Verze z 27. 5. 2017, 09:52

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Ekvivalence statistických souborů}
\label{chap:EkvivSouboru}
 
Předpovědi, které jsou činěny pomocí tří různých
souborů --- mikrokanonického ($\mu k$), kanonického ($k$)
a grandkanonického ($Gk$) --- se ve výsledku příliš neliší. V~limitě $N
\rightarrow \infty$ se rozdíly smazávají, fluktuace jdou k nule
a rozdíly jsou čistě jen ve způsobu výpočtů. Ukažme například, že je-li
grandkanonický soubor obklopen obrovským částicovým rezervoárem, jdou
fluktuace částic k nule.
 
\textsc{\index{příklad}Příklad.}   Mějme vzduchotěsnou místnost
velkého objemu $V$. V ní si označme nějaký jiný objem $V_1$ tak, že $
V \gg V_1$, a sledujme v něm fluktuace částic (je nasnadě, že objem
$V_1$ nám tvoří grandkanonický soubor a místnost onen částicový
rezervoár). Pravděpodobnost, že nějaká určitá částice z místnosti se
nachází v objemu $V_1$, je
 
$$p = \frac{V_1}{V}$$
 
Pravděpodobnost, že $n$ částic z celkových $N$ v místnosti je zrovna v objemu $V_1$, je 
 
$$ p_n(N) =  \kombcislo{N}{n} p^n (1 - p)^{N - n} \qquad \qquad \suma{n=0}{N}p_n (N) = 1$$ 
\bigskip
 
a tvoří normované binomické rozdělení. Využijme faktu, že $$p \rightarrow 0$$(velmi malý objem $V_1$) a převeďme jej na
Poissonovo rozdělení:
 
$$P_n(N) \approx \kombcislo{N}{n} p^n e^{-pN} = 
  \frac{N.(N - 1) . \dots . \overbrace{(N - n + 1)}^{\text{zanedbáme }n,~N \gg n}) }{n!} p^n e^{-pN} \approx $$
 
 
$$\approx \frac{N^n}{n!}p^n e^{-pN} = \frac{(pN)^n}{n!} e^{-pN} = \frac{\lambda ^n}{n!} e^{-\lambda} 
  \qquad \qquad \lambda = N\frac{V_1}{V} = pN$$
 
Nyní spočítáme kvadrát relativní fluktuace částic:
 
$$\frac{ \left< \left( n - \left<n\right>  \right)^2 \right> }{ \left<n\right>  ^2 } = \frac{\left<n^2\right>  - \left<n\right> ^2}{ \left<n\right>  ^2 } = \frac{\left<n^2\right> }{ \left<n\right> ^2} - 1 = \: ?$$
\bigskip
 
Budeme tedy potřebovat dosadit:
 
$$\left<n\right>  \: = \suma{n=0}{\infty} n \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} = \suma{n=1}{\infty}  \frac{\lambda^n}{(n-1)!}e^{-\lambda} = \lambda \suma{n=0}{\infty}  \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} = \lambda$$
 
 
$$ \left<n^2\right>  \: = \suma{n=0}{\infty} n^2 \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} = \suma{n=0}{\infty} n \frac{\lambda^n}{ (n - 1)!}e^{-\lambda} = $$
$$ = e^{-\lambda}  \suma{}{\infty} \frac{\lambda^n}{ (n-1)!} \quad + \quad e^{-\lambda}  \suma{}{\infty} \frac{\lambda^n}{ (n-2)!} =
   \lambda + \lambda ^2 $$
 
Relativní fluktuace je tedy
 
$$\sqrt{\frac{\lambda + \lambda^2}{\lambda^2} - 1 }= \sqrt{\frac{1}{\lambda} }= 
\sqrt{\frac{V}{V_1} \frac{1}{N} }\approx \sqrt{konst. \frac{1}{n}}$$
 
S rostoucím počtem částic v objemu $V_1$ jde tedy fluktuace částic k nule a grandkanonický soubor se 
chová jako kanonický --- dává stejné předpovědi. Obdobně by bylo možné postupovat při výpočtu 
relativních fluktuací energie kanonického souboru. Na závěr ještě krátký přehled:
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[t]{|l|c|c|c|}
\hline
& $\suma{\gamma}{}w_\gamma = 1$ & $\suma{\gamma}{}E_\gamma w_\gamma = U$ & $\suma{\gamma}{}N_\gamma w_\gamma = N$ \tabularnewline[12pt]
\hline
mikrokanonický soubor& ANO & NE, energie přesná & NE, počet částic přesný \tabularnewline
\hline
kanonický soubor & ANO & ANO, energie fluktuuje & NE, počet částic přesný \tabularnewline
\hline
grandkanonický soubor& ANO & ANO, energie fluktuuje & ANO, počet částic fluktuuje \tabularnewline
\hline
\end{tabular}
\end{center}