01ALG:Kapitola9: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Opravy drobných překlepů a přepisů) |
|||
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze od jednoho dalšího uživatele.) | |||
Řádka 32: | Řádka 32: | ||
Tedy člen $\tilde P_1$ s~mocninou $x^m$ je $a_m-a_m=0$. | Tedy člen $\tilde P_1$ s~mocninou $x^m$ je $a_m-a_m=0$. | ||
Pokud je $\tilde P_1=\Pz$, je $P_1=P_2(a_mb_n^\1x^{m-n})+\Pz$. | Pokud je $\tilde P_1=\Pz$, je $P_1=P_2(a_mb_n^\1x^{m-n})+\Pz$. | ||
− | Pokud $\tilde P_1\neq\Pz$, je $\st\tilde P_1<\st P_1$ a podle indukčního | + | Pokud $\tilde P_1\neq\Pz$, je $\st\tilde P_1<\st P_1$ a podle indukčního předpokladu existují |
$\tilde Q, \tilde R$ takové, že $\tilde P_1=P_2\tilde Q+\tilde R$ a $\tilde R=\Pz$ nebo $\st\tilde R<\st P_2$. | $\tilde Q, \tilde R$ takové, že $\tilde P_1=P_2\tilde Q+\tilde R$ a $\tilde R=\Pz$ nebo $\st\tilde R<\st P_2$. | ||
A konečně $P_1=\tilde P_1+\qlb{a_mb_n^\1x^{m-n}}P_2=P_2\qlb{\tilde Q+(a_mb_n^\1x^{m-n})}+\tilde R$. | A konečně $P_1=\tilde P_1+\qlb{a_mb_n^\1x^{m-n}}P_2=P_2\qlb{\tilde Q+(a_mb_n^\1x^{m-n})}+\tilde R$. | ||
Řádka 47: | Řádka 47: | ||
\proof | \proof | ||
Mějme libovolný ideál $I\nsg T[x]$. | Mějme libovolný ideál $I\nsg T[x]$. | ||
− | Pokud $I=E=\{\Pz\}$ je $I=I_\Pz$. | + | Pokud $I=E=\{\Pz\}$, je $I=I_\Pz$. |
Tedy nechť $I\neq E$. | Tedy nechť $I\neq E$. | ||
Mějme polynom $P\in I$, $P\neq\Pz$ takový, že má nejmenší stupeň ze všech nenulových polynomů v~$I$. | Mějme polynom $P\in I$, $P\neq\Pz$ takový, že má nejmenší stupeň ze všech nenulových polynomů v~$I$. | ||
Řádka 95: | Řádka 95: | ||
\consequence | \consequence | ||
− | Má-li $P$ | + | Má-li $P$ navzájem různé kořeny $\alpha_1\cldc\alpha_k$, pak $(x-\alpha_1)\cdots (x-\alpha_k)\divides P$. |
\proof | \proof | ||
Řádka 221: | Řádka 221: | ||
\theorem | \theorem | ||
− | Je-li $P\in T[x]$ ireducibilní nad $T$, potom je | + | Je-li $P\in T[x]$ ireducibilní nad $T$, potom je faktorokruh $T[x]\factorset{I_P}$ komutativní těleso. |
\proof | \proof | ||
Řádka 251: | Řádka 251: | ||
A neboť $x^2\EH{I_P}-1$, je $\ol{x^2}=\ol{-1}$, a tedy | A neboť $x^2\EH{I_P}-1$, je $\ol{x^2}=\ol{-1}$, a tedy | ||
$$\ol{a_1+b_1x}\cdot\ol{a_2+b_2x}=\ol{(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)x}.$$ | $$\ol{a_1+b_1x}\cdot\ol{a_2+b_2x}=\ol{(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)x}.$$ | ||
− | Víme $R[x]\factorset{I_P}$ je komutativní těleso a operace jsou stejné | + | Víme $R[x]\factorset{I_P}$ je komutativní těleso a operace jsou stejné jako v~$C$. |
To nám umožňuje pomocí $R$ definovat komplexní čísla, stačí místo $x$ psát všude $i$. | To nám umožňuje pomocí $R$ definovat komplexní čísla, stačí místo $x$ psát všude $i$. | ||
Řádka 308: | Řádka 308: | ||
\lemma | \lemma | ||
− | Buďte $T\sg U$ tělesa, $\alpha\in U\supdot$ | + | Buďte $T\sg U$ tělesa, $\alpha\in U\supdot$ a nechť $\map h{T[x]}{T[\alpha]}$ je definované jako $h(P)=P(\alpha)$. |
Potom $T[\alpha]\stackrel{\text{okr.}}\cong T[x]\factorset{\ker h}$, přičemž $\ker h=\set{P\in T[x]}{P(\alpha)=0}$. | Potom $T[\alpha]\stackrel{\text{okr.}}\cong T[x]\factorset{\ker h}$, přičemž $\ker h=\set{P\in T[x]}{P(\alpha)=0}$. | ||
Řádka 332: | Řádka 332: | ||
Dále $\ker h$ je ideálem a my jsme v~okruhu hlavních ideálů, tedy $\ker h=I_Q$ pro nějaké $Q\in T[x]$, $Q\neq\Pz$. | Dále $\ker h$ je ideálem a my jsme v~okruhu hlavních ideálů, tedy $\ker h=I_Q$ pro nějaké $Q\in T[x]$, $Q\neq\Pz$. | ||
− | Ze všech takových $Q$ vybereme polynom s~nejmenším stupněm $n$, který je normovaný (koeficient u $x^n$ je $1$) | + | Ze všech takových $Q$ vybereme polynom s~nejmenším stupněm $n$, který je normovaný (koeficient u $x^n$ je $1$), |
a nazveme jej \defined[polynom!minimální]{minimální polynom} prvku $\alpha$ nad $T$ a budeme jej značit $M_\alpha^T$. | a nazveme jej \defined[polynom!minimální]{minimální polynom} prvku $\alpha$ nad $T$ a budeme jej značit $M_\alpha^T$. | ||
Číslo $n$ nazveme \defined[prvek (těleso)!stupeň]{stupněm} prvku $\alpha$ a budeme jej značnit $\st\alpha$. | Číslo $n$ nazveme \defined[prvek (těleso)!stupeň]{stupněm} prvku $\alpha$ a budeme jej značnit $\st\alpha$. | ||
Řádka 375: | Řádka 375: | ||
Buď $\alpha$ algebraický prvek nad tělesem $T$ a nechť $\st\alpha=n$. | Buď $\alpha$ algebraický prvek nad tělesem $T$ a nechť $\st\alpha=n$. | ||
Potom $\dim_TT(\alpha)=n$ | Potom $\dim_TT(\alpha)=n$ | ||
− | a jednou z bází $T(\alpha)$ je soubor $(1,\alpha,\alpha^2\cldc\alpha^{n-1})$ | + | a jednou z bází $T(\alpha)$ je soubor $(1,\alpha,\alpha^2\cldc\alpha^{n-1})$, |
a tedy libovolný prvek $\beta\in T(\alpha)$ lze psát ve tvaru $\beta=\sum_{i=0}^{n-1}b_i\alpha^i$, kde $b_i\in T\supdot$. | a tedy libovolný prvek $\beta\in T(\alpha)$ lze psát ve tvaru $\beta=\sum_{i=0}^{n-1}b_i\alpha^i$, kde $b_i\in T\supdot$. | ||
Řádka 383: | Řádka 383: | ||
Pak podle věty o dělení se zbytkem je $P=M_\alpha Q+R$, kde $R=\Pz$ nebo $\st R<\st M_\alpha=n$, a platí | Pak podle věty o dělení se zbytkem je $P=M_\alpha Q+R$, kde $R=\Pz$ nebo $\st R<\st M_\alpha=n$, a platí | ||
$R(\alpha)=P(\alpha)=\beta$. | $R(\alpha)=P(\alpha)=\beta$. | ||
− | Je-li $R=\sum_{i=0}^{n-1}b_ix^i$, pak $\beta=\sum_{i=0}^{n-1}b_i\alpha^i$ a tedy definovaný soubor generuje. | + | Je-li $R=\sum_{i=0}^{n-1}b_ix^i$, pak $\beta=\sum_{i=0}^{n-1}b_i\alpha^i$, a tedy definovaný soubor generuje. |
Ukážeme, že je nezávislý. | Ukážeme, že je nezávislý. | ||
Řádka 425: | Řádka 425: | ||
\proof | \proof | ||
Máme $P(\alpha)=0$, tedy $M_\alpha^T\divides P$ (z~věty o dělení). | Máme $P(\alpha)=0$, tedy $M_\alpha^T\divides P$ (z~věty o dělení). | ||
− | Navíc $P$ je ireducibilní, tedy $P$ nemá netriviální dělitele | + | Navíc $P$ je ireducibilní, tedy $P$ nemá netriviální dělitele, |
a je tedy minimálnímu polynomu roven až na normování koeficientu u nejvyšší mocniny na 1. | a je tedy minimálnímu polynomu roven až na normování koeficientu u nejvyšší mocniny na 1. | ||
\QED | \QED |
Aktuální verze z 17. 2. 2012, 15:21
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01ALG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01ALG | Karel.brinda | 24. 8. 2010 | 15:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 24. 10. 2010 | 20:54 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvodní poznámky | Karel.brinda | 26. 8. 2010 | 16:03 | alg_note.tex | |
Kapitola1 | editovat | Teorie množín | Snilard | 6. 1. 2011 | 01:37 | alg_set.tex | |
Kapitola2 | editovat | Relace | Karel.brinda | 25. 1. 2011 | 23:52 | alg_rel.tex | |
Kapitola3 | editovat | Uspořádané množiny | Sedlam18 | 24. 1. 2012 | 14:18 | alg_set2.tex | |
Kapitola4 | editovat | Algebra | Snilard | 6. 1. 2011 | 01:59 | alg_alg.tex | |
Kapitola5 | editovat | Teorie grup | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 03:51 | alg_group.tex | |
Kapitola6 | editovat | Okruhy | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 04:00 | alg_ring.tex | |
Kapitola7 | editovat | Moduly a lineární algebry | Kosarvac | 11. 11. 2011 | 16:50 | alg_module.tex | |
Kapitola8 | editovat | Teorie svazů | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 15:19 | alg_lattice.tex | |
Kapitola9 | editovat | Polynomy nad komutativními tělesy | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 15:21 | alg_polynoms.tex | |
Kapitola10 | editovat | Konečná tělesa | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 15:24 | alg_finite.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01ALG} \xxx{Polynomy nad komutativními tělesy} \xxxx{Polynomy} \remark Budeme značit $T$ komutativní těleso a budeme vyšetřovat okruh polynomů nad tělesem $T$, který značíme $T[x]$. Víme, že $T[x]$ je asociativní, komutativní, bez dělitelů nuly, tedy je oborem integrity s jednotkou $1\cdot x^0$. \theorem(o dělení se zbytkem, algoritmus dělení) Buďte $P_1,P_2\in T[x]$ polynomy, přičemž $P_2\neq\Pz$. Pak existují polynomy $Q,R\in T[x]$ takové, že $P_1=P_2Q+R$, přičemž $R=\Pz$ nebo $\st R<\st P_2$. \proof Pro $P_1=\Pz$ platí $P_1=P_2\cdot\Pz+\Pz$. Pro $\st P_1<\st P_2$ je $P_1=P_2\cdot\Pz+P_1$. Tedy nechť $P_1\neq\Pz$ a $\st P_1\geq\st P_2$. Nechť $P_1=\sum_{i=0}^m a_ix^i$ a $P_2=\sum_{i=0}^n b_ix^i$, kde $a_m\neq0$, $b_n\neq0$ a $m\geq n$. Důkaz provedeme matematickou indukcí podle $m$. \begin{enumerate} \item $m=0$, tedy i $n=0$, tedy $P_1=a_0x^0$ a $P_2=b_0x^0$. Pak $P_1=a_0x^0=(b_0x^0)(a_0b_0^\1x^0)+\Pz$. \item Nechť $m>0$ a nechť tvrzení platí polynomy $P_1$ stupně menšího než $m$. Definujme $\tilde P_1:=P_1-\qlb{a_mb_n^\1x^{m-n}}P_2$. Stupeň $\qlb{a_mb_n^\1x^{m-n}}P_2$ je $m$ a jeho člen s~nejvyšší mocninu je $a_mx^m$. Tedy člen $\tilde P_1$ s~mocninou $x^m$ je $a_m-a_m=0$. Pokud je $\tilde P_1=\Pz$, je $P_1=P_2(a_mb_n^\1x^{m-n})+\Pz$. Pokud $\tilde P_1\neq\Pz$, je $\st\tilde P_1<\st P_1$ a podle indukčního předpokladu existují $\tilde Q, \tilde R$ takové, že $\tilde P_1=P_2\tilde Q+\tilde R$ a $\tilde R=\Pz$ nebo $\st\tilde R<\st P_2$. A konečně $P_1=\tilde P_1+\qlb{a_mb_n^\1x^{m-n}}P_2=P_2\qlb{\tilde Q+(a_mb_n^\1x^{m-n})}+\tilde R$. \end{enumerate} \QED \remark $T[x]$ je Eukleidův okruh, tj. každé 2 polynomy mají největšího společného dělitele a ten se dá najít Eukleidovým algoritmem. \theorem Okruh $T[x]$ je okruhem hlavních ideálů. \proof Mějme libovolný ideál $I\nsg T[x]$. Pokud $I=E=\{\Pz\}$, je $I=I_\Pz$. Tedy nechť $I\neq E$. Mějme polynom $P\in I$, $P\neq\Pz$ takový, že má nejmenší stupeň ze všech nenulových polynomů v~$I$. Ukážeme, že $I=I_P$. \begin{description} \ditem{$I\sse I_P$} Zvolme libovolný $P_1\in I$, pak víme, že existují $Q,R$ takové, že $P_1=PQ+R$, kde $R=\Pz$ nebo $\st R<\st P$. Dále $R=P_1-QP\in I$, tedy pokud by $R\neq\Pz$, nutně $\st R<\st P$, což je spor s minimalitou $\st P$. Tedy $R=\Pz$ a $P_1=PQ\in I_P$. \ditem{$I_P\sse I$} Pokud $P\in I$, pak také $I_P\sse I$. \end{description} \QED \define Buďte $P,Q\in T[x]$. Řekneme, že $Q$ \defined[dělitelnost (polynomy)]{dělí} $P$, existuje-li $S\in T[x]$ takový, že $P=QS$. Značíme $Q\divides P$. \define Buďte $T,U$ komutativní tělesa, $T\sg U$ a buďte $P=\sum_{i=0}^na_ix^i\in T[x]$ a $\alpha\in U$. Pak položíme hodnotu polynomu $P$ na prvku $\alpha$ jako $P(\alpha):=\sum_{i=0}^na_i\alpha^i\in U$. \define Buď $P\in T[x]$. \defined[kořen!polynomu]{Kořenem} polynomu $P$ (\defined[rzeseni@řešení!algebraické rovnice]{řešení} algebraické rovnice $P(x)=0$) rozumíme libovolný prvek $\alpha$ z nějakého nadtělesa $U\Supset T$ takový, že $P(\alpha)=0$. \theorem Buďte $T\sg U$, $P\in T[x]$, $\alpha\in U\supdot$. Potom $$P(\alpha)=0 \iff (x-\alpha)\divides P.$$ \proof \begin{description} \ditem{$\Rightarrow$} Nechť $P(\alpha)=0$ a $P=(x-\alpha)Q+R$. Platí $R=\Pz$ nebo $\st R<1$, tedy $R=r_0x^0$ pro $r_0\in T$. Pak $0=P(\alpha)=0+r_0$, tedy $r_0=0$ a $P=(x-\alpha)Q$. \ditem{$\Leftarrow$} Platí $P=(x-\alpha)S$ tedy $P(\alpha)=0\cdot S(\alpha)=0$. \end{description} \QED \consequence Má-li $P$ navzájem různé kořeny $\alpha_1\cldc\alpha_k$, pak $(x-\alpha_1)\cdots (x-\alpha_k)\divides P$. \proof $P(\alpha_1)=0 \Limpl (x-\alpha_1)\divides P \Limpl P=(x-\alpha_1)P_1$. $P(\alpha_2)=0 \Limpl (\alpha_2-\alpha_1)P_1(\alpha_2)=0 \Limpl P_1=(x-\alpha_2)P_2 \Limpl P=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)P_2$. Po $k$ krocích dostaneme $P=(x-\alpha_1)\cdots (x-\alpha_k)P_k$. \QED \consequence Polynom stupně $n$ má nejvýše $n$ různých kořenů. \remark Není-li $T$ komutativní těleso, nemusí poslední důsledek platit. Vezměme např. okruh $Z_{16}$, který není tělesem, a $x^2\in Z_{16}[x]$. Jeho kořeny jsou $0$, $4$, $8$ a $12$, tedy jsou čtyři pro polynom stupně 2. Mějme $K$ těleso kvaternionů, které je nekomutativní, a polynom stupně dva, $P:=x^2+1\in K[x]$. Pak pro $\alpha=\pm i, \pm j, \pm k$ platí $\alpha^2=-1$, tedy má 6 kořenů. \define \defined[derivace]{Derivací} polynomu $P=\sum_{i=0}^na_ix^i\in T[x]$ rozumíme polynom $P'\in T[x]$ daný vztahem $$P':=\sum_{i=1}^n ia_ix^{i-1}.$$ \remark Ve vztahu $\sum_{i=1}^mia_ix^{i-1}$ není součin $ia_i$ součinem v tělese, ale $i\times a_i$. Pro jednoduchost zápis zkracujeme. \remark Derivace polynomu je formálně stejná jako v analýze, nebudeme tedy znovu dokazovat známá tvrzení, jako $(PQ)'=P'Q+PQ'$ apod. \define Buďte $T\sg U$, $P\in T[x]$, $\alpha\in U\supdot$, $m\in\Nz$. Řekneme, že $\alpha$ je \defined[kořen!m-násobný@$m$-násobný]{$m$-násobný kořen} polynomu $P$, platí-li $(x-\alpha)^m\divides P$, ale $(x-\alpha)^{m+1}\nmid P$. \theorem Buď $\alpha$ $m$-násobný kořen polynomu $P$. Potom $\alpha$ je alespoň $(m{-}1)$-násobným kořenem polynomu $P'$. \proof Máme $P=(x-\alpha)^{m}Q$, tedy $P'=m(x-\alpha)^{m-1}Q+(x-\alpha)^mQ'=(x-\alpha)^{m-1}(mQ+(x-\alpha)Q')$. \QED \remark Pokud by $T$ mělo nenulovou charakteristiku $p$ a $m$ bylo násobkem $p$, pak $mQ(\alpha)=0$ a platí $P'=(x-\alpha)^mQ'$. \define Řekneme, že $P\in T[x]$ stupně alespoň 1 je \defined[polynom!reducibilní]{reducibilní nad $T$}, existují-li $P_1, P_2\in T[x]$ takové, že $1\leq\st P_i<\st P$ a $P=P_1P_2$. V~opačném případě řekneme, že $P$ je \defined[polynom!ireducibilní]{ireducibilní nad $T$}. \remark Reducibilita závisí na tělese. \begin{enumerate} \item Polynom $x^2-2\in Q[x]$ je ireducibilní nad $Q$, ale reducibilní nad $R$, neboť $x^2-2=\qlb{x+\sqrt2}\qlb{x-\sqrt2}$. \item Polynom $x^2+1\in Q[x]$ je ireducibilní nad $R$, ale reducibilní nad $C$, neboť $x^2+1=(x+i)(x-i)$. \end{enumerate} \lemma Libovolný polynom stupně 1 je ireducibilní nad libovolným tělesem. \theorem \begin{enumerate} \item Nad $C$ jsou ireducibilní právě jen polynomy 1. stupně. \item Nad $R$ jsou ireducibilní právě jen polynomy 1. stupně a polynomy 2. stupně se záporným diskriminantem příslušné kvadratické rovnice. \end{enumerate} \lemma Má-li polynom $P\in T[x]$ v~tělese $T$ kořen, je nad tělesem $T$ reducibilní. \proof Pokud $P(\alpha)=0$, platí $P=(x-\alpha)Q$, kde $Q\in T[x]$ \QED \remark Opačná implikace neplatí. Například $P=P_1P_2$ nad $T$, kde $\st P_i\geq2$ a nemají kořen v $T$. \lemma Je-li $\st P\leq 3$ a $P$ je reducibilní nad $T$, pak má $P$ v tělese $T$ kořen. \proof Alespoň jeden z polynomů v rozkladu má stupeň $1$. \QED \remark Každý ideál v~okruhu polynomů je hlavní, tj. $(\AA I\nsg T[x])(\EE P\in T[x])(I=I_P)$. Dále $I_P=T[x]\cdot P$. Mějme třídy ekvivalence $T[x]\factorset{I_P}$ pro $P\neq\Pz$. Pak do jedné zbytkové třídy patří 2 polynomy právě tehdy, dávají-li stejný zbytek po dělení polynomem $P$ Pro $P=\Pz$ jsou polynomy ekvivalentní pouze, když jsou stejné. Je-li $\st P=n$, pak zbytkové polynomy jsou všechny polynomy stupně nejvýše $n-1$. Zbytkovou třídu obsahující polynom $R$ označujeme $\ol R$. \lemma Je-li $T$ konečné těleso řádu $q$, pak počet zbytkových tříd podle polynomu $P$ stupně $n$ je $q^n$. \lemma $T[x]\factorset{I_P}$ je asociativní a komutativní okruh s jednotkou. Jednotkou je $\ol{1\cdot x^0}$. \theorem Je-li $P\in T[x]$ reducibilní nad $T$, potom faktorokruh $T[x]\factorset{I_P}$ obsahuje dělitele nuly. \proof Existuje netriviální rozklad $P=P_1P_2$. Dále $\ol\Pz\neq \ol{P_i}$ a $\ol\Pz=\ol P=\ol{P_1}\ol{P_2}$. \QED \theorem Je-li $P\in T[x]$ ireducibilní nad $T$, potom je faktorokruh $T[x]\factorset{I_P}$ komutativní těleso. \proof Víme, že je komutativní s~jednotkou, zbývá ukázat, že každá nenulová třída $\ol A$ má třídu inverzní. Důkaz provedeme neúplnou matematickou indukcí podle $m=\st A$, přičemž $0\leq m<\st P$. \begin{description} \ditem{$m=0$} Platí $A=ax^0$ a $a\neq 0$. Potom $ax^0 \cdot a^\1x^0=1x^0$, a tedy $\ol A\, \ol{a^\1x^0} = \ol{1x^0}$. \ditem{$m\geq1$} Nechť každý polynom stupně menšího než $m$ má inverzní. $P=AQ+R$. Pak $R=\Pz$ nebo $\st R<\st A=m$. Neboť $P$ je ireducibilní, je $R\neq\Pz$, jinak by bylo $P=AQ$, kde $\st A<\st P$. Tedy podle indukčního předpokladu existuje ${\ol R}^\1$ a dále platí: $\ol\Pz=\ol P=\ol A\,\ol Q+\ol R$ a po vynásobení $(\ol R)^\1$ dostáváme $\ol\Pz=\ol A\,\ol Q\qlb{\ol R}^\1+\ol{1x^0}$ a konečně $\qlb{\ol A}^\1=-\ol Q\qlb{\ol R}^\1$. \end{description} \QED \example Mějme reálný polynom $P:=x^2+1\in R[x]$. Pak $R[x]\factorset{I_P}=\set{\ol{a+bx}}{a,b\in\R}$. Platí $$\ol{a_1+b_1x}+\ol{a_2+b_2x}=\ol{(a_1+a_2)+(b_1+b_2)x}$$ a $$\ol{a_1+b_1x}\cdot\ol{a_2+b_2x}=\ol{(a_1a_2)+(a_1b_2+a_2b_1)x+(b_1b_2)x^2}.$$ A neboť $x^2\EH{I_P}-1$, je $\ol{x^2}=\ol{-1}$, a tedy $$\ol{a_1+b_1x}\cdot\ol{a_2+b_2x}=\ol{(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)x}.$$ Víme $R[x]\factorset{I_P}$ je komutativní těleso a operace jsou stejné jako v~$C$. To nám umožňuje pomocí $R$ definovat komplexní čísla, stačí místo $x$ psát všude $i$. \xxxx{Adjunkce} \define Mějme dvojici těles $T\sg U$ a $A\sse U\supdot$. Pak definujeme těleso $T(A):=\bigcap\set{V\sg U}{T\supdot\cup A\supdot\sse V}$ a říkame, že vzniká \defined[adjunkce]{tělesovou adjunkcí} $A$ k $T$. Je-li $A$ jednoprvková, $A=\{\alpha\}$, pak používáme označení \defined[adjunkce!jednoduchá]{jednoduchá adjunkce}, a značíme $T(\alpha):=T(\{\alpha\})$. \example \begin{enumerate} \item Je-li $A\sse T$, je $T(A)=T$. \item $Q\qlb{\left\{\sqrt2\right\}}=\set{a+b\sqrt2}{a,b\in\Q}$. \item $R(i)=C$. \end{enumerate} \define Pro $T\sg U$ a $\alpha\in U$ definujeme $T[\alpha]:=\set{P(\alpha)}{P\in T[x]}$. \lemma $T[\alpha]$ je podokruh $T(\alpha)$. \proof Pro libovolný polynom $P\in T[x]$ je $P(\alpha)$ kombinací $\alpha$ a prvků z~$T$, tedy $T[\alpha]\sse T(\alpha)$. Snadno se ukáže, že je okruhem. \QED \lemma $T[\alpha]$ je obor integrity. \proof $T[\alpha]$ je podokruhem komutativního tělesa $T(\alpha)$, tedy je oborem integrity. \QED \lemma Těleso $T(\alpha)$ je izomorfní s podílovým tělesem oboru integrity $T[\alpha]$. \proof Označme $H=T[\alpha]$. Pak těleso zlomků $U_H$ je izomorfní s~podílovým tělesem $T_H$. Definujeme $\map h{U_H}{T(\alpha)}$ jako $h\qlb{\frac ab}=ab^\1$ pro $a,b\in H$ a $b\neq 0$. Tedy existují $P,Q\in T[x]$ takové, že $a=P(\alpha)$ a $b=Q(\alpha)$. Korektnost definice a fakt, že $h$ je monomorfismus jsme ukázali dříve pro obdobný případ, tedy $U_H\cong h(U_H)\stackrel{\text{těl.}}\sg T(\alpha)$. Ukážeme, že $T\cup\{\alpha\}\sse h(U_H)$, což už stačí pro to, aby $T(\alpha)\sg h(U_H)$. Zvolíme $Q=1x^0$, tedy $b=Q(\alpha)=1$. Volbou $P=x$ dostaneme $a=P(\alpha)=\alpha$ a tedy $h\qlb{\frac ab}=\alpha$. Volbou $P=tx^0$ pro libovolné $t\in T$ dostaneme $a=P(\alpha)=t$ a tedy $h\qlb{\frac ab}=t$. \QED \lemma Buďte $T\sg U$ tělesa, $\alpha\in U\supdot$ a nechť $\map h{T[x]}{T[\alpha]}$ je definované jako $h(P)=P(\alpha)$. Potom $T[\alpha]\stackrel{\text{okr.}}\cong T[x]\factorset{\ker h}$, přičemž $\ker h=\set{P\in T[x]}{P(\alpha)=0}$. \proof Je $h(P+Q)=(P+Q)(\alpha)=P(\alpha)+Q(\alpha)=h(P)+h(Q)$ a podobně pro $h(PQ)$, tedy $h$ je homomorfismus. Současně $h$ je z definice $T[\alpha]$ na, tedy $h$ je epimorfismus. Tvrzení lemmatu již plyne z~věty o homomorfismu. \QED \define Buďte $T\sg U$ tělesa, $\alpha\in U\supdot$. Pomocí zobrazení $h$ z~předchozího lemmatu dělíme prvky $U$ do 2 skupin. \begin{description} \ditem{$\ker h=E=\{\Pz\}$} Pak $\alpha$ nazýváme \defined[prvek (těleso)!transcendentní]{transcendentní prvek} nad tělesem $T$. Dále podle lemmatu je $T[\alpha]\cong T[x]\factorset E\cong T[x]$ a izomorfní obory integrity mají izomofní podílová tělesa, tedy $T(\alpha)\cong T(x)$, kde symbolem $T(x)$ značíme podílové těleso k $T[x]$, tj. těleso racionálních funkcí. \ditem{$\ker h\neq E$} Pak $\alpha$ nazýváme \defined[prvek (těleso)!algebraický]{algebraický prvek}. Dále $\ker h$ je ideálem a my jsme v~okruhu hlavních ideálů, tedy $\ker h=I_Q$ pro nějaké $Q\in T[x]$, $Q\neq\Pz$. Ze všech takových $Q$ vybereme polynom s~nejmenším stupněm $n$, který je normovaný (koeficient u $x^n$ je $1$), a nazveme jej \defined[polynom!minimální]{minimální polynom} prvku $\alpha$ nad $T$ a budeme jej značit $M_\alpha^T$. Číslo $n$ nazveme \defined[prvek (těleso)!stupeň]{stupněm} prvku $\alpha$ a budeme jej značnit $\st\alpha$. Navíc $T[\alpha]\cong T[x]\factorset{I_{M_\alpha}}$, kde pravá strana je těleso, a tedy z~izomorfie i $T[\alpha]$ je těleso (pro algebraické $\alpha$). A dále $T(\alpha)\cong T_{T[\alpha]}=T[\alpha]=T[x]\factorset{I_{M_\alpha^T}}$. \end{description} \lemma Minimální polynom je ireducibilní nad $T$. \theorem Buď $\alpha$ algebraický prvek nad tělesem $T$. Potom $T(\alpha)\cong T[x]\factorset{I_{M_\alpha^T}}$. \example \begin{enumerate} \item Všechny prvky $\alpha\in\C$ jsou algebraické nad $C$ a platí $M_\alpha^C=x-\alpha$. \item Všechny prvky $\alpha\in\C$ jsou algebraické nad $R$. Pro $\alpha\in\R$ platí $M_\alpha^R=x-\alpha$ a pro $\alpha\notin R$ platí $M_\alpha^\R=(x-\alpha)(x-\bar\alpha)=x^2-2\RE\alpha x+\abs\alpha^2$. \item Algebraické číslo (bez udání tělesa) znamená algebraické nad $\Q$. Totéž pro transcendentní. Příklady transcendentních jsou $\pi$ a $e$. \end{enumerate} \lemma Buď $\alpha$ algebraický prvek nad $T$. Potom $T[\alpha]=T(\alpha)$. \proof Pro $\beta\in T$ definujeme $P=\alpha^\1\beta x^1$, pak $P(\alpha)=\beta$; položme $P=1x^1$, pak $P(\alpha)=\alpha$. Tedy $T(\alpha)\sse T[\alpha]$. Opačnou inkluzi jsme ukázali dříve. \QED \theorem Buď $\alpha$ algebraický prvek nad tělesem $T$ a nechť $\st\alpha=n$. Potom $\dim_TT(\alpha)=n$ a jednou z bází $T(\alpha)$ je soubor $(1,\alpha,\alpha^2\cldc\alpha^{n-1})$, a tedy libovolný prvek $\beta\in T(\alpha)$ lze psát ve tvaru $\beta=\sum_{i=0}^{n-1}b_i\alpha^i$, kde $b_i\in T\supdot$. \proof Mějme libovolné $\beta\in T(\alpha)=T[\alpha]$. Tedy $(\EE P\in T[x])(\beta=P(\alpha))$. Pak podle věty o dělení se zbytkem je $P=M_\alpha Q+R$, kde $R=\Pz$ nebo $\st R<\st M_\alpha=n$, a platí $R(\alpha)=P(\alpha)=\beta$. Je-li $R=\sum_{i=0}^{n-1}b_ix^i$, pak $\beta=\sum_{i=0}^{n-1}b_i\alpha^i$, a tedy definovaný soubor generuje. Ukážeme, že je nezávislý. Nechť existuje nenulová lineární kombinace souboru, pak je tato kombinace polynomem s~nižším stupněm než $n$, který má v~bodě $\alpha$ hodnotu $0$, což je spor s~minimalitou stupně $M_\alpha$. Tedy daný soubor je bází a dimenze je $n$. \QED \theorem Libovolný ireducibilní polynom má kořen (obecně v~nadtělese). \proof Máme ireducibilní $P\in T[x]$. Je-li $\st P=1$, je $P=a_0+a_1x$ a má kořen v $T$. Tedy nechť $\st P\geq 2$. Označme $U:=T[x]\factorset{I_P}$ a neboť $P$ je ireducibilní, je $U$ komutativní těleso. Definujeme zobrazení $\map hTU$ jako $h(a):=\ol{ax^0}$. Snadno se ukáže, že $h$ je okruhový monomorfismus, tedy $T\cong h(T)\sg U$. Známým postupem najdeme k~tělesu $T$ nadtěleso $V$ tak, že z~$U$ vyjmeme $h(T)$ a nahradíme jej $T$, tedy $V=(U\sm h(T))\cup T\cong U$. Definujeme izomorfismus $\map gVU$ jako $$\displaystyle g(\beta):=\left\{\te{array}{{l@{\;|\;}l}h(\beta)&\beta\in T\\\beta&\beta\in V\sm T.}\right.$$ Ukážeme, že kořenem $P$ je prvek $\alpha\in V$, $\alpha=g^\1\qlb{\ol x}$. Platí $$\textstyle P(\alpha) =\sum\limits_{i=0}^n a_i\alpha^i =g^\1\!\qlb{\sum\limits_{i=0}^n g\!\qlb{a_i}g\!\qlb{\alpha^i}}\! =g^\1\!\qlb{\sum\limits_{i=0}^n\ol{a_ix^0}\,\ol{x^i}}\! =g^\1\!\qlb{\ol{\sum\limits_{i=0}^na_ix^i}}\! =g^\1\!\qlb{\ol P}\!=g^\1\!\qlb{\ol\Pz}\!=0.$$ \QED \consequence Libovolný polynom stupně většího než nula má kořen. \remark V~předchozí větě je $\alpha$ algebraický nad $T$ a navíc $P$ je jeho minimálním polynomem. \proof Máme $P(\alpha)=0$, tedy $M_\alpha^T\divides P$ (z~věty o dělení). Navíc $P$ je ireducibilní, tedy $P$ nemá netriviální dělitele, a je tedy minimálnímu polynomu roven až na normování koeficientu u nejvyšší mocniny na 1. \QED \define Buďte $T$ těleso a $P\in T[x]$. \defined[těleso!rozkladové]{Rozkladové těleso} polynomu $P$ je nejmenší nadtěleso $U\Supset T$ takové, že v~něm lze $P$ rozložit na součin lineárních polynomů, tj. že v něm leží všechny kořeny $P$. \theorem Libovolný polynom stupně alespoň $1$ má rozkladové těleso. \proof Mějme $P\in T[x]$ a nechť $P=P_1\cdots P_k$ pro $P_i\in T[x]$ je rozklad na ireducibilní polynomy. Jsou-li všechny $P_i$ stupně jedna, je $T$ samo rozkladovým tělesem. Tedy nechť např. $P_1$ má stupeň alespoň 2. Pak existuje $V\Supset T$ takové, že $P_1$ má ve $V$ kořen $\alpha$, tedy lze rozložit na polynom a lineární polynom. Tedy máme $P=Q_1\cdots Q_\ell$ rozklad v tělese $V$, kde jistě $\ell>k$, neboť jsme $P_1$ rozložili. Je možné, že jsme rozložili víc, než jen $P_1$. Pokud opět zbydou nějaké stupně alespoň 2, proces opakujeme. \QED