hat{U}(t_1,t_2) \ket{\psi (t_2)}    \label{ZQM:EvolOpRel1} \\
		\ket{\psi (t_2)} &= \hat{U}(t_2,t_1) \ket{\psi (t_1)}		\label{ZQM:EvolOpRel2} \\
		\ket{\psi (t_3)} &= \hat{U}(t_3,t_2) \ket{\psi (t_2)} = \hat{U}(t_3,t_2) \hat{U}(t_2,t_1) \ket{\psi (t_1)}  
				= \hat{U}(t_3,t_1) \ket{\psi (t_1)},					\label{ZQM:EvolOpRel3}	
	\end{align}
\end{subequations}
kde vynásobením \eqref{ZQM:EvolOpRel2} zleva operátorem $\hat{U}^{-1}(t_2,t_1)$ a porovnáním s \eqref{ZQM:EvolOpRel1} snadno nahlédneme, že
\begin{subequations}
\label{ZQM:EvolOpVlastnosti}
\begin{equation}
  \hat{U}(t_1,t_2) = \hat{U}^{-1}(t_2,t_1) = \hat{U}^\dagger(t_2,t_1)
\end{equation}
a triviálně z \eqref{ZQM:EvolOpRel3}
\begin{equation}
  \hat{U}(t_3,t_1) = \hat{U}(t_3,t_2) \hat{U}(t_2,t_1).
\end{equation}
\end{subequations}
Pokud navíc hamiltonián nezávisí na čase,
\begin{equation} \label{ZQM:EvolOpRel4}
	\hat{U}(t_1+T,t_0+T) = \hat{U}(t_1,t_0) = \hat{U}(t_1-t_0,0) =: \hat{U}(t_1-t_0),
\end{equation} 
můžeme zbavit evoluční operátor jedné nezávislé proměnné.
 
Přepišme Schrödingerovu rovnici \eqref{ZQM:SchrEq} užitím zavedeného unitárního evolučního operátoru $\hat{U}(t,t_0)$:
\[
	i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \Bigl( \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)} \Bigr) = 
	\hat{H}(t) \Bigl( \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi(t_0)} \Bigr).
\]
Můžeme na obou stranách zkrátit obecný $\ket{\psi(t_0)}$ a získat tak operátorovou diferenciální rovnici
\begin{equation} \label{ZQM:SchrEqOp}
	i \hbar \frac{\partial \hat{U}(t,t_0)}{\partial t} = \hat{H}(t) \hat{U}(t,t_0).
\end{equation}
 
V případě $\hat{H} \neq \hat{H}(t)$ má okamžité řešení
\begin{equation}
  \hat{U}(t,t_0) = \hat{U}(t-t_0) = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} (t-t_0) \hat{H} \right),
  \label{ZQM:ExpH}
\end{equation}
kde s operátorem v exponentu je možno se vypořádat buď užitím Taylorova rozvoje, nebo pomocí spektrálního rozkladu operátoru (viz Modrá smrt)
\[
	e^{i \hat{A}} = \int e^{i \lambda} \hat{dE_{\lambda}}.
\]
Pokud navíc $\hat{H}$ má úplný systém vlastních vektorů $(\ket{n})_{n\in\mathscr{I}}$: $\hat{H} \ket{n} = E_n \ket{n}$, potom
\[
	\exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0) \right) \ket{n} = 
			\exp \left( -\frac{i}{\hbar} E_n (t-t_0) \right) \ket{n},
\]
a pro libovolný vektor $\ket{\psi} \in \hilbert$
\[			
	\exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H} (t-t_0) \right) \ket{\psi} = 
			\sum_n \psi_n \exp \left( -\frac{i}{\hbar} E_n (t-t_0) \right) \ket{n},
\] 
kde $\psi_n$ představuje příslušný Fourierův koeficient $\psi_n = \braket{n}{\psi}$.
 
Doposud jsme budovali kvantovou teorii v tzv. Schrödingerově reprezentaci, která se v literatuře nejčastěji užívá. V této reprezentaci jsou operátory obvykle neměnné v~čase, zatímco vlnové funkce se v čase mění podle Schrödingerovy rovnice. Využijeme získaných poznatků k zavedení dalších, v literatuře užívaných, reprezentací kvantové mechaniky ekvivalentních k reprezentaci Schrödingerově: Heisenbergovy a Diracovy reprezentace.
 
 
%============================
\subsubsection{Heisenbergova reprezentace}
%============================
Mějme $\hat{U}(t,t_0)$ evoluční operátor definovaný v \eqref{ZQM:EvolOp}. Předpokládejme, že uvažovaná kvantová částice je popsána vlnovou funkcí ve Schrödingerově reprezentaci $\ket{\psi^S(t)}$. Definujme Heisenbergovu vlnovou funkci $\ket{\psi^H(t)}$ způsobem
\begin{equation} \label{ZQM:HeissVF}
	\ket{\psi^H(t)} = \hat{U}^{-1}(t,t_0) \ket{\psi^S(t)} = \hat{U}^{-1}(t,t_0) \hat{U}(t,t_0) \ket{\psi^S(t_0)}
		= \ket{\psi^S(t_0)}.
\end{equation}
Musí se ovšem změnit i operátor, aby předpovědi kvantové mechaniky zůstaly zachovány. Buď $\hat{A}^S$ operátor ve Schrödingerově reprezentaci. Potom dle \eqref{ZQM:TransfOp} musí odpovídající operátor v Heisenbergově reprezentaci $\hat{A}^H(t)$ mít tvar
\begin{equation} \label{ZQM:HeissOp}
	\hat{A}^H(t) = \hat{U}^{-1}(t,t_0) \hat{A}^S (\hat{U}^\dagger)^{-1}(t,t_0) =
			\hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{A}^S \hat{U}(t,t_0).
\end{equation}
 
Je zřejmé, že v Heisenbergově reprezentaci se vlnové funkce s časem nemění. Na čase jsou namísto nich závislé operátory přiřazené pozorovatelným fyzikálním veličinám.
%Je to tedy opačné, než u reprezentace Schrödingerovy, kde byl popis stavů popsán Schrödingerovou rovnicí, zatímco operátory zůstávaly neměnné.
Pokusme se najít obdobu Schrödingerovy rovnice, která bude popisovat časový vývoj operátorů (nad rámec jejich případné vlastní, explicitní časové závislosti $A^S(t)$).
%V dalším předpokládáme nezávislost hamiltoniánu ve Schrödingerově reprezentaci na čase, tedy $\hat{H}^S \neq \hat{H}^S(t)$. 
Zderivujme podle času rovnost \eqref{ZQM:HeissOp}%
%\footnote{Kvůli přehlednosti nebudeme uvádět závislost operátorů na čase. Operátory $\hat{U}$, $\hat{A}^S$, $\hat{A}^H$ předpokládáme všechny na čase závislé, zatímco operátor $\hat{H}^S$ je dle předpokladu na čase nezávislý.}
\[
  \begin{aligned}
    \frac{d}{dt}\hat{A}^H(t) &= \frac{d}{dt} \left( \hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{A}^S(t) \hat{U}(t,t_0) \right) =
    \frac{d}{dt} \bigl( \hat{U}^\dagger(t,t_0) \bigr) \hat{A}^S(t) \hat{U}(t,t_0) +{} \\
    &\qquad {}+ \hat{U}^\dagger(t,t_0) \frac{d}{dt} \bigl( \hat{A}^S(t) \bigr) \hat{U}(t,t_0) + 
    \hat{U}^\dagger(t,t_0) \hat{A}^S(t) \frac{d}{dt} \bigl( \hat{U}(t,t_0) \bigr).
  \end{aligned}
\]
Sem dosadíme časové derivace operátorů z \eqref{ZQM:SchrEqOp} a zapíšeme pro kompaktnost bez časových proměnných
\[
	-\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^\dagger \hat{H}^S \hat{A}^S \hat{U} + \hat{U}^\dagger \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U} + 
		\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^\dagger \hat{A}^S \hat{H}^S \hat{U}.
\]
Navíc díky unitaritě $\hat{U}$ a rovnosti operátorů \eqref{ZQM:HeissOp} můžeme psát
\begin{align} \label{ZQM:HeissOpEqTime}
	\frac{d}{dt}\hat{A}^H &= - \frac{1}{i \hbar} \hat{U}^\dagger \hat{H}^S (\hat{U} \hat{U}^\dagger) \hat{A}^S \hat{U} + 
		\hat{U}^\dagger \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U} + 
		\frac{1}{i \hbar} \hat{U}^\dagger \hat{A}^S (\hat{U} \hat{U}^\dagger) \hat{H}^S \hat{U} = \nonumber \\
	&= - \frac{1}{i \hbar} (\hat{U}^\dagger \hat{H}^S \hat{U}) (\hat{U}^\dagger \hat{A}^S \hat{U}) + 
		\frac{1}{i \hbar} (\hat{U}^\dagger \hat{A}^S \hat{U}) (\hat{U}^\dagger \hat{H}^S \hat{U}) +
		\hat{U}^\dagger \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U} = \nonumber \\
	&= -\frac{1}{i \hbar} \left( \hat{H}^H \hat{A}^H - \hat{A}^H \hat{H}^H \right) + \hat{U}^\dagger \frac{d}{dt} (\hat{A}^S) \hat{U},
\end{align}
tedy
\begin{equation} \label{ZQM:HeissOpEq}
	\frac{d}{dt} \hat{A}^H (t) = \frac{1}{i \hbar} \komut{\hat{A}^H(t)}{\hat{H}^H(t)} + \hat{U}^\dagger(t,t_0) \frac{d}{dt} \bigl(\hat{A}^S(t)\bigr) \hat{U}(t,t_0).
\end{equation}
 
Rovnice \eqref{ZQM:HeissOpEq} je pro pozorovatelné bez explicitní časové závislosti $A^S$ přímou obdobou časového vývoje pozorovatelných v klasické mechanice
\begin{equation} \label{ZQM:klasvyvpoz1} 
	\dot{a} = \{ a, H \}, 
\end{equation}
pokud chápeme $\frac{1}{i\hbar} \komut{\cdot}{\cdot}$ jako kvantový analog klasické Poissonovy závorky $\{ \cdot , \cdot \}$.
 
Výhodou Heisenbergovy reprezentace je přímá analogie s klasickou mechanikou. Někdy je možné ji s výhodou využít k popisu rozptylu. Její nevýhodou oproti Schrödingerově reprezentaci však zůstává složitější řešení časového vývoje, neboť místo parciálních diferenciálních rovnic pro vektory z $\hilbert$ máme podobné rovnice pro operátory.
 
\begin{remark}
	Snadno nahlédneme z rovnosti \eqref{ZQM:HeissOp}, že hamiltonián systému, který není pod vlivem časově proměnných vnějších polí, je v Heisenbergově i Schrödingerově reprezentaci představován tímtéž časově nezávislým operátorem
\[
	\hat{H}^H(t)=\hat{H}^S.
\]
Pak také
\[
  \komut{\hat{U}(t,t_0)}{\hat{H}^S} = 0, \qquad
  \frac{d}{dt} A^H(t) = \komut{A^H(t)}{H^S}
\]
pro $A^S \ne A^S(t)$.
\end{remark}
 
%============================
\subsubsection{Diracova reprezentace} \label{KapitolaDiracovaReprezentace}
%============================
\textbf{Poruchový} nebo \textbf{interakční obraz}, jak je někdy Diracova reprezentace nazývána, kombinuje vlastnosti Schrödingerovy a Heisenbergovy reprezentace a s výhodou se užívá u některých výpočtů s časově závislou poruchou (viz kapitola 5). Předpokládejme hamiltonián ve tvaru
\[
	\hat{H}(t) = \hat{H}_0 + \hat{V}(t),
\]
kde umíme řešit Schrödingerovu rovnici s $\hat{H}_0 \neq \hat{H}_0(t)$ a člen $\hat{V} (t)$ představuje jeho časově závislou poruchu. Definujme nyní operátor $\hat{U}_0$ způsobem
\begin{equation} \label{ZQM:DirEvOp}
	\hat{U}_0 (t,t_1) = \exp \left( - \frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 (t-t_1) \right).
\end{equation}
Tento operátor je jistě unitární a bezpochyby je na základě našich předpokladů splněna operátorová rovnost \eqref{ZQM:SchrEqOp} ve tvaru
\begin{equation} \label{ZQM:DirOpEq}
	i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat{U}_0 (t,t_1) = \hat{H}_0 \hat{U}_0 (t,t_1).
\end{equation}
 
Podobně jako u Heisenbergovy reprezentace definujeme vlnovou funkci v Diracově reprezentaci $\ket{\psi^D(t)}$ a operátor $\hat{A}^D$ pomocí nového unitárního operátoru $\hat{U}_0$ způsobem 
\begin{subequations}
	\begin{align}
		\ket{\psi^D(t)} &= \hat{U}_0^\dagger(t,t_0) \ket{\psi^S(t)}, 				\label{ZQM:DirVec} \\
		\hat{A}^D(t) &= \hat{U}_0^\dagger(t,t_0) \hat{A}^S(t) \hat{U}_0(t,t_0). \label{ZQM:DirOp}
	\end{align}
\end{subequations}
 
Zbývá nalézt rovnice, jimiž se řídí časový vývoj $\ket{\psi^D(t)}$ a $\hat{A}^D(t)$. Budeme postupovat obdobně jako v předchozím odstavci. Aplikujme časovou derivaci nejprve na rovnost \eqref{ZQM:DirVec} (opět si dovolím v postupu neuvádět časové závislosti)
\[
	i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} = 
		i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \left( \hat{U}_0^\dagger \right) \ket{\psi^S} + 
		i\hbar \hat{U}_0^\dagger \frac{\partial}{\partial t} \left( \ket{\psi^S} \right),
\]
kde užijeme rovnosti \eqref{ZQM:DirOpEq} pro časovou derivaci operátoru $\hat{U}_0^\dagger$ a Schrödingerovu rovnici \eqref{ZQM:SchrEq} pro časovou derivaci $\ket{\psi^S}$
\[
	i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} = 
		i\hbar \left(-\frac{1}{i\hbar}\hat{U}_0^\dagger \hat{H}_0 \right) \ket{\psi^S} + 
		i\hbar \hat{U}_0^\dagger \left(\frac{1}{i\hbar} \hat{H} \ket{\psi^S} \right).
\]
Dále přechodem k Diracově reprezentaci pomocí vztahů \eqref{ZQM:DirVec} \eqref{ZQM:DirOp} dostáváme
\begin{align} \label{ZQM:DirVF}
	i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \ket{\psi^D} &= 
	- \hat{U}_0^\dagger \hat{H}_0 \hat{U}_0 \ket{\psi^D} + \hat{U}_0^\dagger \hat{H} \hat{U}_0 \ket{\psi^D} =
	- \hat{H}_0^D \ket{\psi^D} + \hat{H}^D \ket{\psi^D} =    \nonumber \\
	&= \hat{V}^D(t) \ket{\psi^D(t)}.
\end{align}
 
Stejným postupem jako u Heisenbergovy reprezentace bychom odvodili z rovnosti \eqref{ZQM:DirOp} vztah pro časovou derivaci operátoru
\begin{equation} \label{ZQM:DirOpTime}
	i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \hat{A}^D(t) = \komut{\hat{A}^D(t)}{\hat{H}_0}
	+ i\hbar \hat{U}_0^\dagger(t,t_0) \frac{d}{dt} \bigl(\hat{A}^S(t)\bigr) \hat{U}_0(t,t_0).
\end{equation}
 
V Diracově reprezentaci se část dynamiky systému odráží v časové závislosti stavových vektorů \eqref{ZQM:DirVF} a část v závislosti operátorů odpovídajících dynamickým proměnným \eqref{ZQM:DirOpTime}.
 
Tato reprezentace je výhodná, pokud umíme najít evoluční operátor příslušející $\hat{H}_0$ (výraz \eqref{ZQM:DirEvOp}) a chceme poruchovým výpočtem zjistit, jaký je časový vývoj systému v~případě započtení časově závislého potenciálu $\hat{V}(t)$.
 
\begin{example}
Zapište operátor polohy a hybnosti částice v homogenním gravitačním poli v~Heisenbergově reprezentaci.
 
Budeme uvažovat jednorozměrný případ. Hamiltonián částice ve Schrödingerově reprezentaci známe%
\footnote{V dalším operátory bez indexu budou představovat operátory ve Schrödingerově reprezentaci.}
\[
	\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + mg \hat{x}.
\]
\noindent Operátory $\hat{p}^H$, resp. $\hat{x}^H$ je možno určit buď definičně pomocí evolučního operátoru \eqref{ZQM:HeissOp}, nebo pomocí odvozené diferenciální operátorové rovnice \eqref{ZQM:HeissOpEq}, která je v tomto případě jednodušší cestou k cíli. Snadno určíme potřebné komutátory ve Schrödingerově reprezentaci
\[
	\komut{\hat{x}}{\hat{H}} = \frac{1}{m} i \hbar \hat{p}; \quad
	\komut{\hat{p}}{\hat{H}} = - i \hbar mg
\]
a použitím \eqref{ZQM:HeissOpEq} získáváme sadu operátorových diferenciálních rovnic
\[
	\frac{d \hat{x}^H(t)}{dt} = \frac{\hat{p}^H(t)}{m}; \quad
	\frac{d \hat{p}^H(t)}{dt} = - mg.
\]
Tuto soustavu můžeme řešit stejně jako rovnice pro číselné funkce. Dospíváme tak k řešení%
\footnote{Místo číselných integračních konstant získáváme však koeficienty operátorové.}
\[
	\hat{p}^H (t) = - mgt + \hat{C}_1; \quad
	\hat{x}^H (t) = \frac{-gt^2}{2} + \frac{\hat{C}_1 t}{m} + \hat{C}_2.
\]
Pokud k úloze dodáme požadavek, aby v čase $t=0$ byly operátory polohy a hybnosti v obou reprezentacích totožné, tedy $\hat{p}^H(0) = \hat{p}_0$, $\hat{x}^H(0) = \hat{x}_0$, získáváme neurčené operátory $\hat{C}_1$, $\hat{C}_2$
\[
	\hat{p}^H (t) = - mgt + \hat{p}_0; \quad
	\hat{x}^H (t) = \frac{-gt^2}{2} + \frac{\hat{p}_0 t}{m} + \hat{x}_0.
\]
Podíváme se ještě na vývoj středních hodnot. Jestliže počáteční střední hodnoty operátorů ve Schrödingerově reprezentaci měly hodnoty $\stredni{\hat{p}}_{\psi_0} = p_0$, $\stredni{\hat{x}}_{\psi_0} = x_0$, dostáváme známý časový vývoj operátorů v Heisenbergově reprezentaci
\[
	\stredni{\hat{p}^H(t)}_{\psi} = p_0 - mgt, \quad
	\stredni{\hat{x}^H(t)}_{\psi} = x_0 + \frac{p_0 t}{m} - \frac{1}{2} g t^2.
\] 
\end{example}
 
 
\begin{example}
Určete časový vývoj operátoru komponenty spinu elektronu v homogenním magnetickém poli $\vec{B}=(0,0,B)$. Gravitaci neuvažujte. Užijte Heisenbergovu reprezentaci.
 
Hamiltonián nabité částice v magnetickém poli má tvar
\[
	\hat{H} = - \hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B},
\]
\noindent kde $\hat{\vec{\mu}}$ představuje operátor vlastního magnetického momentu (spinu), jenž je definován pomocí operátoru komponent spinu $\hat{\vec{s}}$
\[
	\hat{\vec{\mu}} = \frac{\mu \hat{\vec{s}}}{s}; \quad
	\hat{\vec{s}} = \frac{1}{2} (\hat{\sigma}_1, \hat{\sigma}_2, \hat{\sigma}_3).
\]
Magnetický moment $\mu$ nabývá pro elektron hodnoty $\mu = \frac{e \hbar}{2 m_e c}$ a spin $s=1/2$. $\hat{\sigma}_i$ představují Pauliho matice
 
\begin{equation}  \label{ZQM:PaulihoMatice}
	\hat{\sigma}_1 = \begin{pmatrix}
    			0 & 1 \\
    			1 & 0 \\	 \end{pmatrix}, \quad
   \hat{\sigma}_2 = \begin{pmatrix}
    			0 & -i \\
    			i & 0 \\	 \end{pmatrix}, \quad
   \hat{\sigma}_3 = \begin{pmatrix}
    			1 & 0 \\
    			0 & -1 \\	 \end{pmatrix},
\end{equation}
jež vyhovují komutačním relacím
\[
	\komut{\hat{\sigma}_i}{\hat{\sigma}_j} = 2 i \epsilon_{ijk} \hat{\sigma}_k.
\]
Hamiltonián našeho systému je možno zapsat 
\[
	\hat{H} = - \frac{\mu_0 \hbar B}{2} \hat{\sigma}_3.
\]
 
Zajímají nás operátory $\hat{\sigma}_i^H$, k jejichž určení užijeme \eqref{ZQM:HeissOpEq}. Využitím komutačních relací Pauliho matic získáváme rovnice
\[
	\frac{d \hat{\sigma}_1^H (t)}{dt} = \mu_0 B \hat{\sigma}_2^H (t), \quad
	\frac{d \hat{\sigma}_2^H (t)}{dt} = - \mu_0 B \hat{\sigma}_1^H (t), \quad
	\frac{d \hat{\sigma}_3^H (t)}{dt} = 0,
\]
jež doplněním počátečních podmínek $\hat{\sigma}_i^H (0) = \hat{\sigma}_i$ (podmínka stejného tvaru operátorů v Heisenbergově a Schrödingerově reprezentaci v počátečním čase) vede na řešení
\begin{align*}
	\hat{\sigma}_1^H (t) &= \hat{\sigma}_1 \cos(\mu_0 Bt) + \hat{\sigma}_2 \sin(\mu_0 Bt), \quad
			\hat{\sigma}_3^H (t) = \hat{\sigma}_3,  \\
	\hat{\sigma}_2^H (t) &= - \hat{\sigma}_1 \sin(\mu_0 Bt) + \hat{\sigma}_2 \cos(\mu_0 Bt).
\end{align*}
Pokud vektor projekce spinu $\vec{p}$ měl v počátečním čase tvar 
\[
	\vec{p} = (p_1, p_2, p_3) = (\stredni{\hat{\sigma}_1}_{\ket{\psi_0}}, \stredni{\hat{\sigma}_2}_{\ket{\psi_0}}, 
					\stredni{\hat{\sigma}_3}_{\ket{\psi_0}}), \quad \norm{\vec{p}} = 1,
\] 
je vývoj středních hodnot $\stredni{\hat{\sigma}_i^H(t)}_{\psi}$ (a tedy i vývoj projekce spinu $\vec{p}(t)$) určen rovnicemi
\begin{align*}
	\stredni{\hat{\sigma}_1^H (t)}_{\psi} &= p_1 \cos(\mu_0 Bt) + p_2 \sin(\mu_0 Bt), \\
	\stredni{\hat{\sigma}_2^H (t)}_{\psi} &= -p_1 \sin(\mu_0 Bt) + p_2 \cos(\mu_0 Bt), \\
	\stredni{\hat{\sigma}_3^H (t)}_{\psi} &= p_3.
\end{align*}
 
Vlivem magnetického pole tedy dochází k precesi spinu elektronu.
\end{example}
 
\begin{example}
Mějme elektron v rotujícím magnetickém poli $\vec{B}=(B_1\cos(\omega t),B_1\sin(\omega t),B_0)$. Určete jeho stav v libovolném čase. Magnetické pole je dostatečně silné, aby bylo možné gravitaci zanedbat. Užijte Diracovu reprezentaci.
 
Hamiltonián má tvar (viz předchozí příklad)
\[
	\hat{H} = - \hat{\vec{\mu}} \cdot \vec{B} =
	- \frac{\mu_0 \hbar B_0}{2} \hat{\sigma}_3 
	- \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \left[ \cos(\omega t) \hat{\sigma}_1 + \sin(\omega t) \hat{\sigma}_2 \right].
\]
Pro užití Diracovy reprezentace oddělíme časově nezávislou část $\hat{H}$ (stejnou jako v minulém příkladě) od časově závislé:
\begin{equation}  \label{ZQM:DirPriklad}
	\hat{H}_0 = - \frac{\mu_0 \hbar B}{2} \hat{\sigma_3}; \quad
	\hat{V}(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \left[ \cos(\omega t) \hat{\sigma}_1 + \sin(\omega t) \hat{\sigma}_2 \right].
\end{equation}
Časový vývoj stavu v Diracově reprezentaci je určen rovnicí \eqref{ZQM:DirVF}. Potřebujeme tedy určit operátor $\hat{V}^D(t)$, k čemuž máme dvě možnosti. Použít rovnost \eqref{ZQM:DirOpTime} a získat tak časovou derivaci $\frac{d}{dt}(\hat{V}^D(t))$. To však kvůli vlastní časové závislosti $\hat{V}(t)$ nedá nijak elegantní rovnici, navíc jsme tak již postupovali v předchozích dvou příkladech. Užijeme proto nyní přímo definice transformace \eqref{ZQM:DirVec} k nalezení $\hat{V}^D(t)$. Musíme tedy určit unitární operátoru $\hat{U}_0(t)$. Zjednodušme jeho definici \eqref{ZQM:DirEvOp} volbou $t_1=0$
\[
	\hat{U}_0(t) = \exp \left( -\frac{i}{\hbar} \hat{H}_0 t  \right) = 
				\exp \left( i \frac{\mu_0 B_0}{2} \hat{\sigma}_3 t  \right).
\]
Využijeme vztahu dokazovaného v zimním semestru
\[
	\exp \left( i \alpha \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}} \right) =
		\cos(\alpha) \opone + i \sin(\alpha) \vec{n} \cdot \hat{\vec{\sigma}},
\]
kde $\alpha \in \komplex$, $\norm{\vec{n}}=1$, $\hat{\vec{\sigma}}=(\hat{\sigma}_1,\hat{\sigma}_2,\hat{\sigma}_3)$ a $\hat{\sigma_i}$ představuje Pauliho matice \eqref{ZQM:PaulihoMatice}. Jeho použitím dostáváme
\[
	\hat{U}_0 (t) =  \begin{pmatrix}
    			\exp \left( i \frac{\mu_0 B_0}{2} t \right) & 0 					\\
    			0 														 & \exp \left( - i \frac{\mu_0 B_0}{2} t \right) \\
   \end{pmatrix}.
\]
Interakční hamiltonián $\hat{V}(t)$ (viz \eqref{ZQM:DirPriklad}) je možno rovněž zapsat maticově
\[
	\hat{V}(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} \begin{pmatrix}
    			0 & \exp \left( - i \omega t \right) 		 \\
    			\exp \left( i \omega t \right) & 0    	 \\
   \end{pmatrix}.
\] 
Tím však máme vše připraveno pro určení $\hat{V}^D(t)$. Na základě \eqref{ZQM:DirOp} můžeme psát
\begin{align*}
	\hat{V}^D(t) &= \hat{U}_0^\dagger(t) \hat{V}(t) \hat{U}_0(t) = \\
		&= - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2}
			\begin{pmatrix}
    			e^{- i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} & 0 									\\
    			0 										& e^{i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} \\
   		\end{pmatrix}
      \begin{pmatrix}
    			0 					& e^{- i \omega t} 		 \\
    			e^{i \omega t} & 0    	 					\\
   		\end{pmatrix}
      \begin{pmatrix}
    			e^{i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} & 0 										\\
    			0 									 & e^{- i \frac{\mu_0 B_0}{2} t} \\
      \end{pmatrix}
\end{align*}
a po roznásobení matic
\[
	\hat{V}^D(t) = - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2} 
			\begin{pmatrix}
    			0 											& \exp \left[-i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] 		 \\
    			\exp \left[i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] & 0    	 	\\
   		\end{pmatrix}.
\]
Stav částice se spinem je popsán vektorem 
$\ket{\psi^D(t)} =
		\begin{pmatrix}
    		\ket{\psi_1(t)} \\
    		\ket{\psi_2(t)} \\
   	\end{pmatrix}$.
Rovnice \eqref{ZQM:DirVF} přechází po dosazení na soustavu
\begin{align*}
	i \hbar \frac{\partial \ket{\psi_1}}{\partial t} &= - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2}	
			\exp \left[-i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] \ket{\psi_2},  \\
	i \hbar \frac{\partial \ket{\psi_2}}{\partial t} &= - \frac{\mu_0 \hbar B_1}{2}	
			\exp \left[i (\omega + \mu_0 B_0) t \right] \ket{\psi_1}.
\end{align*}
Tím tento příklad i kapitolu uzavřeme.
\end{example}