02GR:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
(pridana rovnice trid a dalsi tvrzeni potrebne k dukazu Sylowovy vety) |
||
Řádka 453: | Řádka 453: | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
+ | %___________________________________________________Rovnice trid____________________________________________________ | ||
+ | \begin{theorem}\label{pocet trid ekvivalence} | ||
+ | Nechť $G$ je grupa, $A$ neprázdná množina. Pak platí: | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Relace na $A$ definovaná přes akci G jako $a \sim b \lra a = g \cdot b \quad g \in G$ je ekvivalence. | ||
+ | \item $\all a \in A$ je počet prvků ve třídě ekvivalence obsahující $a$ roven $|G:G_a|$, index stabilizátoru a. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | \begin{enumerate} | ||
+ | \item Reflexivita je jasná, pro ověření symetrie nechť $a \sim b$. Pak $a = g \cdot b$, takže $g^{-1} \cdot a = g^{-1} \cdot g \cdot b = b$, tedy $b \sim a$. Nakonec pro důkaz tranzitivity mějme $a \sim b$ a $b \sim c$, tedy $a = g \cdot b$ a $b = h \cdot c$ pro nějaké $g, h \in G$. Dostáváme $a = g \cdot b = g \cdot (h \cdot c) = (gh) \cdot c$, proto $a \sim c$. | ||
+ | \item Sestrojíme bijekci mezi levými třídami $G_a$ v $G$ a třídami ekvivalnece $a$ (orbitami $a$). Nechť tedy $\Cc_a = \{ g \cdot a | g \in G \}$. Pak zobrazení $g \cdot a \rightarrow gG_a$ zobrazuje $\Cc_a$ do množiny levých třid $G_a$ v $G$ a je očividně surjektivní. Protože $g \cdot a = h \cdot a \lra h^{-1}g \in G_a \lra gG_a = hG_a$ je taky prosté. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Konjugace splňuje axiomy akce a platí $G_s = C_G(s) = N_G({s})$ pro akci $G$ na $S$, $s \in S$. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{remark} | ||
+ | Dále budeme pod pojmem orbita rozumět příslušnou třídu ekvilence konjugace. | ||
+ | \end{remark} | ||
+ | |||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | (Rovnice tříd) Nechť $G$ je konečná grupa a $g_1, g_2, \dots g_r$ reprezentanti různých orbit neobsažených v $G$. Pak | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | |G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^{r}|G:C_G(g_i)|. | ||
+ | \end{align} | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Orbita $x$ obsahuje jenom jeden prvek právě tehdy když $x \in Z(G)$, protože $gxg^{-1} = x$, $\all g \in G$. Nechť $Z(G) = \{1, z_2, \dots, z_m$ a $O_1, O_2, \dots, O_r$ orbity neobsažené v centru a $g_i$ reprezentant $O_i$, $\all i$. Potom všechny orbity (třídy ekvivalence) jsou: | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | \{1\}, \{z_2\}, \dots, \{z_m\}, O_1, O_2, \dots, O_r. | ||
+ | \end{align} | ||
+ | Protože třídy ekvivalence tvoří disjunktní rozklad $G$, máme díky předchozí větě | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | |G|=\sum_{i=1}^{m}1+\sum_{i=1}^{r}|O_i|=|Z(G)|+\sum_{i=1}^{r}|G:C_G(g_i)|. | ||
+ | \end{align} | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} | ||
− | + | %___________________________________________________Sylowova veta_________________________________________________ | |
− | + | ||
Verze z 14. 12. 2015, 23:40
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02GR
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02GR | Maresj23 | 23. 12. 2012 | 21:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:51 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 26. 12. 2015 | 16:53 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Předmluva | Nguyebin | 26. 12. 2015 | 16:55 | kapitola0.tex | |
Kapitola1 | editovat | Grupy | Kubuondr | 5. 1. 2019 | 10:03 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Podgrupy | Kubuondr | 25. 12. 2018 | 14:30 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Faktor grupy | Kubuondr | 7. 1. 2019 | 22:00 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Přímý a polopřímý součin grup | Kubuondr | 6. 1. 2019 | 13:45 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Reprezentace | Kubuondr | 6. 1. 2019 | 17:50 | kapitola5.tex | |
KapitolaA | editovat | Literatura | Maresj23 | 21. 12. 2012 | 16:45 | literatura.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Soubor:02GR_trojuhelnik.jpg | trojuhelnik.jpg |
Soubor:02GR_usporadani.jpg | usporadani.jpg |
Soubor:02GR_mrizka.PNG | mrizka.PNG |
Soubor:02GR_vlakna.PNG | vlakna.PNG |
Soubor:02GR_nasobeni_reprezentanti.PNG | nasobeni_reprezentanti.PNG |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02GR} % **************************************************************************************************************************** % KAPITOLA: Faktor grupy % **************************************************************************************************************************** \chapter{Faktor grupy} \begin{remark} Studium faktor grup dané grupy $G$ nám umožňuje zkoumat její strukturu a je ekvivalentní zkoumání homomorfismů $G$. \end{remark} \begin{define} Mějme homomorfismus $\varphi : G \rightarrow H$. \textbf{Vláknem} homomorfismu $\varphi$ příslušejícím prvku $x \in H$ nazýváme množinu $\{y \in G|\varphi(y)=x\}$, tedy množina všech prvků, které se zobrazí na $x$. (Obr. \ref{fig:vlakna}). \end{define} \begin{figure} \centering \includegraphics[scale=.8]{vlakna.PNG} \caption{Znázornění vláken homomorfismu. Převzato z \cite{AA}.} \label{fig:vlakna} \end{figure} \begin{corollary} Pro homomorfismus $\varphi$ : $G \rightarrow H$ platí: \begin{enumerate} \item $\varphi(1_G)=1_H$ \item $\varphi(g^{-1})=\varphi(g)^{-1}$ \item $\varphi(g^{n})=\varphi(g)^{n}$ \item $\mathrm{Ker}\varphi \le G$ \item $\mathrm{Im}\varphi \le H$ (obraz) \end{enumerate} \end{corollary} \begin{define} Mějme homomorfismus $\varphi : G \rightarrow H$ s jádrem $\mathrm{Ker}\varphi=K$. Potom \textbf{faktor grupa} $G/K$ ($G$ mod $K$) je grupa na vláknech $\varphi$ s operací definovanou pomocí reprezentantů: pokud $X$ je vlákno nad $a$ a $Y$ je vlákno nad $b$, pak prvek $XY \in G/K$ je vlákno nad $ab$. \end{define} \begin{remark} To, že faktor grupa má skutečně vlastnosti grupy se lehce ověří z platnosti těchto vlastností v $G$. \end{remark} \begin{theorem} \label{v:tridy} Mějme homomorfismus $\varphi : G \rightarrow H$ s jádrem $\mathrm{Ker}\varphi=K$ a nechť $X_a \in G/K$ je vlákno nad $a \in H$, tedy $X_a=\varphi^{-1}(a)$. Potom platí: \begin{enumerate} \item $\all u \in X_a$ je $X_a=\{uk|k \in K\}$, \item $\all u \in X_a$ je $X_a=\{ku|k \in K\}$. \end{enumerate} \begin{proof} Dokážeme pouze první bod (druhý se dokazuje analogicky). Označme $uK = \{uk|k \in K\}$, mějme $u \in X_a$ (tedy $\varphi(u)=a$) a ukážeme, že $uK \subset X_a$: $\varphi(uk)=\varphi(u)\varphi(k)=\varphi(u)e=a$. (Využili jsme nejprve toho, že $\varphi$ je homomorfismus a pak toho, že $k$ je z jádra.) Pro důkaz opačné inkluze mějme libovolné $g \in X_a$ a vezměme $k=u^{-1}g$. Jelikož $\varphi(k)=\varphi(u^{-1}g)=\varphi(u^{-1})\varphi(g)=a^{-1}a=e$, $k$ patří do jádra. Dále zřejmě $g=uk$, tedy $g \in uK$. \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Pro libovolnou $H \le G$ a libovolné $g \in G$ nazýváme množiny $gH=\{gh|h \in H\}$ respektive $Hg=\{hg|h \in H\}$ \textbf{levé} respektive \textbf{pravé} třídy $H$ v $G$. Libovolný prvek třídy nazýváme jejím \textbf{reprezentantem}. \end{define} \begin{theorem} Buďte $G$ grupa a $K$ jádro nějakého homomorfismu $\varphi$ z $G$ do nějaké grupy. Potom množina levých tříd $K$ v $G$ s operací definovanou jako $aK \otimes bK = (ab)K$ je grupa $G/K$. Tedy tato operace je dobře definovaná (nezávisí na výběru reprezentanta). (Obr. \ref{fig:nasobeni_reprezentanti}) \begin{proof} Mějme $X,Y \in G/K$, $X=\varphi^{-1}(a)$, $Y=\varphi^{-1}(b)$ a $Z=XY \in G/K$. Podle definice operací v $G/K$ je $Z=\varphi^{-1}(ab)$. Z věty \ref{v:tridy} víme, že prvky $G/K$ jsou levé třídy $K$. Je třeba ukázat, že i operace, kterou zde definuje pomocí reprezentantů odpovídá původní definici násobení v $G/K$ bez ohledu na výběr reprezentanta. Mějme $u \in X$ a $v \in Y$, tedy $\varphi(u)=a$, $\varphi(v)=b$ a $X=uK$ a $Y=vK$. Určíme, zda $uv \in Z$. \begin{align} \varphi(uv)=\varphi(u)\varphi(v)=ab \nonumber \end{align} Odtud tedy plyne, že $uv \in Z$, a tedy $Z=uvK$. \end{proof} \end{theorem} \begin{figure} \centering \includegraphics[scale=0.6]{nasobeni_reprezentanti.PNG} \caption{Znázornění násobení v $G/K$ pomocí reprezentantů levých tříd. Převzato z \cite{AA}.} \label{fig:nasobeni_reprezentanti} \end{figure} \begin{theorem} Nechť $N \le G$, potom množina levých tříd $N$ v $G$ tvoří rozklad $G$ (jejich sjednocením je $G$ a jednotlivé třídy mají prázdný průnik). Dále $\all u,v \in G $ platí $uN=vN$ právě tehdy, když $u^{-1}v \in N$, tedy když $u$ a $v$ jsou reprezentanty stejné třídy. \begin{proof} Nejprve ukážeme, že sjednocením levých tříd je celé $G$. Jelikož $N$ je grupa, pak $1 \in N$, a tedy platí: \begin{align} \bigcup_{g \in G} gN \subset \bigcup_{g \in G} g1 = G. \nonumber \end{align} Pro důkaz druhé části vezmeme $uN \cap vN \neq \emptyset$ a ukážeme, že potom platí $uN = vN$. Vezměme $x \in uN \cap vN$, tedy $x$ můžeme napsat jako $x= un_1 = vn_2$ pro nějaká $n_1,n_2 \in N$. Rovnost vynásobíme zprava $n_1^{-1}$ a dostaneme $u = vn_2 n_1^{-1} = vn_3$ pro nějaké $n_3 \in N$. Tedy vidíme, že $u \in vN$. Dále pro libovolné $t \in uN$ platí $t = un_4 = (vn_3)n_4 = vn_5$, takže $t \in vN$ pro $\all t \in uN$, tedy $uN \subset vN$. Opačnou inkluzi dostaneme záměnou role $u$ a $v$. Jelikož víme, že $u=vn_3$, pak platí $v^{-1}u=n_3$, tedy $v^{-1}u \in N$ a to platí pro libovolné reprezentanty tříd. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} \label{v:normalni} Buď $G$ grupa a $N \le G$. Potom: \begin{enumerate} \item Operace na levých třídách definovaná jako $uNvN=(uv)N$ je dobře definovaná právě tehdy, když $(gng^{-1} \in N)(\all g \in G $ a $ \all n \in N)$. \item Je-li výše uvedená operace dobře definovaná, pak je množina levých tříd $N$ grupou s jednotkou $eN$ a inverzním prvkem $(gN)^{-1}=g^{-1}N$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item[$\ra$)] Nechť je operace na levých třídách dobře definovaná, tedy \begin{align} (\all u,v \in G)(u,u_1 \in uN \text{ a } v,v_1 \in vN \ra uvN=u_1v_1N). \end{align} Nechť $g \in G$ a $n \in N$ libovolné. Položíme $u = 1$, $u_1 = n$ a $v = v_1 = g^{-1}$ a z předpokladu dostaneme \begin{align} g^{-1}N=ng^{-1}N \end{align} Protože $1 \in N$, $ng^{-1} \in g^{-1}N$. Tedy $ng^{-1}=g^{-1}n_1$, pro nějaké $n_1 \in N$. Vynásobením $g$ zleva dostáváme požadovanou rovnost $gng^{-1}=n_1 \in N$. \item[$\la$)] Předpokládáme $(gng^{-1} \in N)(\all g \in G$ a $\all n \in N)$ a vezmeme $u,u_1 \in uN$ a $v,v_1 \in vN$. Pak můžeme psát $u_1=un$ a $v_1=vm$, pro nějaké $n,m \in N$. Musíme ukázat že $u_1v_1 \in uvN$: \begin{align} u_1v_1=(un)(vm)=u(vv^{-1})nvm=(uv)(v^{-1}nv)m=(uv)(n_1)=uvn_2 \in uvN \end{align} kde $n_1=v^{-1}nv=(v^{-1})n(v^{-1})^{-1} \in N$ z předpokladu a $n_2 = n_1m \in N$ z definice. Protože $u_1v_1 \in uvN \cap u_1v_1N$, plyne z předchozí věty rovnost $uvN = u_1v_1N$. \end{enumerate} \item Pokud je operace na levých třídách dobře definovaná, plynou axiomy grupy z platnosti v $G$. Asociativita: \begin{align} (uN)(vNwN)=uN(vwN)=u(vw)N=(uv)wN=(uNvN)(wN),\quad \all u,v,w \in G \end{align} Z definice násobení je vidět že jednotka v $G/N$ je N a $g^{-1}N$ je inverze $gN$. \end{enumerate} %str 81/95 \end{proof} \end{theorem} %XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXxxxxx %\begin{define} % Operce na levých třídách (na pravých obdobně) $N$ v $G$ je \textbf{dobře definovaná}, pokud $(\all u,u_1 \in uN)(\all v,v_1 \in vN)$ platí $(uvN=u_1v_1 N)$. %\end{define} % % %\begin{theorem} % Máme-li $N \le G$, potom: % \begin{enumerate} % \item Operace na levých třídách je dobře definovaná $\lra$ $(\all n \in N)(\all g \in G)(gng{-1}N)$. % \item Je-li operace dobře definovaná, pak množina tříd s touto operací tvoří grupu. (Tedy jsem schopen vytvořit faktor grupu.) % \end{enumerate} % \begin{proof} % \begin{enumerate} % \item $\la)$ Nechť ($u=e, u_1 \in N, v=v_1=g^{-1} \in G) \le (eg^{-1}N=u_1g^{-1}) \le (N=gug^{-1}N)$.\\ % $\ra) (\all n\in N, \all g \in G)(gng^{-1}\in N).$ Mějme $u_1,u_2 \in u_1 N$ a $v_1,v_2 \in v_1 N$ ?????????? % \item $eN=N$ (jednotka je $N$), $(gN)^{-1}=g^{-1}N$, asociativita. % \end{enumerate} % \end{proof} %\end{theorem} \begin{define} Prvek $m=gng^{-1}$ se nazývá \textbf{konjugovaný} k $n$ prvkem $g$. \end{define} \begin{define} Buď $A \subset G$ libovolná podmnožina grupy. Množina $M=gAg^{-1}$ se nazývá \textbf{konjugovaná} k $A$ prvkem $g$. \end{define} %\begin{define} % Buď $\emptyset \neq A \subset G$. Množinu $C_G(A)=\{g\in G|(gag^{-1}=a )(\all a \in A)\}$ nazveme \textbf{centralizátor} $A$ v $G$. %\end{define} % %\begin{theorem} % $C_G(A) \le G$. % \begin{proof} % $e \in C_G(A), g_1 g_2 = a, g_1^{-1} g_2^{-1} = a$ % \end{proof} %\end{theorem} % % %\begin{define} % \textbf{Centrum} grupy je $Z_G=\{z \in G|gzg^{-1}=z \all g \in G\}=C_G(G)$. (Neboli $gz=zt$ - všechny prvky, které komutují s celou grupou. Je to množina, kterou centralizuje celá grupa.) %\end{define} % %\begin{define} % Množinu $N_G(A)=\{g\in G|gAg^{-1}=A\}$ nazveme \textbf{normalizátor} $A$ v $G$. %\end{define} % %\begin{remark} % $C_G(A) \le N_G(A)$. %\end{remark} \begin{define} Pokud pro $N \le G$ platí $N_G(N)=G$ (normalizátor $N$ v $G$), pak $N$ nazýváme \textbf{normální} podgrupa. Značíme $N \npg G$ \end{define} \begin{remark} Pro ověření, zda podgrupa $N \le G$ je normální, stačí ověřit, že komutuje s generátory množiny $G \setminus N$ (množinový rozdíl), pokud tyto generátory známe. \end{remark} \begin{theorem} \label{v:ekvivalence_normalni} Nechť $N \le G$, potom následující tvrzen jsou ekvivalentní: \begin{enumerate} \item $N \npg G$ \item $N_G(N)=G$ \item $gN=Ng$ \item Operace na třídách je dobře definovaná. \item $gNg^{-1} \subset N$ \end{enumerate} \begin{proof} Přepsání definic. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Nechť $N \le G$, potom $N \npg G$ právě tehdy když $\exists$ homomorfismus $\varphi$ takový, že $N=Ker(\varphi)$. \begin{proof} \begin{enumerate} \item[$\la$)] Podle věty \ref{v:tridy} víme, že levé a pravé třídy jsou stejné ($gN = Ng$), což je podle věty \ref{v:ekvivalence_normalni} ekvivalentní normálnosti grupy. \item[$\ra$)] Nyní máme $N \npg G$ a označíme $H = G/N$ (Podle věty \ref{v:normalni} je operace na levých třídách pro normální grupu dobře definovaná). Definujeme zobrazení $\pi: G \rightarrow G/N$ jako $\pi(g) = gN$ pro $\all g \in G$. Z definice operací v $G/N$ platí pro $\all f,g \in G$: $\pi(fg) = (fg)N = fNgN = \pi(f)\pi(g)$, tedy $\pi$ je homomorfismus. Jeho jádro je: $Ker(\pi) = \{g \in G | \pi(g) = 1N\} = \{g \in G | gN = 1N \} = \{g \in G | g \in N\} = N$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Nyní můžeme faktorizovat podle normální podgrupy $G/N$ aniž bychom měli homomorfismus. \end{remark} \begin{define} Buď $N \npg G$, pak zobrazení $\pi:G \rightarrow G/N: \pi(g)=gN$ nazýváme \textbf{přirozená projekce} $G$ na $G/N$. \end{define} \begin{theorem} \label{v:lagrange} (Lagrangeova věta) Nechť $G$ je konečná, $H \le G$, potom $|H|$ dělí $|G|$. Navíc počet levých tříd $H$ v $G$ je roven $\frac{|G|}{|H|}$. \begin{proof} Nejprve ukážeme, že všechny levé třídy mají stejně prvků. Označme $|H|=n$ a $k$ počet levých tříd a pro $\all g \in G$ definujme zobrazení z $H$ do $gH$ přiřazující $h \rightarrow gh$. Podle definice levých tříd je toto zobrazení surjektivní a jelikož $gh_1=gh_2$ právě, když $h_1 = h_2$, je i injektivní. Odtud plyne $|gH|=|H|$. Jelikož je tedy $G$ rozděleno na $k$ levých tříd o $n$ prvcích, platí $|G|=kn$, a tedy $k=\frac{|G|}{n}$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Komutativní grupa prvočíselného řádu nemůže mít netriviální normální podgrupu. \end{remark} \begin{define} Buď $G$ grupa (i nekonečného řádu) a $H \le G$. Potom počet levých tříd $H$ v $G$ nazýváme \textbf{index} $H$ v $G$ a značíme $|G:H|$. \end{define} \begin{remark} Pro konečné grupy tedy platí $|G:H|=\frac{|G|}{|H|}$. \end{remark} \begin{dusl} Pro konečnou grupu $G$ a $x \in G$ platí $|x|$ dělí $|G|$. \end{dusl} \begin{dusl} Grupa prvočíselného řádu je cyklická. \end{dusl} \begin{define} Grupu $G$, jejíž jediné normální podgrupy jsou triviální ($1$ a $G$), nazýváme \textbf{prostá}. \end{define} \begin{remark} Opačné tvrzení k Lagrangeově větě neplatí. Tedy konečná grupa $G$, jejíž řád má dělitele $n$ nemusí mít podgrupu řádu $n$. (Platí to pro konečné abelovské grupy.) \end{remark} \begin{define} Zavádíme \uv{součin} podgrup $K,H \le G$ jako: $KH= \{kh | k \in K, h \in H \}$. \end{define} %A další věci od strany 93... nevím, co z toho se dělalo na přednášce. \begin{theorem} Nechť $H$ a $K$ jsou podgrupy nějaké grupy, pak \begin{align} |HK|=\frac{|H||K|}{|H \cap K|}. \end{align} \begin{proof} $HK$ můžeme napsat jako sjednocení levých tříd $K$, \begin{align} HK = \bigcup_{h \in H}hK. \end{align} Protože cšechny levé třídy mají stejný počet prvků $|K|$, stačí zjistit počet různých levých tříd tvaru $hK$, $h \in H$. Ale $h_1K = h_2K$ pro $h_1,h_2 \in H$ pávě tehdy když $h_2^{-1}h_1 \in K$. Tedy \begin{align} h_1K=h_2K \Leftrightarrow h_2^{-1}h_1 \in H \cap K \Leftrightarrow h_1(H \cap K) = h_2(H \cap K). \end{align} To znamená, že počet různých levých tříd tvaru $hK$, $h \in H$ je stejný jako počet levých tříd tvaru $h(H \cap K)$, $h \in H$. A to je, z Lagrangeovy věty, rovno $\frac{|H|}{|H \cap K|}$ . Tedy $HK$ obsahuje $\frac{|H|}{|H \cap K|}$ různých levých tříd K, kde každá má $|K|$ prvků, čímž dostáváme tvrzení věty. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Nechť $H,K \le G$, pak $HK \le G$ právě tehdy když $HK = KH$. \begin{proof} \begin{enumerate} \item[$\la$)] Nechť $HK = KH$ a $a,b \in HK$. Ukážeme že $ab^{-1} \in HK$, takže $HK$ je podgrupa. Můžeme psát $a = h_1k_1$ a $b = h_2k_2$ pro nějaké $h_1,h_2 \in H$ a $k_1,k_2 \in K$. Tedy \begin{align} ab^{-1}=h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}=h_1k_3h_2^{-1} \end{align} kde $k_3 = k_1k_2^{-1} \in K$. Užítím předpokladu můžeme napsat $k_3h_2^{-1}=h_4k_4$ a dostáváme \begin{align} ab^{-1}=(h_1h_4)k_4 \in HK. \end{align} \item[$\ra$)] Když $HK \le G$, pak protože $K \le HK$ a $H \le HK$ platí $KH \subset HK$. Pro důkaz opačné inkluze vezmeme $hk \in HK$. Protože $HK$ je podgrupa, můžeme psát $hk = a^{1}$ pro nějaké $a \in HK$. Ale taky $a = h_1k_1$ pro nějaké $h_1 \in H$, $k_1 \in K$. Dostávame tedy \begin{align} hk=(h_1k_1)^{-1}=k_1^{-1}h_1^{-1} \in KH. \end{align} \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{dusl} Nechť $H,K \le G$ a $H \le N_G(K)$, pak $HK \le G$. Specálně pokud $K \npg G$, pak $HK \le G$ pro libovolnou $H \le G$. \begin{proof} Ukážeme že $HK = KH$. Nechť $h \in H$, $k \in K$. Z předpokladu máme $hkh^{-1} \in K$, tudíž \begin{align} hk=(hkh^{-1})h \in KH. \end{align} Ukázali jsme tedy, že $HK \subset KH$. Opačná inkluze se ukáže analogicky a z předchozí věty už plyne co jsme chtěli dokázat. \end{proof} \end{dusl} %____________________________________________________________________________________________ \section{Věty o isomorfismech} \begin{theorem} (1. VOI) Pokud $\varphi : G \rightarrow H$ je homomorfismus, pak $Ker(\varphi) \npg G$ a $G/Ker(\varphi) \cong \varphi(G)$. \begin{proof} Cvičení. \end{proof} \end{theorem} \begin{dusl} Buď $\varphi : G \rightarrow H$ homomorfismus. Potom platí: \begin{enumerate} \item $\varphi$ je prosté, právě když $Ker(\varphi) = 1$, \item $|G:Ker(\varphi)| = |\varphi(G)|$. \end{enumerate} \end{dusl} \begin{theorem} (2. (\uv{diamantová}) VOI) Buď $G$ grupa a $A \le G$, $B \le G$ a $A \le N_G(B)$. Potom $AB \le G$, $B \npg AB$, $A \cap B \npg A$ a $AB/B \cong A/A \cap B$. \begin{proof} Z předchozího důsledku plyne, že $AB \le G$. Protože $A \le N_G(B)$ z předpokladu a $B \le N_G(b)$ triviálně, je taky $AB \le N_G(B)$, tedy $B \npg AB$ a faktorgrupa $AB/B$ je dobře definována. Definujeme proto homomorfismus $\varphi :A \rightarrow AB/B:a \rightarrow aB$: \begin{align} \varphi(a_1a_2)=(a_1a_2)B=a_1Ba_2B=\varphi(a_1)\varphi(a_2). \end{align} Z definice je vidět, že $\varphi$ je surjektivní. Jednotkový prvek v $AB/B$ je $B$, tedy $Ker(\varphi) = \{a \in A,\ aB = B\} = A \cap B$. Z 1. VOI už plyne, že $A \cap B \npg A$ a $A/A \cap B \cong AB/B$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} (3. VOI) Buď $G$ grupa a $H \npg G$, $K \npg G$ a $H \le K$. Potom $K/H \npg G/H$ a $(G/H)/(K/H)\cong G/K$, tedy pokud faktorgrupu podle $H$ označíme pruhem, tvrzení je: $\bar{G}/\bar{K} \cong G/K$. \begin{proof} Definujeme homomorfismus: \begin{align} \varphi : G/H \rightarrow G/K : gH \rightarrow gK. \end{align} Abychom ukázali že $\varphi$ je dorbře definované vezmeme $g_1H = g_2H$. Potom $g_1 = g_2h$ pro nějaké $h \in H$. Protože $H \le K$, je taky $h \in K$, proto $g_1K = g_2K$. Tudíž $\varphi(g_1H) = \varphi(g_2H)$ a $\varphi$ je dobře definované. Protože $g$ může být libvolné je $\varphi$ taky surjektivní. Dále \begin{align} Ker(\varphi) = \{gH \in G/H | \varphi(gH) = K\} = \{gH \in G/H | gK = K\} = \{gH \in G/H | g \in K \} = K/H, \end{align} z 1. VOI už plyne $(G/H)(K/H) \cong G/K$. \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Následují věta hovoří o vztahu struktury podgrup původní grupy $G$ a faktorgrupy $G/N$. Vlastně říká, že struktura podgrup faktorgrupy je stejná jako struktura podgrup $G$, které obsahují $N$. \end{remark} \begin{theorem} (4. (mřížková) VOI) Buď $G$ grupa a $N \npg G$. Potom existuje bijekce z množiny podgrup $G$ obsahujících $N$ na množinu podgrup $G/N$, která každé podgrupě $A$ z první množiny přiřazuje podgrupu $A/N$ ze druhé. \begin{proof} Str 99/113 \end{proof} \end{theorem} %____________________________________________________________________________________________ \section{Kompoziční řady a Hölderův program} \begin{theorem} Je-li $G$ konečná Abelovská grupa a $p$ prvočíslo, které dělí $|G|$, pak $G$ obsahuje prvek řádu $p$. \begin{proof} Důkaz se provádí pomocí takzvané úplné indukce podle řádu $G$. Tedy se předpokládá, že tvrzení platí pro všechny grupy řádu ostře menšího než $|G|$ a ukáže se platnost pro $|G|$. Pro $|G|=1$ je tvrzení triviální. Mějme $|G|>1$, tedy existuje $x \in G$, $x \neq 1$. Pokud $|G|=p$ je v důsledku Lagrangeovy věty \ref{v:lagrange} $G$ cyklická a tedy generovaná nějakým prvkem řádu $|G|$. Dále tedy předpokládejme $|G|>p$. Pokud bychom vzali prvek, jehož řád je dělitelný číslem $p$ (tedy $|x|=pn$), pak stačí vzít prvek $x^n$, který je řádu $|x^n|=p$. Dále tedy uvažujeme $p \nmid |x|$. Buď $N = <x>$. Jelikož $G$ je abelovská, pak $N \npg G$ a z Lagrangeovy věty máme $|G/N| = \frac{|G|}{|N|}$, respektive $|G/N||N|=|G|$. Protože $|N|>1$, musí platit $|G/N|<|G|$. Dále jelikož $p \mid |G|$, ale $p \nmid |N|$, musí platit $p \mid |G/N|$. Z indukčního předpokladu pak $G/N$ obsahuje prvek $\bar{y} = yN$ řádu $p$. Jelikož $y \notin N$, ale $y^p \in N$, musí být $<y^p> \neq <y>$, a tedy $|y^p|<|y|$. Podle věty \ref{v:rady} tedy platí $p \mid |y|$ a dostáváme se k předchozímu případu. \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Grupa $G$ (konečná i nekonečná) se nazývá \textbf{jednoduchá}, pokud $|G|>1$ a jejími jedinými normálními podgrupami jsou $1$ a $G$. \end{define} \begin{define} V grupě $G$ řadu podgrup $1=N_0 \le N_1 \le \ldots \le N_{k-1} \le N_k = G$ nazýváme \textbf{kompoziční řada}, pokud $(\all 0\le i\le k-1)(N_i \npg N_{i+1})$ a $N_{i+1}/N_i$ je jednoduchá. Faktor grupy $N_{i+1}/N_i$ se pak nazývají \textbf{kompoziční faktory} $G$. \end{define} \begin{theorem} (Jordan-Hölder) Buď $G \neq 1$ konečná grupa. Pak: \begin{enumerate} \item $G$ má kompoziční řadu, \item kompoziční faktory této řady jsou dány jednoznačně. Konkrétně pokud $1=N_0 \le N_1 \le \ldots \le N_r = G$ a $1=M_0 \le M_1 \le \ldots \le M_s = G$ jsou dvě kompoziční řady $G$, pak $r=s$ a existuje permutace $\pi$ $r$-tice $(1, 2, \ldots, r)$ taková, že \begin{equation} M_{\pi(i)}/M_{\pi(i)-1} \simeq N_i/N_{i-1} \quad 1 \le i \le r. \end{equation} \end{enumerate} \begin{proof} 117 \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Existuje 18 (nekonečných) rodin jednoduchých grup a 26 jednoduchých grup, které nepatří do žádné z těchto skupin (sporadické jednoduché grupy) takových, že každá konečná jednoduchá grupa je isomorfní s některou z výše uvedených. \begin{proof} Výsledek cca 100 let práce mnoha matematiků na 5000-10000 stránkách odborných časopisů. Ponecháno čtenáři jako snadné cvičení. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Je-li $G$ jednoduchá grupa prvočíselného řádu, pak $G \simeq \mathbb{Z}_p$ pro nějaké prvočíslo $p$. \begin{proof} 255 stran... \end{proof} \end{theorem} %___________________________________________________Rovnice trid____________________________________________________ \begin{theorem}\label{pocet trid ekvivalence} Nechť $G$ je grupa, $A$ neprázdná množina. Pak platí: \begin{enumerate} \item Relace na $A$ definovaná přes akci G jako $a \sim b \lra a = g \cdot b \quad g \in G$ je ekvivalence. \item $\all a \in A$ je počet prvků ve třídě ekvivalence obsahující $a$ roven $|G:G_a|$, index stabilizátoru a. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Reflexivita je jasná, pro ověření symetrie nechť $a \sim b$. Pak $a = g \cdot b$, takže $g^{-1} \cdot a = g^{-1} \cdot g \cdot b = b$, tedy $b \sim a$. Nakonec pro důkaz tranzitivity mějme $a \sim b$ a $b \sim c$, tedy $a = g \cdot b$ a $b = h \cdot c$ pro nějaké $g, h \in G$. Dostáváme $a = g \cdot b = g \cdot (h \cdot c) = (gh) \cdot c$, proto $a \sim c$. \item Sestrojíme bijekci mezi levými třídami $G_a$ v $G$ a třídami ekvivalnece $a$ (orbitami $a$). Nechť tedy $\Cc_a = \{ g \cdot a | g \in G \}$. Pak zobrazení $g \cdot a \rightarrow gG_a$ zobrazuje $\Cc_a$ do množiny levých třid $G_a$ v $G$ a je očividně surjektivní. Protože $g \cdot a = h \cdot a \lra h^{-1}g \in G_a \lra gG_a = hG_a$ je taky prosté. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} Konjugace splňuje axiomy akce a platí $G_s = C_G(s) = N_G({s})$ pro akci $G$ na $S$, $s \in S$. \end{remark} \begin{remark} Dále budeme pod pojmem orbita rozumět příslušnou třídu ekvilence konjugace. \end{remark} \begin{theorem} (Rovnice tříd) Nechť $G$ je konečná grupa a $g_1, g_2, \dots g_r$ reprezentanti různých orbit neobsažených v $G$. Pak \begin{align} |G| = |Z(G)| + \sum_{i=1}^{r}|G:C_G(g_i)|. \end{align} \begin{proof} Orbita $x$ obsahuje jenom jeden prvek právě tehdy když $x \in Z(G)$, protože $gxg^{-1} = x$, $\all g \in G$. Nechť $Z(G) = \{1, z_2, \dots, z_m$ a $O_1, O_2, \dots, O_r$ orbity neobsažené v centru a $g_i$ reprezentant $O_i$, $\all i$. Potom všechny orbity (třídy ekvivalence) jsou: \begin{align} \{1\}, \{z_2\}, \dots, \{z_m\}, O_1, O_2, \dots, O_r. \end{align} Protože třídy ekvivalence tvoří disjunktní rozklad $G$, máme díky předchozí větě \begin{align} |G|=\sum_{i=1}^{m}1+\sum_{i=1}^{r}|O_i|=|Z(G)|+\sum_{i=1}^{r}|G:C_G(g_i)|. \end{align} \end{proof} \end{theorem} %___________________________________________________Sylowova veta_________________________________________________ \section{Sylowova věta} \begin{define} Buďte $G$ grupa a $p$ prvočíslo. \begin{enumerate} \item Grupu řádu $p^\alpha$ pro nějaké $\alpha \geq 1$ se nazývá \textbf{p-grupa}. Podgrupy $G$ řádu $p^\alpha$ nazýváme \textbf{p-podgrupy} $G$. \item Je-li $G$ řádu $p^\alpha m$ a $p \nmid m$, pak podgrupu řádu $p^\alpha$ nazýváme \textbf{Sylowova p-podgrupa} $G$. \item Množinu všech Sylowových $p$-podgrup značíme $Syl_p(G)$ a počet těchto podgrup $n_p(G)$ (nebo jen $n_p$, je-li grupa jasná z kontextu). \end{enumerate} \end{define} \begin{theorem} (Sylowova věta): Buď $G$ grupa řádu $p^\alpha m$, kde $p$ je prvočíslo a $p \nmid m$. Pak: \begin{enumerate} \item Existuje Sylowova $p$-podgrupa, tedy $Syl_p(G) \neq \emptyset$. \item Je-li $P$ Sylowova $p$-podgrupa $G$ a $Q$ libovolná $p$-podgrupa $G$, pak existuje $g \in G$ takové, že $Q \le gPg^{-1}$, tedy $Q$ je obsažena v nějakém sdružení $P$. Speciálně každé dvě Sylowovy $p$-podgrupy $G$ jsou vzájemně sdružené v $G$. \item Počet Sylowových $p$-podgrup je tvaru $1+kp$, tedy $n_p = 1 ($mod $ p)$. Dále $n_p$ je index grupy $N_G(P)$ v $G$ pro každou Sylowovu $p$-podgrupu $P$, a tedy $n_p | m$. \end{enumerate} \begin{proof} str. 140 \end{proof} \end{theorem} \begin{dusl} Buď $P$ Sylowova $p$-podgrupa grupy $G$. Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní: \begin{enumerate} \item $P$ je jediná Sylowova $p$-podgrupa v $G$, tedy $n_p = 1$, \item $P \npg G$. \end{enumerate} \end{dusl}