Verze z 20. 2. 2016, 17:56

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1Priklady}
\section{Průběh funkce, tečny, normály, asymptoty, monotonie, inverze, extrémy}
 
\subsection*{\fbox{Rozcvička}}
V této části jsou příklady na procvičení vyšetřování průběhu funkce ($D_f$, limity, horizontální či vertikální tečny, asymptoty, lokální extrémy, náčrtek grafu funkce), které  nejsou zahrnuty ve zkouškové písemce, a tudíž nejsou číslovány.
 
\begin{itemize}
 
\item
\begin{priklad}
f(x) = 2+x-x^2
\end{priklad}
 
 
\item
\begin{priklad}
f(x) = 3x-x^3
\end{priklad}
 
\item 
\begin{priklad}
f(x) = 2x^3-15x^2+36x
\end{priklad}
 
\item 
\begin{priklad}
f(x) = \frac{x^2}{x^2-4}
\end{priklad}
 
\item \begin{priklad}
f(x) = (x-1)^2(2x+4)
\end{priklad}
 
\item \begin{priklad}
f(x) = 2x^2-\ln x
\end{priklad}
 
\item \begin{priklad}
f(x) = \sqrt{x^2+2}
\end{priklad}
 
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{x^2+1}{x+1}
\end{priklad}
 
 
 
 
\item \begin{priklad}
f(x) = x + \cos {2x}
\end{priklad}
 
 
\item \begin{priklad}
f(x) = \sqrt{16-x^2}
\end{priklad}
 
 
\item \begin{priklad}
f(x) = x + \frac{1}{x}
\end{priklad}
 
\item \begin{priklad}
f(x) = x + \arctan x
\end{priklad}
 
\item \begin{priklad}
f(x) = (x+1)^3 \sqrt[3]{x^2}
\end{priklad}
 
\item \begin{priklad}
f(x) = x^2 + \frac{1}{x}
\end{priklad}
 
\item 
\begin{priklad}
f(x) = \frac{x}{x^2+1}
\end{priklad}
 
\res{$\searrow$ -1 $\nearrow$ 1 $\searrow$}
 
\item \begin{priklad}
f(x) = \frac{x}{3-x^2}
\end{priklad}
 
\item \begin{priklad}
f(x) = (x-3)\sqrt x
\end{priklad}
 
\item \begin{priklad}
f(x) = x^2-\ln{x^2}
\end{priklad}
 
\item \begin{priklad}
f(x) = \cos\frac\pi{x}
\end{priklad}
 
\item \begin{priklad}
f(x) = x+\sin{x}
\end{priklad}
 
\end{itemize}
 
 
\subsection*{\fbox{Zkouškové příklady}}
 
 
\begin{enumerate}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Aplikace derivace}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\item 
Ukažte, že funkce 
\begin{priklad}
f(x) = 2\arctg\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} - \arcsin{x}
\end{priklad}
nezávisí na $x$.
\res{$f^\prime = 0$}
 
\item 
Ukažte, že funkce 
\begin{priklad}
f(x) = \arctg\frac{1+x}{1-x}-\arctg{x}
\end{priklad}
nezávisí na $x$.
\res{$f^\prime = 0$}
 
\item 
Ukažte, že funkce 
\begin{priklad}
f(x) = \arcsin{x} + 3\arccos{x} + \arcsin\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)
\end{priklad}
nezávisí na $x$ při $x^2<\frac12$.
\res{$f^\prime = 0$}
 
\item 
Ukažte, že funkce 
\begin{priklad}
f(x) = \arctg{x} - \arcsin\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}
\end{priklad}
nezávisí na $x$.
\res{$f^\prime = 0$}
 
\item 
Ukažte, že funkce 
\begin{priklad}
f(x) = \arcctg{x} - \arcsin\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}
\end{priklad}
nezávisí na $x$ při $x\geq 0$.
\res{$f^\prime = 0$}
\item 
 
Ukažte, že funkce 
\begin{priklad}
f(x) = 3\arccos{x} - \arccos(3x-4x^3)
\end{priklad}
nezávisí na $x$ při $|x|\leq \frac12$.
\res{$f^\prime = 0$}
 
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Tečny a normály}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\item Určete čísla $a$ a $b$ tak, aby přímka $y=3x+b$ byla tečnou funkce $f(x) = \ln(x^3+a)$ v bodě $x=1$.
 
\res{a=0, b=-3}
 
\item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \sin(x)\cos\left( \frac{x}{2} \right)$ na intervalu $[-\pi,\pi]$. 
 Nalezněte rovnici tečny v bodě $x=\frac{\pi}{2}$.
 
\res{$y= -\frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{\sqrt{2}}{2} (1+\frac\pi4)$}
 
\item Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = x(e^{-x}+5)$.  Nalezněte rovnici tečny v bodě $x=0$.
 
\res{$y=6x$}
 
\item 
Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \ln \left[ \left( \frac{3x-1}{x+1} \right)^x\right]$. 
Nalezněte rovnici tečny v bodě $x=1$.
 
\res{$y=x-1$}
 
\item
Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce 
\begin{priklad}
f(x) = x^2-5*x+4
\end{priklad}
v bodě $-1$.
 
\res{tečna: $y = -7x+3$, normála: $y = \frac{1}{7}x+\frac{71}{7}$}
 
\item
Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce 
\begin{priklad}
f(x) = x^2-5*x+4
\end{priklad}
v bodě $3$.
 
\res{tečna: $y = x-5$, normála: $y = -x+1$}
 
\item
Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce 
\begin{priklad}
f(x) = x^3+2x^2-4x-3
\end{priklad}
v bodě $-2$.
 
\res{tečna: $y = 5$, normála: $x = -2$}
 
 
\item
Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce 
\begin{priklad}
f(x) = x^3+2x^2-4x-3
\end{priklad}
v bodě $1$.
 
\res{tečna: $y = 3x-7$, normála: $x = -\frac{1}{3}x-\frac{11}{3}$}
 
\item
Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce 
\begin{priklad}
f(x) = \sqrt{x}
\end{priklad}
v bodě $x=0$.
 
\res{tečna: $x=0$, normála: $y = 0$}
 
 
\item
Nalezněte rovnici tečny a normály ke grafu funkce 
\begin{priklad}
f(x) = \ln{x}
\end{priklad}
v bodě $1$.
 
\res{tečna: $y=x-1$, normála: $y = 1-x$}
 
 
\item
Ve kterých bodech je tečna ke grafu funkce 
\begin{priklad}
f(x) = 2 + x - x^2
\end{priklad}
rovnoběžná s osou $x$ a s přímkou $y=x$?
 
\res{s osou $x$: $\frac12$, s přímkou $y=x$: $0$}
 
\item 
Pod jakým úhlem protíná graf funkce $y = \ln x$ osu $x$?
 
\res{úhel $\tg{\alpha} = 1$, tj. $\frac{\pi}{4}$}
 
\item
Pod jakým úhlem protíná graf funkce $f(x) = \e^\frac{x}{2}$ přímku $x=2$?
 
\res{$\arctg{\frac{2}{\e}}$}
 
\item
Nalezněte rovnici normály ke křivce $y=-\sqrt{x}+2$ v jejím průsečíku s přímkou $y=x$.
 
\res{$y=2x-1$}
 
 
\item 
Určete rovnice tečen ke křivce 
$y = x^3+x^2-2x$ v
průsečících křivky s osou x.
 
\res{$6x-y+12 = 0; 2x+y=0; 3x-y-3=0$}
 
 
\item 
Ve kterém bodě má graf funkce $y = \sin^2x$ tečnu
svírající s osou x úhel $\frac\pi4$?
 
\res{$(\pi/4 + k\pi, 1/2); k \in  \Z$}
 
 
\item 
Ve kterém bodě má graf funkce $y = x e^{-x}$ tečnu
rovnoběžnou s osou x?
 
\res{$(1, \e^{-1})$}
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Asymptoty}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\item Nalezněte všechny asymptoty funkce $\displaystyle f(x) = \frac{x}{x-1}$ (včetně vertikálních asymptot).
 
\res{y=1 v $\pm\infty$, x=0}
 
\item 
Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = x(e^{-x}+5)$. 
Určete definiční obor $D_f$ a rozhodněte o existenci asymptot v $+\infty$ a v $-\infty$ a v kladném případě napište jejich rovnice.
 
\res{$D_f=\R$. Pouze v $+\infty$: $y=5x$}
 
\item 
Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \sqrt{x^2-x-6}$.
Určete definiční obor $D_f$ a nalezněte rovnice asymptot v $+\infty$ a v $-\infty$.
 
\res{$D_f = (-\infty,-2) \cup (3, +\infty)$, $y = 1 x - \frac12$, $y = -1 x + \frac12$}
 
 
\item 
Nechť je dána funkce $\displaystyle f(x) = \ln \left[ \left( \frac{3x-1}{x+1} \right)^x\right]$. 
Určete definiční obor $D_f$ a rozhodněte o existenci asymptot a v kladném případě napište jejich rovnice.
 
\res{$D_f = (-\infty,-1) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$. V $\pm\infty$: $y = x \ln 3 -4/3 $}
 
 
\item Ve kterém bodě má parabola $y = 2x^2+3x-1$ tečnu
\begin{itemize}
\item se směrovým úhlem $\frac{\pi}{4}$?
\item rovnoběžnou s přímkou $5x-y+3=0$
\item kolmou na přímku $x-3y+2=0$
\end{itemize}
\res{$(-1/2, -2)$, $(1/2, 1)$, $(-3/2, -1)$}
 
\item Určete rovnice tečen ke křivce $y = x^3+x^2 - 6x$ v
průsečících s osou x.
 
\res{$15x-y+45=0$, $6x+y=0$, $10x-y-20=0$}
 
\item Je dána parabola $y = x^2 -4x +3$
\begin{itemize}
\item určete dotykový bod a rovnici tečny paraboly, která
směrový úhel $\frac\pi4$
\item pomocí derivace určete vrchol paraboly
\end{itemize}
\res{$(5/2, -3/4)$, $x-y-13/4=0$, $(2, -1)$}
 
\item Je dána parabola $y = 1/2x^2+3x+1$
\begin{itemize}
\item určete rovnici tečny paraboly v bodě $-2$
\item ve kterém bodě má parabola tečnu se směrovým úhlem
$\frac\pi3$?
\item ve kterém bodě má parabola tečnu rovnoběžnou s přímkou
$5x-y-2=0$?
\end{itemize}
\res{$x-y-1=0$, $(\sqrt3 - 3, -2)$, $(2, 9)$}
 
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\odstavec{Monotonie, inverze, lokální extrémy}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
 
\item 
Nalezněte $D_f$, intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = \arcsin{(\sqrt{1-x^2})}
\end{priklad}
 
\res{$D_f=[-1,1]$, -1 $\nearrow$ 0 $\searrow$ 1}
 
 
\item 
Nalezněte $D_f$ a intervaly monotonie funkce
\begin{priklad}
f(x) = \frac{x}{\ln x}
\end{priklad}
 
\res{$D_f=(0,1)\cup(1,+\infty)$, 0 $\searrow$ 1 $\searrow$ $\e$ $\nearrow$}
 
 
\item 
Nalezněte $D_f$ a intervaly monotonie funkce
\begin{priklad}
f(x) = \frac{x^2-2x-2}{x-1}
\end{priklad}
 
\res{$D_f = \R \setminus \{1\}$, ostře roste na $D_f$}
 
 
\item 
Nalezněte $D_f$, intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = \sqrt x + \sqrt{4-x}
\end{priklad}
 
\res{$D_f = [0,4]$, 0 $\nearrow$ 2 $\searrow$ 4}
 
 
\item 
Nalezněte $D_f$ a intervaly monotonie funkce
\begin{priklad}
f(x) = \frac{8}{x\sqrt{x^2-4}}
\end{priklad}
 
\res{$D_f=(-2,0)\cup(0,2)$, -2 $\nearrow$ $-\sqrt{2}$ $\searrow$ 0 $\searrow$ $\sqrt{2}$ $\nearrow$ 2}
 
 
\item 
Nalezněte $D_f$ a intervaly monotonie funkce
\begin{priklad}
f(x) = \frac{\ln x}{\sqrt x}
\end{priklad}
 
\res{$D_f = (0,+\infty)$, 0 $\nearrow$ $\e^2$ $\searrow$ $+\infty$}
 
 
\item 
Nalezněte intervaly monotonie funkce
\begin{priklad}
f(x) = e^{\sin x}
\end{priklad}
 
\res{roste na $(-\frac\pi2+k2\pi,\frac\pi2+k2\pi)$, klesá na $(\frac\pi2+k2\pi,\frac{3}{2}\pi+k2\pi)$}
 
 
\item 
Nalezněte intervaly monotonie funkce
\begin{priklad}
f(x) = \frac{1-x^2}{1+x^2}
\end{priklad}
 
\res{$-\infty$ $\nearrow$ 0 $\searrow$ $+\infty$}
 
 
\item 
Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = \frac{x^2-2x+1}{x^2+1}
\end{priklad}
 
\res{$-\infty$ $\nearrow$ 1 $\searrow$ -1 $\nearrow$ $+\infty$}
 
\item 
Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = (x-2)^2|x-5|
\end{priklad}
 
\res{$-\infty$ $\searrow$ 2 $\nearrow$ 4 $\searrow$ 5 $\nearrow$ $+\infty$}
 
\item 
Nalezněte $D_f$, intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = \ln{\frac{e^x}{1-x^2}}
\end{priklad}
 
\res{$D_f = (-1,1)$, -1 $\searrow$ $1-\sqrt{2}$ $\nearrow$ 1}
 
 
\item 
Nalezněte $D_f$, intervaly monotonie funkce
\begin{priklad}
f(x) = xe^{-\frac1x}
\end{priklad}
 
\res{$D_f=\R\setminus\{0\}$, $-\infty$ $\nearrow$ -1 $\searrow$ 0 $\nearrow$ $+\infty$} 
 
 
\item 
Nalezněte $D_f$, intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = \frac{x}{x^2+2x+9}
\end{priklad}
 
\res{$D_f=\R$, $-\infty$ $\searrow$ -3 $\nearrow$ 3 $\searrow$ $+\infty$}
 
 
\item 
Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = \cosh^3{x} +1
\end{priklad}
 
\res{$-\infty$ $\searrow$ 0 $\nearrow$ $+\infty$}
 
 
\item 
Nalezněte $D_f$, intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = x + \frac{2x}{x^2-1}
\end{priklad}
 
\res{$D_f = \R\setminus\{-1,1\}$, $-\infty$ $\nearrow$ $-\sqrt{2+\sqrt{5}}$ $\searrow$ -1 $\searrow$ 1 $\searrow$ $\sqrt{2+\sqrt{5}}$ $\nearrow$  $+\infty$}
 
 
\item
  Rozhodněte, kde je funkce $f(x) = \frac{x^2-1}{x}$ prostá (tj. intervaly monotonie) a na těchto intervalech nalezněte její inverzní funkci.
 
\res{ $f^{-1} = \frac{y\pm\sqrt{y^2+4}}{2}$}
 
\item 
Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = x^3 +3x^2 -9x +5
\end{priklad}
 
\res{$-\infty$ $\nearrow$ -3 $\searrow$ 1 $\nearrow$ $+\infty$}
 
\item 
Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = x^3 -9x^2+15x -3
\end{priklad}
 
\res{$-\infty$ $\nearrow$  1 $\searrow$ 5 $\nearrow$ $+\infty$}
 
\item 
Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = x^3 -3x^2+6x -9
\end{priklad}
 
\res{$-\infty$ $\nearrow$  $+\infty$}
 
 
\item 
Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3 -4x + 7
\end{priklad}
 
\res{$-\infty$ $\searrow$  -2 $\searrow$ 1 $\nearrow$ $+\infty$}
 
\item 
Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = (x-4)^4(x+3)^3
\end{priklad}
 
\res{$-\infty$ $\nearrow$  -3 $\nearrow$ 0 $\searrow$ 4 $\nearrow$ $+\infty$}
 
\item 
Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = x\e^{-x}
\end{priklad}
 
\res{$-\infty$ $\nearrow$  1 $\searrow$  $+\infty$}
 
 
\item 
Nalezněte $D_f$, intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = \sqrt{x}\ln{x}
\end{priklad}
 
\res{$D_f = (0, +\infty)$, $0$ $\searrow$  $\e^{-2}$ $\nearrow$  $+\infty$}
 
 
\item 
Nalezněte $D_f$, intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = x^2\ln{x}
\end{priklad}
 
\res{$D_f = (0, +\infty)$, $0$ $\searrow$  $\e^{-\frac12}$ $\nearrow$  $+\infty$}
 
\item 
Nalezněte $D_f$, intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = x\ln^2{x}
\end{priklad}
 
\res{$D_f = (0, +\infty)$, $0$ $\nearrow$  1 $\searrow$ $\e^{2}$ $\nearrow$  $+\infty$}
 
\item 
Nalezněte $D_f$, intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = \ln{x} - \arctg{x}
\end{priklad}
 
\res{$D_f = (0, +\infty)$, $0$ $\nearrow$  $+\infty$}
 
\item 
Nalezněte intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = x^3-6x^2-63x+5 
\end{priklad}
 
\res{max -3, min 7} 
 
\item 
Nalezněte $D_f$, intervaly monotonie a lokální extrémy funkce
\begin{priklad}
f(x) = \frac{\ln^2{x}}{x}
\end{priklad}
 
\res{$D_f = (0, +\infty)$, $0$ $\searrow$ 1 $\nearrow$ $\e^{2}$ $\searrow$  $+\infty$}
 
 
\end{enumerate}