Aktuální verze z 3. 5. 2018, 16:34

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN2}
\section{Propagátor}\label{sec:propagator}
 
Otázka dráhového integrálu a propagátorů se historicky váže hlavně k postavě Richarda Feynmana, jehož pojednání o štěrbinovém experimentu lze doporučit jako zajímavou četbu pro rozšíření motivační části poznámek. Tato kapitola jinak vychází hlavně z knihy Quantum Field Theory \cite{ryd:QFT}.
 
%================================================================================
\subsection{Všechny možné historie}
%================================================================================
Uvažujme vlnovou funkci (pro jednoduchost jednorozměrnou) $\psi(q_i, t_i)$ v čase $t_i$. \textbf{Propagátor} $\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i}$ je jednoznačně určené integrační jádro, které nám umožní napsat vlnovou funkci v~nějakém pozdějším čase $t_f$ podobně jako v Huygens–Fresnelově principu pro vlnění:
\begin{equation}
	\psi (q_f, t_f) = \bra{q_f} \hat{U} (t_f, t_i) \ket{\psi_i} = \int \prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} \psi(q_i, t_i) \dif q_i \label{eq:prop}
\end{equation}
Pokud bychom za počáteční stav formálně dosadili zobecněný vlastní stav polohy, zůstal by na pravé straně \eqref{eq:prop} propagátor samotný, který je tak možné interpretovat jako amplitudu pravděpodobnosti přechodu z místa $q_i$ v čase $t_i$ do $q_f$ v čase $t_f$. Nicméně odpovídající rozdělení pravděpodobnosti je pochopitelně nenormalizovatelné (protože takové bylo pro počáteční stav).
 
Rozdělme nyní časový interval $ \left\langle t_i, t_f \right\rangle $ do dvou podintervalů $ \left\langle t_i, t_m \right\rangle $ a $ \left( t_m, t_f \right\rangle $. Pokud použijeme definici propagátoru dvakrát pro výpočet $\psi(q_f,t_f)$ z $\psi(q_i,t_i)$ přes pomocnou funkci $\psi(q_m,t_m)$, dostaneme
\begin{equation}
	\psi (q_f, t_f) = \int\int \prop{q_f}{t_f}{q_m}{t_m} \prop{q_m}{t_m}{q_i}{t_i} \psi(q_i, t_i) \dif q_i \dif q_m,
\end{equation}
což nám dává rovnost platnou pro propagátor
\begin{equation}
	\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} = \int \prop{q_f}{t_f}{q_m}{t_m} \prop{q_m}{t_m}{q_i}{t_i} \dif q_m.
  \label{Prop:q_m}
\end{equation}
Jinými slovy na přechod z $(q_i, t_i)$ do $(q_f, t_f)$ můžeme nahlížet jako na přechod skrz \textsl{všechny možné mezibody} $q_m$, které mohou ležet i kdekoli mimo interval vymezený $q_i$ a $q_f$, jak ukazuje obr.~\ref{fig:cesty}.
 
\begin{figure}
\centering
	\includegraphics[width=7cm]{drahy-1}
  \caption{Možné vývoje systému mezi fixními polohami $q_i$ v čase $t_i$ a $q_f$ v čase $t_f$, uvažujeme-li mezistav v čase $t_m$, $t_i < t_m < t_f$.}
\label{fig:cesty}
\end{figure}
 
Hezká ilustrace tohoto principu je průchod světla optickou štěrbinou. Víme, že dochází k difrakci (ohybu), namísto toho, aby některé paprsky prošly a jiné byly pohlceny. Teprve když tloušťka štěrbiny jde k nekonečnu a světelné vlny tak skrz ní mohou projít kterýmkoli bodem roviny, dostáváme v limitě neporušený průchod paprsku.
 
Ukážeme nyní, že propagátor je vlastně maticový element operátoru časového vývoje. Ve Schrödingerově obraze
\[
  \psi(q_f,t_f) = \braket{q_f}{\psi(t_f)} = \brapigket{q_f}{\hat{U}(t_f,t_i)}{\psi(t_i)} = \int \underbrace{\brapigket{q_f}{\hat{U}(t_f,t_i)}{q_i}}_{\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i}} \underbrace{\braket{q_i}{\psi(t_i)}}_{\psi(q_i,t_i)} \dif q_i.
\]
 
Ještě elegantnější zápis získáme v Heisenbergově obraze, kde
\[
  \ket{\psi^H} = U(t,t_0)^{-1} \ket{\psi^S(t)}
\]
pro libovolně fixně zvolený referenční čas $t_0$. Definujme zobecněný stav $\ket{q,t}$, který odpovídá zobecněnému vlastnímu stavu $\ket{q}$ v čase $t$, tedy
\[
  \ket{q,t} := U(t,t_0)^{-1} \ket{q}.
\]
Tyto stavy mají význam pohybující se vztažné soustavy, protože
\begin{equation}
  \braket{q,t}{\psi^H} = \brapigket{q}{U(t,t_0)}{\psi^S(t_0)} = \braket{q}{\psi(t)} = \psi(q,t).
  \label{eq:pohyb}
\end{equation}
Díky tomu, že ortonormální báze stavů zůstává při časovém vývoji ortonormální, můžeme psát
\begin{equation}
	\braket{q_f, t_f}{\psi^H} = \int \braket{q_f, t_f}{q_i, t_i}\braket{q_i, t_i}{\psi^H} \dif q_i,
\end{equation}
což díky \eqref{eq:pohyb} znamená
\begin{equation}
	\psi(q_f, t_f) = \int \braket{q_f, t_f}{q_i, t_i} \psi(q_i, t_i) \dif q_i,
\end{equation}
odsud plyne zápis
\begin{equation}
	\prop{q_f}{t_f}{q_i}{t_i} = \braket{q_f, t_f}{q_i, t_i}.
\end{equation}
 
%================================================================================
\subsection{Rovnice pro propagátor}
%================================================================================
Jakou rovnici propagátor musí splňovat zjistíme, když zkusíme spočítat jeho časovou derivaci (a $q_f, t_f$ přeznačíme na $q, t$):
\begin{align}
	i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} = \bra{q} i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \hat{U}(t, t_i) \ket{q_i} = \bra{q} \hat{H} \hat{U}(t, t_i) \ket{q_i} \notag\\
	 \int \dif y \bra{q} \hat{H} \ket{y} \bra{y} \hat{U}(t, t_i) \ket{q_i} = \int \dif y \bra{q} \hat{H} \ket{y} \prop{y}{t}{q_i}{t_i}.
\end{align}
Je-li $\hat{H} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial q^2} +V(q,t)$, potom
\begin{equation}
	\bra{q} \hat{H} \ket{y} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial q^2} (\delta \left( q - y \right) ) + V(q,t) \delta \left( q - y \right), 
\end{equation}
a po přetažení derivace z delta funkce k propagátoru dostaneme
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} = &\int \dif y \delta (q-y) \left( - \frac{{\hbar}^2}{2m} \right) \frac{\partial^2}{\partial y^2} \prop{y}{t}{q_i}{t_i} +{} \\
    &{}+ \int \dif y V(q,t) \delta (q-y) \prop{y}{t}{q_i}{t_i}.
  \end{aligned}
\end{equation}
To dává:
\begin{equation}
	i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial q^2} \prop{q}{t}{q_i}{t_i} + V(q,t)  \prop{q}{t}{q_i}{t_i},
\end{equation}
což je hledaná rovnice, která by ve 3D vypadala (postup úplně stejný):
\begin{equation}
	i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \prop{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = - \frac{{\hbar}^2}{2m} \Delta  \prop{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} + V(\vec{x},t)  \prop{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i}.
\end{equation}
Neboli  $\prop{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i}$ je řešením Schrödingerovy rovnice (jakožto funkce proměnné $\vec{x}$ parametrizovaná časem $t$) s~počáteční podmínkou
\begin{equation}
	\prop{\vec{x}}{t_i}{\vec{x}_i}{t_i} = \delta ^{(3)} (\vec{x} - \vec{x}_i).
\end{equation}
 
Mnoho výpočtů se později zjednoduší, když navíc zavedeme propagátory respektující kauzalitu, tj. nulové pro $t_f<t_i$ resp. $t_f>t_i$: \textbf{retardovaný propagátor}
\begin{equation}
	\propR{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} = \theta (t_f - t_i) \prop{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i}
\end{equation}
a \textbf{advancovaný propagátor}
\begin{equation}
	\propA{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i} = \theta (t_i - t_f) \prop{\vec{x}_f}{t_f}{\vec{x}_i}{t_i},
\end{equation}
kde $\theta$ je Heavisideova funkce.
 
% (zbytečné vědět)
 
%A hned můžeme ukázat, že retardovaný, resp. advanceovaný propagátor jsou Greenovými funkcemi Schrödingerovy rovnice, neboť
%\begin{equation}
%	i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \propRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = \pm i \hbar \delta (t - t_i) K^{(\pm)}(\ldots) - \frac{{\hbar}^2}{2m} \Delta K^{(\pm)} (\ldots) + V(\vec{x},t) K^{(\pm)} (\ldots),
%\end{equation}
%což se, díky počáteční podmínce na propagátor a vlastnostem delta funkce v čase, dá přepsat na
%\begin{equation}
%	\left( i \hbar \frac{\dif}{\dif t} - \hat{H} \right) \propRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = \pm i \hbar \delta(t-t_i) \delta^{(3)} (\vec{x} - \vec{x}_i).
%\end{equation}
 
%================================================================================
\subsection{Volná částice} \label{ssec:volna}
%================================================================================
Zde se budeme, jak název napovídá, zabývat systémem s hamiltoniánem $\hat{H} = \frac{\hat{\vec{p}}^2}{2m}$. Abychom si usnadnili postup, přejdeme nyní do hybností reprezentace, kde
\begin{equation}
	\tprop{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} \equiv \braket{\vec{p}, t}{\vec{p}_i, t_i},
\end{equation}
podobně jako dříve. Když se podíváme na Schrödingerovu rovnici v této reprezentaci, obdržíme
\begin{equation}
	i \hbar \frac{\dif}{\dif t} \tprop{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} = \frac{\vec{p}^2}{2m} \tprop{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i}.
\end{equation} 
Ta má řešení
\begin{equation}
	\tprop{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} = e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)} \delta ^{(3)} \left( \vec{p} - \vec{p}_i \right),
\end{equation}
resp. pro retardovaný/advancovaný propagátor obdobně:
\begin{equation}
	\tpropRA{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} = \theta \left(\pm (t-t_i)\right) \delta ^{(3)} \left( \vec{p} - \vec{p}_i \right) e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)}.
\end{equation}
 
Náš cíl je ovšem propagátor v $q$-reprezentaci. Abychom se k němu dostali, připomeneme si
\begin{equation}
	\braket{\vec{x}}{\vec{p}} = \frac{1}{(2 \pi \hbar)^\frac{3}{2}} e^{i \frac{\vec{p}\vec{x}}{\hbar}},
\end{equation}
a přepíšeme výsledek v hybností reprezentaci do $q$-reprezentace
\begin{equation}
  \begin{aligned}
    \tpropRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} &= \int \braket{\vec{x}}{\vec{p}} \propRA{\vec{p}}{t}{\vec{p}_i}{t_i} \braket{\vec{p}_i}{\vec{x}_i} \dif^3 p \dif^3 p_i \\
    &= \theta \left(\pm (t-t_i)\right) \frac{1}{(2 \pi \hbar)^3} \int \dif^3 p \dif^3 p_i \delta ^{(3)} \left( \vec{p} - \vec{p}_i \right) e^{i \frac{\vec{p}\vec{x}}{\hbar}} e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)} e^{ - i \frac{\vec{p}_i\vec{x}_i}{\hbar}} \\
    &= \theta \left(\pm (t-t_i)\right) \int \frac{\dif^3 p}{(2 \pi \hbar)^3} e^{i \frac{\left(\vec{x} - \vec{x}_i\right)\vec{p}}{\hbar}} e^{\frac{-i}{\hbar} \frac{\vec{p}^2}{2m} (t - t_i)},
  \end{aligned}
  \label{eq:volny_prop}
\end{equation}
což je ale divergentní integrál. To pro nás ale není překvapivé, i na levé straně je zobecněná funkce. Integrál lze přesto různými způsoby spočítat. Jedna cesta vedoucí k cíli by byla vektor $\ket{\vec{x}_i}$ v~\eqref{eq:volny_prop} nahradit funkcí k $\delta$-funkci konvergující a limitu provést až jako poslední krok. V částicové fyzice je běžnější alternativou postup \textbf{regularizace}, který si na tomto snadném příkladu ilustrujeme.
 
Regularizaci provedeme nahrazením%
\footnote{Často se potká ve tvaru funkčně ekvivalentního požadavku $m \to m + i\varepsilon$.}
\begin{equation}
	\frac{i}{2m} \longrightarrow \frac{i}{2m} + \varepsilon
\end{equation}
ve finálním tvaru integrálu v~\eqref{eq:volny_prop}, díky čemuž dostaneme v \eqref{eq:volny_prop} integrál gaussovského typu s kladnou reálnou částí koeficientu, který rozhoduje o konvergenci. To nám umožní integrál vyčíslit, pročež provedeme limitu a pošleme $\varepsilon$ do nuly.
 
Pro zapomnětlivé připomeneme vzoreček platný pro $\mathop{\mathrm{Re}} a > 0$
\begin{equation}
	\int_\mathbb{R} \dif x e^{-a x^2 + bx} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} e^{\frac{b^2}{4a}}. \label{eq:gauss}
\end{equation} 
Po nahrazení a použití tohoto vzorečku dostáváme
\begin{equation}
	\lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\theta \left( \pm (t-t_i) \right)}{\left( 2 \pi \hbar \right)^3} \left( \frac{\pi}{\frac{i}{\hbar} \left( \frac{1}{2m} \mp i \varepsilon \right)(t-t_i)} \right)^{\frac{3}{2}} \exp\left( \frac{-(\vec{x} - \vec{x}_i)^2}{4 \hbar^2 \frac{i}{\hbar} \left( \frac{1}{2m} \mp i \varepsilon \right) (t-t_i)} \right),
\end{equation}
což po zkrácení konstant a provedení limity dává výsledek
\begin{equation}
	\propRA{\vec{x}}{t}{\vec{x}_i}{t_i} = \theta \left( \pm (t-t_i) \right) \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar (t-t_i)} \right)^{\frac{3}{2}} \exp\left( \frac{i m (\vec{x} - \vec{x}_i)^2}{2 \hbar (t-t_i)} \right),
  \label{Prop:volnacastice}
\end{equation}
který si dobře zapamatujeme, protože spolu s výsledkem v hybnostní reprezentaci ho budeme extenzivně využívat v dalších kapitolách.
 
%================================================================================
\subsubsection{Rozplývání vlnového balíku}
%================================================================================
Nyní znovu navštívíme první cvičení z prvního semestru kvantové mechaniky. Nechť je na počátku náš systém ve stavu jednorozměrného gaussovského balíku, zbaveného fyzikálních rozměrů,
\begin{equation}
	\psi_i (x, t=0) = \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} e^{-x^2},
\end{equation}
časový vývoj tohoto stavu je určen propagátorem volné částice jako
\begin{equation}
	\psi (x, t) = \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \int \dif x' \prop{x}{t}{x'}{t'=0} \psi_i (x'),
\end{equation}
pokud označíme $\alpha = \frac{m}{2 \hbar t}$, dosadíme za propagátor z předchozí kapitolky a za $\psi_i$ dosadíme gaussovský balík, dostaneme
\begin{equation}
	\psi (x, t) = \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \int \dif x' \sqrt{\frac{\alpha}{i \pi}} e^{i \alpha (x - x')^2} e^{-{x'}^2},
\end{equation}
což je gaussovský integrál. Za pomoci \eqref{eq:gauss} tak dostáváme
\begin{align}
	\psi (x, t) &= \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \sqrt{\frac{\alpha}{i \pi}} e^{i \alpha x^2} \sqrt{\frac{\pi}{1-i\alpha}} e^{\frac{-4 \alpha^2 x^2}{4 (1-i\alpha)}} \notag \\
	&= \left( \frac{2}{\pi} \right)^\frac{1}{4} \sqrt{\frac{i \alpha}{i \alpha - 1}} e^{\frac{-i \alpha}{i \alpha - 1} x^2}.
\end{align} 
 
Z tohoto řešení dostaneme hustotu pravděpodobnosti
\begin{equation}
	\rho = \abs{\psi (x,t)}^2 = \sqrt{\frac{2 \alpha^2}{\pi (1 + \alpha^2)}} e^{-\frac{2 \alpha^2}{1+\alpha^2} x^2},
\end{equation}
a to je na první pohled Gaussovo rozdělení se střední kvadratickou odchylkou
\begin{equation}
	\sigma = \sqrt{\frac{1+\alpha^2}{2 \alpha^2}} = \sqrt{\frac{m^2 + (2 \hbar t)^2}{2 m^2}}.
\end{equation}
Vlnový balík se rozplývá stejně jako v zimě. Všimněme si hlavně limit pro $t\rightarrow 0$, kde dostáváme původní vlnovou funkci, a $t \to +\infty$, kde $\sigma$ roste asymptoticky lineárně v~čase (shodně jako u Brownova pohybu).