01RMF:Kapitola5: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
Řádka 27: Řádka 27:
 
kde $u_j(x), v_j(y) \in \C(\bar{G})$.
 
kde $u_j(x), v_j(y) \in \C(\bar{G})$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 +
 +
Přepišme nyní Fredholmovu integrální rovnici pro degenerované jádro:
 +
$$f(x) = \lambda \Kb f(x) + g(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y) f(y) \dd y  + g(x)= $$
 +
$$ = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \underbrace{\displaystyle \int_{G} v_j(y) f(y) \dd y}_{c_j\in \mathbb{C}} + g(x)$$
 +
Tímto jsme získali tvar řešení
 +
$$ f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + g(x)$$
 +
Nyní je možné dosazením do původní rovnice určit koeficienty. My tyto koeficienty určíme jinou metodou.
 +
Uvažujme tedy řešení
 +
$$ f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + g(x)$$
 +
Pronásobme celou rovnost výrazem $v_j(x)$ a zintegrujeme ji přes $G$ podle $x$.
 +
Máme pak
 +
$$c_j = \displaystyle \int_G v_j(x)f(x) \dd x  = \lambda \displaystyle \sum_{k=1}^{p} c_k \displaystyle \int_{G} u_k(x)v_j(x) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_j(x)g(x) \dd x$$
 +
Pokud tuto úpravu provedeme pro veškerá $j$, získáme soustavu lineárních algebraických rovnic pro koeficienty $c_j$.

Verze z 9. 12. 2016, 13:07

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01RMF

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01RMFMazacja2 16. 12. 201618:29
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůMazacja2 28. 12. 201613:12
Header editovatHlavičkový souborMazacja2 18. 12. 201621:10 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaMazacja2 9. 11. 201620:51 predmluva.tex
Kapitola1 editovatMotivaceJohndavi 8. 4. 201916:34 motivace.tex
Kapitola2 editovatZobecněné funkceLomicond 7. 12. 201916:51 zobecnene_funkce.tex
Kapitola3 editovatIntegrální transformaceLomicond 25. 12. 201915:58 integralni_transformace.tex
Kapitola4 editovatŘešení dif. rovnicJohndavi 9. 4. 201915:15 reseni.tex
Kapitola5 editovatIntegrální rovniceJohndavi 8. 4. 201916:25 Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSturm-Liouvilleova teorieJohndavi 8. 4. 201915:35 Kapitola6.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Integrální rovnice}
V celé kapitole budeme množinou $G$ rozumět omezenou oblast v $\R^n$. 
Budeme obecně zkoumat dva případy funkcí, a to 
\begin{enumerate}
\item funkce $L^2(G)$ s normou $\Vert f\Vert_2 = \displaystyle \int_G f \bar{f} \dd x$;
\item funkce $\C(\bar{G})$ s normou $\Vert f \Vert_{\C} = \mathrm{max}_{x\in \bar{G}} |f(x)|$. 
\end{enuemrate}
 
\section{Fredholmovy integrální rovnice}
Definujme integrální operátor 
$$ \Kb \phi(x) = \displaystyle \int_{G} \K(x,y) \phi(y) \dd y, $$
přičemž $\K$ nazýváme integrální jádro a budeme předpokládat, že $\K\in C(\bar{G} \times \bar{G})$. 
Označme $M = \mathrm{max}_{\bar{G}\times \bar{G}} |\K(x,y)|$, tzv. mez jádra. Dále označme $V = \displaystyle \int_{G} 1 \dd x < +\infty$
 
\begin{define}
Fredholmovou integrální rovnicí pro funkci $f$ rozumíme rovnici tvaru 
$$ f= \lambda \Kb f + g ,$$
kde $\lambda \in \mathbb{C}$,  funkce $g$ se tradičně nazývá pravá strana a $\Kb$ je integrální operátor se spojitým jádrem. 
\end{define}
Tuto úlohu můžeme přepsat do ekvivalentní podoby $(\mathbf{I} - \lambda \Kb)f =g$ a hledáme řešení buď v $L^2(G)$ (pak $g \in L^2(G)$, nebo v $\C(\bar{G})$ (pak $g\in \C(\bar{G})$). 
Speciálně pro nulovou pravou stranu dostáváme úlohu na vlastní čísla operátoru $\Kb$.
 
\subsection{Degenerované jádro}
\begin{define}
Řekneme, že integrální jádro $\K(x,y)$ je degenerované, jestliže je separovatelné, tj.  je možné jej zapsat ve tvaru $\K(x,y) = \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y)$, 
kde $u_j(x), v_j(y) \in \C(\bar{G})$.
\end{define}
 
Přepišme nyní Fredholmovu integrální rovnici pro degenerované jádro:
$$f(x) = \lambda \Kb f(x) + g(x) = \lambda \displaystyle \int_{G} \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)v_j(y) f(y) \dd y  + g(x)= $$
$$ = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x) \underbrace{\displaystyle \int_{G} v_j(y) f(y) \dd y}_{c_j\in \mathbb{C}} + g(x)$$
Tímto jsme získali tvar řešení
$$ f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + g(x)$$
Nyní je možné dosazením do původní rovnice určit koeficienty. My tyto koeficienty určíme jinou metodou.
Uvažujme tedy řešení 
$$ f(x) = \lambda \displaystyle \sum_{j=1}^{p}u_j(x)c_j + g(x)$$ 
Pronásobme celou rovnost výrazem $v_j(x)$ a zintegrujeme ji přes $G$ podle $x$. 
Máme pak 
$$c_j = \displaystyle \int_G v_j(x)f(x) \dd x  = \lambda \displaystyle \sum_{k=1}^{p} c_k \displaystyle \int_{G} u_k(x)v_j(x) \dd x + \displaystyle \int_{G} v_j(x)g(x) \dd x$$
Pokud tuto úpravu provedeme pro veškerá $j$, získáme soustavu lineárních algebraických rovnic pro koeficienty $c_j$.