01RMF:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 27: | Řádka 27: | ||
kde $u_j(x), v_j(y) \in \C(\bar{G})$. | kde $u_j(x), v_j(y) \in \C(\bar{G})$. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
+ | |||
+ | Přepišme nyní Fredholmovu integrální rovnici pro degenerované jádro: | ||
+ | $$f(x) = \lambda \Kb f(x) + g(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y) f(y) \dd y + g(x)= $$ | ||
+ | $$ = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \underbrace{\displaystyle \int_{G} v_j(y) f(y) \dd y}_{c_j\in \mathbb{C}} + g(x)$$ | ||
+ | Tímto jsme získali tvar řešení | ||
+ | $$ f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + g(x)$$ | ||
+ | Nyní je možné dosazením do původní rovnice určit koeficienty. My tyto koeficienty určíme jinou metodou. | ||
+ | Uvažujme tedy řešení | ||
+ | $$ f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + g(x)$$ | ||
+ | Pronásobme celou rovnost výrazem $v_j(x)$ a zintegrujeme ji přes $G$ podle $x$. | ||
+ | Máme pak | ||
+ | $$c_j = \displaystyle \int_G v_j(x)f(x) \dd x = \lambda \displaystyle \sum_{k=1}^{p} c_k \displaystyle \int_{G} u_k(x)v_j(x) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_j(x)g(x) \dd x$$ | ||
+ | Pokud tuto úpravu provedeme pro veškerá $j$, získáme soustavu lineárních algebraických rovnic pro koeficienty $c_j$. |
Verze z 9. 12. 2016, 13:07
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01RMF
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01RMF | Mazacja2 | 16. 12. 2016 | 18:29 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 28. 12. 2016 | 13:12 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 18. 12. 2016 | 21:10 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 9. 11. 2016 | 20:51 | predmluva.tex | |
Kapitola1 | editovat | Motivace | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:34 | motivace.tex | |
Kapitola2 | editovat | Zobecněné funkce | Lomicond | 7. 12. 2019 | 16:51 | zobecnene_funkce.tex | |
Kapitola3 | editovat | Integrální transformace | Lomicond | 25. 12. 2019 | 15:58 | integralni_transformace.tex | |
Kapitola4 | editovat | Řešení dif. rovnic | Johndavi | 9. 4. 2019 | 15:15 | reseni.tex | |
Kapitola5 | editovat | Integrální rovnice | Johndavi | 8. 4. 2019 | 16:25 | Kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Sturm-Liouvilleova teorie | Johndavi | 8. 4. 2019 | 15:35 | Kapitola6.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01RMF} \chapter{Integrální rovnice} V celé kapitole budeme množinou $G$ rozumět omezenou oblast v $\R^n$. Budeme obecně zkoumat dva případy funkcí, a to \begin{enumerate} \item funkce $L^2(G)$ s normou $\Vert f\Vert_2 = \displaystyle \int_G f \bar{f} \dd x$; \item funkce $\C(\bar{G})$ s normou $\Vert f \Vert_{\C} = \mathrm{max}_{x\in \bar{G}} |f(x)|$. \end{enuemrate} \section{Fredholmovy integrální rovnice} Definujme integrální operátor $$ \Kb \phi(x) = \displaystyle \int_{G} \K(x,y) \phi(y) \dd y, $$ přičemž $\K$ nazýváme integrální jádro a budeme předpokládat, že $\K\in C(\bar{G} \times \bar{G})$. Označme $M = \mathrm{max}_{\bar{G}\times \bar{G}} |\K(x,y)|$, tzv. mez jádra. Dále označme $V = \displaystyle \int_{G} 1 \dd x < +\infty$ \begin{define} Fredholmovou integrální rovnicí pro funkci $f$ rozumíme rovnici tvaru $$ f= \lambda \Kb f + g ,$$ kde $\lambda \in \mathbb{C}$, funkce $g$ se tradičně nazývá pravá strana a $\Kb$ je integrální operátor se spojitým jádrem. \end{define} Tuto úlohu můžeme přepsat do ekvivalentní podoby $(\mathbf{I} - \lambda \Kb)f =g$ a hledáme řešení buď v $L^2(G)$ (pak $g \in L^2(G)$, nebo v $\C(\bar{G})$ (pak $g\in \C(\bar{G})$). Speciálně pro nulovou pravou stranu dostáváme úlohu na vlastní čísla operátoru $\Kb$. \subsection{Degenerované jádro} \begin{define} Řekneme, že integrální jádro $\K(x,y)$ je degenerované, jestliže je separovatelné, tj. je možné jej zapsat ve tvaru $\K(x,y) = \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y)$, kde $u_j(x), v_j(y) \in \C(\bar{G})$. \end{define} Přepišme nyní Fredholmovu integrální rovnici pro degenerované jádro: $$f(x) = \lambda \Kb f(x) + g(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y) f(y) \dd y + g(x)= $$ $$ = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \underbrace{\displaystyle \int_{G} v_j(y) f(y) \dd y}_{c_j\in \mathbb{C}} + g(x)$$ Tímto jsme získali tvar řešení $$ f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + g(x)$$ Nyní je možné dosazením do původní rovnice určit koeficienty. My tyto koeficienty určíme jinou metodou. Uvažujme tedy řešení $$ f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + g(x)$$ Pronásobme celou rovnost výrazem $v_j(x)$ a zintegrujeme ji přes $G$ podle $x$. Máme pak $$c_j = \displaystyle \int_G v_j(x)f(x) \dd x = \lambda \displaystyle \sum_{k=1}^{p} c_k \displaystyle \int_{G} u_k(x)v_j(x) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_j(x)g(x) \dd x$$ Pokud tuto úpravu provedeme pro veškerá $j$, získáme soustavu lineárních algebraických rovnic pro koeficienty $c_j$.