Aktuální verze z 29. 5. 2017, 13:21

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Kvantověmechanický harmonický oscilátor}
\index{oscilátor, harmonický, kvantově-mechanický}
\label{kvantosc}
 
Mějme kvantový harmonický oscilátor s frekvencí $\omega$. Jeho energetické 
stavy jsou určeny kvantovým číslem, a to následujícím způsobem:
 
 
$$E_n = E_0 + n\hbar\omega=\hbar\omega\left( n + \pul\right) $$
 
\begin{center}
\includegraphics{Oscpot.pdf}
\end{center}
 
Nechme oscilátor v rovnováze s okolím a spočítejme partiční funkci, 
vnitřní energii (tj. střední energii), entropii a partiční funkci
pro $N$ nezávislých oscilátorů.
 
\bigskip
 
Platí:
 
$$w_\gamma = \frac{1}{Z_C} \exp( -\beta E_\gamma) \qquad Z_C = \suma{\gamma}{} \exp( -\beta E_\gamma)$$
 
%%% WTF? - V.P.
%Harmonický oscilátor (je-li v rovnováze s okolím) není ustálen na konstantní energetické 
%hladině, ale různě je střídá. To, jak dlouho na které setrvá, nám pak dává střední časovou 
%hodnotu jeho vnitřní energie. Chceme-li se vyhnout práci s časem, můžeme si představit, 
%že každý energetický stav je jakýsi \uv{šuplík}, do kterého vkládáme myšlené částice. Jejich 
%počet je  úměrný tomu, jak dlouho se oscilátor na této energetické hladině zdrží (v nějaké 
%časové jednotce). Tento systém tedy můžeme popsat i grandkanonickým souborem, ale protože 
%by stejně vyšel chemický potenciál nulový ($\mu = 0$) a protože energetické hladiny jsou 
%ekvidistantní a vztah mezi počtem našich myšlených částic a energií oscilátoru je jednoznačný, 
%vystačíme si i s kanonickým souborem.
 
V našem případě jsou mikrostavy indexovány kvantovým číslem $n$, tedy
 
$$Z_C = \suma{n=0}{\infty}\exp(-\beta E_n) = \suma{n=0}{\infty}\exp(-\beta E_0)\exp(-\beta n\hbar \omega ) =  $$
$$ = \exp(-\beta E_0)\suma{n=0}{\infty}\left( \exp(-\beta \hbar \omega) \right) ^n $$
 
Poslední člen je zjevně geometrická řada s kvocientem $\exp(-\osci) < 1 $ a lze ji snadno sečíst:
 
$$Z_C = \exp(-\beta E_0)\frac{1}{1 - \exp(-\osci)} = \frac{\exp(-\beta E_0)}
 {1 - \exp(-\osci)}$$
 
Odtud získáme střední hodnotu energie podle vzorce
 
$$U = \left<E\right> = -\pderivx{\ln Z_C}{\beta} = E_0 +\frac{\exp(-\osci) \hbar \omega }{1 - \exp(-\osci)}$$
 
 
\bigskip
 
Náš výsledek je ale poněkud podezřelý --- ekvipartiční teorém přeci říká, že na každý stupeň volnosti
zastoupený v hamiltoniánu ve druhé mocnině připadne $\pul kT$ energie.
U klasického harmonického oscilátoru, který má hamiltonián
 
$$H = \pul m \dot{x} ^2 + \pul m \omega^2 x^2$$
 
by tedy mělo být $U = kT$. Zde ale pracujeme s kvantovým harmonickým oscilátorem, který by měl přejít
ke klasickému modelu při $\hbar \to 0$  (nebo pro $T \to \infty$). Ovšem bude-li $\osci \ll 1$, pak se výraz zredukuje na
 
$$U \quad = \quad E_0 \quad + \quad \hbar \omega   \frac{\exp(-\osci)}{ 1 - \exp(-\osci)} \quad \longrightarrow \quad 
 E_0 \quad + \quad \hbar \omega  \frac{e^0}{1 - \exp(-\osci)} \quad \longrightarrow $$
$$ \longrightarrow \quad E_0 \quad + \quad \frac{\hbar \omega  }{1 - 1 + \osci} \quad = \quad  E_0 + \frac{1}{\beta} \quad = 
   \quad E_0 \quad +\quad  kT $$
 
\bigskip
 
Takže to vlastně sedí. V běžném pozorování jednoho oscilátoru zjistíme energetické hladiny jako kontinuum, neboť
konstanta $\hbar$ je nesmírně malá a tedy $\osci \rightarrow 0$.
 
Jaká je entropie? Dle vzorce z kapitoly \ref{kansoub} ji spočteme takto:
 
$$S = k_B\left( \ln Z_C + \beta U \right) = k_B\left( \ln \frac{\exp(-\beta E_0)}{ 1 - \exp(-\osci)} \quad +\beta E_0+ \quad 
    \osci \frac{\exp(-\osci)}{1 - \exp(-\osci)} \right) \quad =$$
$$= k_B\left( - \ln\left( 1 - \exp(-\osci) \right) + \osci \frac{\exp(-\osci)}{1 - \exp(-\osci)}\right)$$
 
\bigskip
 
Je ale možné vycházet i z termodynamického vzorce
 
$$F = - k T \ln Z_C = U - TS$$
 
\bigskip
 
Jelikož $U$ již máme vypočtenu, stačí prostě dosadit. Je hodné pozornosti,
že entropie již nezávisí na $E_0$ \index{energie, nulových kmitů}(energii nulových kmitů).
 
Partiční funkci $N$ nezávislých oscilátorů již samozřejmě spočítáme snadno:
 
$$Z_N = (Z)^N$$
 
\bigskip
 
Podívejme se ještě na jeden podobný příklad. Mějme částice s nenulovým spinem 
(které můžeme považovat za elementární magnetky) uspořádané na přímce tak, 
aby se navzájem nemohly svými slabými magnetickými poli ovlivňovat. Celou 
přímku pak umístěme do silného vnějšího pole $H$. Určeme partiční funkci,
střední hodnotu energie systému, celkovou magnetizaci, entropii a tepelnou 
kapacitu za konstantního vnějšího pole $C_H$.
 
\begin{center}
\includegraphics{spins.pdf}
\end{center}
 
Každá částice může mít energii $\pm m H$, kde $m$ je její mg. moment. Protože jsou pro každou 
z nich možné jen dva stavy ($\uparrow$ a $\downarrow$ resp. $-$ a $+$, opačně než je energie), 
bude jednočásticová partiční funkce
 
$$\zeta = \exp(\beta m H) + \exp(- \beta m H) = 2 \cosh (\beta m H)$$
 
Částice jsou nezávislé, celková partiční funkce je tedy
 
$$Z_N = \zeta^{N} = 2^{N} \cosh ^{N} (\beta m H)$$
 
Střední energie:
 
$$U = N\suma{\gamma}{} w_\gamma E_\gamma = N \suma{n=1}{2}\frac{1}{Z}\exp( \beta m_n H)m_n H 
= - N m H \tanh(\beta m H )$$
a nebo jsme mohli použít vzorec $U = -\pderivx{}{\beta}\ln Z_N$ . Celkový moment magnetizace pak bude 
 
$$M = N\left<m\right>  = N \suma{\gamma}{}w_\gamma m_\gamma 
  \underbrace{=}_{\gamma \in \{-1, +1\}} 
  N\left( m \frac{\exp(-\beta m H)}{Z} - m\frac{\exp(\beta m H)}{Z} \right) =$$
$$ = - N m \tanh(\beta mH ) $$
 
 
Pro $\beta \rightarrow 0$ jsou $w(\uparrow) = w (\downarrow) = \pul$ 
a pro $\beta \rightarrow \infty$  jsou $ w(\uparrow) = 1$, $w(\downarrow) = 0$.
Kdybychom otočili polaritu $H$, $\beta$ se nahradí $-\beta$ a pravděpodobnosti
se prohodí. 
 
\begin{center}
\includegraphics{spins2.pdf}
\end{center}
 
Je-li parametr $\beta$ definován jako $\beta = 1/kT$, pak tento 
systém může mít zavedenu zápornou teplotu. Je tomu tak proto, že
jde-li teplota k nule ($T \rightarrow 0_+$), sedá si systém do stavů s nižšími energiemi. Extrém je takový, že všechny částice mají energii
$-mH$ a minimální energie celého systému je tedy $-NmH$. Pro 
$T \rightarrow \infty$ se ovšem $U$ blíží k nule. Jak tedy dosáhnout toho,
aby systém měl energie kladné, v~extrémním případě $+NmH$? Zavedením
záporné teploty:
 
\begin{center}
\includegraphics{spins3.pdf}
\end{center}
 
Ještě entropie:
 
 
$$S = k(\ln Z_N +\beta U)=  kN\left[ \ln \zeta - \tanh (\beta mH) \beta m H \right]$$ 
 
\bigskip
 
1.PT v tomto systému má tvar
$$\eth Q = dU +\eth W =dU +MdH$$
 
tudíž můžeme jednoduše spočíst tepelnou kapacitu při konstantním $H$ 
 
$$C_H = \termderiv{U}{T}{H} = \termderiv{U}{\beta}{H}k\beta^2=  kN \frac{ (\beta m H )^2}{ \cosh^2( \beta m H) }$$
\bigskip
 
Povšimněme si, že pro jednu zvolenou hodnotu entropie máme dvě přípustné
hodnoty vnitřní energie --- závisí to na tom, v jaké teplotě (kladné či
záporné) se systém nachází:
 
\begin{center}
\includegraphics{spins4.pdf}
\end{center}
\bigskip