01FA1:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 19: | Řádka 19: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | Obecně neplatí, že $\overline{B}(x,r) =\overline{B(x,r)}$. V $$ | + | Obecně neplatí, že $\overline{B}(x,r) =\overline{B(x,r)}$. V $\R^n$ pro $r>0$ to platí, ale už pro $r=0$ máme |
+ | $\overline{B(x,0)} = \emptyset \neq \{x\} = \overline{B}(x,0). | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Buď $\left( V, \Vert \cdot \Vert \right)$ normovaný vektorový prostor. Pak pokud definujeme $\forall x,y \in V$ $\rho(x,y):= \Vert x-y \Vert$, získáme metriku. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | {\it Součinem topologií} je myšlen kartézský součin topologií, tj. mějme $\left( X, \tau_X \right), \left( Y, \tau_Y \right)$ topologické prostory. | ||
+ | Položme $\B = \{U\times V \ | \ U\in \tau_X \ \land V \in \tau_Y \}$. Toto je báze jisté topologie $\tau_{X\times Y}$ na $X \times Y$. Že je tímto topologie určena (jednoznačně) | ||
+ | se dozvíte na cvičeních. Navíc platí, že pokud mám $\mathscr{F}, \G$ po řadě báze topologií $\tau_X$ a $\tau_Y$, pak $\mathscr{H} = \{U \times V | U \in \mathscr{F} \ \land \ V \in \G \}$ | ||
+ | je báze topologie $\tau_{X \times Y}$. To znamená, že množina $W \subset X\times Y$ je otevřená, právě když $\forall (x,y) \in W$ existují $U \in \mathscr{F}$ a $V \in \G $ takové, | ||
+ | že $(x,y) \in U \times V \subset W $. | ||
+ | |||
+ | Je zřejmé, že tuto definici lze rozšířit indukcí na konečné součiny. Dokonce je možné provést rozšíření na libovolné součiny, ale těmi se nebude zabývat a nebudeme je potřebovat. | ||
+ | \end{remark} |
Verze z 12. 10. 2016, 22:48
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01FA1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01FA1 | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 19:00 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 20:10 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Mazacja2 | 12. 10. 2016 | 22:20 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Mazacja2 | 5. 10. 2016 | 18:40 | uvod.tex | |
Kapitola1 | editovat | Značení a úvod | Mazacja2 | 5. 10. 2016 | 19:33 | znaceni.tex | |
Kapitola2 | editovat | Topologie | Mazacja2 | 18. 1. 2017 | 20:27 | topologie.tex | |
Kapitola3 | editovat | Metrické prostory | Mazacja2 | 20. 1. 2017 | 00:20 | metrika.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01FA1} \chapter{Metrické prostory} \begin{define} {\bf Metrickým prostorem} rozumíme uspořádanou dvojici $\left( X, \rho \right)$, kde $X$ je množina a~$\rho: X\times X \longrightarrow \left[0, +\infty\right)$ je tzv. {\bf metrika} splňující následující 3 axiomy: \begin{enumerate} \item $\forall x,y\in X$, $\rho(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y$; \item $\forall x,y\in X$, $\rho(x,y) = \rho(y,x) $; \item $\forall x,y,z \in X$, $\rho(x,z) \leq \rho(x,y) +\rho(y,z)$, tzv. trojúhelníková nerovnost. \end{enumerate} \end{define} \begin{remark} V poznámce zavedeme dva pojmy, které budeme často intuitivně využívat. Buď $x\in X$ a $r>0$. $$B(x,r) = \{y\in X \ | \ \rho(x,y) < r \} \dots \mbox{tzv. {\it otevřená koule}}$$ $$\overline{B}(x,r) = \{y\in X \ | \ \rho(x,y) \leq r \} \dots \mbox{tzv. {\it uzavřená koule}}$$ Pro $r=0$ definujeme $B(x,0) = \emptyset$ a $\overline{B}(x,0) = \{x\}$. \end{remark} \begin{remark} Obecně neplatí, že $\overline{B}(x,r) =\overline{B(x,r)}$. V $\R^n$ pro $r>0$ to platí, ale už pro $r=0$ máme $\overline{B(x,0)} = \emptyset \neq \{x\} = \overline{B}(x,0). \end{remark} \begin{remark} Buď $\left( V, \Vert \cdot \Vert \right)$ normovaný vektorový prostor. Pak pokud definujeme $\forall x,y \in V$ $\rho(x,y):= \Vert x-y \Vert$, získáme metriku. \end{remark} \begin{remark} {\it Součinem topologií} je myšlen kartézský součin topologií, tj. mějme $\left( X, \tau_X \right), \left( Y, \tau_Y \right)$ topologické prostory. Položme $\B = \{U\times V \ | \ U\in \tau_X \ \land V \in \tau_Y \}$. Toto je báze jisté topologie $\tau_{X\times Y}$ na $X \times Y$. Že je tímto topologie určena (jednoznačně) se dozvíte na cvičeních. Navíc platí, že pokud mám $\mathscr{F}, \G$ po řadě báze topologií $\tau_X$ a $\tau_Y$, pak $\mathscr{H} = \{U \times V | U \in \mathscr{F} \ \land \ V \in \G \}$ je báze topologie $\tau_{X \times Y}$. To znamená, že množina $W \subset X\times Y$ je otevřená, právě když $\forall (x,y) \in W$ existují $U \in \mathscr{F}$ a $V \in \G $ takové, že $(x,y) \in U \times V \subset W $. Je zřejmé, že tuto definici lze rozšířit indukcí na konečné součiny. Dokonce je možné provést rozšíření na libovolné součiny, ale těmi se nebude zabývat a nebudeme je potřebovat. \end{remark}