01FA1:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Není zobrazeno 5 mezilehlých verzí od stejného uživatele.) | |||
Řádka 25: | Řádka 25: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
Buď $\left( V, \Vert \cdot \Vert \right)$ normovaný vektorový prostor. Pak pokud definujeme $\forall x,y \in V$ $\rho(x,y):= \Vert x-y \Vert$, získáme metriku. | Buď $\left( V, \Vert \cdot \Vert \right)$ normovaný vektorový prostor. Pak pokud definujeme $\forall x,y \in V$ $\rho(x,y):= \Vert x-y \Vert$, získáme metriku. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | $(X,\rho)$ je topologický prostor s bází $\B = \{B(x,r)| x\in X \land r>0\}$. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{define} | ||
+ | Řekneme, že dvě metriky $\rho_1, \rho_2$ jsou {\bf ekvivalentní na $X$}, právě když existují konstanty $0<K<L$ takové, že $\forall x,y\in X$ | ||
+ | $$K \rho_1(x,y) \leq \rho_2(x,y) \leq L\rho_1(x,y).$$ | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem}[o topologiích] | ||
+ | Ekvivalentní metriky na $X$ definují stejnou topologii. | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | $$\{y\in X | \rho_1(x,y) < r\} = B_1(x,r) \subset B_2(x,Lr)$$ | ||
+ | $$\{y\in X | \rho_2(x,y) < r\} = B_2(x,r) \subset B_1(x,\frac{r}{K})$$ | ||
+ | Tedy příslušné otevřené množiny jsou totožné a totéž platí i pro topologie. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Buďte $(X,\rho_X)$, $(Y,\rho_Y)$ metrické prostory. Pak $(X\times Y, \rho_{X\times Y})$ je metrický prostor. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | Metriku $\rho_{X\times Y}$ je možno volit vícero (ekvivalentními) způsoby. Zde jsou ty nejběžnější: | ||
+ | $$\rho_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)):= \left \{ | ||
+ | \begin{array}{c l} | ||
+ | \rho_X(x_1,x_2) + \rho_Y(y_1,y_2) & (1) \\ | ||
+ | \mathrm{max}\{ \rho_X(x_1,x_2),\rho_Y(y_1,y_2) \} & (2) \\ | ||
+ | \sqrt {\rho_X(x_1,x_2)^2+\rho_Y(y_1,y_2)^2} & (3) \\ | ||
+ | \end{array} \right $$ | ||
+ | |||
+ | První z výše definovaných metrik generuje topologii $\tau_{X\times Y}$ ve smyslu výše definovaném. Aby se toto dokázalo, stačí ověřit (na cvičeních), že | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item[(i)] $\forall (x,y)\in X\times Y$ a $\forall r > 0$ existují $r_1,r_2 >0$ tak, že $B_X(x,r_1) \times B_Y(y,r_2) \subset B_{X\times Y}((x,y),r)$, | ||
+ | \item[(ii)] $\forall (x,y)\in X\times Y$ a $\forall r_1,r_2 >0 $ existuje $r>0$ tak, že $B_{X\times Y}((x,y),r) \subset B_X(x,r_1) \times B_Y(y,r_2)$. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | |||
+ | Zabývejme se nyní otázkou, jak se změní, resp. zjednoduší, vlastnosti při přechodu od topologického prostoru k metrickému. | ||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Buď $(X,\rho)$ metrický prostor a $x\in X$. Pak | ||
+ | \begin{itemize} | ||
+ | \item $U\subset X$ je okolím bodu $x$ $\Leftrightarrow \ \exists r>0, \ B(x,r) \subset U$; | ||
+ | \item | ||
+ | \end{itemize} | ||
\end{remark} | \end{remark} |
Aktuální verze z 20. 1. 2017, 00:20
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01FA1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01FA1 | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 19:00 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 20:10 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 22:20 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 5. 10. 2016 | 18:40 | uvod.tex | |
Kapitola1 | editovat | Značení a úvod | Mazacja2 | 5. 10. 2016 | 19:33 | znaceni.tex | |
Kapitola2 | editovat | Topologie | Mazacja2 | 18. 1. 2017 | 20:27 | topologie.tex | |
Kapitola3 | editovat | Metrické prostory | Mazacja2 | 20. 1. 2017 | 00:20 | metrika.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA1} \chapter{Metrické prostory} \begin{define} {\bf Metrickým prostorem} rozumíme uspořádanou dvojici $\left( X, \rho \right)$, kde $X$ je množina a~$\rho: X\times X \longrightarrow \left[0, +\infty\right)$ je tzv. {\bf metrika} splňující následující 3 axiomy: \begin{enumerate} \item $\forall x,y\in X$, $\rho(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y$; \item $\forall x,y\in X$, $\rho(x,y) = \rho(y,x) $; \item $\forall x,y,z \in X$, $\rho(x,z) \leq \rho(x,y) +\rho(y,z)$, tzv. trojúhelníková nerovnost. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} V poznámce zavedeme dva pojmy, které budeme často intuitivně využívat. Buď $x\in X$ a $r>0$. $$B(x,r) = \{y\in X \ | \ \rho(x,y) < r \} \dots \mbox{tzv. {\it otevřená koule}}$$ $$\overline{B}(x,r) = \{y\in X \ | \ \rho(x,y) \leq r \} \dots \mbox{tzv. {\it uzavřená koule}}$$ Pro $r=0$ definujeme $B(x,0) = \emptyset$ a $\overline{B}(x,0) = \{x\}$. \end{remark} \begin{remark} Obecně neplatí, že $\overline{B}(x,r) =\overline{B(x,r)}$. V $\R^n$ pro $r>0$ to platí, ale už pro $r=0$ máme $\overline{B(x,0)} = \emptyset \neq \{x\} = \overline{B}(x,0). \end{remark} \begin{remark} Buď $\left( V, \Vert \cdot \Vert \right)$ normovaný vektorový prostor. Pak pokud definujeme $\forall x,y \in V$ $\rho(x,y):= \Vert x-y \Vert$, získáme metriku. \end{remark} \begin{remark} $(X,\rho)$ je topologický prostor s bází $\B = \{B(x,r)| x\in X \land r>0\}$. \end{remark} \begin{define} Řekneme, že dvě metriky $\rho_1, \rho_2$ jsou {\bf ekvivalentní na $X$}, právě když existují konstanty $0<K<L$ takové, že $\forall x,y\in X$ $$K \rho_1(x,y) \leq \rho_2(x,y) \leq L\rho_1(x,y).$$ \end{define} \begin{theorem}[o topologiích] Ekvivalentní metriky na $X$ definují stejnou topologii. \begin{proof} $$\{y\in X | \rho_1(x,y) < r\} = B_1(x,r) \subset B_2(x,Lr)$$ $$\{y\in X | \rho_2(x,y) < r\} = B_2(x,r) \subset B_1(x,\frac{r}{K})$$ Tedy příslušné otevřené množiny jsou totožné a totéž platí i pro topologie. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Buďte $(X,\rho_X)$, $(Y,\rho_Y)$ metrické prostory. Pak $(X\times Y, \rho_{X\times Y})$ je metrický prostor. \end{remark} Metriku $\rho_{X\times Y}$ je možno volit vícero (ekvivalentními) způsoby. Zde jsou ty nejběžnější: $$\rho_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)):= \left \{ \begin{array}{c l} \rho_X(x_1,x_2) + \rho_Y(y_1,y_2) & (1) \\ \mathrm{max}\{ \rho_X(x_1,x_2),\rho_Y(y_1,y_2) \} & (2) \\ \sqrt {\rho_X(x_1,x_2)^2+\rho_Y(y_1,y_2)^2} & (3) \\ \end{array} \right $$ První z výše definovaných metrik generuje topologii $\tau_{X\times Y}$ ve smyslu výše definovaném. Aby se toto dokázalo, stačí ověřit (na cvičeních), že \begin{enumerate} \item[(i)] $\forall (x,y)\in X\times Y$ a $\forall r > 0$ existují $r_1,r_2 >0$ tak, že $B_X(x,r_1) \times B_Y(y,r_2) \subset B_{X\times Y}((x,y),r)$, \item[(ii)] $\forall (x,y)\in X\times Y$ a $\forall r_1,r_2 >0 $ existuje $r>0$ tak, že $B_{X\times Y}((x,y),r) \subset B_X(x,r_1) \times B_Y(y,r_2)$. \end{enumerate} Zabývejme se nyní otázkou, jak se změní, resp. zjednoduší, vlastnosti při přechodu od topologického prostoru k metrickému. \begin{remark} Buď $(X,\rho)$ metrický prostor a $x\in X$. Pak \begin{itemize} \item $U\subset X$ je okolím bodu $x$ $\Leftrightarrow \ \exists r>0, \ B(x,r) \subset U$; \item \end{itemize} \end{remark}