Verze z 7. 2. 2017, 17:36

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Integrální rovnice, spektrum, ON báze}
V celé kapitole budeme množinou $G$ rozumět omezenou oblast v $\R^n$. 
Budeme obecně zkoumat dva případy funkcí, a to 
\begin{enumerate}
\item funkce $L^2(G)$ s normou $\Vert f\Vert_2 = \displaystyle \int_G f \bar{f} \dd x$;
\item funkce $\C(\bar{G})$ s normou $\Vert f \Vert_{\C} = \mathrm{max}_{x\in \bar{G}} |f(x)|$. 
\end{enumerate}
 
\section{Fredholmovy integrální rovnice}
Definujme integrální operátor 
$$ \Kb \phi(x) = \displaystyle \int_{G} \K(x,y) \phi(y) \dd y, $$
přičemž $\K$ nazýváme integrální jádro a budeme předpokládat, že $\K\in \C(\bar{G} \times \bar{G})$. 
Označme $M = \mathrm{max}_{\bar{G}\times \bar{G}} |\K(x,y)|$, tzv. mez jádra. Dále označme $V = \displaystyle \int_{G} 1 \dd x < +\infty$
 
\begin{define}
Fredholmovou integrální rovnicí pro funkci $f$ rozumíme rovnici tvaru 
$$ f= \lambda \Kb f + g ,$$
kde $\lambda \in \mathbb{C}$,  funkce $g$ se tradičně nazývá pravá strana a $\Kb$ je integrální operátor se spojitým jádrem. 
\end{define}
Tuto úlohu můžeme přepsat do ekvivalentní podoby $(\mathbf{I} - \lambda \Kb)f =g$ a hledáme řešení buď v $L^2(G)$ (pak $g \in L^2(G)$, nebo v $\C(\bar{G})$ (pak $g\in \C(\bar{G})$). 
Speciálně pro nulovou pravou stranu dostáváme úlohu na vlastní čísla operátoru $\Kb$.
 
\subsection{Degenerované jádro}
\begin{define}
Řekneme, že integrální jádro $\K(x,y)$ je degenerované, jestliže je separovatelné, tj.  je možné jej zapsat ve tvaru $\K(x,y) = \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y)$, 
kde $u_j(x), v_j(y) \in \C(\bar{G})$.
\end{define}
 
Přepišme nyní Fredholmovu integrální rovnici pro degenerované jádro:
$$f(x) = \lambda \Kb f(x) + g(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y) f(y) \dd y  + g(x)= $$
$$ = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \underbrace{\displaystyle \int_{G} v_j(y) f(y) \dd y}_{c_j\in \mathbb{C}} + g(x)$$
Tímto jsme získali tvar řešení
$$ f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + g(x).$$
Nyní je možné dosazením do původní rovnice určit koeficienty. My tyto koeficienty určíme jinou metodou.
Uvažujme tedy řešení 
$$ f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + g(x).$$ 
Pronásobme celou rovnost výrazem $v_j(x)$ a zintegrujme ji přes $G$ podle $x$. 
Máme pak 
$$c_j = \displaystyle \int_G v_j(x)f(x) \dd x  = \lambda \displaystyle \sum_{k=1}^{p} c_k \displaystyle \int_{G} u_k(x)v_j(x) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_j(x)g(x) \dd x.$$
Pokud tuto úpravu provedeme pro veškerá $j$, získáme soustavu lineárních algebraických rovnic pro koeficienty $c_j$.
 
Označme $c_i = \displaystyle \int_{G}v_i(x)f(x) \dd x$ a dosaďme za $f(x)$ z Fredholmovy rovnice:
$$c_i = \displaystyle \int_{G} (v_i(x)(\lambda \Kb f(x) + g(x) ) \dd x = 
\lambda \displaystyle \int_{G} v_i(x) \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \left(  \displaystyle \int_{G}v_j(y)f(y) \dd y \right) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_i(x)g(x) \dd x = $$
$$ = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p} \underbrace{\left( \displaystyle \int_{G}v_i(x)u_j(x)\dd x \right)}_{A_{ij}} \underbrace{\left( \displaystyle \int_{G}v_j(y)f(y)\dd y \right)}_{c_j} +
\underbrace{ \displaystyle \int_{G}v_i(x)g(x)\dd x }_{b_i}$$
Tedy jsme získali rovnici 
$$c = \lambda \A c + b.$$
 
Označme $c^{\ast}$ řešení této rovnice. Jelikož celou dobu chceme získat řešení Fredholmovy integrální rovnice, dosaďme tento výsledek do tvaru, do kterého jsme rovnici v první úpravě převedli. 
$$f^{\ast}(x) = \lambda \Kb f^{\ast}(x) +g = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \underbrace{\displaystyle \int_{G} v_j(y)f^{\ast}(y) \dd y}_{c_j^{\ast}} + g(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) c^{\ast}_j(x) + g(x)$$
Tímto jsme vyřešili Fredholmovu rovnici pro degenerované jádro. 
 
\subsection{Iterativní metody řešení}
\begin{theorem}
Integrální operátor $\Kb$ se spojitým jádrem $\K$ zobrazuje:
\begin{enumerate}
\item $L^2(G) \to \C(\bar{G})$, protože $\Vert \Kb f \Vert_{\C} \leq M\sqrt{V} \Vert f \Vert_2$ pro všechny $f\in L^2(G)$;
\item $\C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$, protože $\Vert \Kb f \Vert_{\C} \leq MV \Vert f \Vert_{\C}$ pro všechny $f \in \C(\bar{G})$;
\item $ L^2(G) \to L^2(G)$, protože $\Vert \Kb f \Vert_2 \leq MV \Vert f \Vert_2$ pro všechny $f\in L^2(G)$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
 
V důkazu budeme často využívat Schwarzovu nerovnost a mez jádra. 
\begin{enumerate}
\item $$\Vert \Kb f \Vert_{\C} = \mathrm{max}_{\bar{G}} \left| \displaystyle \int_{G} \K(x,y) f(y)\dd y \right| \leq \mathrm{max}_{\bar{G}} \left| \left(\displaystyle \int_{G}\K^2(x,y) \dd y\right)^{\frac{1}{2}} 
\left( \displaystyle \int_{G} f^2(y) \dd y\right)^{\frac{1}{2}}\right| =$$
$$ = \sqrt{M^2}\mathrm{max}_{\bar{G}} \left(\displaystyle \int_{G}1 \dd y\right)^{\frac{1}{2}} \Vert f \Vert_2 = M \sqrt{V}\Vert f \Vert_2$$
\item $$\Vert \Kb f \Vert_{\C}  = \mathrm{max}_{\bar{G}} \left| \displaystyle \int_{G} \K(x,y) f(y)\dd y \right| \leq \mathrm{max}_{\bar{G}} \displaystyle \int_{G}|\K(x,y)| |f(y)| \dd y \leq M \Vert f \Vert_{\C}$$
\item $$\Vert \Kb f \Vert^2_{2} = \displaystyle \int_{G} \left| \Kb f(x) \right|^2 \dd x =  \displaystyle \int_{G} \left| \left( \displaystyle \int_{G} \K(x,y) f(y)\dd y \right) \right|^2 \dd x \leq $$
$$\leq \displaystyle \int_{G} \left[\left(\displaystyle \int_{G}|\K(x,y)|^2 \dd y \right)^{\frac{1}{2}} \left( \displaystyle \int_{G}|f(y)|^2 \dd y \right)^{\frac{1}{2}}\right]^{2} \dd x  \leq $$
$$ \leq  \displaystyle \int_{G} \left( MV^{\frac{1}{2}} \Vert f \Vert_2\right)^2 \dd x = M^2 V^2 \Vert f \Vert_2 ^2$$
Odtud již plyne požadovaná nerovnost. 
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{define}
Buďte $V, V_1$ normované vektorové prostory. Zobrazení (operátor) $B:V\to V_1$ nazveme {\bf omezené (omezený)}, jestliže existuje $c>0$ takové, že pro všechna $x\in V$ platí, že 
$$\Vert Bx\Vert_1 \leq c\Vert x\Vert.$$
Nejmenší takovéto $c$ nazveme normou operátoru $B$ a označujeme jej $\Vert B \Vert$.
\end{define}
Je zřejmé, že normu operátoru lze snadno určit pomocí vztahu
$$ \Vert B \Vert  = \mathrm{sup}_{x \neq 0} \frac{\Vert Bx\Vert_1}{\Vert x\Vert}. $$
 
\begin{theorem}
Buďte $(V,\Vert  \ \cdot \ \Vert), (V_1,\Vert \ \cdot \ \Vert_1)$ normované prostory \footnote{Nikoliv nutně Banachovy, nepožadujeme úplnost!} a buď $B:V \to V_1$ lineární operátor. Pak následující výroky jsou ekvivalentní :
\begin{enumerate}
\item $B$ je omezený;
\item $B$ je spojitý;
\item $B$ je spojitý v bodě. 
\begin{proof}
\begin{enuemrate}
\item[$1 \Rightarrow 2$] 
$$\Vert Bx -By\Vert_1 = \Vert B(x-y)\Vert_1 \leq \Vert B \Vert \Vert x-y \Vert$$
Odtud již z omezenosti plyne spojitost. 
\item[$2 \Rightarrow 3$] Je zřejmé, že zobrazení, které je spojité (tedy je spojité v každém bodě svého definičního oboru), je spojité v bodě. 
\item[$3 \Rightarrow 1$] Buď $B$ spojité BÚNO v $x=0$. To znamená, že
$$\forall \epsilon >0 \ \exists \delta >0 \ \Vert x \Vert < \delta \Rightarrow \Vert Bx \Vert_1 < \epsilon.$$
Volme tedy $\epsilon = 1$. Pak $\Vert x \Vert < \delta \Rightarrow \Vert Bx \Vert_1 < 1$. Beru-li nyní libovolné $y\in V$, $y \neq 0$, pak zcela jistě
$$\left\Vert \frac{\delta}{2} \frac{y}{\Vert y \Vert}\right\Vert < \delta \Rightarrow \left\Vert B\left(\frac{\delta}{2} \frac{y}{\Vert y \Vert}\right) \right\Vert_1 <1 $$
Toto ale lze přepsat na tvar 
$$ \frac{\delta}{2}\frac{1}{\Vert y \Vert} \Vert By \Vert_1 < 1 \Leftrightarrow \Vert By \Vert_1 < \frac{2}{\delta}\Vert y \Vert$$
Tímto jsme ukázali omezenost. 
 
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
Důsledkem této věty je fakt, že Fredholmův integrální operátor je omezený a spojitý (a samozřejmě lineární) jako zobrazení  $L^2(G) \to \C(\bar{G})$, $\C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$, $ L^2(G) \to L^2(G)$. 
 
 
\subsection{Metoda postupných aproximací na $\C(\bar{G})$}
Předpokládejme, že $f \in \C (\bar{G})$ a hledejme funkci $\phi \in \C (\bar{G}) $, která bude řešit úlohu $$\phi(x) = \lambda \Kb \phi(x) + f(x).$$ Jak název metody napovídá, budeme se snažit najít řešení iterací. 
Proto položme 
$$ \phi_0(x) = f(x),$$
$$ \phi_{k+1}(x) = \lambda \Kb \phi_{k}(x) + f(x). $$
Získáváme posloupnost funkcí $\phi_k(x)$. Je zřejmé, že $$\displaystyle \lim_{k\to + \infty} \phi_k(x) = \phi(x),$$
což je funkce, která řeší zadanou úlohy. 
 
\begin{theorem}
Buď $|\lambda| < \frac{1}{MV}$. Pak posloupnost $\phi_k \sk{\bar{G}} \phi$, kde funkce $\phi$ je jediným řešením rovnice $\phi(x) = \lambda \Kb \phi(x) + f(x).$
\begin{proof}
Z rekurentního vztahu dostáváme $$\phi_k= \displaystyle \sum_{j=1}^{k} \lambda^j \Kb^j f + f.$$
Toto ověříme matematickou indukcí:
Pro $k=0,1$ je vztah dle definice výše zřejmě splněn. Proto se zaměřme na přechod od $k$ ke $k+1$:
$$\phi_{k+1}= \lambda \Kb \phi_k + f = \lambda \Kb \left(\displaystyle \sum_{j=1}^{k}\lambda^j \Kb^j f + f  \right) +f = \displaystyle \sum_{j=1}^{k}\lambda^{j+1} \Kb^{j+1} f + \lambda \Kb f + f = $$
$$= \displaystyle \sum_{j=2}^{k+1}\lambda^{j} \Kb^{j} f + \lambda \Kb f + f = \displaystyle \sum_{j=1}^{k+1}\lambda^{j} \Kb^{j} f + f $$
Abychom ukázali stejnoměrnou konvergenci funkční posloupnosti $\phi_k$, stačí ukázat, že řada $\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f$ konverguje stejnoměrně. K důkazu toho tvrzení využijeme 
Weierstrassovu větu, která říká, že stačí najít konvergentní číslenou majorantu. Stačí totiž pracovat v normě. 
Tedy řada $\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f$ konverguje stejnoměrně na $\bar{G}$, pokud $\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\Vert\lambda^{j} \Kb^{j} f \Vert_{\C}$ konverguje. 
Použijme nyní pro člen uvnitř této sumy odhad: $$\Vert\lambda^{j} \Kb^{j} f \Vert_{\C} \leq (\lambda MV)^j \Vert f \Vert_{\C}$$
Jelikož je $\Vert f \Vert_{\C}$ konstanta, je možné ji z řady vytknout a díky předpokladům \footnote{Tento předpoklad tam není jen z důvodu \uv{aby to vyšlo}, ale vyplývá ze spektra operátoru, o kterém bude pojednáno dále.}
je výraz v závorce ostře menší než jedna, tudíž řada (geometrická) konverguje. 
 
Jednoznačnost se ukáže sporem, jak tomu obvykle bývá. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Z důkazu vyplynulo, že 
$$\phi(x) = \displaystyle \lim_{k\to +\infty} \phi_{k}(x) = \displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f(x) + f(x).$$
Později ukážeme, že $\Kb^j$ je integrální operátor s  jádrem $\K_j(x,y)$. Využijme nyní této znalosti a zkusme formálně rozepsat výraz, která jsme dostali. Můžeme rovněž zkusit provést záměnu sumy a integrálu a zkoumat výraz, 
který obdržíme. Korektnost postupu bude ověřena později.
$$\displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \Kb^{j} f(x) + f(x)  = \displaystyle \sum_{j=1}^{+\infty}\lambda^{j} \displaystyle \int_{G}\K_j(x,y)f(y)\dd y + f(x) =$$
$$= \lambda \displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}\lambda^{j} \displaystyle \int_{G}\K_{j+1}(x,y)f(y)\dd y + f(x) = \lambda  \displaystyle \int_{G} \left(\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}\lambda^{j} \K_{j+1}(x,y)\right) f(y) \dd y + f(x)$$
Výraz  $\displaystyle \sum_{j=0}^{+\infty}\lambda^{j} \K_{j+1}(x,y)$ nazývámme {\it resolventa} a označujeme jej $\Res(x,y,\lambda)$. Pomocí resolventy je pak možné napsat funkci $\phi(x)$ ve tvaru:
$$\phi(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \Res(x,y,\lambda) f(y) \dd y + f(x)$$
Je očividné, jakou výhodu resolventa poskytuje. Jestliže máme nějaký integrální operátor, tak pro něj spočítáme jen jednou resolventu a pak pomocí ní konstrujeme řešení pro libovolnou pravou stranu $f$. 
\end{remark}
 
\subsection{Metoda iterovaných jader}
\begin{remark}
Buďte $K,L: \C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$ integrální operátory se spojitými jádry $\K(x,y),\mathscr{L}(x,y)$. Pak operátor  $(KL):\C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$ a působí na funkci $f$ následovně:
$$(KLf)(x) =K(Lf(z))(x) = \displaystyle \int_{G} \K(x,z)Lf(z) \dd z = \displaystyle \int_{G} \K(x,z) \left(\displaystyle \int_{G} \mathscr{L}(z,y) f(y) \dd y \right)\dd z =$$
$$ = \displaystyle \int_{G} f(y) \left( \displaystyle \int_{G} \K(x,z)\mathscr{L}(z,y) \dd z \right) \dd y$$
Odtud plyne, že  $KL$ je integrální operátor se spojitým jádrem $ \int_{G} \K(x,z)\mathscr{L}(z,y) \dd z $. 
Speciálně, dosadíme -li ze $L = K^j$, získáme rekurentní vztah pro posloupnost iterovaných jader.
$$\K_{j+1} (x,y) = \displaystyle \int_{G}\K(x,z)\K_j(z,y) \dd z $$
\end{remark}
 
Následující věta korektně zdůvodní, proč je možné provést záměny, kterou jsme dělali v postupu výše. 
\begin{theorem}[o možnosti záměny]
Je-li $|\lambda|< \frac{1}{MV}$, pak řada $\Res(x,y,\lambda) = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\lambda^k \K_{k+1}(x,y)$ konverguje v $\C (\bar{G} \times \bar{G})$. Řadu $\Res$ nazýváme resolventní jádro. Toto jádro je spojité na $\C(\bar{G}\times \bar{G}\times B_{\frac{1}{MV}}(0))$. Navíc řešení $\phi$ rovnice $\phi = \lambda \Kb \phi + f$ je 
$$\phi(x) = f(x) + \lambda  \displaystyle \int_{G} \Res(x,y,\lambda) f(y) \dd y.$$
\begin{remark}
Celou dobu řešíme problém $\phi = \lambda \Kb \phi + f$, který je možno převést na tvar $(\mathbf{I} - \lambda \Kb) \phi = f$. Zároveň ale tato věta říká, že 
$\phi = f+ \lambda \mathbf{R} f = (\mathbf{I} + \lambda \mathbf{R})f$. Odtud ale plyne, že $$(\mathbf{I}-\lambda \Kb)^{-1} = (\mathbf{I} + \lambda \mathbf{R}).$$
Tedy problém nalezení řešení integrální rovnice vyřešíme nalezením inverzního operátoru se spojitým jádrem pomocí původního operátoru. Tímto získáme mnohem více informací, 
než kdybychom použili kteroukoliv jinou metodu.  
\end{remark}
\begin{proof}
Ukážeme, že $\Res$ je stejnoměrně konvergentní. Pak je možné v postupu provést záměnu a tím je tvrzení dokázáno. K vyšetření stejnoměrné konvergence opět použijeme Weierstrassovu větu.
Buď proto $x,y \in \bar{G}$ libovolná. Pak 
$$\left| \K_{p+1}(x,y)\right| = \left| \displaystyle \int_{G} \K(x,z) \K_{p}(z,y) \dd z \right| \leq MV \mathrm{max}_{\bar{G} \times \bar{G}} \left|\K_{p}(x,y) \right|.$$
Toto ale říká, že 
$$ \left\Vert \K_{p+1}\right \Vert_{\C} \leq MV \left\Vert  \K_p \right \Vert_{\C}$$
Tímto dokážeme odhadnout každý člen. Zbývá veštřit odhad prvního členu. 
$$ \left| \K_1(x,y) \right| \leq \left| \K(x,y) \right| \Rightarrow \left \Vert \K_1 \right \Vert_{\C} = M $$
Odtud již získáváme žádaný odhad 
$$ \left\Vert  \K_p \right \Vert_{\C} \leq M^pV^{p-1} $$
Je očividné, že $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \left \Vert  \lambda^k \K_{k+1}\right\Vert_{\C} $ je číselnou majorantou $\Res$. Navíc pro ni platí
$$\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \left \Vert  \lambda^k \K_{k+1}\right\Vert_{\C}  \leq \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} |\lambda|^k M^{k+1}V^k = \frac{M}{1-|\lambda|MV} < + \infty$$
Tedy jsme nalezli číselnou majorantu, která majorizuje $\Res(x,y)$ pro libovolné $x,y$ z uvažovaného definičního oboru. Z tohoto důvodu můžeme při hledání řešení (v rozepisování, které jsme provedli
před touto větou, jdeme zpětně) zaměňovat řadu a integrál. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\section{Volterrovy integrální rovnice}
\begin{define}
Buď $G = (0,a)$, kde $a>0$. Pak {\bf Volterrovou integrální rovnicí} nazýváme rovnici tvaru 
$$ \phi(x) = \lambda \displaystyle \int_{0}^{x} \K(x,y)\phi(y) \dd y + f(x) = \lambda \Kb \phi + f.$$
\end{define}
Hned vidíme, že metoda degenerovaného jádra zde nemá žádnou praktickou výhodu, neboť máme proměnnou $x$ v mezi integrálu. chtěli bychom ale problém řešení Volterrovy rovnice převést na Fredholmovu rovnici, tj. do tvaru
$$ \lambda \Kb \phi + f = \lambda \displaystyle \int_{G} \widetilde{\K}(x,y) \phi (y) + f(x) = \lambda \widetilde{\Kb} \phi + f,$$
kde $\widetilde{\Kb}$ je Fredholmův  integrální operátor. 
Proto se zavádí tzv. Volterrovo integrální jádro:
\begin{define}
{\bf Volterrovo integrální jádro} je definováno jako 
$$\widetilde{\K}(x,y)=\left\{\begin{array}{ll} \K(x,y), &\mbox{pro } 0\leq y<x<a, \\0 &\mbox{jinak}. \end{array}\right.$$
\end{define}
Je snadno vidět, že Volterrovo integrální jádro působí nenulově na množině, kterou je v $\R^2$  pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník, který má jednu z odvěsen na x-ové ose. 
\begin{remark}
Volterrovo jádro není nutně spojité! Ukážeme později, že předpoklad spojitosti je zbytečně silný. Spokojíme se totiž pouze se spojitostí jádra $ \K$ na výše zmiňovaném trojúhelníku. 
\end{remark}
\subsection{Iterovaná jádra}
Nejprve si uvědomme, že operátor $\widetilde{\K}(x,z)$ je nenulový pro $0<z<x<a$ a operátor $\widetilde{\K}_k(z,y)$ je nenulový pro $0<y<z <a$. Na množině, na které je operátor nenulový, pak působí jako $\K(x,z)$, resp. $\K_k(z,y)$ Proto potom platí
$$\widetilde{\K}_{k+1}(x,y) = \displaystyle \int_{0}^{a} \widetilde{\K}(x,z)\widetilde{\K}_k(z,y)\dd z =\displaystyle \int_{y}^{x} \K(x,z)\K_k(z,y) \dd z .$$
Zvolíme-li $y>x$, integrujeme přes prázdnou množinu a proto je integrál nulový, tedy je vidět, že $\widetilde{\K}_{k+1}(x,y)$ má strukturu Volterrova integrálního jádra, 
přičemž jeho nenulové hodnoty jsou dány hodnotami $\K_{k+1}(x) = \displaystyle \int_{y}^{x} \K(x,z)\K_k(z,y) \dd z $.
Je zřejmě jasné, kam směřujeme. Najdeme jen odhad pro velikost obrazu Volterrova integrálního operátoru a převedeme tento případ na Fredholmovu úlohu. 
\begin{lemma}
Buď  $\Kb$ Volterrův integrální operátor. Pak pro všechna $p\in \mathbb{N}_0$  a pro všechna $x\in \left[ 0, a\right]$ platí
$$ \left| \Kb^p \phi(x)\right| \leq \frac{(Mx)^p}{p!}\Vert \phi \Vert_{\C}.$$
\begin{proof}
Tvrzení dokážeme matematickou indukcí. Pro $p=0$ zjevně platí. Pro $p=1$ platí:
$$ |\Kb \phi(x)| = \left|\displaystyle \int_{0}^{x}\K(x,y)\phi(y) \dd y \right| \leq \displaystyle \int_{0}^{x} |\K(x,y)||\phi(y)|\dd y \leq Mx\Vert \phi \Vert_{\C}. $$
Nyní provedeme indukční krok $p\mapsto p+1$:
$$ |\Kb^{p+1} \phi(x)| = |\Kb (\Kb^p \phi(x))| \leq \displaystyle \int_{0}^{x} |\K(x,y)||\Kb^p \phi(y)|\dd y \leq \displaystyle \int_{0}^{x} M \frac{(My)^p}{p!} \Vert \phi \Vert_{\C} \dd y  = 
\frac{(My)^{p+1}}{(p+1)!} \Vert \phi \Vert_{\C}.$$
\end{proof}
\end{lemma}
 
V důsledku tohoto lemmatu máme vyřešenou Volterrovu integrální rovnici, protože pro metodu postupných aproximací (u Fredholmových integrálních rovnic) jsme potřebovali znát odhad 
$\Vert \Kb^p\phi\Vert_{\C}$ kvůli nalezení integrabilní majoranty. Ten ale již máme a dokonce víme, že díky němu bude resolventa konvergovat. Odhad je zřejmě
$$ \Vert \Kb^p\phi\Vert_{\C} \leq \frac{(Ma)^p}{p!}\Vert \phi \Vert_{\C}.$$
Zopakujeme-li nyní důkaz, který jsme provedli u metody post. aproximací a iterovaných jader, a využijeme-li odhady výše, máme tyto metody pro  Volterrovy rovnice a máme zajištěno, že fungují pro libovolné $\lambda$, neboť odhady tentokrát na $\lambda$ nezávisí. 
Zformulujme tento poznatek do věty.
\begin{theorem}
Volterrova integrální rovnice $\phi(x) = \lambda \displaystyle \int_{0}^{x} \K(x,y)\phi(y) \dd y + f(x)$ má pro všechna $\lambda \in \mathbb{C}$ a pro všechny spojité funkce $f$ na uzavřeném intervalu $\left[a,b\right] $ právě jedno řešení $\phi(x)\in\C(\left[a,b\right])$.
\end{theorem}
 
\section{Spektrum, ortonormální báze a vlastnosti integrálních operátorů}
V této sekci budou definovány pojmy jako spektrum operátoru, ortonormální báze atp., které budou navazovat na látku lineární algebry a budou ji  rozšiřovat na prostory nekonečné dimense. 
Jedná se jistý krátký úvod do funkcionální analýzy. 
 
V celé kapitole budeme pracovat s Banachovými prostory, nebude-li řečeno jinak. Operátor $T:X\to X$ bude lineární operátor na Banachově prostoru. 
Zkoumejme řešení rovnice 
\begin{equation}
\label{vl}
 (T - \lambda I) x= y 
\end{equation}
v závislosti na $\lambda \in \mathbb{C}$  a $y\in X$. 
Připomeňme, že z lineární algebry (tj. pro $X$ konečně dimensionální) víme, že spektrum operátoru $T$ je množina
$$\sigma(T) = \left\{ \lambda \in \mathbb{C} : \exists x \in X, \ x\neq 0, \ Tx = \lambda x \right \}.$$
Rovněž víme, že 
$$\lambda \in \sigma(T) \Leftrightarrow \mathrm{det}(T - \lambda I ) =0 .$$
Zmiňme ještě, že operátor je regulární (na prostorech kon. dimense), právě když je prostý a to je tehdy a jen tehdy, když je surjektivní. 
Proto je-li $y=0$, má rovnice $\ref{vl}$ řešení, právě když $\lambda \in \sigma(T)$. 
Jestliže je $y\neq 0$, pak je operátor $(T- \lambda I)$ bijekcí, právě když $\lambda \notin \sigma(T)$. Odtud je možné získat další definici, kterou nakonec zobecníme:
$$\sigma(T) = \mathbb{C} \setminus \varrho (T),$$
kde $\varrho(T) = \left\{ \lambda \in \mathbb{C}: (T-\lambda I)^{-1} \mbox{ existuje a je omezený}\right}$. 
Tyto úvahy jsou na prostorech konečné dimense ekvivalencemi, ale na prostorech nekonečné dimense ekvivalencemi obecně nejsou. 
Nyní se již přesuňme na prostory nekonečné dimense.
\begin{define}
{\bf Spektrem operátoru} $T:X\to X$ ($X$ je Banachův prostor) rozumíme 
$$ \sigma(T) = \mathbb{C} \setminus \varrho (T),$$
kde $\varrho(T) = \left\{ \lambda \in \mathbb{C}: (T-\lambda I)^{-1} \mbox{ existuje a je omezený}\right\}$ a  $\varrho(T)$ nazýváme resolventní množina. 
\end{define}
 
Na základě toho, co způsobuje to, že operátor $(T-\lambda I)^{-1}$ neexistuje, dělíme spektrum na několik typů. 
Předpokládejme, že $\lambda \in \sigma(T)$. Pak 
\begin{enumerate}
\item $(T-\lambda I) $ není prosté a tedy k němu neexistuje inverzní operátor. Pak ale tato vlastní čísla $\lambda$ odpovídají řešení rovnice $Tx = \lambda x$. 
Množinu těchto čísel nazýváme {\it bodové spektrum} a označujeme $\sigma_p(T)$.
\item Inverzní operátor existuje, ale není surjektivní. Jestliže je 
\subitem $\overline{\mathrm{Ran}(T-\lambda I)} = X$, pak říkáme, že $\lambda$ leží ve {\it spojitém spektru}, tj. $\lambda \in \sigma_c(T)$;
\subitem $\overline{\mathrm{Ran}(T-\lambda I)} \neq X$, pak říkáme, že $\lambda$ leží v {\it residuálním spektru}, tj. $\lambda \in \sigma_r(T)$.
\end{enumerate}
 
Odtud tedy plyne, že spektrum je možné zapsat jako sjednocení bodového, spojitého a residuálního spektra, tj.
 $$ \sigma = \sigma_p \cup \sigma_c \cup \sigma_r $$
 
\begin{define}
$R_{T}(\lambda) = (T-\lambda I)^{-1}$ se nazývá {\bf resolventa operátoru} pro $\lambda \in \varrho(T)$. Zobrazení $R_T:\varrho(T) \to \mathscr{B}\footnote{$\mathscr{B}$ označuje prostor všech omezených operátorů.}: \lambda \mapsto (T-\lambda I)^{-1} $ nazýváme {\bf resolventní funkcí}.
\end{define}
 
Zamysleme se nyní nad souvislostí s integrálními rovnicemi. Jistou roli bude určitě hrát resolventa a parametr $\lambda$. Například díky předešlým úvahám víme, že pro 
$$\phi = \lambda \Kb \phi +f \Leftrightarrow \left(\Kb - \frac{1}{\lambda}\mathbf{I}\right)\phi = -\frac{1}{\lambda}f $$
nemá smysl hledat řešení $\frac{1}{\lambda}\in \sigma(\Kb)$. 
Nyní vyslovíme několik drobných tvrzení, která nám pak poslouží k důkazu věty, která vysvětlí onu záhadnou podmínku na $\lambda$ v kapitole o Fredholmových integrálních rovnicích. 
\begin{lemma}
Buďte $B,C$ omezené operátory. Pak operátor $BC$ je omezený a  platí $\Vert BC\Vert \leq \Vert B \Vert \cdot \Vert C \Vert $.
\begin{proof}
$$\Vert BC x\Vert = \Vert B(Cx)\Vert \leq \Vert B\Vert \cdot \Vert Cx\Vert \leq \Vert B\Vert \cdot \Vert C\Vert \cdot \Vert x \Vert $$
Odtud již (protože  norma operátoru je nejmenší takové číslo $C$, které splňuje $\Vert BCx\Vert \leq C\Vert x\Vert$ ) plyne, že 
$$ \Vert BC\Vert  \leq \Vert B\Vert \cdot \Vert C\Vert $$
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{lemma}
Je-li $B$ omezený operátor a $\Vert I- B\Vert < 1$, pak existuje $B^{-1}$ omezený operátor.
\begin{proof}
Z faktu, že $\Vert I- B\Vert < 1$ plyne, že posloupnost $\Vert I- B\Vert^{n}$ konverguje k nule. 
Díky tomu $\forall \epsilon >0 \ \exists m, n \in \mathbb{N}$ taková, že $m<n$, a že platí
$$ \left \Vert \displaystyle \sum_{j=m+1}^{n} (I-B)^j \right \Vert \leq \displaystyle \sum_{j=m+1}^{n}\left \Vert (I-B)\right \Vert ^j < \epsilon$$
a tedy posloupnost $S_n = \displaystyle \sum_{j=0}^{n} (I-B)^j$ je cauchyovská. Jelikož je prostor omezených operátorů Banachův, má tato posloupnost za limitu opět omezený operátor $S$. 
Navíc platí, že 
\begin{eqnarray*}
BS_n =  S_nB & = &S_{n+1}- S_n + I \\
 & \downarrow \lim & \\
BS = SB & = & I 
\end{eqnarray*}
Tedy $S= B^{-1}$. 
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{theorem}
Buď $T$ omezený operátor , pak $\sigma(T) \subset B_{\Vert T \Vert}(0)$. 
\begin{proof}
Volme $\lambda$ takové, že $|\lambda| > \Vert T \Vert$. Budeme chtít ukázat, že při této volně již $\lambda$ leží v resolventní množině $\varrho(T)$. 
Proto definujme operátor $A$ jako:
$$ A = I - \frac{1}{\lambda}T$$
Tento operátor je zřejmě omezený, protože identický operátor je omezený a násobek omezeného operátoru je rovněž omezený operátor. Navíc $\Vert I - A \Vert <1$. Dle předchozího lemmmatu tedy existuje
$A^{-1}$ omezený operátor. Nyní zkoumejme operátor z definice resolventní množiny:
$$(T-\lambda I)^{-1} = -\lambda(I - \frac{1}{\lambda}T)^{-1} = -\lambda A^{-1}$$
Jelikož je operátor na prvé straně omezený, je číslo $\lambda \in \varrho(T)$. Tedy odtud plyne, že pro spektrum, které splňuje $\sigma(T) = \mathbb{C} \setminus \varrho(T)$, platí dokazované tvrzení, tj. 
$$ \sigma(T) \subset B_{\Vert T \Vert} (0) $$
\end{proof}
\end{theorem}
 
V důsledku této věty je již zřejmá podmínka, která vyvstávala u integrálních rovnic. Tam jsme totiž měli operátor $\Kb: \C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$, který byl omezený a norma byla rovna 
$\Vert \Kb \Vert_{\C} = MV$.
 
Bez důkaz u uveďme nyní dvě věty z funkcionální analýzy, které budou úzce souviset s pojmem ortogonální báze, která bude představen v zápětí. 
\begin{theorem}
Integrální operátor $\Kb: \C(\bar{G}) \to \C(\bar{G})$ se spojitým jádrem má čistě bodové spektrum kromě 0, všechny vlastní hodnoty mají konečnou násobnost a nemají nenulový hromadný bod.
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[Hilbert-Schmidtova věta]
Buď $\Kb: L^2(G) \to L^2(G)$ integrální operátor se spojitým jádrem $\K(x,y)$, které navíc splňuje $\K(x,y) = \overline{\K(y,x)}$. Pak $\Kb $ má čistě bodové spektrum kromě 0 a z
vlastních funkcí operátoru $\Kb$ lze sestavit ortonormální bázi. 
\end{theorem}
 
Pojem ortonormální (ortogonální) báze je pouhým rozšířením klasické definice báze a pojmů ortogonální, resp. ortonormální množina, tak jak ji známe z lineární algebry. Intuitivně pod pojmem báze rozumíme 
nějakou množinu, z jejichž prvků jsme schopni lineární kombinací získat libovolný prvek, resp. jsme schopni každý prvek z daného prostoru rozložit do podoby lineární kombinace prvků z této množiny.
S nějakou takovouto množinou jsme se již dříve setkali. Při studiu Fourierových řad jsme prováděli v podstatě rozklad funkcí z $L^2((a,a+l))$ do ortogonální báze 
$$ \left\{1 , \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right), \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) \right\ : n\in \mathbb{N} \right\} . $$
 
Nyní již definujme korektně ortonormální a ortogonální bázi
\begin{define}
O množině $M$ řekneme, že je ortonormální (ON), resp. ortogonální (OG) bází Hilbertova prostoru $\mathcal{H}$, jestliže 
\begin{enumerate}
\item $M$ je ortonormální, resp. ortogonální množina;
\item $\overline{M_{lin}} = \mathcal{H}$, tj. množina všech lineárních kombinací prvků z $M$ (tzv. totální množina) je hustá v prostoru $\mathcal{H}$.
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{theorem}
Následující výroky o množině $M\subset \mathcal{H}$ jsou ekvivalentní:
\begin{enumerate}
\item Množina $M$ je OG bází v $\mathcal{H}$;
\item $M^{\perp} = \{0\}$;
\item $M$ je maximální OG množina v $\mathcal{H}$, tj. není vlastní podmnožinou jiné OG množiny;
\item $\forall x \in \mathcal{H}$ platí $x = \displaystyle \sum_{\alpha \in \mathcal{I}} \beta_{\alpha} m_{\alpha}$ pro $\beta_{\alpha}$ z tělesa (tj. $\R$ nebo $\mathbb{C}$) a  $m_{\alpha}\in M$. 
$\mathcal{I}$ je indexová množina. 
\end{enumerate}
\end{theorem}
 
Uveďme některé příklady ortogonálních bází na prostoru funkcí lebegueovsky integrovatelných s kvadrátem. 
\begin{enumerate}
\item Pro $G = (-\pi,\pi)$ je to například $\left\{1 , \sin\left(nx\right), \cos\left(nx\right) \right\ : n\in \mathbb{N} \right\}.$
\item {\it Ortogonální polynomy} (resp. ON polynomy při použití Gramm-Schmidtova ON procesu)
Ze Stone-Weierstrassovy věty plyne, že každou funkci z $L^2(a,b)$ je možné libovolně přesně aproximovat polynomem. \footnote{Pokud si myslíte, že jste o této větě nikdy neslyšeli, máte pravdu. Na FJFI se s ní obvykle jen setká pár vybraných jedinců u zkoušky z MAA3, kdy ji mají dokázat jako nové tvrzení, resp. o něm uvažovat. Jinak je možné se s ní setkat třeba na předmětu 01TOP, ale...  } Odtud plyne, že $$\left\{ x^l : l\in \mathbb{N}_0 \right\}$$ je totální množina v $L^2((a,b))$. Z tohoto souboru pak můžeme pomocí Gramm-Schmidtova ON procesu získat různou volbou skalárního součinu 
následující ON polynomy:
\subitem na  $L^2((0,1))$ se skalárním součinem $\langle u,v \rangle = \displaystyle \int_{0}^{1} \bar{u}(x)v(x) \dd x$ dávají tzv. {\bf Lagrangeovy polynomy}
\subitem na  $L^2((0,´+\infty))$ se skalárním součinem $\langle u,v \rangle = \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \bar{u}(x)v(x) e^{-x} \dd x$ dávají tzv. {\bf Laguerrovy polynomy}
\subitem {\bf Hermitovy polynomy} etc.
\end{enumerate}
 
\begin{remark}
Obecně je možné ortogonální polynomy vyjádřit čtyřmi způsoby:
\begin{enumerate}
\item Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem;
\item rekurentní formulí;
\item diferenciální rovnicí;
\item Rodriguezovou formulí.
\end{enumerate}
\end{remark}