Aktuální verze z 10. 11. 2013, 20:00

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02GMF1}
 
\chapter{Integrace na varietách s hranicí, Stokesova věta}
 
\begin{veta}
Buď $\phi$ difeomorfizmus variet $M$ a $N$ stejné dimenze $n$, $\omega \in \OmA{n}{N}$, $U = U^\circ \subset M$. Pak platí:
\[\int_{\phi(U)} \omega = \int_U \phi^\star \omega.
\]
\end{veta}
 
\begin{dukaz}
Pomocí rozkladu jednotky převedeme na součet integrálů v $\R^n$, dále viz substituce v Lebesgueově integrálu.
\end{dukaz}
 
\begin{defi}
Buď $M$ s orientací $\sigma$ vnořená podvarieta $N$, $\phi: M \rightarrow N$ vnoření, $\dim M = m$, $\dim N = n \geq m$. Pak pro $\omega \in \OmA{m}{N}$ definujeme:
\[\int_{(\phi(M), \phi)} \omega = \int_M \phi^\star \omega.
\]
\end{defi}
 
\begin{pozn}
Hodnota integrálu opět nezávisí na konkrétním způsobu parametrizace $N$, ale může se lišit pro $\phi$ a $\phi'$, která nelze propojit difeomorfizmem $\psi: M \rightarrow M$ takovým, že $\phi = \phi' \circ \psi$.
\end{pozn}
 
Nyní chceme dospět k jedné ze základních vlastností integrálů z forem, tzv. Stokesově větě:
\[ \int_M \de{\omega} = \int_{\partial M} \omega.
\]
Nejprve budeme uvažovat dva speciální případy, jež nám umožní větu odvodit:
 
\begin{priklad}
Uvažujme $\R^2 [x,y]$ a oblast $\Omega \subset \R^2$ vymezenou jako vnitřek konvexního lineárního obalu $\Omega = ([(0,0),(1,0),(0,1)]_\kappa)^\circ$. Hranici $\Omega$ popíšeme pomocí tří úseček parametrizovaných způsobem:
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
\gamma_1 (\tau) & = & (\tau, 0) \\
\gamma_2 (\tau) & = & (1 - \tau, \tau) \qquad \tau \in \langle 0, 1 \rangle \\
\gamma_3 (\tau) & = & (0, 1 - \tau)
\end{IEEEeqnarray*}
Na $\R^2$ definujeme orientaci $\sigma ((1,0),(0,1)) \equiv \sigma (\pder{x}, \pder{y}) = 1$, úseky hranice oblasti $\Omega$ orientujeme tak, aby $\sigma_i(\pder{\tau}) = 1 \Leftrightarrow \sigma (\vec{n}, \gamma_{i \star}(\pder{\tau})) = 1$, kde $\vec{n}$ je vnější normála k $\Omega$ v $q \in \gamma_i$ a $\tau$ je souřadnice podél $\gamma_i$. Buď $\omega = \omega_x \dx + \omega_y \de{y} \in \OmA{1}{\R^2}$, $\de{\omega} = (\partial_x \omega_y - \partial_y \omega_x) \ \dx \wedge \de{y}$. Pak platí:
\begin{align*}
\int_\Omega \de{\omega} & = \int_0^1 \dx \int_0^{1-x} \de{y} \ (\partial_x \omega_y - \partial_y \omega_x)
= \int_0^1 \de{y} \int_0^{1-y} \dx \ \partial_x \omega_y - \int_0^1 \dx \int_0^{1-x} \de{y} \ \partial_y \omega_x\\
& = \int_0^1 \de{y} \ (\omega_y (1-y, y) - \omega_y (0,y)) - \int_0^1 \dx \ (\omega_x (x, 1-x) - \omega_x (x,0))\\
& = - \int_0^1 \de{y} \ \omega_y (0,y) + \int_0^1 \dx \ \omega_x (x,0) + \int_0^1 \de{\tau} \ (\underbrace{\omega_y (1-\tau,\tau) - \omega_x (1 - \tau, \tau)}_{\gamma_2^\star \omega, \ \text{kde} \ \gamma_2 (\tau) = (1- \tau, \tau)}) \\
& = \int_{\gamma_3} \omega + \int_{\gamma_1} \omega + \int_{\gamma_2} \omega = \int_{\partial \Omega} \omega.
\end{align*}
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
$\R^n [x^1, \dots, x^n]$, $(e_i)$ standardní báze $\R^n$, $x^i (a^j e_j) = x^j$, $\Omega = ([e_0, e_1, \ldots, e_n]_\kappa)^\circ$, $e_0 \equiv \vec{0}$, orientace $\sigma (e_1, \ldots, e_n) = 1$, $\partial \Omega = \bigcup_{i = 0}^n [e_0, \ldots, \hat{e}_i, \ldots, e_n]_\kappa$, kde stříška značí vynechání prvku.
 
Na $\partial \Omega_i = [e_0, \ldots, \hat{e}_i, \ldots, e_n]_\kappa$ zavádíme orientaci opět tak, že $\sigma_i (f_1, \ldots, f_{n-1})(z) \equiv \sigma (\vec{n}, f_1, \ldots, f_{n-1})(z)$, kde $f_1, \ldots, f_{n-1} \in T_z (\partial \Omega_i)$ a $\vec{n}$ je ven orientovaná normála k nadrovině obsahující $\partial \Omega_i$. Dále nechť $\omega \in \OmA{n-1}{V}$, tj. $\de{\omega} \in \OmA{n}{V}$, kde $V = V^\circ \subset \R^n$, $\overline{\Omega} \subset V$:
\[ \omega = \sum_{i=1}^n \omega_i (-1)^{i+1} \ \dx^1 \wedge \ldots \wedge \widehat{\dx^i} \wedge \ldots \wedge \dx^n, \qquad \de{\omega} = \sum_{i=1}^n \, \left( \pderA{\omega_i}{x^i} \right) \, \dx^1 \wedge \ldots \wedge \dx^n.
\]
Pro integrál dostáváme (nutno pamatovat na orientaci):
\begin{align*}
\int_\Omega \de{\omega} & = \int_{\substack{0 \, < x^j < 1 \\ \sum_{j = 1}^n x^j < 1}} \dx^1 \ldots \dx^n \sum_{i=1}^n \pderA{\omega_i}{x^i}\\
& = \sum_{i=1}^n \int_{\substack{0 \, < x^j < 1 \\ \sum_{j = 1, \, j \neq i}^n x^j < 1}} \dx^1 \ldots \widehat{\dx^i} \ldots \dx^n (\omega_i (x^1, \ldots, \underbrace{1 - \sum_{i \neq j} x^j}_{i\text{-tá pozice}}, \ldots, x^n) - \omega_i (x^1, \ldots, \underbrace{0}_{i\text{-tá pozice}}, \ldots, x^n)) \\
& = \sum_{i=1}^n \int_{\substack{0 \, < x^j < 1 \\ \sum_{j = 1, \, j \neq i}^n x^j < 1}} \dx^1 \ldots \widehat{\dx^i} \ldots \dx^n (\omega_i (x^1, \ldots, \underbrace{1 - \sum_{i \neq j} x^j}_{i\text{-tá pozice}}, \ldots, x^n)) + \sum_{i=1}^n \int_{\partial \Omega_i} \omega\\
& = \int_{\partial \Omega_0} \sum_{i=1}^n (-1)^{i+1} \omega_i \ \dx^1 \wedge \ldots \wedge \widehat{\dx^i} \wedge \ldots \wedge \dx^n + \sum_{i=1}^n \int_{\partial \Omega_i} \omega = \sum_{i=0}^n \int_{\partial \Omega_i} \omega \equiv \int_{\partial \Omega} \omega.
\end{align*}
\end{priklad}
 
\begin{defi}
Mějme $\R^p$ se standardní bází $(e_1, \ldots, e_p)$ a orientací $\sigma$, $\sigma (e_1, \ldots, e_p) = 1$. Definujeme \textbf{standardní {\boldmath $p$}-simplex} $\Delta_p$ jako $(e_0 \equiv \vec{0})$:
\[\Delta_p = [e_0, e_1, \dots, e_p]_\kappa = \{ a^i e_i \, | \, a^i \geq 0, \sum_{i=1}^p a^i \leq 1\}.
\]
\end{defi}
 
\begin{defi}
\textbf{(Singulární) {\boldmath $p$}-simplex} v $n$-rozměrné varietě $M$ je hladké zobrazení $\sigma_p$ nějakého $U = U^\circ \subset \R^p$, kde $\Delta_p \subset U$, do $M$.
\end{defi}
 
\begin{pozn}
V předchozí definici se za definiční obor zobrazení bere okolí $\Delta_p$ a ne samo $\Delta_p$ mj. proto, že chceme, aby byla zajištěna existence derivací na hranicích. Dále pokládáme $\sigma_p \equiv \sigma_p(\Delta_p)$.
\end{pozn}
 
\begin{pozn}
Dva singulární $p$-simplexy $\sigma_p$ a $\sigma_p'$ (z $U \subset \R^p$ do $M$) považujeme za \textbf{ekvivalentní}, pokud existuje $V = V^\circ \subset U$, $\Delta_p \subset V$ a difeomorfizmus $\phi: V \rightarrow \phi(V)$ takový, že $\phi (\Delta_p) = \Delta_p$ a $\restr{\sigma_p'}{\phi(U)} = \restr{\sigma_p \circ \phi}{U}$.
\end{pozn}
 
\begin{defi} 
\textbf{(Singulární) {\boldmath $p$}-řetězec} v $n$-rozměrné varietě $M$ je libovolná formální lineární kombinace singulárních $p$-simplexů na $M$ (modulo ekvivalence).
\end{defi}
 
\begin{defi}
\textbf{Operátor hranice {\boldmath $\partial$}} přiřazuje  $p$-řetězcům na $M$ $(p-1)$-řetězce následovně:
\begin{itemize}
\item Standardnímu $p$-simplexu přiřadí
\[ \partial \Delta_p = \sum_{k=0}^p (-1)^k \Delta_{p-1}^{(k)},
\]
kde $\Delta_{p-1}^{(k)} = [e_0, \ldots, \hat{e}_k, \ldots, e_p]_\kappa$ je třeba chápat jako singulární $(p-1)$-simplex ve varietě $\R^p$, $\Delta_{p-1}^{(k)}: U \subset \R^{p-1} \rightarrow \R^p$, kde $\Delta_{p-1} \subset U$.
 
\item Singulárnímu $p$-simplexu $\sigma_p$ přiřadí
\[ \partial \sigma_p = \sum_{k=0}^p (-1)^k \sigma_p \circ \Delta_{p-1}^{(k)}.
\]
 
\item Lineárním rozšířením definujeme hranici libovolného $p$-řetězce.
\end{itemize}
\end{defi}
 
Tj. operátor hranice přiřazuje $p$-simplexu orientovaný součet jeho stěn, kde orientace je indukována vnější normálou a orientací $\R^p$, tj. $\sigma'(f_1, \ldots, f_{p-1}) = \sigma (n, f_1, \ldots, f_{p-1})$
 
\begin{pozn}
Z elementární geometrie dostáváme $\partial^2 \Delta_p = \partial \circ \partial (\Delta_p) = 0$ a tudíž \fbox{$\partial^2 = 0$} obecně.
\end{pozn}
 
\begin{defi}
Buď $c_p$ singulární $p$-řetězec ve varietě $M$, $c_p = \sum_{i=1}^k a_i \sigma_p^{(i)}$. \textbf{Integrál {\boldmath $p$}-formy {\boldmath $\omega$}} přes řetězec $c_p$ je definován předpisem
\[ \int_{c_p} \omega = \sum_{i=1}^k a_i \int_{(\sigma_p^{(i)}(\Delta_p), \sigma_p^{(i)})} \omega = \sum_{i=1}^k a_i \int_{\Delta_p} \sigma_p^{(i) \star} \omega.
\]
\end{defi}
 
\begin{veta}
\textbf{(Stokesova pro {\boldmath $p$}-řetězce)} Buď $c_p$ $p$-řetězec na varietě $M$, $\omega \in \Om{p-1}$. Pak platí
\[ \int_{c_p} \de{\omega} = \int_{\partial c_p} \omega.
\]
\end{veta}
 
\begin{dukaz}
Viz integrály po standardních simplexech a definice integrálu po $p$-řetězci.
\end{dukaz}
 
\begin{defi}
Buď $N$ orientovatelná varieta, $\dim N = p$, $\phi$ její prosté vnoření do variety $M$. Buď dále $\overline{\phi(N)}$ kompaktní. Pak existuje \textbf{triangulace} vnořené podvariety $N$, tj. její pokrytí $p$-řetězcem $c_p = \sum_{k=1}^m \sigma_p^{(k)}$, který splňuje:
\begin{enumerate}
\item $(\forall q \in N)((\exists_1 k \in \hat{m})(q = \sigma_p^{(k)}(q_0), \, q_0 \in \Delta_p^\circ) \text{ nebo } (\exists k \in \hat{m})(q = \sigma_p^{(k)} (q_0), q_0 \in \Delta_p \setminus \Delta_p^\circ))$
\item $(\forall k \in \hat{m})(\sigma_p^{(k)}: U^{(k)} = U^{(k) \circ} \rightarrow N, \, \Delta_p \subset U^{(k)})$
\item $(\forall k \in \hat{m})(\sigma_p^{(k)} \text{ je prosté})$
\item $(\forall k \in \hat{m})(\sigma_p^{(k)} \text{ zachovává orientaci variety } N)$
\end{enumerate}
Takový řetězec nazýváme \textbf{simpliciální}.
\end{defi}
 
$\partial c_p \equiv \partial N$ lze popsat jako konečné sjednocení vnořených variet překrývajících se na množině míry nula z hlediska $\int_{\partial c_p}$. Vnitřní stěny se při integraci (či rovnou v lineární kombinaci simplexů) navzájem vyruší, neboť jsou v $\partial c_p$ vždy obsaženy dvakrát s navzájem opačnou orientací. Tudíž dostáváme následující větu.
 
\begin{veta}
\textbf{(Stokes)} Nechť $N$ je orientovaná vnořená podvarieta $M$, $N$ je kompaktní a jako pod\-mno\-žina $M$ je uzavřená, $\dim N = p$, $\omega \in \OmA{p-1}{N}$. Pak platí
\[ \int_{\partial N} \omega = \int_N \de{\omega}.
\]
\end{veta}