01NUM1:Kapitola8: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Věty 3 a 8) |
(Všechny věty) |
||
Řádka 24: | Řádka 24: | ||
\end{proof} | \end{proof} | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Lagrangeův polynom - chyba aproximace} | ||
+ | |||
+ | \setcounter{define}{9} | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{LagrangeZbytek} | ||
+ | Nechť \( I_x \subset D_f \) nejmenší interval takový, že \( x, x_0, x_1, \dots, x_n \in I_x \) a \( f \in \mathcal C^{n + 1} ( I_x) \). Buď \( L_n \) Lagrangeův interpolační polynom příslušící funkci \( f \) a uzlům \( x_0, x_1, \dots, x_n \). Potom existuje \( \xi \in I_x \) takové, že | ||
+ | \[ R_n ( x ) = f ( x ) - L_n ( x ) = \frac{f^{( n + 1 )} ( \xi )}{( n + 1 )!} \omega_n ( x ) \] | ||
+ | kde definujeme | ||
+ | \[ \omega_n ( x ) = \prod_{i = 0}^n ( x - x_i ) \] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Pokud \( x = x_i \) pro nějaké \( i \), tak je \( R_n ( x ) = 0 \) z definice Lagrangeova polynomu a \( \omega_n ( x ) = 0 \) přímo z definice a věta platí triviálně. | ||
+ | V ostatních případech volíme pevné \( x \in I_x \). Definujeme | ||
+ | \[ Q_n ( t ) = \omega_n ( x ) R_n ( t ) - \omega_n ( t ) R_n ( x ) \] | ||
+ | Triviálně \( Q_n ( x ) = 0 \). Přímo z definice \( \omega_n ( x_i ) = 0, \; \forall i \in \hat n \cup \{ 0 \} \). Z definice Lagrangeova polynomu plyne \( R_n ( x_i ) = 0, \; \forall i \in \hat n \cup \{ 0 \} \). Tedy dohromady platí i \( Q_n ( x_i ) = 0, \; \forall i \in \hat n \cup \{ 0 \} \), tudíž \( Q_n ( t ) \) má na \( I_x \) \todo{Proč ne víc?} právě \( n + 2 \) kořenů. V těchto bodech je hodnota \( Q_n' ( t ) \) nenulová se střídajícím se znaménkem. Můžeme tedy na těchto \( n + 1 \) intervalech aplikovat Rolleovu větu a \( Q_n' ( t ) \) má na \( I_x \) právě \( n + 2 \) kořenů. Tento proces opakujeme, existence příslušné derivace \( Q_n ( t ) \) je zajištěna podmínkou diferencovatelnosti funkce \( f \). \( Q_n^{( n + 1 )} \) má na \( I_x \) právě jeden kořen, ten označíme \( \xi \). Platí | ||
+ | \[ Q_n^{( n + 1 )} ( t ) = \omega_n ( x ) R_n^{( n + 1 )} ( t ) - \omega_n^{( n + 1 )} ( t ) R_n ( x ) \] | ||
+ | Protože \( L_n ( x ) \) je polynom stupně \( n \), můžeme zjednodušit | ||
+ | \[ R_n^{( n + 1 )} ( t ) = f^{( n + 1 )} ( t ) - \underbrace{L_n^{( n + 1 )} ( x )}_{= 0} = f^{( n + 1 )} ( t ) \] | ||
+ | Polynom \( \omega_n ( t ) \) můžeme rozdělit na \( \omega_n ( t ) = t^{n+1} + p_n ( t ) \), kde \( p_n ( t ) \) je nějaký polynom stupně \( n \), a tedy | ||
+ | \[ \omega_n^{( n + 1 )} = ( x^{n + 1} )^{( n + 1 )} + \underbrace{p_n^{( n + 1 )} ( t )}_{= 0} = (n + 1)! \] | ||
+ | a tedy dohromady | ||
+ | \[ Q_n^{( n + 1 )} ( t ) = \omega_n ( x ) f^{( n + 1 )} ( t ) - ( n + 1 )! \, R_n ( x ) \] | ||
+ | po dosazení kořenu \( \xi \) dostáváme | ||
+ | \[ Q_n^{( n + 1 )} ( \xi ) = 0 = \omega_n ( x ) f^{( n + 1 )} ( \xi ) - ( n + 1 )! \, R_n ( x ) \] | ||
+ | z čehož jednoduchou algebraickou úpravou dostaneme tvrzení věty. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{LagrangePomerneDiference} | ||
+ | Nechť \( f \in \mathcal C^k ( D_f ) \)\todo{Opravdu \( D_f \) ?}. Potom pro libovolné \( i \) existuje \( \xi \) ležící mezi uzly \( x_i, \dots, x_{i + k} \) takové, že | ||
+ | \[ f \left[ x_i, \dots, x_{i + k} \right] = \frac{f^{( k )} ( \xi )}{k!} \] | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \todo{Důkaz 8.11} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Hermitova-Birkhoffova interpolace} | ||
+ | |||
+ | \setcounter{define}{20} | ||
+ | \begin{theorem}[V prezentaci definice] | ||
+ | \label{HermitPolynom} | ||
+ | Nechť funkce \( f : \mathbbm R \rightarrow \mathbbm R \), interval \( I \subset D_f \) takový, že \( f \in \mathcal C^M ( I ) \). Buďte \( x_0, x_1, \dots, x_n \in I \) různé uzly, ve kterých známe | ||
+ | \[ f^{( k )} ( x_i ), \; \forall i \in \hat n \cup \{ 0 \}, \; \forall k \in \hat m_i \cup \{ 0 \}, \text{kde} \; m_i \in \hat M \] | ||
+ | Definujeme číslo | ||
+ | \[ N = \sum_{i = 1}^n ( m_i + 1 ) \] | ||
+ | Potom existuje právě jeden polynom \( H_{N - 1} ( t ) \) stupně \( N - 1 \), který splňuje | ||
+ | \[ H_{N - 1}^{( k )} ( x_i ) = f^{( k )} ( x_i ), \; \forall i \in \hat n \cup \{ 0 \}, \; \forall k \in \hat m_i \cup \{ 0 \} \] | ||
+ | Tento polynom se nazývá Hermitovský interpolační polynom. | ||
+ | \begin{proof}\renewcommand{\qedsymbol}{} | ||
+ | Bez důkazu. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \setcounter{define}{22} | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | \label{HermitZbytek} | ||
+ | Nechť a \( I_x \subset D_f \) nejmenší interval takový, že \( x, x_0, x_1, \dots, x_n \in I_x \) a \( f \in \mathcal C^N ( I_x ) \). Buď \( H_{N - 1} \) Hermitovský interpolační polynom příslušící funkci \( f \) a uzlům \( x_0, x_1, \dots, x_n \). Potom existuje \( \xi \in I_x \) takové, že | ||
+ | \[ f ( x ) - H_{N - 1} ( x ) = \frac{f^{( N )} ( \xi )}{N!} \Omega_N ( x ) \] | ||
+ | kde definujeme | ||
+ | \[ \Omega_N ( x ) = \prod_{i = 0}^n ( x - x_i )^{m_i + 1} \] | ||
+ | \begin{proof}\renewcommand{\qedsymbol}{} | ||
+ | Bez důkazu. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | |||
+ | \subsection{Interpolace v \texorpdfstring{\( \mathbbm R^n \)}{R na n}} | ||
+ | |||
+ | \setcounter{define}{24} | ||
+ | \begin{remark}[Oprava chyby v prezentaci] | ||
+ | Mějme různé body \( \left( x_i, y_j \right), \; \forall i \in \hat n_1 \cup \{ 0 \}, \; \forall j \in \hat n_2 \cup \{ 0 \} \) a funkci \( f ( x_i, y_j ) \). Potom můžeme definovat bazické polynomy | ||
+ | \[ l_i^x ( x ) = \prod_{k = 1, k \neq i}^{n_1} \frac{x - x_k}{x_i - x_k} \] | ||
+ | \[ l_j^y ( y ) = \prod_{k = 1, k \neq j}^{n_2} \frac{y - y_k}{y_j - y_k} \] | ||
+ | Lagrangeův interpolační polynom má potom tvar | ||
+ | \[ L_n ( x, y ) = \sum_{i = 0}^{n_1} \sum_{j = 0}^{n_2} f ( x_i, y_j ) l_i^x ( x ) l_j^y ( y ) \] | ||
+ | \end{remark} |
Verze z 30. 12. 2015, 16:27
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01NUM1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01NUM1 | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 20:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 20:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Dedicma2 | 17. 1. 2016 | 17:20 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Dedicma2 | 23. 5. 2017 | 22:32 | znaceni.tex | |
Kapitola2 | editovat | Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:41 | prezentace2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Úvod do numerické matematiky | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:51 | prezentace3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Přímé metody pro lineární soustavy | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 17:47 | prezentace4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Iterativní metody | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 17:59 | prezentace5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Vlastní čísla a vektory matic | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 18:07 | prezentace6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Nelineární rovnice | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 15:27 | prezentace7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Interpolace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 16:43 | prezentace8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Derivace a integrace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 18:33 | prezentace9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Interpolace} \subsection{Lagrangeův polynom} \setcounter{define}{2} \begin{theorem} \label{LagrangeuvPolynom} Buď \( f: \mathbbm R \rightarrow \mathbbm R \) a body \( x_0, x_1, \dots, x_n \in D_f \). Pak existuje právě jeden Lagrangeův interpolační polynom \( L_n \) příslušící funkci \( f \) a uzlům \( x_0, x_1, \dots, x_n \). \begin{proof} \todo{Důkaz 8.3} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Lagrangeův polynom - Newtonova formule} \setcounter{define}{7} \begin{theorem} \label{NewtonovaFormule} Pro poměrné diference \( k \)-tého řádu platí \[ f \left[ x_i, \dots, x_{i + k} \right] = \sum_{j = i}^{i + k} \frac{f ( x_j )}{\prod_{m = i, m \neq j}^{i + k} ( x_j - x_m ) } \] \begin{proof} \todo{Důkaz 8.8} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Lagrangeův polynom - chyba aproximace} \setcounter{define}{9} \begin{theorem} \label{LagrangeZbytek} Nechť \( I_x \subset D_f \) nejmenší interval takový, že \( x, x_0, x_1, \dots, x_n \in I_x \) a \( f \in \mathcal C^{n + 1} ( I_x) \). Buď \( L_n \) Lagrangeův interpolační polynom příslušící funkci \( f \) a uzlům \( x_0, x_1, \dots, x_n \). Potom existuje \( \xi \in I_x \) takové, že \[ R_n ( x ) = f ( x ) - L_n ( x ) = \frac{f^{( n + 1 )} ( \xi )}{( n + 1 )!} \omega_n ( x ) \] kde definujeme \[ \omega_n ( x ) = \prod_{i = 0}^n ( x - x_i ) \] \begin{proof} Pokud \( x = x_i \) pro nějaké \( i \), tak je \( R_n ( x ) = 0 \) z definice Lagrangeova polynomu a \( \omega_n ( x ) = 0 \) přímo z definice a věta platí triviálně. V ostatních případech volíme pevné \( x \in I_x \). Definujeme \[ Q_n ( t ) = \omega_n ( x ) R_n ( t ) - \omega_n ( t ) R_n ( x ) \] Triviálně \( Q_n ( x ) = 0 \). Přímo z definice \( \omega_n ( x_i ) = 0, \; \forall i \in \hat n \cup \{ 0 \} \). Z definice Lagrangeova polynomu plyne \( R_n ( x_i ) = 0, \; \forall i \in \hat n \cup \{ 0 \} \). Tedy dohromady platí i \( Q_n ( x_i ) = 0, \; \forall i \in \hat n \cup \{ 0 \} \), tudíž \( Q_n ( t ) \) má na \( I_x \) \todo{Proč ne víc?} právě \( n + 2 \) kořenů. V těchto bodech je hodnota \( Q_n' ( t ) \) nenulová se střídajícím se znaménkem. Můžeme tedy na těchto \( n + 1 \) intervalech aplikovat Rolleovu větu a \( Q_n' ( t ) \) má na \( I_x \) právě \( n + 2 \) kořenů. Tento proces opakujeme, existence příslušné derivace \( Q_n ( t ) \) je zajištěna podmínkou diferencovatelnosti funkce \( f \). \( Q_n^{( n + 1 )} \) má na \( I_x \) právě jeden kořen, ten označíme \( \xi \). Platí \[ Q_n^{( n + 1 )} ( t ) = \omega_n ( x ) R_n^{( n + 1 )} ( t ) - \omega_n^{( n + 1 )} ( t ) R_n ( x ) \] Protože \( L_n ( x ) \) je polynom stupně \( n \), můžeme zjednodušit \[ R_n^{( n + 1 )} ( t ) = f^{( n + 1 )} ( t ) - \underbrace{L_n^{( n + 1 )} ( x )}_{= 0} = f^{( n + 1 )} ( t ) \] Polynom \( \omega_n ( t ) \) můžeme rozdělit na \( \omega_n ( t ) = t^{n+1} + p_n ( t ) \), kde \( p_n ( t ) \) je nějaký polynom stupně \( n \), a tedy \[ \omega_n^{( n + 1 )} = ( x^{n + 1} )^{( n + 1 )} + \underbrace{p_n^{( n + 1 )} ( t )}_{= 0} = (n + 1)! \] a tedy dohromady \[ Q_n^{( n + 1 )} ( t ) = \omega_n ( x ) f^{( n + 1 )} ( t ) - ( n + 1 )! \, R_n ( x ) \] po dosazení kořenu \( \xi \) dostáváme \[ Q_n^{( n + 1 )} ( \xi ) = 0 = \omega_n ( x ) f^{( n + 1 )} ( \xi ) - ( n + 1 )! \, R_n ( x ) \] z čehož jednoduchou algebraickou úpravou dostaneme tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{LagrangePomerneDiference} Nechť \( f \in \mathcal C^k ( D_f ) \)\todo{Opravdu \( D_f \) ?}. Potom pro libovolné \( i \) existuje \( \xi \) ležící mezi uzly \( x_i, \dots, x_{i + k} \) takové, že \[ f \left[ x_i, \dots, x_{i + k} \right] = \frac{f^{( k )} ( \xi )}{k!} \] \begin{proof} \todo{Důkaz 8.11} \end{proof} \end{theorem} \subsection{Hermitova-Birkhoffova interpolace} \setcounter{define}{20} \begin{theorem}[V prezentaci definice] \label{HermitPolynom} Nechť funkce \( f : \mathbbm R \rightarrow \mathbbm R \), interval \( I \subset D_f \) takový, že \( f \in \mathcal C^M ( I ) \). Buďte \( x_0, x_1, \dots, x_n \in I \) různé uzly, ve kterých známe \[ f^{( k )} ( x_i ), \; \forall i \in \hat n \cup \{ 0 \}, \; \forall k \in \hat m_i \cup \{ 0 \}, \text{kde} \; m_i \in \hat M \] Definujeme číslo \[ N = \sum_{i = 1}^n ( m_i + 1 ) \] Potom existuje právě jeden polynom \( H_{N - 1} ( t ) \) stupně \( N - 1 \), který splňuje \[ H_{N - 1}^{( k )} ( x_i ) = f^{( k )} ( x_i ), \; \forall i \in \hat n \cup \{ 0 \}, \; \forall k \in \hat m_i \cup \{ 0 \} \] Tento polynom se nazývá Hermitovský interpolační polynom. \begin{proof}\renewcommand{\qedsymbol}{} Bez důkazu. \end{proof} \end{theorem} \setcounter{define}{22} \begin{theorem} \label{HermitZbytek} Nechť a \( I_x \subset D_f \) nejmenší interval takový, že \( x, x_0, x_1, \dots, x_n \in I_x \) a \( f \in \mathcal C^N ( I_x ) \). Buď \( H_{N - 1} \) Hermitovský interpolační polynom příslušící funkci \( f \) a uzlům \( x_0, x_1, \dots, x_n \). Potom existuje \( \xi \in I_x \) takové, že \[ f ( x ) - H_{N - 1} ( x ) = \frac{f^{( N )} ( \xi )}{N!} \Omega_N ( x ) \] kde definujeme \[ \Omega_N ( x ) = \prod_{i = 0}^n ( x - x_i )^{m_i + 1} \] \begin{proof}\renewcommand{\qedsymbol}{} Bez důkazu. \end{proof} \end{theorem} \subsection{Interpolace v \texorpdfstring{\( \mathbbm R^n \)}{R na n}} \setcounter{define}{24} \begin{remark}[Oprava chyby v prezentaci] Mějme různé body \( \left( x_i, y_j \right), \; \forall i \in \hat n_1 \cup \{ 0 \}, \; \forall j \in \hat n_2 \cup \{ 0 \} \) a funkci \( f ( x_i, y_j ) \). Potom můžeme definovat bazické polynomy \[ l_i^x ( x ) = \prod_{k = 1, k \neq i}^{n_1} \frac{x - x_k}{x_i - x_k} \] \[ l_j^y ( y ) = \prod_{k = 1, k \neq j}^{n_2} \frac{y - y_k}{y_j - y_k} \] Lagrangeův interpolační polynom má potom tvar \[ L_n ( x, y ) = \sum_{i = 0}^{n_1} \sum_{j = 0}^{n_2} f ( x_i, y_j ) l_i^x ( x ) l_j^y ( y ) \] \end{remark}